1. Relaciones Binarias:
Llamamos relación binaria a la relación R existente entre dos elementos a y b, de dos
conjuntos A y B respectivamente. Indicando que el elemento a está relacionado con b.
Esta relación se puede denotar de diversas formas:
1- Como pares ordenados (a, b).
2- Indicando que aRb.
3- Como una mezcla entra los dos anteriores R(a,b).
Al conjunto de todos los elementos relacionados mediante la relación R en un conjunto
lo denotamos como R(M)
Está relación dependiendo del conjunto puede referirse a cualquier concepto referido
con el conjunto.
Ejemplo: Sea el conjunto A={el conjunto de los números naturales}, una relación
binaria del conjunto de A sobre sí mismo puede ser, R= ser múltiplo de.
De tal forma que, por ejemplo 4 está relacionado con 2 (es decir, 4 es un múltiplo de 2),
por tanto escribimos 4R2 o (4,2).
En el caso de no estar relacionados escribiremos a no está relacionado con b tachando la
R. Un ejemplo de dos elementos que no están relacionados con esta relación son 3 y 5.
Observación: El conjunto R(AxB) de todos los elementos que están relacionados es un
subconjunto del producto cartesiano AxB.
Formas de representación:
Para representar las relaciones binarias podemos utilizar dos tipos de gráficos:
a) El diagrama cartesiano: donde representaremos los ejes cartesianos, y en cada eje los
elementos de cada conjunto. Representaremos las relaciones por medio de puntos ( si el
eje es similar al eje de coordenadas) o por medio de cruces si lo representamos mediante
cuadrículas.
b) Diagrama sagital o flechas (mediante diagramas de Venn): representaremos los
elementos del conjunto dentro del círculo y representaremos las relaciones mediante
flechas.
Ejemplo: Representar la siguiente relación:
R(M)={(a,b), (b,c), (d,b)}
a) Lo representaremos en primer lugar utilizando el diagrama cartesiano, en este caso
utilizando la cuadrícula:

2. b) Utilizando el diagrama sagital, (la punta de la flecha indica la dirección de la
relación):
Propiedades de las relaciones binarias:
Las relaciones binarias pueden cumplir las siguientes propiedades (no tienen porque
cumplir todas, pueden cumplir sólo algunas e incluso ninguna). Dado el conjunto M, y
una relación R sobre el conjunto MxM
1. Propiedad reflexiva: Esta propiedad se da cuando todo elemento del conjunto está
relacionado consigo mismo: para todo elemento de M x, entonces → xRx.
2. Propiedad simétrica: Dados dos elementos cualesquiera del conjunto M se cumple
que si el primer elemento está relacionado con el segundo, entonces se cumple también
la relación al contrario, es decir, el segundo está relacionado con el primero: si xRy →
yRx.
3. Propiedad antisimétrica: Dados dos elementos del conjunto si el primer elemento está
relacionado con el segundo, entonces, el segundo no está relacionado con el primero: si
xRy → y noR x.
4. Propiedad transitiva: Dados tres elementos del conjunto, si el primer elemento está
relacionado con el segundo, y el segundo relacionado con el tercero, entonces el
primero también está relacionado con el tercero: si xRy e yRz → xRz.
5. Propiedad conexa: Dados dos elementos cualesquiera del conjunto estos están
relacionados. O bien xRy o bien yRx.

3. Una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de
dos conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares
:1
ordenados
Las proposiciones siguientes son correctas para representar una relación binaria
:
También puede expresarse:
Ejemplo:
Dado el conjunto
de los números reales, definimos la relación binaria P (x,y) de
los puntos del plano, según la función cuadrática
:
Partiendo del conjunto A de los automóviles de una localidad y P de las personas,
podemos definir la relación binaria C Conduce, formada por cada automóvil a, y quien lo
conduce p:
Clasificación
La importancia en matemáticas de las relaciones binarias, se debe a que una gran parte
de las asociaciones entre elementos de conjuntos, tanto numéricos como no numéricos,
se hace de dos en dos elementos, tanto si son elementos de un único conjunto o de dos
conjuntos distintos, en el esquema se puede ver algunas estructuras algebraicas o
subtipos de relación binaria. Emplearemos este esquema para ver estos casos.
En primer lugar diferenciamos las relaciones binarias homogéneas de las heterogéneas,
en las primeras la relación binaria se establece entre los elementos de un único conjunto,
por lo que en realidad lo que determina es su estructura interna, mientras que en las
segundas se establecen relaciones entre dos conjuntos distintos, lo que da lugar a
operaciones o funciones matemáticas de cálculo, una relación homogénea puede ser
tratada como heterogénea con los mismos subtipos, pero no al contrario.

4. Relación homogénea
Una relación binaria entre dos conjuntos se llama homogénea si estos dos conjuntos
son iguales:
Dado que A y B son el mismo conjunto, se suele representar:
O bien:
Relación heterogénea
Una relación binaria entre dos conjuntos A y B, se llama heterogénea si A es distinto de
B:2
Relación binaria, subconjunto del producto cartesiano:
Visto del producto cartesiano de A por B, podemos definir una relación binaria, por
ejemplo: mayor que, que se puede expresar:
que por extensión resulta:
Donde los pares ordenados que definen la relación binaria son un subconjunto del
producto cartesiano de los conjuntos.3
Esto último permite estimar el número de relaciones binarias entre dos conjuntos si:
enotonces el número de relaciones binarias posibles entre los conjuntos A y B viene
dado por:
Donde si alguno de los dos conjuntos es infinito el número anterior debe entenderse
como un número transfinito.

5. Relación reflexiva
La propiedad reflexiva de una relación binaria es el inicio para los casos más
elaborados, téngase en cuenta que las relaciones binarias no reflexivas y las irreflexivas
son casos muy particulares muy poco estudiados, por su poca importancia en los casos
más generales.
Las relaciones reflexivas son las definidas así:
Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos
Se dice que esta relación binaria es relación reflexiva, si cumple:
1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A esta relacionado
consigo mismo.
Relación no reflexiva
Los casos más estudiados de relaciones binarias homogéneas son las que cumplen la
propiedad reflexiva, una relación que no cumple la propiedad reflexiva es no reflexiva,
un caso particular de relación no reflexiva son las relaciones irreflexivas, en las que
ningún elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo. Puede verse que si en
una relación binaria algunos elementos están relacionados consigo mismo y otros no, la
relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva
Ejemplo:
Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos
Se dice que esta relación binaria es relación irreflexiva, si cumple:
1.- Relación irreflexiva: la relación R es irreflexiva si todo elemento a de A no esta
relacionado consigo mismo.
Relación de dependencia:
Una relación binaria es una relación de dependencia si es reflexiva y simétrica:
Dado un conjunto A, y una relación binaria R entre sus elementos
Se dice que esta relación binaria es relación de dependencia, si cumple:
1.- Relación reflexiva: la relación R es reflexiva, si todo elemento a de A esta

6. relacionado consigo mismo.
2.- Relación simétrica: la relación R es simétrica, si un elemento a esta
relacionado con otro b, entonces elb también esta relacionado con el a.