mat 7mo

1. SERIE EDUCATIVA:
“EDUCACIÓN GRATUITA Y DE CALIDAD, DERECHO HUMANO
FUNDAMENTAL DE LAS Y LOS NICARAGÜENSES”
Este texto es propiedad del Ministerio de Educación (MINED), de la República de Nicaragua.
Se prohíbe su venta y reproducción parcial o total.
Matemática
Educación Secundaria
Matemática 7GRADO
7Educación Secundaria GRADO
h
g
r
Programa de Apoyo al Sector de Educación en Nicaragua
P R O S E N
REPÚBLICA DE
NICARAGUA

2. Coordinación General, Revisión y Asesoría Técnica
Profesora María Elsa Guillén
Profesora Rosalía Ríos Rivas
Autor
Profesor Bernardo Enrique Baltodano Orozco
Revisión Técnica General
Profesora Rosalía Ríos Rivas
Revisión y Asesoría Técnica Científica
Profesor Francisco Emilio Díaz Vega
Profesor Humberto Antonio Jarquín López
Sociedad Matemática de Nicaragua
Profesor Iván Augusto Cisneros Díaz
Profesor Jorge Alberto Velásquez Benavidez
Diseño y Diagramación
Ramón Nonnato Morales
Róger Alberto Romero
Miguel Ángel Mendieta Rostrán
con colaboración de Andrea Ráudez Irías
Ilustración
Róger Alberto Romero
Fuente de Financiamiento
PASEN I - Recursos del Tesoro - PROSEN
Agradecemos los valiosos aportes de la Sociedad Matemática de Nicaragua y de los docentes
durante el proceso de validación.
Primera Edición___________
© Todos los derechos son reservados al Ministerio de Educación (MINED), de la República de
Nicaragua.
Este texto es propiedad del Ministerio de Educación (MINED) , de la República de Nicaragua.
Se prohíbe su venta y reproducción total o parcial.
«La presente publicación ha sido reproducida con el apoyo de la Unión Europea a través del
Programa de Apoyo al Sector Educación en Nicaragua (PROSEN). El contenido de la misma es
responsabilidad exclusiva del MINED y en ningún caso debe considerarse que refleja los puntos
de vista de la Unión Europea».

3. PRESENTACIÓN
El Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional, a través del Ministerio
de Educación (MINED), entrega a docentes y a estudiantes de Educación
Secundaria, el libro de texto de Matemática en el cual se desarrollan los
cinco pensamientos: aleatorio, numérico, variacional, métrico y espacial. La
Matemática es una herramienta esencial en campos como las ciencias de la
Tierra y la naturaleza, la medicina, las ciencias sociales, la computación, la
arquitectura, la ingeniería y en la vida cotidiana.
El propósito fundamental del texto es propiciar en los estudiantes un papel
más activo en el proceso de aprendizaje para que puedan interactuar con
los conocimientos planteados en el libro, permitiéndoles que complementen
lo desarrollado en la clase, consolidar, comparar y profundizar en aquellos
aspectos que explicó su docente y prepararse para la evaluación.
El libro de texto a través de sus contenidos y actividades contribuye a la formación
en valores individuales, comunitarios y sociales; los que se reflejarán en el
comportamiento de la o el estudiante dentro y fuera del Centro Educativo.
El libro de texto es un tesoro valioso en las manos de cada estudiante, y cuidarlo
con esmero, permitirá que otros compañeros que están en los grados que les
anteceden también puedan hacer uso de él, en su proceso de aprendizaje.
Esto significa que el libro de texto es una propiedad social por tanto se debe
cuidar porque no solo a usted le será de ayuda, sino que dependiendo del cuido
que le dé, también le será de provecho a otros, razón por la que le sugerimos
lo forre, no lo manche, no lo ensucie, no lo rompa, ni lo deshoje. Esa será
su contribución desinteresada y solidaria, con los próximos estudiantes que
utilizarán este libro.
Ministerio de Educación

4. Introducción
El presente texto corresponde a los contenidos del área de matemática de séptimo grado de
educación media.
La estructura del libro de texto es la siguiente:
CC Portada del libro.
CC Introducción.
CC Índice.
CC Contenido por unidad, temas y subtemas.
CC Glosario
CC Bibliografía y webgrafía.
Los conceptos y definiciones se desarrollan partiendo de las competencias, indicadores de
logros y contenidos del programa oficial de matemática del Ministerio de Educación (MINED).
El texto en su interior está dividido en dos columnas, en la columna derecha se desarrolla
el contenido de la asignatura iniciando con un ejemplo del entorno, luego el concepto, la
definición, el procedimiento y culminando con ejemplos y ejercicios.
Enlacolumnaizquierda,sepresentainformaciónalterna,biografías,curiosidadesmatemáticas
y actividades de reforzamiento, para complementar sus conocimientos en la asignatura.
El texto contiene los siguientes íconos (imágenes que orientan una serie de actividades e
información)
e iπ
+1 =
0
Aprenda un poco más.
Ma
tem
átic
a
7
¿Sabías qué?
Tome nota.

5. Ma
tem
átic
as
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Ma
tem
átic
as
7
Ejemplo.
RAR
H2
Hacertrampaenelexamen
Apalearalvecinojajajajaja
Escriba en su cuaderno.
Trabajo en equipo.
Al final de cada unidad, se le presenta ACTIVIDADES FINALES, para la consolidación del
contenido y prepararse para la evaluación de los indicadores de logros orientado en los
programas.
El estudiantado debe comprender que el estudio de LAMATEMÁTICAes parte de su formación
cultural y por tanto, debe estar claro que es necesario saber Matemática y poder aplicarla en
los problemas de su entorno y tener una base sólida para el octavo grado.
Así también, los estudiantes deben tomar en cuenta que la consulta e investigación, es una
de las herramientas fundamentales para la consolidación y profundización de los diferentes
temas. Es por eso que en este libro le facilitamos una webgrafía para facilitarle la búsqueda,
por Internet, de la información que necesita para reafirmar, ampliar, consolidar y profundizar
los diferentes contenido de las clases y poder llevarlo a la práctica es su vida cotidiana.

