Plan-de-la-Patria-2019-2025- TERCER PLAN SOCIALISTA DE LA NACIÓN.pdf
Matriz escalonada
1. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 1/77
Álgebra Lineal
Ma1010
Eliminación gaussiana y otros algoritmos
Departamento de Matemáticas
ITESM
2. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 2/77
Introducción
En esta lectura veremos procedimientos
sistemáticos para resolver un sistema de
ecuaciones lineales. Estos algoritmos trabajan
directamente sobre la matriz aumentada del
sistema llevándola a la matriz de un sistema
triangular que es equivalente al sistema inicial. La
equivalencia del sistema triangular final con el
inicial se argumenta debido a que el algoritmo sólo
utiliza los tres tipos de operaciones vistos en la
lectura anterior y cuya aplicación individual
siempre preserva la equivalencia. Los
procedimientos que revisaremos son: el algoritmo
de Eliminación Gaussiana, el algoritmo de
Gauss-Jordan y el método Montante. Finalmente,
se realizará una revisión sobre el trabajo
computacional realizado por estas estrategias.
3. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 3/77
Objetivos
Será importante que Usted
■ Entienda los conceptos: matriz escalonada y
escalonada reducida.
■ Entienda y mecanice los procedimientos de
◆ Eliminación gaussiana,
◆ Eliminación de Gauss-Jordan, y
◆ El método de Montante.
■ Conozca las diferencias en el proceder entre los
algoritmos vistos.
■ Comprenda las reglas para analizar las
soluciones a un sistema de ecuaciones.
■ Comprenda el concepto de complejidad de un
algoritmo.
■ Conozca las diferencias en los costos de
cómputo de los algoritmos vistos.
4. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 4/77
Forma escalonada por renglones
Una matriz se dice matriz escalonada si cumple:
5. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 4/77
Forma escalonada por renglones
Una matriz se dice matriz escalonada si cumple:
1. En caso de tener renglones de ceros, todos ellos están en la
parte inferior de la matriz.
6. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 4/77
Forma escalonada por renglones
Una matriz se dice matriz escalonada si cumple:
1. En caso de tener renglones de ceros, todos ellos están en la
parte inferior de la matriz.
2. El elemento delantero de cada renglón no cero (después del
primer renglón) se encuentra a la derecha del elemento
delantero del renglón anterior.
7. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 4/77
Forma escalonada por renglones
Una matriz se dice matriz escalonada si cumple:
1. En caso de tener renglones de ceros, todos ellos están en la
parte inferior de la matriz.
2. El elemento delantero de cada renglón no cero (después del
primer renglón) se encuentra a la derecha del elemento
delantero del renglón anterior.
Y se llama matriz escalonada reducida si es
escalonada y además cumple:
3. El elemento delantero de cualquier renglón no cero es 1.
8. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 4/77
Forma escalonada por renglones
Una matriz se dice matriz escalonada si cumple:
1. En caso de tener renglones de ceros, todos ellos están en la
parte inferior de la matriz.
2. El elemento delantero de cada renglón no cero (después del
primer renglón) se encuentra a la derecha del elemento
delantero del renglón anterior.
Y se llama matriz escalonada reducida si es
escalonada y además cumple:
3. El elemento delantero de cualquier renglón no cero es 1.
4. Todos los elementos arriba y abajo de un 1 delantero son cero.
9. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 5/77
Ejemplo
Indique porqué las siguientes matrices no son
escalonadas:
2 3 −1
0 0 0
0 0 1
,
2 3 −1
0 5 2
0 2 1
,
2 3 −1
0 0 2
0 3 2
0 0 0
,
0 0 0
0 1 −3
0 0 −3
,
0 0 3
0 1 −3
5 1 −3
10. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 5/77
Ejemplo
Indique porqué las siguientes matrices no son
escalonadas:
2 3 −1
0 0 0
0 0 1
,
2 3 −1
0 5 2
0 2 1
,
2 3 −1
0 0 2
0 3 2
0 0 0
,
0 0 0
0 1 −3
0 0 −3
,
0 0 3
0 1 −3
5 1 −3
Solución
En el primer ejemplo, tiene un renglón de ceros y
no aparece hasta el final; no se cumple la
condición 1.
11. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 5/77
Ejemplo
Indique porqué las siguientes matrices no son
escalonadas:
2 3 −1
0 0 0
0 0 1
,
2 3 −1
0 5 2
0 2 1
,
2 3 −1
0 0 2
0 3 2
0 0 0
,
0 0 0
0 1 −3
0 0 −3
,
0 0 3
0 1 −3
5 1 −3
Solución
En el segundo ejemplo, cuando comparamos la
posición del primer elemento no cero del segundo
renglón (5) con la posición del primer elemento no
cero del tercer renglón (2) vemos que el 2 no está
a la derecha del 5; no se cumple la condición 2.
12. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 5/77
Ejemplo
Indique porqué las siguientes matrices no son
escalonadas:
2 3 −1
0 0 0
0 0 1
,
2 3 −1
0 5 2
0 2 1
,
2 3 −1
0 0 2
0 3 2
0 0 0
,
0 0 0
0 1 −3
0 0 −3
,
0 0 3
0 1 −3
5 1 −3
Solución
En el tercer ejemplo, el renglón de cero aparece
hasta abajo, pero cuando se comparan los
elementos delanteros de los renglones 2 y 3 el
inferior no está a la derecha del elemento
delantero superior: se cumple la condición 1 pero
no la 2.
13. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 5/77
Ejemplo
Indique porqué las siguientes matrices no son
escalonadas:
2 3 −1
0 0 0
0 0 1
,
2 3 −1
0 5 2
0 2 1
,
2 3 −1
0 0 2
0 3 2
0 0 0
,
0 0 0
0 1 −3
0 0 −3
,
0 0 3
0 1 −3
5 1 −3
Solución
En el cuarto ejemplo, falla de nuevo la condición 1.
14. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 5/77
Ejemplo
Indique porqué las siguientes matrices no son
escalonadas:
2 3 −1
0 0 0
0 0 1
,
2 3 −1
0 5 2
0 2 1
,
2 3 −1
0 0 2
0 3 2
0 0 0
,
0 0 0
0 1 −3
0 0 −3
,
0 0 3
0 1 −3
5 1 −3
Solución
En el último ejemplo, recuerde sólo hay
escalonada de derecha a izquierda; el elemento
delantero del renglón 2 no está a la derecha de
delantero del renglón 1
16. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 6/77
Ejemplo
Indique porqué las siguientes matrices sı́ son
escalonadas:
2 3 −1
0 5 2
0 0 1
,
2 3 −1
0 1 2
0 0 0
0 0 0
,
0 2 3
0 0 −3
0 0 0
,
1 2 0
0 0 0
0 0 0
,
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Solución
Observe que las matrices listadas cumplen las
condiciones 1 y 2
17. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 7/77
Ejemplo
Indique porqué las siguientes matrices son
escalonadas pero no reducidas:
1 3 −1
0 1 0
0 0 −2
,
1 2 −1
0 1 2
0 0 1
,
1 0 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
,
1 1 3
0 0 1
0 0 0
,
0 1 −3
0 0 1
0 0 0
18. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 7/77
Ejemplo
Indique porqué las siguientes matrices son
escalonadas pero no reducidas:
1 3 −1
0 1 0
0 0 −2
,
1 2 −1
0 1 2
0 0 1
,
1 0 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
,
1 1 3
0 0 1
0 0 0
,
0 1 −3
0 0 1
0 0 0
Solución
En el primer ejemplo, está fallando la condición 3:
el elemento delantero del renglón 3 debe ser 1.
19. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 7/77
Ejemplo
Indique porqué las siguientes matrices son
escalonadas pero no reducidas:
1 3 −1
0 1 0
0 0 −2
,
1 2 −1
0 1 2
0 0 1
,
1 0 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
,
1 1 3
0 0 1
0 0 0
,
0 1 −3
0 0 1
0 0 0
Solución
En el segundo ejemplo, la condición 3 se cumple
pero la condición 4 falla: arriba de los 1 delanteros
debe haber sólo ceros.
20. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 7/77
Ejemplo
Indique porqué las siguientes matrices son
escalonadas pero no reducidas:
1 3 −1
0 1 0
0 0 −2
,
1 2 −1
0 1 2
0 0 1
,
1 0 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
,
1 1 3
0 0 1
0 0 0
,
0 1 −3
0 0 1
0 0 0
Solución
En los ejemplos 3, 4 y 5, note que la condición 4
dice que todos los elementos superiores a los
elementos delanteros deben ser cero. En estos
ejemplos no se cumple tan condición
21. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 8/77
Ejemplo
Verifique que las siguientes matrices sı́ son
escalonadas reducidas:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
,
1 0 −3
0 1 1
0 0 0
0 0 0
,
0 1 0
0 0 1
0 0 0
,
1 3 −4
0 0 0
0 0 0
,
0 0 0
0 0 0
0 0 0
22. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 8/77
Ejemplo
Verifique que las siguientes matrices sı́ son
escalonadas reducidas:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
,
1 0 −3
0 1 1
0 0 0
0 0 0
,
0 1 0
0 0 1
0 0 0
,
1 3 −4
0 0 0
0 0 0
,
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Solución
Observe que en el ejemplo 2, el elemento (2,3) no
es delantero por ello no se impone la condición
que el elemento superior sea cero. La matriz es
efectivamente escalonada reducida
23. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 9/77
Pivotes de una matriz
Cuando una matriz está en su forma escalonada, los primeros
elementos diferentes de cero de cada renglón reciben el nombre de
elementos pivote o simplemente pivotes. Note que por ser el pivote
el primer elemento no cero del renglón, no hay forma que un
renglón tenga más de un pivote: puede no tener pivote en caso de
que sea un renglón de ceros, pero no puede tener dos o más. Note
también que por estar escalonada la matriz, no hay forma que dos
pivotes queden en la misma columna: puede una columna no tener
pivote, pero si tiene pivote no puede tener dos o más. De este
hecho, concluimos que una matriz m × n no puede tener mas de m
pivotes porque tiene a los más uno por cada renglón. Y por otro
lado, no puede tener más de n pivotes pues a lo más tiene un
pivote por cada columna. Es decir, el número de pivotes debe ser
menor o igual que el mínimo número entre m y n.
24. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 10/77
Algoritmo de eliminación gaussiana
El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussiana
consta de los siguientes pasos:
25. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 10/77
Algoritmo de eliminación gaussiana
El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussiana
consta de los siguientes pasos:
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no
cero.
26. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 10/77
Algoritmo de eliminación gaussiana
El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussiana
consta de los siguientes pasos:
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no
cero.
2. Si el primer elemento de la columna es cero,
intercámbielo por un renglón que no tenga cero.
27. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 10/77
Algoritmo de eliminación gaussiana
El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussiana
consta de los siguientes pasos:
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no
cero.
2. Si el primer elemento de la columna es cero,
intercámbielo por un renglón que no tenga cero.
3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero
sumando múltiplos adecuados a los renglones
debajo de él.
28. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 10/77
Algoritmo de eliminación gaussiana
El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussiana
consta de los siguientes pasos:
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no
cero.
2. Si el primer elemento de la columna es cero,
intercámbielo por un renglón que no tenga cero.
3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero
sumando múltiplos adecuados a los renglones
debajo de él.
4. Cubra el renglón y la columna de trabajo y
repita el proceso comenzando en el paso 1.
29. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 10/77
Algoritmo de eliminación gaussiana
El Algoritmo de Gauss o de Eliminación gaussiana
consta de los siguientes pasos:
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no
cero.
2. Si el primer elemento de la columna es cero,
intercámbielo por un renglón que no tenga cero.
3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero
sumando múltiplos adecuados a los renglones
debajo de él.
4. Cubra el renglón y la columna de trabajo y
repita el proceso comenzando en el paso 1.
5. Comenzando con el último renglón no cero
avance hacia arriba para que en cada renglón
tenga un 1 delantero y arriba de él queden sólo
ceros.
30. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 11/77
Es importante observar que en el método de
eliminación Gaussiana:
■ Los pasos del 1 a 4 aplicados repetidamente
escalonan la matriz; el paso 5 aplicado
repetidamente reduce la matriz.
■ En el paso 2, si el elemento no es cero no se
realiza intercambio.
■ En el paso 3, los elementos que se hacen cero
son sólo los inferiores al pivote.
31. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 12/77
Eliminación Gaussiana: ejemplo
Ejemplo
Aplique el algoritmo de Gauss a la matriz:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
Solución
El elemento (1, 1) será usado como pivote para
hacer ceros debajo de él; para ello debemos
sumar múltiplos adecuados del renglón pivote a
los renglones inferiores:
32. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 12/77
Eliminación Gaussiana: ejemplo
Ejemplo
Aplique el algoritmo de Gauss a la matriz:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
Solución
El elemento (1, 1) será usado como pivote para
hacer ceros debajo de él; para ello debemos
sumar múltiplos adecuados del renglón pivote a
los renglones inferiores:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
33. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 12/77
Eliminación Gaussiana: ejemplo
Ejemplo
Aplique el algoritmo de Gauss a la matriz:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
Solución
El elemento (1, 1) será usado como pivote para
hacer ceros debajo de él; para ello debemos
sumar múltiplos adecuados del renglón pivote a
los renglones inferiores:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
R2←R2 −(2/3) R1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
R3←R3 −(−2/3) R1
34. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 12/77
Eliminación Gaussiana: ejemplo
Ejemplo
Aplique el algoritmo de Gauss a la matriz:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
Solución
El elemento (1, 1) será usado como pivote para
hacer ceros debajo de él; para ello debemos
sumar múltiplos adecuados del renglón pivote a
los renglones inferiores:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
R2←R2 −(2/3) R1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
R3←R3 −(−2/3) R1
3 6 −9 3
0 0 −2 −2
0 1 −2 1
(0.1)
35. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 13/77
En vista que elemento (2, 2) es cero debemos buscar en la
parte inferior de la columna 2 un elemento diferente de cero y
realizar un intercambio de renglones:
3 6 −9 3
0 0 −2 −2
0 1 −2 1
36. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 13/77
En vista que elemento (2, 2) es cero debemos buscar en la
parte inferior de la columna 2 un elemento diferente de cero y
realizar un intercambio de renglones:
3 6 −9 3
0 0 −2 −2
0 1 −2 1
R2↔R3
−
−
−
−
→
37. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 13/77
En vista que elemento (2, 2) es cero debemos buscar en la
parte inferior de la columna 2 un elemento diferente de cero y
realizar un intercambio de renglones:
3 6 −9 3
0 0 −2 −2
0 1 −2 1
R2↔R3
−
−
−
−
→
3 6 −9 3
0 1 −2 1
0 0 −2 −2
(0.2)
38. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 13/77
En vista que elemento (2, 2) es cero debemos buscar en la
parte inferior de la columna 2 un elemento diferente de cero y
realizar un intercambio de renglones:
3 6 −9 3
0 0 −2 −2
0 1 −2 1
R2↔R3
−
−
−
−
→
3 6 −9 3
0 1 −2 1
0 0 −2 −2
(0.2)
El algortimo termina en sus pasos 1 al 4. Procede al paso 5.
39. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 14/77
Hagamos 1 el elemento (3, 3):
3 6 −9 3
0 1 −2 1
0 0 −2 −2
45. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 16/77
Procedamos con el siguiente elemento pivote (2, 2); el
elemento ya es 1 y ahora debemos proceder a hacer cero por
arriba de él:
3 6 0 12
0 1 0 3
0 0 1 1
46. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 16/77
Procedamos con el siguiente elemento pivote (2, 2); el
elemento ya es 1 y ahora debemos proceder a hacer cero por
arriba de él:
3 6 0 12
0 1 0 3
0 0 1 1
R1←R1 −6 R2
−
−
−
−
−
−
−
−
→
47. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 16/77
Procedamos con el siguiente elemento pivote (2, 2); el
elemento ya es 1 y ahora debemos proceder a hacer cero por
arriba de él:
3 6 0 12
0 1 0 3
0 0 1 1
R1←R1 −6 R2
−
−
−
−
−
−
−
−
→
3 0 0 −6
0 1 0 3
0 0 1 1
(0.5)
48. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 17/77
El algoritmo concluye haciendo 1 el pivote del primer renglón:
3 0 0 −6
0 1 0 3
0 0 1 1
49. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 17/77
El algoritmo concluye haciendo 1 el pivote del primer renglón:
3 0 0 −6
0 1 0 3
0 0 1 1
R1←1/3 R1
−
−
−
−
−
−
→
50. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 17/77
El algoritmo concluye haciendo 1 el pivote del primer renglón:
3 0 0 −6
0 1 0 3
0 0 1 1
R1←1/3 R1
−
−
−
−
−
−
→
1 0 0 −2
0 1 0 3
0 0 1 1
(0.6)
51. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 18/77
Análisis de los conjuntos solución
Una vez escalonando o reduciendo la matriz
aumentada de un sistema, hay que saber con
precisión qué se puede decir sobre el conjunto de
soluciones. Sólo hay tres posibles resultados en el
análisis:
■ El sistema no tiene solución: sistema
inconsistente.
■ El sistema tiene una única solución.
■ El sistema tiene infinitas soluciones.
52. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 19/77
Regla de Inconsistencia
El sistema es inconsistente si aparece un
pivote en la columna de términos constantes.
53. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 19/77
Regla de Inconsistencia
El sistema es inconsistente si aparece un
pivote en la columna de términos constantes.
Ejemplo
Son inconsistentes los sistemas cuya matriz
aumentada se convierte mediante operaciones
elementales en:
54. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 19/77
Regla de Inconsistencia
El sistema es inconsistente si aparece un
pivote en la columna de términos constantes.
Ejemplo
Son inconsistentes los sistemas cuya matriz
aumentada se convierte mediante operaciones
elementales en:
1 0 0 0
0 1 2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
55. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 19/77
Regla de Inconsistencia
El sistema es inconsistente si aparece un
pivote en la columna de términos constantes.
Ejemplo
Son inconsistentes los sistemas cuya matriz
aumentada se convierte mediante operaciones
elementales en:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
56. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 19/77
Regla de Inconsistencia
El sistema es inconsistente si aparece un
pivote en la columna de términos constantes.
Ejemplo
Son inconsistentes los sistemas cuya matriz
aumentada se convierte mediante operaciones
elementales en:
1 1 1 2
0 0 0 3
#
57. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 20/77
Regla de Consistencia
Es consistente cualquier sistema en cuya
matriz escalonada no aparece ningún pivote
en la columna de términos constantes.
58. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 20/77
Regla de Consistencia
Es consistente cualquier sistema en cuya
matriz escalonada no aparece ningún pivote
en la columna de términos constantes.
