Relaciones binarias y pares ordenados

Relaciones Binarias
Alvaro M. Naupay Gusukuma
Escuela Talentos
23 de Julio 2014
Alvaro M. Naupay Gusukuma Relaciones Binarias

Par Ordenado
Concepto matem´atico que consta de dos elementos denotado
por (a; b)

Par Ordenado
por (a; b) que se define formalmente como:
Definición
(a; b) = {{a}; {a; b}}

Par Ordenado
Deﬁnici´on
(a; b) = {{a}; {a; b}}
donde a se llama primera componente y b segunda compo-
nente

Par Ordenado
Deﬁnici´on
(a; b) = {{a}; {a; b}}
donde a se llama primera componente y b segunda compo-
nente
Ejemplo:
(2;
√
3) = {{2}; {2;
√
3}}

Igualdad de pares ordenados
Teorema
Se cumple (a; b) = (c; d) si y solo si a = c y b = d

Igualdad de pares ordenados
Teorema
Se cumple (a; b) = (c; d) si y solo si a = c y b = d
Ejemplo: Si se cumple que (2x + 3, x + y) = (5; 7) entonces
hallar el valor de x e y.

Producto Cartesiano
Dados los conjuntos no vac´ıos A y B el producto cartesiano
de ambos se denota por A × B y se lee producto cartesiano
de A por B.

Producto Cartesiano
de A por B.
Definición formal
Definición
A × B = {(a; b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}

Producto Cartesiano
de A por B.
Deﬁnici´on
A × B = {(a; b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}
Ejemplo: Sean A = {1; 2} y B = {3; 4; 5}

Producto Cartesiano
de A por B.
Deﬁnici´on
A × B = {(a; b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}
Ejemplo: Sean A = {1; 2} y B = {3; 4; 5} entonces

Producto Cartesiano
A × B = {(1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 4), (2; 5)}
B × A = {(3; 1), (3; 2), (4; 1), (4; 2), (5; 1), (5; 2)}

Producto Cartesiano
A × B = {(1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 4), (2; 5)}
B × A = {(3; 1), (3; 2), (4; 1), (4; 2), (5; 1), (5; 2)}
Representación gráfica

Producto Cartesiano
A × B = {(1; 3), (1; 4), (1; 5), (2; 3), (2; 4), (2; 5)}
B × A = {(3; 1), (3; 2), (4; 1), (4; 2), (5; 1), (5; 2)}
Representación gráfica
1
2
3
4
5
1
2
3
1 2 3 4 51 2
Figura : Los pares ordenados son representados por puntos.

Ejemplos
1.- Si A = {1; 2}, escriba A × A (que también se puede
escribir como A2
).
2.- Si A = {x ∈ R | 1 ≤ x < 3} y B = {2}, escriba A × B y
su representación gráfica:

Ejemplos
escribir como A2
).
su representación gráfica: A × B = {(x, 2) | x ∈ A}

Ejemplos
escribir como A2
).
3.- Si A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} y B = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 5},
escriba A × B y de su representación gráfica:

Ejemplos
escribir como A2
).
3.- Si A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} y B = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 5},
A × B = {(x, y) ∈ R2
| 1 ≤ x ≤ 3 y 1 ≤ y ≤ 5},

Ejemplos
escribir como A2
).
3.- Si A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} y B = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 5},
A × B = {(x, y) ∈ R2
| 1 ≤ x ≤ 3 y 1 ≤ y ≤ 5},
compare con B × A.

Observaciones
1.- Si A = B entonces A × B = B × A, es decir, el producto
cartesiano no cumple la propiedad conmutativa.

Observaciones
2.- Si A y B son conjuntos ﬁnitos con m y n elementos
respectivamente, entonces A × B es un conjunto ﬁnito
con m × n elementos.

Observaciones
2.- Si A y B son conjuntos finitos con m y n elementos
respectivamente, entonces A × B es un conjunto finito
con m × n elementos.
3.- Si A o B fuera infinito y ninguno de ellos fuera vac´ıo
entonces A × B es un conjunto infinito.