6. Índice
Primera Unidad: Estadística
¾¾Teoría de conjuntos (I)�������������������������������������2
Conjunto. Elemento. Pertenencia������������������������2
Conjunto universal. Conjunto vacío�������������������5
¾¾Estadística����������������������������������������������������������8
Población. Persona o individuo. Muestra������������9
Variable Cualitativa y Cuantitativa�����������������11
Tablas de Frecuencias y de Categorías���������������14
¾¾Tipos de Frecuencias������������������������������������� 16
Gráficos Estadísticos�����������������������������������������18
Diagrama de sectores (circulares o de pastel)�����18
Histograma.�������������������������������������������������������20
El polígono de frecuencias���������������������������������22
Ojiva������������������������������������������������������������������22
Pictogramas�������������������������������������������������������23
Medidas de tendencia central con datos no
agrupados����������������������������������������������������������26
La media aritmética.������������������������������������������27
La mediana��������������������������������������������������������28
La moda�������������������������������������������������������������30
Segunda Unidad: Conjunto de los
números enteros
¾¾Teoría de Conjuntos (II)������������������������������� 42
Tipos de conjuntos���������������������������������������������42
Conjunto finito y conjunto infinito��������������������44
Representación gráfica de conjuntos������������������45
¾¾Número natural���������������������������������������46
Propiedades del conjunto ℕ������������������������������48
Relaciones de orden en el conjunto de los números
naturales������������������������������������������������������������48
¾¾Operaciones en el conjunto ℕ��������������������� 50
Adición��������������������������������������������������������������50
Sustracción��������������������������������������������������������51
Multiplicación���������������������������������������������������52
División�������������������������������������������������������������54
Operaciones combinadas con números naturales.
Jerarquía de las operaciones�������������������������������55
Resolución de problemas������������������������������������55
¾¾El conjunto de los números enteros ℤ�������56
Número entero ℤ������������������������������������57
¾¾Estructura del conjunto ℤ��������������������������� 59
Números opuestos����������������������������������������������59
Valor absoluto de un número entero������������������60
Orden en el conjunto de los números enteros
(Propiedad de Tricotomía)����������������������������������61
¾¾Operaciones en el conjunto ℤ���������������������� 62
Adición de números enteros.������������������������������62
Sustracción de números enteros�������������������������63
Multiplicación de números enteros��������������������64
División de números enteros������������������������������64
¾¾Potenciación con base entero y exponente
entero. Propiedades��������������������������������65
Propiedades de la potenciación��������������������������69
Expresiones aritméticas. Jerarquía de las
operaciones���������������������������������������������������������70

7. ¾¾Actividades finales de la segunda unidad74
Tercera Unidad: Conjunto De Los
Números Racionales ℚ
¾¾Teoría de conjuntos (III).����������������������������� 76
Operaciones con conjuntos.��������������������������������76
Propiedades de las operaciones con conjuntos.���80
Representación gráfica de las operaciones con
conjuntos.����������������������������������������������������������80
Operaciones combinadas con conjuntos.������������81
¾¾El Conjunto de los Racionales�������������������� 84
Introducción������������������������������������������������������84
Los dominios numéricos ℕ, ℤ y ℚ.�����������������85
Comparación de números enteros�����������������������86
Definición. Fracción.�����������������������������������������88
Gráfica de una fracción�������������������������������������89
Fracciones equivalentes.������������������������������������91
Amplificación de fracciones. �����������������������������92
Simplificación de fracciones. �����������������������������93
Fracción irreducible. �����������������������������������������93
¾¾El conjunto de los números Racionales ℚ.
�������������������������������������������������������������������������� 94
Número racional ℚ.������������������������������������������95
Clasificación de los números racionales��������������96
Orden en el conjunto de los números racionales.97
¾¾Operaciones con números racionales.��������� 99
¾¾Propiedades.���������������������������������������������������� 99
Adición y sustracción en ℚ.������������������������������99
Propiedades de la adición y la multiplicación en
ℚ. �������������������������������������������������������������������103
División en ℚ�������������������������������������������������104
Fracciones continuas���������������������������������������105
Notación decimal de un número racional.��������106
¾¾Operaciones con números decimales.��������113
Adición de números decimales.�������������������������113
División de números decimales. ����������������������121
Notación científica.�����������������������������������������123
Regla para redondear un número racional.������123
Potenciación con base racional y exponente
entero.��������������������������������������������������������������127
Definiciones básicas de la potenciación en ℚ.128
Ley de los signos de la potenciación.����������������129
Propiedades de la potenciación en el conjunto ℚ.
�������������������������������������������������������������������������129
Radicación en ℚ.��������������������������������������������132
Propiedades de la radicación en ℚ������������������132
¾¾Actividades finales de la tercera unidad�134
Cuarta Unidad: Proporciones
¾¾Proporciones.�������������������������������������������������136
Proporcionalidad.��������������������������������������������136
Proporción�������������������������������������������������������138
Consecuencias de la propiedad fundamental de las
proporciones.����������������������������������������������������139
Cálculo de un término de una proporción.�������141
Variación proporcional.�����������������������������������146
Regla de tres.���������������������������������������������������151
Regla de tres compuesta�����������������������������������154
Reparto proporcional.��������������������������������������158
Reparto directamente proporcional.�����������������158

8. Reparto proporcional inverso.��������������������������160
Porcentaje. Tanto por ciento.���������������������������162
Interés.�������������������������������������������������������������166
Quinta Unidad: Relaciones
¾¾Relaciones.�����������������������������������������������������172
Elementos de lógica.����������������������������������������172
Tablas de verdad (I).����������������������������������������178
La disyunción. ������������������������������������������������181
Bicondicional.��������������������������������������������������188
Tablas de verdad����������������������������������������������190
¾¾Relaciones������������������������������������������������������196
Producto cartesiano�����������������������������������������198
El plano cartesiano������������������������������������������200
Representación gráfica del producto cartesiano.
�������������������������������������������������������������������������201
Relaciones��������������������������������������������������������203
Representación gráfica de ℛ: A → B.�������������205
Sexta Unidad: Construcción de
Figuras Geométricas
¾¾Construcciones de figuras geométricas.���210
Breve reseña histórica.�������������������������������������210
Conceptos fundamentales de la geometría.������211
Postulados de la recta, plano y espacio.�����������213
Relaciones de posición entre puntos, rectas y
planos.�������������������������������������������������������������215
Posiciones relativas de dos rectas en el plano.
Semirrectas. Semiplanos.����������������������������������216
Longitud de un segmento.��������������������������������218
Punto medio de un segmento.��������������������������219
Rectas: paralelas, perpendiculares y oblicuas��232
Construcción geométrica����������������������������������233
Ángulos formados por dos rectas intersecadas por
una recta transversal���������������������������������������234
¾¾Polígonos������������������������������������������������235
Clasificación de los triángulos.������������������������237
Clasificación de los Cuadriláteros.�������������������241
Séptima Unidad: Área y Perímetro de
Triángulos y Cuadriláteros
Otras unidades de medidas de longitud ����������251
¾¾Perímetro de triángulos y cuadriláteros.�253
Distancia entre dos puntos en el sistema
unidimensional.������������������������������������������������253
Perímetro de triángulos y cuadriláteros�����������254
¾¾Área de triángulos y cuadriláteros.����������257
Áreas de rectángulos y de paralelogramos.�������259
Área del cuadrado.�������������������������������������������261
Área del romboide.�������������������������������������������264
Área del trapecio.���������������������������������������������266
¾¾Área del triángulo.���������������������������������������268
Área de un triángulo cualquiera. ��������������������268
Área del triángulo rectángulo.�������������������������270
Área del triángulo equilátero.��������������������������270
Área de un triángulo cualquiera dada la medida
de sus tres lados.����������������������������������������������272
Área del trapezoide.�����������������������������������������276

