Trabajo de Relaciones y Grafos

1. RELACIONES Y GRAFOS
Nombre: José Alba
C.I 26.156.722
Ingeniería en sistemas
Republica Bolivariana de Venezuela
Poder Popular Para La Educación Superior
Politécnico Santiago Mariño
Escuela De Ingeniería en Sistemas

2. RELACIONES Y GRAFOS
 En matemáticas y ciencias de la computación, un grafo (del griego grafos: dibujo, imagen) o gráfica es el
principal objeto de estudio de la teoría de grafos. Informalmente, un grafo es un conjunto de objetos llamados
vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre
elementos de un conjunto.
 Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por
líneas (aristas).
 Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que
interactúan unas con otras. Por ejemplo, una red de computadoras puede representarse y estudiarse mediante un
grafo, en el cual los vértices representan terminales y las aristas representan conexiones (las cuales, a su vez,
pueden ser cables o conexiones inalámbricas).

3. RELACIONES Y GRAFOS

4. PRODUCTO CARTESIANO
 En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una
operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los
pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento
del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento
pertenezca al segundo conjunto.
 El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya
formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.

5. PRODUCTO CARTESIANO

6. RELACIÓN BINARIA
 En matemáticas, una relación binaria1 es una relación matemática
R definida entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación
R de A en B se puede representar mediante pares ordenados (a,b)
para los cuales se cumple una propiedad P(a, b) de forma que (a, b) e
A x B se anota

7. RELACIÓN BINARIA

8. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE
RELACIONES
 Se dice que (a,b) satisface una relación si al sustituir x=a y y=b en
ésta, el enunciado resultante es verdadero. Si el par ordenado satisface
la relación se dice que el punto correspondiente a las coordenadas
(a,b) en el sistema de coordenadas cartesianas pertenece a la gráfica de
la relación.

9. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE
RELACIONES

10. DIAGRAMA DE FLECHAS
 El Diagrama de Flechas indica el orden en que deben ser ejecutadas las
actividades de un proyecto, permitiendo planificar y controlar su desarrollo.
 Para este fin, identifica las actividades que lo componen y determina su ruta
crítica, mediante una representación de red.
 El diagrama de flechas también es conocido bajo otras denominaciones, como:
actividad diagrama de red, diagrama de red, red de actividades, diagrama de nodo, o
método de la ruta crítica

11. DIAGRAMA DE FLECHAS

12. PROPIEDADES DE LAS
RELACIONES
 Reflexiva Se dice que una relación R definida en A es “reflexiva” si todos los
elementos de A están relacionados consigo mismo; es decir, si todos los elementos de A
forman parejas ordenadas en R con componentes iguales
 irreflexiva Los casos más estudiados de relaciones binarias homogéneas son las que
cumplen la propiedad reflexiva, una relación que no cumple la propiedad reflexiva es no
reflexiva, un caso particular de relación no reflexiva son las irreflexivas en las que ningún
elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo, puede verse que si en una
relación binaria algunos elementos están relacionados consigo mismo y otros no la
relación no es reflexiva y tampoco es irreflexiva.

13.  Simétrica Una relación R definida en A es “simétrica” cuando
todas las parejas de la relación tienen su recíproco; es decir, para
elementos x, y de A se cumple que si xRy, entonces yRx.
 Antisimétrica una relacion R definida en A es “antisimetrica”
cuando ninguna pareja de la relacion tienen su reciproco; es decir,
para elementos x, y de A se cumple que si (x,y)eR, entonces (y,x)e/R;
pero, si (x,y)eR y (y,x)eR, entonces x=y
PROPIEDADES DE LAS
RELACIONES

14.  asimétrica Una relación R sobre un conjunto A es asimétrica si
para todo x ∈ A, y ∈ A, si (x,y) ∈ R entonces (y,x) ∉ R. Dicho de otra
forma: ∀ x,y ∈ A se cumple que si (x,y) ∈ R entonces (y,x) ∉ R
 . transitivaUna relación R sobre un conjunto A es transitiva si para
todo x ∈ A, y∈ A, z∈ A si (x,y) ∈ R y (y,z) ∈ R entonces (x,z) ∈ R. ∀
x,y,z ∈ A se cumple que si (x,y), (y,z) ∈ R entonces (x,z) ∈ R.
PROPIEDADES DE LAS
RELACIONES

15. RELACIONES DE
EQUIVALENCIA
 Cerraduras En matemáticas y en computación las relaciones de
equivalencia juegan un papel muy importante, en la mayoría de las
estructuras matemáticas que manejamos la igualdad es en relidad una
equivalencia, como por ejemplo en fracciones. En muchas ocasiones
una relación no cumple alguna de las propiedades de equivalencia,
pero hay relaciones que la incluyen y que sí cumplen la propiedad. De
todas las relaciones la menor posible se llama su cerradura.

16. CLASES DE EQUIVALENCIA Y
PARTICIONES
 Una relación de equivalencia es aquella que tiene las tres propiedades:
reflexiva, simétrica y transitiva. Una relación de equivalencia tiene clases
de equivalencia y éstas forman particiones. Una partición es un subgrafo
completo. Las clases de equivalencia son conjuntos que contienen a todos
los elementos y que están relacionados con A. Una partición es un
conjunto de clases de equivalencia, deberán estar contenidos todos los
elementos del conjunto A y la intersección entre las clases de equivalencia
deberá ser vacía.

17. CERRADURAS
 Cerradura reflexiva: En este caso se agrega a la relación R la relación identidad para
obtener una relación que sea reflexiva. La relación identidad es una matriz cuadrada cuyos
elementos de la diagonal son únicamente unos y los elementos restantes son ceros.
 Cerradura simétrica: A la relación R se le agrega la relación inversa R-1 para que la
relación resultante tenga la propiedad de simetría.
 Cerradura transitiva: A la relación R se agrega la matriz que resulta de multiplicar la
relación por ella misma.

18. FUNCIONES
 En matemáticas, una función f: X->Y es inyectiva si a elementos
distintos del conjunto X (dominio) es corresponden elementos
distintos en el conjunto Y(Codominio) de f Es decir, cada elemento
del conjunto Y tiene a lo sumo una preimagen en X, o, lo que es lo
mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que
tengan la misma imagen

19. INYECTIVA

20. SOBREYECTIVA
 En matemáticas, una función f: X->Y es sobreyectiva1, epiyectiva,
suprayectiva, suryectiva, exhaustiva o subyectiva si está aplicada sobre
todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de Y es la imagen
de como mínimo un elemento de X Formalmente

21. SOBREYECTIVA

22. BIYECTIVA
 En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo
inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto
de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada
elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del
conjunto de salida.

23. BIYECTIVA