Ejemplo
Son consistentes los sistemas cuya matriz
aumentada se convierte mediante operaciones
elementales en:
59. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 20/77
Regla de Consistencia
Es consistente cualquier sistema en cuya
matriz escalonada no aparece ningún pivote
en la columna de términos constantes.
Ejemplo
Son consistentes los sistemas cuya matriz
aumentada se convierte mediante operaciones
elementales en:
1 1 1 3
0 2 2 2
0 0 3 1
60. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 20/77
Regla de Consistencia
Es consistente cualquier sistema en cuya
matriz escalonada no aparece ningún pivote
en la columna de términos constantes.
Ejemplo
Son consistentes los sistemas cuya matriz
aumentada se convierte mediante operaciones
elementales en:
1 0 3 1
0 1 2 1
0 0 1 1
0 0 0 0
61. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 20/77
Regla de Consistencia
Es consistente cualquier sistema en cuya
matriz escalonada no aparece ningún pivote
en la columna de términos constantes.
Ejemplo
Son consistentes los sistemas cuya matriz
aumentada se convierte mediante operaciones
elementales en:
1 1 1 2
0 1 1 1
#
62. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 21/77
Regla de la Solución Única
Siendo un sistema consistente, el sistema
tiene solución única si en la matriz
escalonada la columna de cada variable hay
un pivote.
63. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 21/77
Regla de la Solución Única
Siendo un sistema consistente, el sistema
tiene solución única si en la matriz
escalonada la columna de cada variable hay
un pivote.
Ejemplo
Tienen solución única lo sistemas cuya matriz
aumentada se convierte mediante operaciones
elementales en:
64. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 21/77
Regla de la Solución Única
Siendo un sistema consistente, el sistema
tiene solución única si en la matriz
escalonada la columna de cada variable hay
un pivote.
Ejemplo
Tienen solución única lo sistemas cuya matriz
aumentada se convierte mediante operaciones
elementales en:
1 1 1 3
0 2 2 2
0 0 3 1
65. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 21/77
Regla de la Solución Única
Siendo un sistema consistente, el sistema
tiene solución única si en la matriz
escalonada la columna de cada variable hay
un pivote.
Ejemplo
Tienen solución única lo sistemas cuya matriz
aumentada se convierte mediante operaciones
elementales en:
1 0 3 1
0 1 2 1
0 0 1 1
0 0 0 0
66. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 22/77
Regla para Soluciones Infinitas
Si un sistema es consistente, el sistema
tiene soluciones infinitas si en la matriz
escalonada hay una columna de una variable
sin pivote.
67. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 22/77
Regla para Soluciones Infinitas
Si un sistema es consistente, el sistema
tiene soluciones infinitas si en la matriz
escalonada hay una columna de una variable
sin pivote.
Ejemplo
Tienen soluciones infinitas lo sistemas cuya matriz
aumentada se convierte mediante operaciones
elementales en:
68. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 22/77
Regla para Soluciones Infinitas
Si un sistema es consistente, el sistema
tiene soluciones infinitas si en la matriz
escalonada hay una columna de una variable
sin pivote.
Ejemplo
Tienen soluciones infinitas lo sistemas cuya matriz
aumentada se convierte mediante operaciones
elementales en:
1 1 1 3
0 2 2 2
#
69. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 22/77
Regla para Soluciones Infinitas
Si un sistema es consistente, el sistema
tiene soluciones infinitas si en la matriz
escalonada hay una columna de una variable
sin pivote.
Ejemplo
Tienen soluciones infinitas lo sistemas cuya matriz
aumentada se convierte mediante operaciones
elementales en:
1 1 1 3
0 2 2 2
0 0 0 0
70. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 22/77
Regla para Soluciones Infinitas
Si un sistema es consistente, el sistema
tiene soluciones infinitas si en la matriz
escalonada hay una columna de una variable
sin pivote.
Ejemplo
Tienen soluciones infinitas lo sistemas cuya matriz
aumentada se convierte mediante operaciones
elementales en:
1 0 3 1
0 1 2 1
0 0 0 0
0 0 0 0
71. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 23/77
Nota Importante
Observe que los renglones de ceros no dan en general
información sobre cómo es el conjunto solución.
1 1 2 0
0 1 3 0
0 0 0 1
0 0 0 0
,
1 6 2 0
0 1 1 0
0 0 0 1
1 0 1 4
0 1 2 −1
0 0 1 1
0 0 0 0
,
1 0 1 4
0 1 2 −1
0 0 1 1
1 0 1 4
0 1 2 −1
0 0 0 0
,
1 0 1 4
0 1 2 −1
72. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 24/77
Ejemplo
Se tiene un sistema de ecuaciones que tiene una matriz aumentada
8 × 5 y al reducirla tiene un total de 5 pivotes, entonces ..
A es inconsistente.
B hay soluciones infinitas.
C tiene solución única.
D si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, única.
E si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, infinitas.
73. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 24/77
Ejemplo
Se tiene un sistema de ecuaciones que tiene una matriz aumentada
8 × 5 y al reducirla tiene un total de 5 pivotes, entonces ..
A es inconsistente.
B hay soluciones infinitas.
C tiene solución única.
D si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, única.
E si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, infinitas.
Solución
Puesto que la matriz escalonada de tiene 5 pivotes y la matriz tiene 5 columnas, entonces toda columna tiene pivote. En
particular, la última columna tendrá pivote. Como la matriz es aumentada, entonces la columna correspondiente a las
constantes tendrá pivote. Por lo tanto, el sistema original será inconsistente. La opción que describe la situación es A
74. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 25/77
Ejemplo
Se tiene un sistema de ecuaciones que tiene una matriz aumentada
5 × 5 y al reducirla tiene un total de 4 pivotes, entonces ..
A es inconsistente.
B tiene solución única.
C hay soluciones infinitas.
D si en la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, única.
E si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, infinitas.
75. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 25/77
Ejemplo
Se tiene un sistema de ecuaciones que tiene una matriz aumentada
5 × 5 y al reducirla tiene un total de 4 pivotes, entonces ..
A es inconsistente.
B tiene solución única.
C hay soluciones infinitas.
D si en la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, única.
E si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no, infinitas.