9. 9
Estadística
Unidad 1
ElHoyo:1050m
Momotombo:1258m
Mombacho:1345m
Concepción:1610m
Masaya:632m
Maderas:1394m
Cosiguina:859m
CerroNegro:728m
Telica:1061m
SanCristobal:1745m
1500
1000
500
0
2000
Altura de los Volcanes de Nicaragua
El Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional puso en funcionamiento el parque
eólico “Comandante Camilo Ortega” quien es considerado el Apóstol de la Unidad
Sandinista. “La unidad de todos los nicaragüenses, unidos por el Bien Común de este
país, en reconciliación y haciendo patria siempre para este pueblo”.
Este parque eólico cuenta con una capacidad para generar 40 megawatts (MW), y se
encuentra ubicado en el sureño departamento de Rivas. Con este se busca la
transformación de la matriz energética y la generación de energía renovable, lo cual
conlleva a un impacto de menos costos de producción y un mayor beneficio para las
familias.
Fuente: 19 digital
12 de Marzo 2014

10. 2
Teoría de conjuntos (I)
Conjunto. Elemento. Pertenencia
Conjunto. Cuando pensamos en un conjunto, nos imaginamos
por ejemplo, un grupo de objetos, un rebaño de animales, una
asociación de personas, números con una característica común.
No podemos definir lo que es un conjunto, porque es un
concepto “primitivo”, pero sí podemos expresar la idea intuitiva
de un conjunto.
Los conceptos de conjunto, pertenencia y elemento son
considerados como primitivos y son la base de toda la teoría
de conjuntos.
Intuitivamente, un conjunto es una colección, clase o lista de
elementos bien definidos, o sea, con características común
que permitan decir, si el elemento está o no está en el conjunto.
Notación. Los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas:
A, B, C etc. pero se pueden usar otros símbolos previamente
establecidos. Por ejemplo; la letra Ø denota el conjunto vacío o
bien { }.
Matem
áticas
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Matem
áticas
7
Ejemplo
A = {x x es un lago de Nicaragua} = {Cocibolca, Xolotlán}.
B = {x x es un número natural entre 10 y 25} = {11,12,13,14,15,
16,17,18,19,20,21,22,23,24}.
C= {x x es un número primo menor que 29}={2,3,5,7,11,13,17,19,23}
Matem
áticas
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Matem
áticas
7
Ejemplo
En la matrícula del Instituto Nacional de Oriente, un conjunto está
formado por los estudiantes matriculados del sexo masculino y
femenino. Los elementos del conjunto son cada estudiante de
dicha matrícula.
Pertenencia. En el ejemplo anterior, la característica de un
elemento del conjunto es que esté matriculado en el Instituto.
Conjunto escrito por
comprensión: En él, se
describe una característica
propiedad numérica, etc. Se
utiliza la notación {x x...}
Ej: A = {x x es una vocal del
alfabeto castellano}
RAR
H2
Hacertrampaenelexamen
Apalearalvecinojajajajaja
Escriba en su
cuaderno...
Conjunto escrito por
extensión: se escribe entre
llaves separando cada
elemento con una coma.
Ej: A = {a,e,i,o,u}
Historia de la
Matemática
La teoría de conjuntos
surge por estudios que
se hicieron acerca de los
números y sus propiedades.
Las bases de estos estudios
iniciales se atribuyen a
George Cantor, aunque
muchos de estos temas
han sido identificados en
la matemática griega.
Estos temas se incorporan
organizadamente a la
matemática a finales del siglo
XIX y principios del siglo XX.
La palabra Matemática viene del
griego mathemata que significa
“cosas que se aprenden”.

11. 3
Un elemento x pertenece a un conjunto A, si x está en A. Se
simboliza x ∈ A y se lee “el elemento x pertenece al conjunto
A”.
Si este elemento no está en el conjunto A, se simboliza x ∉ A
y se lee “el elemento x no pertenece al conjunto A”.
Matem
áticas
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Matem
áticas
7
Ejemplo
Sean los conjuntos:
a. A = {x x los números naturales menores que 6} = {1,2,3,4,5}
b.B={x xlosnúmerosparesmenoresque16}={2,4,6,8,10,12,14}
Entonces podemos decir que:
1 ∈ A, pero 1 ∉ B.
12 ∈ B, pero 12 ∉ A.
Inclusión: Sean A y B dos conjuntos. Si sucede que todo
elemento de A pertenece a B, se dice que A está incluido en B,
o que es parte de B, o que es subconjunto de B.
Subconjunto
Dados dos conjuntos A y B. A es subconjunto de B si cada
elemento del conjunto A pertenece al conjunto B. Se simboliza
A ⊂ B y se lee “el conjunto A es subconjunto del conjunto B”.
La expresión B ⊃ A significa que “el conjunto B contiene a todos
los elementos del conjuntoA” y significa que todos los elementos
de A están en el conjunto B. Es decir; A es un subconjunto de B
y B es superconjunto de A.
Matemático francés,
conocido por sus notables
contribuciones a la teoría de
los números y la geometría
algebraica. Fue uno de los
miembros fundadores del
influyente grupo Nicolás
Bourbaki. Utilizó por primera
vez, el símbolo Ø (que
representa el vacío) en 1 939.
Ø o ø es una letra vocal
utilizada en las lenguas
danesa, feroesa y noruega
aunque también en el antiguo
euskera, fonéticamente
suena casi como ir en bird
o ur en hurt en inglés, En
danés, feroés y noruego
modernos, la letra es una
vocal única (AFI [ø]).
En danés (y en la escritura
conservadora bokmål del
noruego), ø es una palabra
en sí que significa isla.
André Weil
1 906 - 1 998