Ejercicios
1.- Dados los conjuntos
A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3}
B = {x ∈ R | −2 ≤ x ≤ 2}
C = {x ∈ R | −4 < x ≤ 1}
representa gr´aﬁcamente los siguientes productos:
a) A × B b) A × C c) B × C
d) C × B e) A2
e) C2

Ejercicios
2.- Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y
B = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 4} representar gr´aﬁcamente los
conjuntos:
a) A × B.
b) B × A.
c) (A × B) ∪ (B × A).

Ejercicios
3.- Sean los conjuntos A, B y C tales que A ⊂ B ⊂ C.
Establecer las relaciones de inclusi´on entre los
conjuntos: A × A, A × B, A × C, B × A, B × B, B × C,
C × A, C × B y C × C.

Ejercicios
4.- Sabiendo que {(1; 2), (4; 2)} ⊂ A2
y n(A2
) = 9,
represente todos los elementos del conjunto A2
.

Ejercicios
4.- Sabiendo que {(1; 2), (4; 2)} ⊂ A2
y n(A2
) = 9,
.
Solución: El número de elemento de A2
es igual al cuadrado
del número de elementos de A,

Ejercicios
4.- Sabiendo que {(1; 2), (4; 2)} ⊂ A2
y n(A2
) = 9,
.
del n´umero de elementos de A, por lo tanto
n(A2
) = [n(A)]2
⇒ [n(A)]2
= 9 ⇒ n(A) = 3.

Ejercicios
4.- Sabiendo que {(1; 2), (4; 2)} ⊂ A2
y n(A2
) = 9,
.
n(A2
) = [n(A)]2
⇒ [n(A)]2
= 9 ⇒ n(A) = 3.
Si A es un conjunto de 3 elementos,

Ejercicios
4.- Sabiendo que {(1; 2), (4; 2)} ⊂ A2
y n(A2
) = 9,
.
n(A2
) = [n(A)]2
⇒ [n(A)]2
= 9 ⇒ n(A) = 3.
Si A es un conjunto de 3 elementos, (1; 2) ∈ A2
y (4; 2) ∈ A2
,

Ejercicios
4.- Sabiendo que {(1; 2), (4; 2)} ⊂ A2
y n(A2
) = 9,
.
n(A2
) = [n(A)]2
⇒ [n(A)]2
= 9 ⇒ n(A) = 3.
y (4; 2) ∈ A2
,
concluimos que A = {1; 2; 4}.

Ejercicios
4.- Sabiendo que {(1; 2), (4; 2)} ⊂ A2
y n(A2
) = 9,
.
n(A2
) = [n(A)]2
⇒ [n(A)]2
= 9 ⇒ n(A) = 3.
y (4; 2) ∈ A2
,
concluimos que A = {1; 2; 4}. Con lo que ya podemos escribir
A × A.

Ejercicios
5.- Si {(1; −2), (3; 0)} ⊂ A2
y n(A2
) = 16 entonces
represente A2
con todos sus elementos.

Ejercicios
5.- Si {(1; −2), (3; 0)} ⊂ A2
y n(A2
) = 16 entonces
represente A2
6.- Considere A ⊂ B, {(0; 5), (−1; 2), (2; −1)} ⊂ A × B y
n(A × B) = 12, represente A × B con todos sus
elementos.

Ejercicios
5.- Si {(1; −2), (3; 0)} ⊂ A2
y n(A2
) = 16 entonces
represente A2
6.- Considere A ⊂ B, {(0; 5), (−1; 2), (2; −1)} ⊂ A × B y
n(A × B) = 12, represente A × B con todos sus
elementos.
7.- Si tenemos dos dados uno rojo y otro blanco y los
tiramos sobre una mesa. Hallar las diferentes maneras
en que ambos caen. Escribir su respuesta como
producto cartesiano.

Relación binaria
Definición
Sean A y B conjuntos diferentes del vac´ıo, llamamos
relación (binaria) de A en B y la denotamos por R, a todo
subconjunto del producto cartesiano A × B.