Solución
Puesto que la matriz reducida es 5 × 5 y tiene 4 pivotes, la última columna tiene la posibilidad de tener pivote. En cuyo
caso, el sistema será inconsistente. También se tiene la posibilidad de que la última columna no tenga pivote. En cuyo
caso, el sistema será consistente y los cuatro pivotes estarán en las primeras columnas. Y por tanto, en este caso la
columna de cada variable tendrá pivote y por consiguiente cada variable será fija. Y por lo tanto, en este caso habrá
solución única. La respuesta que describe mejor la situación es la D
76. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 26/77
Ejemplo
Se tiene un sistema homogéneo de ecuaciones que tiene una
matriz aumentada 5 × 6 y al reducirla tiene un total de 5 pivotes,
entonces ..
A tiene solución única.
B si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no única.
C es inconsistente.
D hay soluciones infinitas.
E si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no infinitas.
77. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 26/77
Ejemplo
Se tiene un sistema homogéneo de ecuaciones que tiene una
matriz aumentada 5 × 6 y al reducirla tiene un total de 5 pivotes,
entonces ..
A tiene solución única.
B si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no única.
C es inconsistente.
D hay soluciones infinitas.
E si la última columna hay pivote, inconsistente. Si no infinitas.
Solución
Puesto que el sistema es homogéneo, en la columna de las constantes habrá sólo ceros. Por la naturaleza de las
operaciones elementales, en la matriz reducida sólo habrá ceros en tal columna. Por tanto, no habrá pivotes en la
columna de las constantes. Por tanto, el sistema será consistente y los 5 pivotes estarán en las primeras columnas y por
tanto, en la columna de cada variable habrá pivote. Por tanto, el sistema será consistente con solución única
78. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 27/77
Fórmula para todas las soluciones
Veamos ahora una estrategia para obtener la
fórmula de donde se obtienen todas las soluciones
a un sistemas de ecuaciones lineales cuando el
sistema tiene infinitas soluciones. Ilustraremos
esto mediante un par de ejemplos.
79. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 28/77
Ejemplo
Manejando el orden x, y, z, w escriba en forma
vectorial la solución general al sistema:
4 w + 2 x + 6 y + 2 z = 2
w + 3 x + 9 y + 4 z = −14
4 w + 3 x + 9 y + 3 z = −3
3 w + 4 x + 12 y + 4 z = −11
Reporte las coordenadas del vector que multiplica
a la variable libre en la solución resultante.
80. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 29/77
Solución (Y método general)
Paso 1: Apliquemos Gauss a la matriz aumentada
Formamos la matriz aumentada con el orden que sugiere el
problema (x, y, z, w):
2 6 2 4 2
3 9 4 1 −14
3 9 3 4 −3
4 12 4 3 −11
→
1 3 0 0 −3
0 0 1 0 −2
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
Al aplicar las reglas de análisis, observamos que el sistema es
consistente (al no haber pivote en la columna de las constantes) y
con soluciones infinitas (al ser y una variable libre, recuerde que las
variables fijas son aquellas en cuya columna hay pivote)
81. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 30/77
Paso 2: Convierta cada renglón no cero en ecuación
El renglón 1 de la reducida que:
x + 3 y = −3
El renglón 2 queda:
z = −2
y el renglón 3 queda:
w = 3
Paso 3: De cada ecuación, despeje la variable delantera.
x + 3 y = −3 → x = −3 − 3 y
z = −2 → z = −2
w = 3 → w = 3
82. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 31/77
Paso 4: Se complementan las ecuaciones introduciendo ecuaciones donde
cada variable libre es igual a sı́ misma.
x = −3 − 3 y
y = y
z = −2
w = 3
83. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 32/77
Paso 5: Se reescribe en forma vectorial las soluciones
x
y
z
w
=
−3 − 3 y
y
−2
3
84. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 33/77
Paso 6: Se separa el segundo miembro de acuerdo a las constantes y a las
variables libres
x
y
z
w
=
−3
0
−2
3
+ y
−3
1
0
0
Lo anterior es la fórmula general para todas las soluciones del
sistema original; el concepto de variable libre indica que se puede
tomar cualquier valor y que con él se produce una solución.
También, aunque esto no es tan evidente, que cualquier otra
solución puede obtenerse de esta fórmula para valores adecuados
de las variables libres
85. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 34/77
Ejemplo
Determine la solución general en forma vectorial
para el sistema:
6 w − 2 x + 3 y + 3 z = 3
5 w + 2 x + y − 2 z = 2
w − 4 x + 2 y + 5 z = 1
13 w − 8 x + 8 y + 11 z = 7
Solución
Sigamos la metodología descrita en el ejemplo
anterior:
86. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 35/77
Aplicamos Gauss a la matriz aumentada (orden: x, y, z, w):
−2 3 3 6 3
2 1 −2 5 2
−4 2 5 1 1
−8 8 11 13 7
→
1 0 −9/8 9/8 3/8
0 1 1/4 11/4 5/4
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Convertimos cada renglón diferentes de cero de la matriz reducida
a una ecuación:
x − 9/8 z + 9/8 w = 3/8
y + 1/4 z + 11/4 w = 5/4
87. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 36/77
Ahora, despejamos las variables fijas (x y y):
x = 3/8 + 9/8 z − 9/8 w
y = 5/4 − 1/4 z − 11/4 w
Complementamos las ecuaciones con ecuaciones donde cada
variable libre está igualada a sí misma:
x = 3/8 + 9/8 z − 9/8 w
y = 5/4 − 1/4 z − 11/4 w
z = z
w = w
88. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 37/77
Ahora, le damos a lo anterior la forma de una igualdad entre
vectores:
x
y
z
w
=
3/8 + 9/8 z − 9/8 w
5/4 − 1/4 z − 11/4w
z
w
Finalmente, separamos el lado izquierdo de acuerdo a las variables
libres:
x
y
z
w
=
3/8
5/4
0
0
+ z
9/8
−1/4
1
0
+ w
−9/8
−11/4
0
1
89. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 38/77
Algoritmo de Gauss-Jordan
El Algoritmo de Gauss-Jordan consta de los
siguientes pasos:
90. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 38/77
Algoritmo de Gauss-Jordan
El Algoritmo de Gauss-Jordan consta de los
siguientes pasos:
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no
cero.
91. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 38/77
Algoritmo de Gauss-Jordan
El Algoritmo de Gauss-Jordan consta de los
siguientes pasos:
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no
cero.