12. 4
Matem
áticas
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Matem
áticas
7
Ejemplo
Sean los conjuntos
ℕ: los números naturales.
ℙ: los números primos.
Entonces ℙ ⊂ ℕ porque, cada número primo está en el conjunto
de los números naturales. También se simboliza ℕ ⊃ ℙ que
significa que el conjunto ℕ contiene a todos los elementos del
conjunto ℙ.
Igualdad de conjuntos. Dos conjuntos son iguales si son
idénticos, es decir, si tienen los mismos elementos.
Igualdad de conjuntos.
Dados los conjuntos A y B. El conjunto A es igual al conjunto
B si todo elemento de A pertenece a B y todo elemento de B
pertenece al conjunto A.
Se simboliza A = B.
Matem
áticas
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Matem
áticas
7
Ejemplo
Sean los conjuntos:
A = {x x es una vocal de la palabra Misael}.
B = {x x es una vocal de la palabra encima}.
Ambos conjuntos tienen los mismos elementos (las vocales),
por tanto A = B = {a,i,e}
Trabajo en equipo
a. Escribir cinco conjuntos por extensión y comprensión.
b. Escriba el conjunto de los factores de 15.
Un elemento pertenece
a un conjunto si está
en el conjunto.
Un conjunto está incluído
en otro conjunto si
todos sus elementos
están en el conjunto.
Pero el término está
no se debe confundir.
Pertenencia es una relación
entre elemento y conjunto.
Inclusión es una relación
entre conjuntos.
Por ejemplo: Dados
los conjuntos:
A: las vocales.
B: las vocales a, i, u.
Es aceptable a ∈ A pero
no es aceptable B ∈ A,
lo correcto es B ⊂ A.
Los números primos, los
números pares y los impares
son subconjuntos de los
números naturales.
¿Sabías qué?
Ma
tem
átic
a
7

13. 5
c. Escriba los números primos menores que 10.
d. Escriba los factores de 30 menores que 6.
e. Escriba dos conjuntos que sean iguales.
f. Escriba un conjunto que esté contenido en otro.
Conjunto universal. Conjunto vacío
En la teoría de conjuntos, encontramos situaciones en las que,
los conjuntos considerados son subconjuntos de algún conjunto
conocido, que nos sirve de referencia.
Conjunto universal.
Se denomina conjunto universal o universo al conjunto de
todos los elementos que intervienen en el tema o situación de
interés. Se simboliza U.
Matem
áticas
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Matem
áticas
7
Ejemplo
Sean los conjuntos:
A: Las vocales.
B: Las consonantes.
C: El abecedario español.
Sabemos que las vocales y las consonantes están en el
abecedario español, por tanto, C es el conjunto universo o sea
C = U.
Conjunto vacío y conjunto unitario. Extendemos la noción
intuitiva de conjuntos a los casos de carencia de elementos y de
unicidad de elementos mediante la introducción de los conjuntos
vacío y unitario.
Conjunto vacío.
Un conjunto que no tiene elementos se denomina conjunto
vacío y se simboliza ∅.
HH Hijo de un agricultor, pudo
estudiar gracias a la ayuda
de unos vecinos.
HH A los 19 años, D’Alembert
le consigue una plaza
como profesor en la Real
Academia Militar.
HH En la década de los 70
presenta su primer trabajo
sobre el sistema solar.
HH En 1785 es nombrado
miembro de la Academia
de Ciencias de París.
HH En 1789 es nombrado
miembro de la Comisión
de Pesos y Medidas, que
después estableció el
Sistema Métrico Decimal.
HH En 1816 es elegido
miembro de la Academia
Francesa de la Lengua. En
1817, Luis XVIII le otorga
el título de Marqués.
Pierre Simón Laplace
1 749 - 1 827

14. 6
Mate
mátic
as
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Mate
mátic
as
7
Ejemplo
Son conjuntos vacíos:
A = {x x la letra W de la palabra Emilio}
B = {x x los meses que tienen 27 días}
Conjunto unitario.
Un conjunto que tiene solamente un elemento se denomina
conjunto unitario.
Mate
mátic
as
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Mate
mátic
as
7
Ejemplo
A = la vocal de la palabra sol.
B = los números naturales entre 6 y 8.
Trabajo en equipo
1. Dados los conjuntos siguientes:
A = {1, 2, 3, 4,5}
B = {6, 7, 8, 9,10}
C = {1, 2,…10}
D = {2, 4, 6,…}
E = {1, 2, 3,…}
F = {2, 5, 1, 3,4}
G = { }
H = {0}
¿Para qué sirve la
estadística?
La estadística es mucho más
que solo números apilados
y gráficas bonitas. Es una
ciencia con tanta antigüedad
como la escritura, y es por
sí misma, auxiliar de todas
las demás ciencias.
Los mercados, la medicina,
la ingeniería, entre otros,
se nombran entre los
más destacados clientes
de la Estadística.
La ausencia de ésta
conllevaría a un caos
generalizado, dejando a los
administradores y ejecutivos
sin información vital a la
hora de tomar decisiones en
tiempo de incertidumbre.
Tomado de: Manual de
Estadística de David Ruíz.
¿Sabías qué?
Ma
tem
átic
a
7

15. 7
a. ¿Cuántos elementos están en el conjunto C? ¿Cuántos en
G?
b. ¿Qué elementos son comunes al conjunto A y al conjunto B?
c. ¿Contienen los mismos elementos el conjunto F y el conjunto
E?
d. Determine un subconjunto del conjunto C entre los conjuntos
dados
e. En el espacio en blanco indicado escriba el símbolo correcto
∈ pertenece o ∉ no pertenece ; para ello tenga en cuenta los
conjuntos dados en el ejercicio anterior.
a) 4____ A
b) 1 ____ D
c) 0 _____E
d) 0_____G
e) 7 ____C
f) 1979____D
2. Escriba los siguientes conjuntos por extensión o comprensión
según sea el caso
a. A = {x| x es uno de mis docentes}
b. B = {x| x es un departamento de Nicaragua cuyo nombre
comienza con G}
c. C = {x| x es número par entre 29 y 39}
d. E = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…)
e. G = { 4 ,9, 16 ,25 , 36…}
f. H = {Masaya, Managua, Rivas, Carazo, Matagalpa,…}
g. I = { Ejecutivo , Legislativo , Electoral , Judicial}
Reforzamiento:
Escriba los siguientes
conjuntos por extensión o
comprensión según sea el
caso:
A = {x| x es un héroe nacional
de Nicaragua}
B = {x| x es un número par
positivo menor que 50}
C = {x| x es un país al sur de
Nicaragua}
D = {x| x es un dígito par}
E = {x| x es un país de
centroamérica}
F = {x| x es un número
natural}
G = {x| x es un número
múltiplo de cuatro menor que
50}