Relación binaria
Definición
Sean A y B conjuntos diferentes del vac´ıo, llamamos
relación (binaria) de A en B y la denotamos por R, a todo
subconjunto del producto cartesiano A × B. Es decir
R ⊂ A × B
Si los conjuntos fueran iguales, todo subconjunto de A × A
es llamado una relación en A.
R es una relación en A ⇔ R ⊂ A × A

Relación binaria
Utilizaremos la siguiente nomenclatura:
A = conjunto de partida de la relación R
B = conjunto de llegada o contradominio de la relación R.

Relación binaria
Utilizaremos la siguiente nomenclatura:
A = conjunto de partida de la relación R
B = conjunto de llegada o contradominio de la relación R.
Cuando el par (x, y) pertenece a la relación R, escribiremos
xRy (se lee x relacionado con y)
(x; y) ∈ R ⇔ xRy

Relación binaria
Si el par (x; y) no pertenece a la relación R escribimos x Ry
(se lee x no está relacionado con y)
(x; y) /∈ R ⇔ x Ry

Ejemplos
Ejemplo: Si A = {1; 2; 3; 4; 5} y B = {1; 2; 3; 4}, ¿cu´ales son
los elementos de la relaci´on R = {(x; y) | x < y} de A en
B?

Ejemplos
B?
R = {(1; 2), (1, 3); (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 4)}

Ejemplos
B?
R = {(1; 2), (1, 3); (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 4)}
Ejemplo: Si A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ¿cuáles
son los elementos de la relación binaria R de A en B? definida
as´ı:
xRy ⇔ y = x + 2

Ejemplos
B?
R = {(1; 2), (1, 3); (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 4)}
as´ı:
xRy ⇔ y = x + 2
dar su representación gráfica

Ejemplos
B?
R = {(1; 2), (1, 3); (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 4)}
as´ı:
xRy ⇔ y = x + 2
Ejemplo: Si A = {−1, 0, 1, 2} ¿cu´ales son los elementos de la
relaci´on R = {(x, y) ∈ A2
| x2
= y2
}?

Ejemplos
B?
R = {(1; 2), (1, 3); (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 4)}
as´ı:
xRy ⇔ y = x + 2
Ejemplo: Si A = {−1, 0, 1, 2} ¿cuáles son los elementos de la
relación R = {(x, y) ∈ A2
| x2
= y2
}? , dar su representación
gráfica

Ejemplos
Ejemplo: Si A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 3} y B = {y ∈ R |
1 ≤ y ≤ 2}, se pide la representaci´on cartesiana de A × B y
R = {(x, y) ∈ A × B | y = x}

Ejercicios
1.- Sean los conjuntos A = {−2, −1, 0, 1, 2} y
B = {−3, −2, −1, 1, 2, 3, 4}, en cada uno de los casos
escribir la relación y hacer su gráfica.
a) xRy ⇔ x + y = 2 b) xSy ⇔ x2
= y
c) xT y ⇔ |x| = |y| d)xVy ⇔ x + y > 2
e) xWy ⇔ (x − y)2
= 1

Ejercicios
1.- Sean los conjuntos A = {−2, −1, 0, 1, 2} y
B = {−3, −2, −1, 1, 2, 3, 4}, en cada uno de los casos
escribir la relación y hacer su gráfica.
a) xRy ⇔ x + y = 2 b) xSy ⇔ x2
= y
c) xT y ⇔ |x| = |y| d)xVy ⇔ x + y > 2
e) xWy ⇔ (x − y)2
= 1
2.- Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Escribir los pares
ordenados y hacer el gráfico cartesiano de la relación R
en A dada por:
R = {(x, y) ∈ A2
| mcd(x, y) = 2}

Ejercicios
3.- Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Construir el gráfico
cartesiano de la relación R en A definida por:
xRy ⇔ x e y son primos entre si.

Ejercicios
3.- Sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Construir el gráfico
cartesiano de la relación R en A definida por:
xRy ⇔ x e y son primos entre si.
4.- Dado el conjunto A = {m ∈ Z | −7 ≤ m ≤ 7}.
Construir el gráfico cartesiano de la relación binaria R
en A definida por:
xRy ⇔ x2
+ y2
= 25

Gráficas
1.- Representar en R2
la gráfica de
A = {(x, y) | y ≤ x, y ≥ x − 1}.