2. Si el primer elemento de la columna es cero,
intercámbielo por un renglón que no tenga cero.
Multiplicando apropiadamente el renglón,
hágalo 1. Este primer 1 será llamado 1 pivote.
92. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 38/77
Algoritmo de Gauss-Jordan
El Algoritmo de Gauss-Jordan consta de los
siguientes pasos:
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no
cero.
2. Si el primer elemento de la columna es cero,
intercámbielo por un renglón que no tenga cero.
Multiplicando apropiadamente el renglón,
hágalo 1. Este primer 1 será llamado 1 pivote.
3. Obtenga ceros arriba y abajo del 1 pivote
sumando múltiplos adecuados a los renglones
debajo de renglón pivote en la matriz completa.
93. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 38/77
Algoritmo de Gauss-Jordan
El Algoritmo de Gauss-Jordan consta de los
siguientes pasos:
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no
cero.
2. Si el primer elemento de la columna es cero,
intercámbielo por un renglón que no tenga cero.
Multiplicando apropiadamente el renglón,
hágalo 1. Este primer 1 será llamado 1 pivote.
3. Obtenga ceros arriba y abajo del 1 pivote
sumando múltiplos adecuados a los renglones
debajo de renglón pivote en la matriz completa.
4. Cubra la columna y el renglón de trabajo y
repita el proceso comenzando en el paso 1 con
la columna siguiente.
94. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 39/77
Es importante observar que en el método de
Gauss-Jordan:
■ En la idea general, la matriz se va escalonando y
reduciendo a la vez.
■ En el paso 2, si el elemento no es cero no se
realiza intercambio.
■ En el paso 3, los elementos que se hacen cero
no solo son los inferiores al pivote (Eliminación
Gaussiana) sino también los superiores.
95. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 40/77
Algoritmo de Gauss-Jordan: ejemplo
Ejemplo
Aplique el algoritmo de Gauss-Jordan a la matriz:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
Solución
96. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 40/77
Algoritmo de Gauss-Jordan: ejemplo
Ejemplo
Aplique el algoritmo de Gauss-Jordan a la matriz:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
Solución
Contrario al algoritmo de Gauss, el algoritmo de
Gauss-Jordan primero crea los 1’s pivote:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
97. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 40/77
Algoritmo de Gauss-Jordan: ejemplo
Ejemplo
Aplique el algoritmo de Gauss-Jordan a la matriz:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
Solución
Contrario al algoritmo de Gauss, el algoritmo de
Gauss-Jordan primero crea los 1’s pivote:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
R1←1/3 R1
−
−
−
−
−
−
→
98. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 40/77
Algoritmo de Gauss-Jordan: ejemplo
Ejemplo
Aplique el algoritmo de Gauss-Jordan a la matriz:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
Solución
Contrario al algoritmo de Gauss, el algoritmo de
Gauss-Jordan primero crea los 1’s pivote:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
R1←1/3 R1
−
−
−
−
−
−
→
1 2 −3 1
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
(0.7)
99. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 41/77
Posteriormente hace cero debajo de él:
1 2 −3 1
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
102. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 42/77
En este caso el elemento (2, 2) es cero y se deberá buscar un
elemento inferior que sea diferente de cero:
1 2 −3 1
0 0 −2 −2
0 1 −2 1
103. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 42/77
En este caso el elemento (2, 2) es cero y se deberá buscar un
elemento inferior que sea diferente de cero:
1 2 −3 1
0 0 −2 −2
0 1 −2 1
R2↔R3
−
−
−
−
→
104. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 42/77
En este caso el elemento (2, 2) es cero y se deberá buscar un
elemento inferior que sea diferente de cero:
1 2 −3 1
0 0 −2 −2
0 1 −2 1
R2↔R3
−
−
−
−
→
1 2 −3 1
0 1 −2 1
0 0 −2 −2
(0.9)
105. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 43/77
El elemento pivote (2, 2) ya es 1; el algoritmo procede ahora a
hacer ceros arriba y debajo de él:
1 2 −3 1
0 1 −2 1
0 0 −2 −2
106. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 43/77
El elemento pivote (2, 2) ya es 1; el algoritmo procede ahora a
hacer ceros arriba y debajo de él:
1 2 −3 1
0 1 −2 1
0 0 −2 −2
R1←R1 −2 R2
−
−
−
−
−
−
−
−
→
107. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 43/77
El elemento pivote (2, 2) ya es 1; el algoritmo procede ahora a
hacer ceros arriba y debajo de él:
1 2 −3 1
0 1 −2 1
0 0 −2 −2
R1←R1 −2 R2
−
−
−
−
−
−
−
−
→
1 0 1 −1
0 1 −2 1
0 0 −2 −2
(0.10)
108. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 44/77
El pivote es ahora el elemento (3, 3); primero se crea el 1
pivote:
1 0 1 −1
0 1 −2 1
0 0 −2 −2
109. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 44/77
El pivote es ahora el elemento (3, 3); primero se crea el 1
pivote:
1 0 1 −1
0 1 −2 1
0 0 −2 −2
R3←1/(−2) R3
−
−
−
−
−
−
−
−
→
110. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 44/77
El pivote es ahora el elemento (3, 3); primero se crea el 1
pivote:
1 0 1 −1
0 1 −2 1
0 0 −2 −2
R3←1/(−2) R3
−
−
−
−
−
−
−
−
→
1 0 1 −1
0 1 −2 1
0 0 1 1
(0.11)
111. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 45/77
Posteriormente, se hacen ceros arriba y debajo de él:
1 0 1 −1
0 1 −2 1
0 0 1 1
112. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 45/77
Posteriormente, se hacen ceros arriba y debajo de él:
1 0 1 −1
0 1 −2 1
0 0 1 1
R1←R1 −1 R3
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
R2←R2 −(−2) R3
114. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 46/77
Método Montante
El Algoritmo Montante es una estrategia
desarrollada en los 70s por el profesor Mario René
Montante en aquel entonces profesor de FIME de
la UANL, México. El método trabaja bajo el
supuesto principal que la matriz es sólo de
números enteros y que no se realizaría ninguna
división entre enteros salvo al final. Esto minimiza
el total de errores por redondeo. El método
procede de una forma semejante al de
Gauss-Jordan sin hacer uno los pivotes y forzando
a que los elementos que se harán cero sean
múltiplos del pivote.
115. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 47/77
El método consta de los siguientes pasos:
116. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 47/77
El método consta de los siguientes pasos:
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no
cero.
117. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 47/77
El método consta de los siguientes pasos:
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no
cero.
2. Si el primer elemento de la columna es cero,
intercámbielo por un renglón que no tenga cero.
Este se llamará elemento pivote x.
118. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 47/77
El método consta de los siguientes pasos:
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no
cero.
2. Si el primer elemento de la columna es cero,
intercámbielo por un renglón que no tenga cero.
Este se llamará elemento pivote x.
3. Obtenga ceros arriba y abajo del pivote x En
términos de operaciones elementales lo que se
realiza es que para cada renglón i diferente del
renglón pivote hacer
Ri ← xRi
Ri ← Ri − ai,mRm
119. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 47/77
El método consta de los siguientes pasos:
1. Determine la primer columna (a la izquierda) no
cero.
2. Si el primer elemento de la columna es cero,
intercámbielo por un renglón que no tenga cero.
Este se llamará elemento pivote x.
3. Obtenga ceros arriba y abajo del pivote x En
términos de operaciones elementales lo que se
realiza es que para cada renglón i diferente del
renglón pivote hacer
Ri ← xRi
Ri ← Ri − ai,mRm
4. Repita el proceso comenzando en el paso 1
para el renglón siguiente.
120. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 48/77
El principal comentario es que en el paso 3 la
instrucción Ri ← xRi tiene la intención de hacer
que el elemento a hacer 0 se haga un múltiplo del
elemento pivote de forma tal que no se requiere
ninguna división en la instrucción de eliminación.
121. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 49/77
Método de Montante: ejemplo
Ejemplo
Aplique el algoritmo de Montante a la matriz:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
Solución
122. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 49/77
Método de Montante: ejemplo
Ejemplo
Aplique el algoritmo de Montante a la matriz:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
Solución
Debemos multiplicar el renglón 2 y 3 por el
elemento (1, 1):
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
123. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 49/77
Método de Montante: ejemplo
Ejemplo
Aplique el algoritmo de Montante a la matriz:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
Solución
Debemos multiplicar el renglón 2 y 3 por el
elemento (1, 1):
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
R2←3 R2
−
−
−
−
−
→
R3←3 R3
124. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 49/77
Método de Montante: ejemplo
Ejemplo
Aplique el algoritmo de Montante a la matriz:
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
Solución
Debemos multiplicar el renglón 2 y 3 por el
elemento (1, 1):
3 6 −9 3
2 4 −8 0
−2 −3 4 −1
R2←3 R2
−
−
−
−
−
→
R3←3 R3
3 6 −9 3
6 12 −24 0
−6 −9 12 −3
(0.13)
125. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 50/77
Ahora la cancelación procede utilizando el renglón 1 con los
elementos (2, 1) y (3, 1) anteriores a la multiplicación:
3 6 −9 3
6 12 −24 0
−6 −9 12 −3
126. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 50/77
Ahora la cancelación procede utilizando el renglón 1 con los
elementos (2, 1) y (3, 1) anteriores a la multiplicación:
3 6 −9 3
6 12 −24 0
−6 −9 12 −3
R2←R2 −(2) R1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
R3←R3 −(−2) R1
127. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 50/77
Ahora la cancelación procede utilizando el renglón 1 con los
elementos (2, 1) y (3, 1) anteriores a la multiplicación:
3 6 −9 3
6 12 −24 0
−6 −9 12 −3
R2←R2 −(2) R1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
R3←R3 −(−2) R1
3 6 −9 3
0 0 −6 −6
0 3 −6 3
(0.14)
128. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 51/77
Ahora deberemos intercambiar los renglones 2 y 3 para tener
un pivote en (2, 2):
3 6 −9 3
0 0 −6 −6
0 3 −6 3
129. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 51/77
Ahora deberemos intercambiar los renglones 2 y 3 para tener
un pivote en (2, 2):
3 6 −9 3
0 0 −6 −6
0 3 −6 3
R2↔R3
−
−
−
−
→
130. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 51/77
Ahora deberemos intercambiar los renglones 2 y 3 para tener
un pivote en (2, 2):
3 6 −9 3
0 0 −6 −6
0 3 −6 3
R2↔R3
−
−
−
−
→
3 6 −9 3
0 3 −6 3
0 0 −6 −6
(0.15)
131. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 52/77
Para eliminar el elemento arriba del pivote (2, 2) el algoritmo
procede multiplicando el renglón 1 por el pivote (2, 2):
3 6 −9 3
0 3 −6 3
0 0 −6 −6
132. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 52/77
Para eliminar el elemento arriba del pivote (2, 2) el algoritmo
procede multiplicando el renglón 1 por el pivote (2, 2):
3 6 −9 3
0 3 −6 3
0 0 −6 −6
R1←3 R1
−
−
−
−
−
→
133. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 52/77
Para eliminar el elemento arriba del pivote (2, 2) el algoritmo
procede multiplicando el renglón 1 por el pivote (2, 2):
3 6 −9 3
0 3 −6 3
0 0 −6 −6
R1←3 R1
−
−
−
−
−
→
9 18 −27 9
0 3 −6 3
0 0 −6 −6
(0.16)
134. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 53/77
La cancelación arriba del pivote (2, 2) procede restando al
renglón 1 el renglón pivote por el contenido previo del
elemento (1, 2):
9 18 −27 9
0 3 −6 3
0 0 −6 −6
135. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 53/77
La cancelación arriba del pivote (2, 2) procede restando al
renglón 1 el renglón pivote por el contenido previo del
elemento (1, 2):
9 18 −27 9
0 3 −6 3
0 0 −6 −6
R1←R1 −(6) R2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
136. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 53/77