16. 8
Estadística
Introducción
El manejo sistemático de los datos con el fin de analizarlos,
tiene su origen probablemente en los censos poblacionales
realizados antes de Cristo.
La historia menciona las tablas estadísticas usadas por los
chinos 3000 años a. de C.
También en la Biblia se mencionan algunos censos realizados
por los romanos (Lucas 2:1).
Los egipcios realizaban censos después de las inundaciones
del Nilo, para restituir propiedades ubicadas en la margen del
río.
En la edad media se hicieron estudios estadísticos, también
se realizaron estudios en 1773 por Abraham Moivre y por el
francés Pierre Laplace.
En la actualidad, la tecnología moderna (computadoras) ha
hecho posible la recolección y análisis de un gran volumen de
información, permitiendo un mayor desarrollo de la Estadística.
¿Qué es la Estadística?
Es la ciencia que se encarga de la recolección, organización,
presentación, análisis e interpretación de datos numéricos,
para una toma de decisiones más efectivas.
La Estadística, es una ciencia que colabora eficientemente con
el físico, el matemático, el biólogo, el meteorólogo, el técnico
industrial, el psicólogo, el sociólogo, el economista, etc.
¿Cuál es el objetivo de la Estadística?
La estadística moderna, independientemente del campo de
aplicación, se propone fundamentalmente:
a. Predecir las condiciones futuras partiendo del conocimiento
de las condiciones pasadas y presentes (teoría de los
seguros).
Ramas de la Estadística
Estadística
Descriptiva Inferencial
Recopilación,
Organización y
análisis de datos
Obtención de
información
de ciertos
parámetros
estadísticos
RAR
H2
Hacertrampaenelexamen
Apalearalvecinojajajajaja
Escriba en su
cuaderno...
La palabra Estadística significa
censo de personas y bienes.
Esta palabra viene del latín
statiscum collegium, del latín
antiguo status (posición,
forma de gobierno).
¿Sabías qué?
Ma
tem
átic
a
7

17. 9
b. Lograr información sobre una gran masa de hechos, tomando
para ello una muestra representativa (los llamados surveys o
encuestas de opinión pública).
Población. Persona o individuo. Muestra
Población.
Es un conjunto de elementos de naturaleza cualquiera, de
los cuales estamos interesados en estudiar al menos una
característica común y observable de dichos elementos, en
un lugar determinado y en un momento dado
Matem
áticas
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Matem
áticas
7
Ejemplo
La estatura de los estudiantes del Instituto Público Rafaela
Herrera. La población serían las y los estudiantes de este
Centro.
Si se quiere investigar las causas del bajo rendimiento académico
de Matemática de 7mo
grado, en Bilwi, la población sería las y los
estudiantes de 7mo
grado de esa ciudad.
Persona o individuo. En la investigación en Bilwi, la recolección
de datos se hace censando a cada estudiante matriculado en
cada colegio.
Persona o individuo.
La persona, individuo u objeto es cada uno de los elementos
de la población.
Muestra.
Es un subconjunto cualquiera de la población, de la cual se va
a obtener la información para el estudio estadístico.
En el ejemplo del estudio de 7mo
grado, una muestra puede ser,
entrevistar a 50 estudiantes de cada colegio de secundaria de
Bilwi.
¿Y si la población
es muy grande?
¿Qué hago?
Sencillo, toma una parte de la
población, o sea una muestra.
No es lo mismo población
demográfica que
población estadística.
La población demográfica
se refiere a un conjunto
de individuos.
Por ejemplo:
Los habitantes del pueblo
de Belén, Rivas.
Los estudiantes de 7mo
grado de Ciudad Sandino.
La población estadística se
refiere a un conjunto de datos
referidos a las características
o atributos de los individuos
Recuerde...
La estadística utiliza el método
científico para recoger,
organizar, resumir y analizar
datos, así como para obtener
conclusiones válidas y
tomar decisiones razonables
basadas en tal análisis.

18. 10
Reforzamiento
Determine la población, el
individuo y la muestra de un
estudio socioeconómico de
la población que habita en
el departamento de Estelí.
Un estudio estadístico es una
investigación que se hace de
una o más características de
los elementos de la población.
Mate
mátic
as
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Mate
mátic
as
7
Ejemplo
El director de un colegio decide hacer una investigación para
determinar el cumplimiento de las tareas escolares en casa de
parte del colegio.
Para esto hace una revisión de los cuadernos de 5 estudiantes
de cada grado.
Determinemos la población, la muestra y el individuo o persona.
Solución.
Población: todos los estudiantes del colegio.
Muestra: los estudiantes seleccionados para la revisión (cinco
por cada grado).
Individuo: cada uno de los estudiantes.
Trabajo en equipo
Determine en cada una de las siguientes situaciones: la
población y la muestra.
1. La docente Meyling Martínez le orienta a sus estudiantes que
investiguen acerca del salario (en Córdobas) del que poseen
los docentes de educación secundaria del área urbana del
municipio de Masaya.
2. Se desea realizar un estudio del gasto familiar en que incurren
los padres de familia de un estudiante de secundaria al inicio
del año escolar en el municipio de Granada.
3. Un fabricante de medicamentos desea conocer la propoción
de persona cuya hipertensión (presión alta) puede ser
controlado por un nuevo producto fabricado por la compañía.
Al realizar un estudio en 5 000 individuos hipertensos se
obtuvo que un 80% de ellos pudo controlar su hipertensión
utilizando el nuevo medicamento. Suponiendo que esas
5 000 personas son representativas del grupo de pacientes
hipertensos.
¿Sabías qué?
Ma
tem
átic
a
7

19. 11
Población
o Universo
Muestra
Persona
o individuo
RAR
H2
Hacertrampaenelexamen
Apalearalvecinojajajajaja
Escriba en su
cuaderno...
La población, la muestra y la
persona o individuo se puede
representar con una gráfica
llamada diagrama de Venn.
La persona o individuo también
se llama unidad estadística y
es un ente observable, que no
tiene porque ser una persona,
puede ser un objeto, un ser
vivo o incluso algo abstracto.
e iπ
+1 =
0
Aprenda
un poco
más...
Variable Cualitativa y Cuantitativa
Variables estadísticas.
Elestudioestadísticoestábasadoenlaobservacióndelapersona
o individuo, donde se determinan una o más características de
estos elementos, por ejemplo, la edad, preferencias, género,
nacionalidad.
Variable estadística.
Una variable estadística es cada una de las características,
cualidades o modalidades (atributos) que poseen los individuos
de una población.
Las variables se clasifican en:
I. Cualitativas: si son atributos o cualidades de la persona o
individuo: el color del pelo, el sexo, la nacionalidad, el género,
la religión, entre otros.
Las variables cualitativas pueden ser:
a. Ordinales: si son cualidades no numéricas del individuo, que
pueden ordenarse de acuerdo a una escala establecida: el
grado de satisfacción por una música (mucho, poco o nada).
b. Nominales: cualidades que no pueden ordenarse. Por ejemplo
el color del pelo, el color de la piel.
II. Cuantitativas: son características numéricas de la persona o
individuo: la edad, el peso, la nota final en matemática.
Trabajo en equipo
1. Identifique la variable y clasifíquela en cualitativa o
cuantitativa.
En el Colegio o en el barrio, recolecten y registren datos e
información, donde se identifiquen diversos tipos de variables.
Después socializar los resultados del trabajo en un plenario.