Gráficas
la gráfica de
A = {(x, y) | y ≤ x, y ≥ x − 1}.
el conjunto
A = {(x, y) | x + y ≤ 1, y ≥ x2
}

Gráficas
la gráfica de
A = {(x, y) | y ≤ x, y ≥ x − 1}.
el conjunto
A = {(x, y) | x + y ≤ 1, y ≥ x2
}
3.- Representar en el plano el siguiente conjunto
A = {(x, y) | y ≤ x2
≤ 4}

Gráficas
la gráfica de
A = {(x, y) | y ≤ x, y ≥ x − 1}.
el conjunto
A = {(x, y) | x + y ≤ 1, y ≥ x2
}
3.- Representar en el plano el siguiente conjunto
A = {(x, y) | y ≤ x2
≤ 4}
4.- Representar en el plano R2
el siguiente conjunto
A = {(x, y) | |x − y| ≤ x}.

Dominio e Imagen
Sea R una relación de A en B
Definición de dominio
Se llama dominio de R al conjunto D de todos los primeros
elementos de los pares ordenados que pertenecen a R.

Dominio e Imagen
x ∈ D ⇔ ∃ y, y ∈ B | (x, y) ∈ R
Deﬁnici´on de imagen
Se llama imagen de R al conjunto I de todos los segundos
elementos de los pares ordenados pertenecientes a R.

Dominio e Imagen
x ∈ D ⇔ ∃ y, y ∈ B | (x, y) ∈ R
y ∈ I ⇔ ∃ x, x ∈ A | (x, y) ∈ R

Dominio e Imagen
x ∈ D ⇔ ∃ y, y ∈ B | (x, y) ∈ R
y ∈ I ⇔ ∃ x, x ∈ A | (x, y) ∈ R
De la deﬁnici´on se tiene que D ⊂ A y I ⊂ B

Ejemplo
Ejemplo: Si A = {0, 2, 3, 4} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ¿cuál es
el dominio e imagen de la relación
R = {(x, y) ∈ A × B | y es múltiplo de x}?

Ejemplo
D = {2, 3, 4}, I = {2, 3, 4, 6}

Ejemplo
D = {2, 3, 4}, I = {2, 3, 4, 6}
1 ≤ y ≤ 4}, ¿cu´al es el dominio y la imagen de la relaci´on
R = {(x, y) ∈ A × B | y = 2x}?

Ejemplo
D = {2, 3, 4}, I = {2, 3, 4, 6}
1 ≤ y ≤ 4}, ¿cu´al es el dominio y la imagen de la relaci´on
R = {(x, y) ∈ A × B | y = 2x}?
D = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 2} e I = {y ∈ R | 2 ≤ y ≤ 4}

Ejercicios
1.- Establecer el dominio e imagen de las siguientes
relaciones
a) {(1, 1), (1, 3), (2, 4)}.
b) {(1 +
√
2,
√
2), (1 −
√
3, 1)}.
c) {(3,
1
2
), (
5
2
, −1), (
3
2
, 0)}

Ejercicios
2.- Sean los conjuntos A = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},
B = {−2, −1, 0, 1, 2} y R la relación binaria de A en B
definida por
xRy ⇔ x = y2
a) Escriba los pares ordenados de R.
b) Escriba los elementos del dominio y de la imagen.
c) Haga el gráfico cartesiano de R.

Ejercicio
3.- Si R es una relación binaria de A = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 6}
en B = {y ∈ R | 1 ≤ y ≤ 4} definida por
xRy ⇔ x = 2y
se pide
a) La representación cartesiana de A × B.
b) La representación cartesiana de R.
c) El dominio y la imagen de R.

Ejercicio
4.- Si R y S son relaciones binarias de
A = {x ∈ Z | −2 ≤ x ≤ 5} en
B = {y ∈ Z | −2 ≤ y ≤ 3} deﬁnidas por
xRy ⇔ 2 divide (x − y)
xSy ⇔ (x − 1)2
= (y − 2)2
Se pide
a) Las representaciones cartesianas de R y S.
b) El dominio e imagen de R y S.
c) R ∩ S.

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