La cancelación arriba del pivote (2, 2) procede restando al
renglón 1 el renglón pivote por el contenido previo del
elemento (1, 2):
9 18 −27 9
0 3 −6 3
0 0 −6 −6
R1←R1 −(6) R2
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
9 0 9 −9
0 3 −6 3
0 0 −6 −6
(0.17)
137. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 54/77
Ahora el pivote es el elemento (3, 3) y debemos hacer cero
arriba de él. Para ello el algoritmo procede multiplicando los
renglónes donde se hará la cancelación por el elemento
pivote:
9 0 9 −9
0 3 −6 3
0 0 −6 −6
138. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 54/77
Ahora el pivote es el elemento (3, 3) y debemos hacer cero
arriba de él. Para ello el algoritmo procede multiplicando los
renglónes donde se hará la cancelación por el elemento
pivote:
9 0 9 −9
0 3 −6 3
0 0 −6 −6
R1←−6 R1
−
−
−
−
−
−
→
R2←−6 R2
139. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 54/77
Ahora el pivote es el elemento (3, 3) y debemos hacer cero
arriba de él. Para ello el algoritmo procede multiplicando los
renglónes donde se hará la cancelación por el elemento
pivote:
9 0 9 −9
0 3 −6 3
0 0 −6 −6
R1←−6 R1
−
−
−
−
−
−
→
R2←−6 R2
−54 0 −54 54
0 −18 36 −18
0 0 −6 −6
(0.18)
140. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 55/77
La cancelación procede restando los múltiplos del renglón 3
usando los elementos anteriores a la multiplicación:
−54 0 −54 54
0 −18 36 −18
0 0 −6 −6
141. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 55/77
La cancelación procede restando los múltiplos del renglón 3
usando los elementos anteriores a la multiplicación:
−54 0 −54 54
0 −18 36 −18
0 0 −6 −6
R1←R1 −(9) R3
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
R2←R2 −(−6) R3
142. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 55/77
La cancelación procede restando los múltiplos del renglón 3
usando los elementos anteriores a la multiplicación:
−54 0 −54 54
0 −18 36 −18
0 0 −6 −6
R1←R1 −(9) R3
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
→
R2←R2 −(−6) R3
−54 0 0 108
0 −18 0 −54
0 0 −6 −6
(0.19)
143. Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 56/77
Las únicas divisiones proceden al final:
−54 0 0 108
0 −18 0 −54
0 0 −6 −6
146. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 57/77
Diferencias operativas de los métodos
Ejemplo
Para la matriz:
23 13 1
0 11 −3
indique cuál sería el siguiente paso de acuerdo a:
a) Eliminación Gaussiana
b) Método de Gauss-Jordan
c) Método de Montante
entre las opciones:
1) R1 ← 11 R1
2) R1 ← 1
23
R1
3) R1 ← R1 − 13
11
R2
4) R2 ← 1
11
R2
147. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 57/77
Diferencias operativas de los métodos
Ejemplo
Para la matriz:
23 13 1
0 11 −3
indique cuál sería el siguiente paso de acuerdo a:
a) Eliminación Gaussiana
b) Método de Gauss-Jordan
c) Método de Montante
entre las opciones:
1) R1 ← 11 R1
2) R1 ← 1
23
R1
3) R1 ← R1 − 13
11
R2
4) R2 ← 1
11
R2
Respuesta:
Eliminación Gaussiana → 4, Gauss-Jordan → 2, Montante → 1
148. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 58/77
Complejidad de un algoritmo
La palabra FLOP (FLoating point OPeration) refiere
a una operación entre números reales y abarca
suma, resta, multiplicación, o división.
Actualmente, en computación la palabra FLOPS es
utilizada como acrónimo de FLoating point
Operations Per Second, pero en el área de análisis
de algoritmos y para nosotros tiene el significado
que ya explicamos y FLOPs será el plural de
FLOP.
El análisis que realizaremos de la complejidad de
los algoritmos vistos será contando el número total
de FLOPs que se invierte cuando se aplica a un
sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas
general.
149. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 59/77
Complejidad del algoritmo de Gauss
Es importante notar que el proceso de Gauss
avanza dejando la matriz escalonada hasta la
columna de trabajo:
a1,1 a1,2 · · · a1,m−1 a1,m · · ·
0 a2,2 · · · a2,m−1 a2,m · · ·
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · am−1,m−1 am−1,m · · ·
0 0 · · · 0 am,m · · ·
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · 0 an,m · · ·
150. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 60/77
1 Ciclo del paso 1 al 4
En el paso 3 hay que hacer cero debajo del
elemento (m, m), para cada uno de los m − n
renglones inferiores Ri; para ello habrá que
■ calcular el factor f = ai,m/am,m
■ realizar la operación:
Ri ← Ri − f Rm.
2(n − m + 1) + 1 = 2n − 2m + 3.
entonces para realizar un ciclo desde el paso 1
hasta el paso 4 deben hacerse
(n − m) (2 n − 2m + 3) FLOPS.
n−1
X
m=1
(n − m) (2 n − 2 m + 3) =
2
3
n3
+
1
2
n2
−
7
6
n.
152. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 62/77
2 Ciclo del paso 5.
Las operaciones implicadas en el paso 5 serán
■ Rm ← 1
am,m
Rm
■ Rj ← Rj − aj,mRm
2 (m − 1) + 1 = 2 m − 1
153. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 62/77
2 Ciclo del paso 5.
Las operaciones implicadas en el paso 5 serán
■ Rm ← 1
am,m
Rm
■ Rj ← Rj − aj,mRm
2 (m − 1) + 1 = 2 m − 1
Por consiguiente el total de FLOPs en el paso 5
será:
1
X
m=n
(2 m − 1) = n2
154. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 62/77
2 Ciclo del paso 5.
Las operaciones implicadas en el paso 5 serán
■ Rm ← 1
am,m
Rm
■ Rj ← Rj − aj,mRm
2 (m − 1) + 1 = 2 m − 1
Por consiguiente el total de FLOPs en el paso 5
será:
1
X
m=n
(2 m − 1) = n2
2
3
n3
+
3
2
n2
−
7
6
n
156. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 64/77
1. Paso 2.
(n + 1) − (m + 1) + 1 = n − m + 1
divisiones.
157. Introducción
Objetivos
Matriz Escalonada
Pivote
Gaussiana
Ej Gauss
Análisis
- Inconsistencia
- Consistencia
- Única
- Infinitas
Todas las
soluciones
Gauss-Jordan
Ej Gauss-Jordan
Montante
Ej Montante
Diferencias
Complejidad
- Gauss
- Gauss-Jordan
- Montante
Cuál es mejor?
Algoritmos y
Computadoras
Y los
determinantes en
Montante?
Y yo?
Eliminación gaussiana y otros algoritmos Álgebra Lineal - p. 65/77
2. Paso 3.
Ri ← Ri − ai,mRm.