20. 12
2. Elaboren una encuesta o una entrevista, con variables
previamente definidas y aplique dicha encuesta a un grupo
determinado, por ejemplo: amas de casa, pulperías, en el
centro de estudio, trabajadores(as), etc.
3. Analicen el resultado de la encuesta y presenten un informe
en plenario.
Variables cuantitativas: discretas y continuas.
En las variables cuantitativas es muy importante definir si es un
número entero o un número decimal.
Por ello se debe estar claro del conjunto referencial de dicha
variable.
Dominio de la variable.
Las variables estadísticas se representan con un símbolo, tal
como A, B o C, X,Y, Z, que puede tomar un valor perteneciente
a un conjunto de valores, llamado dominio de la variable.
Las variables cuantitativas pueden ser:
d. Discretas. Toman un valor del dominio de la variable (los
números naturales) y no pueden tomar ningún valor entre dos
consecutivos.
Mate
mátic
as
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Mate
mátic
as
7
Ejemplo
Número de hijos, goles metidos por un equipo de fútbol, es decir
se pueden contar.
e. Continuas. Es la que, teóricamente, puede tomar cualquier
valor en una escala de medidas, entero o fraccionario.
Mate
mátic
as
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Mate
mátic
as
7
Ejemplo
La estatura de una estudiante, el peso, el tiempo en minutos
que tarda en hacer una tarea diaria .
Se elige una muestra de
la población cuando es
difícil o económicamente
costosa la observación de
todos los individuos de la
población estadística.
RAR
H2
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Apalearalvecinojajajajaja
Escriba en su
cuaderno...
Las variables estadísticas, se
pueden dividir en dos grupos:
Discretas: Son aquellas
que toman un número finito
de valores (se asocia con
números enteros), ejemplo:
el número de páginas de
un libro, el número de
miembros de una familia.
Continuas: Son aquellas
que toman todos los
valores comprendidos en
un intervalo (se asocian
con números reales)
Por ejemplo:
El instante que llega cada
estudiante a su instituto,
entre las 6:30 am y 7:00 am.
Se realiza un censo
cuando se observan todos
los elementos de una
población estadística.
¿Sabías qué?
Ma
tem
átic
a
7

21. 13
HH Una encuesta es un
instrumento estadístico
para recoger cierta
información de una
muestra de una población.
HH Existen diversos métodos
para aplicar una encuesta.
Entre ellos hacer unas
cuantas preguntas o llenar
un formulario aplicado a
la persona o individuo del
estudio estadístico.
¿Sabías qué?
Ma
tem
átic
a
7
La o el docente pregunta a cada estudiante:
1. ¿Cuál es su estatura en metros?
2. ¿Cuál es el color de sus ojos y cabello?
3. ¿Cuál es su edad en años cumplidos?
4. ¿Cuál fue su calificación en matemática obtenida en el último
período escolar?
5. ¿Cuál es la edad mínima de un nicaragüense para obtener
una cédula?
6. ¿Cuál es el color de su piel?
7. ¿Cuántos hermanos tiene?
8. ¿Cuál cree que es la temperatura ambiental?
Cada estudiante señalado pasa al pizarrón a completar la tabla
1, escribiendo la característica y marcando con el símbolo  la
respuesta correcta.
Característica
o atributo
Variable cuantitativa Variable
cualitativaDiscreta Continua
Tabla 1
Después se exponen las inquietudes y dificultades.
Trabajo en equipo
Organizados en equipos, nombren un(a) coordinador(a), visiten
varias secciones y en una muestra de 10 estudiantes de cada
sección, investiguen tres variables: la edad en años cumplida, la
estatura en centímetros y la canción preferida.
Después completen la tabla 1 y la exponen en plenario, anotando
las conclusiones y elaborando un resumen del trabajo.
Reforzamiento:
Clasifiquelossiguientes
enunciadosenvariables
cuantitativas(discretasocontinuas)
ovariablescualitativas:
Alturadelasmontañasde
Nicaragua.
Enfermedadesquehansufridolos
niñosylasniñasdelaciudadde
Granada.
Materialdelqueestánhechaslas
paredesdelascasasdelaGran
Sultana.
Tiempo(ensemanas)enquelas
madresdelmunicipiodeMasaya
brindaron a sus hijos lactancia
materna.
El número de preguntas
contestadas correctamente en
un examen de matemática por
un grupo de estudiantes.

22. 14
e iπ
+1 =
0
Aprenda
un poco
más...
¿Qué es una encuesta
de opinión?
Es una valoración estadística
que se hace a partir de
una encuesta con el fin de
conocer la opinión pública.
Trabajo en equipo
Clasifique cada una de las siguientes variables en cualitativas,
cuantitativas discretas o cuantitativas continuas, según
corresponda.
1. Edad en años cumplidos.
2. Materias aprobadas en el último período evaluativo.
3. Color del cabello.
4. Producción diaria de botellas para gaseosas.
5. Área del aula de clases de los colegios del municipio de
Tipitapa, en m2
.
6. El Peso (en libras) de un conjunto de personas.
7. Número de profesores del centro escolar.
8. Religión que profesan los adultos del municipio de Mateare.
9. Salario mensual de los empleados en una zona franca.
Tablas de Frecuencias y de Categorías
Trabajo en equipo
Hacer un estudio estadístico del rendimiento académico de
Matemática de la sección de clase.
Para esto aplique una encuesta con una sola pregunta:
¿Qué nota obtuvo en el primer corte evaluativo de Matemática,
en el curso escolar 2013?
Anoten cada respuesta y después elaboren una tabla (tabla 2) y
complétenla con sus datos
Rendimiento académico Conteo Frecuencia (fi
)
Menos de 60 IIIII 5
Entre 60 y 80 IIIII IIIII IIIII 15
Entre 81 y 90 IIIII IIIII II 12
Más de 90 IIIII III 8
Total 40
Tabla 2
Escriba en su
cuaderno.
HH La entrevista es otro
instrumento que se usa para
conocer datos estadísticos.
Para aplicarla primero debe
ser elaborada por el grupo
entrevistador.
RAR
H2
Hacertrampaenelexamen
Apalearalvecinojajajajaja
Para levantar una encuesta,
primero se debe reunir el
grupo de trabajo y deben
elaborar el instrumento
que se va a aplicar,
La columna “conteo”, en
la tabla 2, se agrega para
facilitar el cálculo de la
frecuencia absoluta (fi
).
Tome nota

23. 15
Este instrumento se denomina tabla de frecuencias y se utiliza
para:
Ordenar
Agrupar
Resumir
El formato de estas tablas es el siguiente:
Nombre de la variable Frecuencia
Categoría o recorrido de la
variable (toma un valor del
dominio de la variable).
Número de
observaciones
Total n
Tabla 3
Se registran en la pizarra las edades de los 30 estudiantes
de la sección de quinto grado del colegio Salomón Ibarra
Mayorga del municipio de Managua. Los datos obtenidos son
los siguientes:
9 11 10 11 12 10 12 9 10 11
12 10 11 10 11 10 11 12 9 12
9 10 12 11 10 11 11 12 11 11
Elaborar una tabla de distribución de frecuencias con estos
datos siguiendo el modelo de la tabla 2.
Solución.
Usando la misma técnica de conteo resulta la siguiente tabla de
distribución de frecuencias
Edad del o la estudiante (años) Conteo Frecuencia
9 IIII 4
10 IIIII III 8
11 IIIII IIIII I 11
12 IIIII II 7
Total 30
Tabla 4
RAR
H2
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Apalearalvecinojajajajaja
Escriba en su
cuaderno...
Encuesta de opinión.
¿Qué tipo de lectura
prefiere? Marque con el
símbolo  su tipo preferido.
Aventuras.
Biografías.
Ciencia ficción.
Cuentos y leyendas.
Astronomía.
Otros.
Los elementos básicos que
deben distinguirse en un
estudio estadístico son:
HH La población.
HH La muestra.
HH La variable.
HH El tipo de variable.
HH El método para la
recolección de datos.
HH La tabla de frecuencias.
El subíndice i de fi
, indica la
posición en que se ubica la
frecuencia asociada al dato i
en una tabla de frecuencias.
Por ejemplo en la tabla 4 de la
página anterior f1
= 4 , f2
= 8,
f3
= 11 y f4
= 7.
Ma
tem
áti
ca
7
¿Sabías qué?

24. 16
Tipos de Frecuencias
En las tablas de distribución de frecuencias y categorías, se
puede distinguir los siguientes tipos de frecuencias:
Frecuencia Absoluta (fi
)
Es el número de veces que aparece un atributo o un valor
determinado de una variable. Se representa con fi
. La suma
de todas las frecuencias absolutas es la cantidad de datos
(n: tamaño de la muestra).
Frecuencia Relativa (fr
):
Es el cociente de la frecuencia absoluta y el número de datos.
Se simboliza por fr
y se expresa así f
f
n
r
i
= . La suma de todas
las frecuencias relativas es igual a 1.
La frecuencia relativa multiplicada por 100 nos permite obtener el
porcentaje (% fr
= 100 fr
) de cada dato de la variable estadística.
Frecuencia Absoluta Acumulada (Fi
):
Es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores
menores o iguales a un determinado dato. Se representa con Fi
.
La frecuencia absoluta acumulada del último valor es igual al
número de datos (n: tamaño de la muestra).
Edad fi
fr
%fr
Fi
9 4 4/30 = 0,13 0,13(100) = 13 4
10 8 8/26 = 0,27 27 4 + 8 = 12
11 11 11/30 = 0,37 37 4 + 8 + 11 = 23
12 7 7/30 = 0,27 27 30
Total 30 1 100
Nota: Se ha redondeado hasta dos cifras significativas
Frecuencia Relativa Acumulada (Fr
):
Es el cociente de la frecuencia absoluta acumulada y el número
de datos. Se representa con el símbolo F
F
n
r
i
= .
La frecuencia relativa acumulada multiplicada por 100 permite
obtener el porcentaje acumulado.
Ma
tem
áti
ca
7
¿Sabías qué?
¿Es lo mismo?
En las estadísticas del
baseball, el “promedio de
bateo”, llamado average,
es el número de hits por
turnos al bate. Por ejemplo,
un jugador que ha bateado
84 hits en 250 veces al bate
tiene un promedio de bateo de
84
250
0 336
336
1000
= =,
Este valor indica que el
jugador conecta, en promedio,
336 hits por cada 1000 turnos
al bate.
La simbología usada en
estadística retoma el uso de
estos símbolos: fi
, fr
, Fi
, Fr
,
N, n, por los especialistas
en estadísticas.
Frecuencia absoluta que
frecuencia relativa.

25. 17
Observación:
n : tamaño de la muestra
N: tamaño de la población
(cuando es finita)
Mate
mátic
as
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Mate
mátic
as
7
Ejemplo
Con los datos de la Tabla 4, completar la tabla 5.
Edaddelestudiante fi
fr
% fr
Fi
Fr
% Fr
9 4
10 8
11 11
12 7
Total (n) /////// /////// //////
Tabla 5
Trabajo en equipo
En un estudio estadístico que se hizo en un barrio de Jinotega, se
investigó la edad de las niñas y niños entre 1 y 3 años cumplidos
y se recolectaron los siguientes datos (Complete la tabla de
distribución de frecuencia).
Edad fi
fr %fr
Fi α = fr
. 360
1 156
2 167
3 107
Total (n) 430
Tabla 6
Reforzamiento.
En una investigación sobre la
preferencia que se tiene por
cierta marca de vehículo, se
utiliza el sistema de llamada
telefónica a diferentes
personas.
Marca de
Auto
Cantidad de
respuestas
afirmativas
Tipo A 10
Tipo B 13
Tipo C 7
Tipo D 6
Tipo E 21
Tipo F 12
Con la información indicada
en la tabla adjunta, elabore
una tabla de distribución de
frecuencias.
90°
140°
130°
En el diagrama de sectores
circulares.
El color celeste significa niños de
3 años.
El color amarillo significa niños de
2 años.
El color rosado significa niños de
1 año.

26. 18
¿Sabías qué?
Ma
tem
áti
ca
7
El gráfico de barras es
también conocido como
gráfico de columnas y son
usados para comparar
dos o más valores.
Gráficos Estadísticos
Una vez construida la tabla de frecuencias, se representa
mediante un gráfico. Entre los gráficos más utilizado se puede
destacar:
Variable Representación Gráfica
Cualitativa
CC Diagrama de sectores circulares.
CC Diagrama de barras.
Cuantitava Discreta
CC Polígono de frecuencias
CC Ojiva
Cuantitativa
Continua
CC Histograma
CC Polígono de frecuencia
CC Ojiva
El tipo de gráfico o diagrama depende del tipo de dato, si
es cualitativo o cuantitativo, pero se debe de usar el gráfico
que sea más adecuado a los datos recolectados para presentar
mejor la información.
Diagrama de sectores circulares
Los diagramas de sectores circulares se utilizan para comparar
las distintas modalidades de una variable.
Procedimiento para elaborar un gráfico de sectores
circulares:
Para construirlo, se traza un circulo y se asigna cada modalidad
un sector circular, cuyo ángulo es proporcional a su frecuencia
relativa.
La medida, en grados, de los ángulos centrales se calcula con
la expresión:
α = fr • 360 o bien α = 360 • fr
Los diagramas de sectores
circulares y los pictogramas
que se estudian más
adelante son los gráficos
más populares, por su
fácil comprensión.
¿Sabías qué?
Ma
tem
áti
ca
7
Si el diagrama se dibuja de
esta forma, se le denomina
Diagrama de sectores circulares.
Noticias
Novelas
Películas
Documentales
Si se le dibuja de esta
otra forma, se le llama
Diagrama de pastel.
Noticias
Novelas
Películas
Documentales
Pero en ambos casos
es el mismo.

27. 19
1. El número de sectores del gráfico es igual al número de
categorías de la variable en estudio.
2. Se calcula la medida del ángulo central de cada sector
circular ( agregar una columna, en la tabla, para escribir la
medida del ángulo α).
Mate
mátic
as
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Mate
mátic
as
7
Ejemplo
Se aplicó una encuesta a una muestra de 50 personas, acerca
de la preferencia que tienen por el programa de TV que ven
entre las 06:00 p.m. y las 08:00 p.m., los resultados fueron:
Preferencia fi
noticias 16
novelas 8
películas 16
documentales 10
Total 50
Tabla 7
La tabla del ejempo anterior quedaría de la siguiente forma:
Preferencia fi
fr α = fr
. 360
noticias 16 0,32 115,2
novelas 8 0,16 57,6
películas 16 0,32 115,2
documentales 10 0,2 72
Total 50 1,00 360
Tabla 8
Después se dibuja un círculo de radio 3 cm y se mide con un
transportador, el ángulo central de cada sector.
Noticias
Novelas
Películas
Documentales
115,2°
57,6°
115,2°
72°
Diagrama de Sectores Circulares
El diagrama de sectores circulares sería
el de la figura adjunta.
e iπ
+1 =
0
Aprenda
un poco
más...
Construya un diagrama de barra
y sector circular para cada una de
las siguientes tablas:
Color de ojos de 150 estudiantes
de séptimo grado.
Color de ojos fi
Claros 20
Negros 50
Café 80
Resumen de hábito de lectura de
120 estudiantes de octavo grado
del colegio Carmela Noguera.
Cantidad que lee fi
Mucho 70
Regular 40
Poco 10

28. 20
Diagrama de Barras
Es un gráfico de columnas. Esta representación gráfica
consiste en construir tantos rectángulos como modalidades
presenta el carácter en estudio, todos ellos de igual amplitud.
La altura se toma igual a la frecuencia absoluta o relativa (según
la distribución de frecuencias que estamos representando).
De esta forma, todos los rectángulos tienen áreas proporcionales
a las frecuencias que se quieren representar.
16
10
8
16
Si usamos los mismos datos del
ejemplo anterior, el gráfico es
igual al ubicado a la izquierda
de esta explicación.
Histograma.
Cuando la variable sea de tipo continuo y los datos estén
agrupados en intervalos, para representar gráficamente la
información que tenemos, utilizaremos el histograma.
Procedimiento para construir un histograma
Se dibuja un sistema de cordenadas. Se coloca en el eje
horizontal los valores de la variable. En el eje vertical se colocan
las frecuencias absolutas o las frecuencias porcentuales. Se
ordenan los datos de menor a mayor y se agrupan en intervalos
o clases de igual amplitud, sin traslaparse. Se registra el
número de datos (frecuencia absoluta fi
) en cada intervalo y se
construyen rectángulos cuyo ancho coincide con la amplitud
de cada intervalo. La altura de cada rectángulo es igual a la
frecuencia absoluta o frecuencia porcentual de cada clase.
Las barras deben de construirse juntas sin traslaparse, ya que
se trata de variables cuantitativas continuas.
La naturaleza gráfica del histograma nos permite ver pautas que
son difíciles de observar en una simple tabla numérica.
El símbolo es la letra griega
sigma. En matemática se
denomina sumatoria porque
indica la suma de varios
términos.
e iπ
+1 =
0
Aprenda
un poco
más...
Noticias
Novelas
Películas
Documentales
0 10 20
Los diagramas de barra
también se pueden dibujar en
forma horizontal.
En un histograma las barras
van juntas porque están
asociados al comportamiento
de variables cuantitativas
continuas.
Los gráficos de barras se
utilizan para representar el
comportamiento de variables
cualitativas o cuantitativas
discretas. Los rectángulos se
dibujan de manera separada.

29. 21
La siguiente tabla indica las edades de una muestra de 46
personas que asistieron a una pelicula en un cine de la ciudad
de Managua:
Intervalos de Edades Límites reales fi
8 - 13 (7,5 ; 13,5] 2
14 - 19 (13,5 ; 19,5] 7
20 - 25 (19,5 ; 25,5] 13
26 - 31 (25,5 ; 31,5] 15
32 - 37 (31,5 ; 37,5] 9
46
Tabla 9
Límites reales
Los límites reales se determinan
restando 0,5 o
2
1 al límite inferior
y al superior le sumamos
2
1 o 0,5
La notación de intervalos
de clase [ LI, LS ] o bien
[ Li
, Ls
] expresa:
Li
: Límite inferior de
un intervalo.
Ls
: Límite superior
de un intervalo.
Marca de clase (Xi
):
Se calcula sumando el
límite inferior y el límite
superior , luego dividimos
el resultado por 2.
X =
L +L
2
i
i s
e iπ
+1 =
0
Aprenda
un poco
más... 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
F
r
e
c
u
e
n
c
i
a
A
b
s
o
l
u
t
a
Histograma
Intervalos reales
7,5 13,5 19,5 29,5 31,5 37,5
Si a la tabla 9 le agregamos una columna para las marcas de
clases (Xi
), obtenemos:
Intervalo
de
Edades
Límites reales fi
Marca de
Clase (Xi
)
Fi
8 - 13 (7,5 ; 13,5] 2
8 13
10,5
2
+
= 2
14 - 19 (13,5 ; 19,5] 7 16,5 9
20 - 25 (19,5 ; 25,5] 13 22,5 22
26 - 31 (25,5 ; 31,5] 15 28,5 37
32 - 37 (31,5 ; 13,5] 9 34,5 46
Tabla 10

30. 22
El polígono de frecuencias
Una vez construido el histograma, el polígono de frecuencia
se obtiene uniendo los puntos medios de la base superior de
cada rectángulo.
A partir de la tabla 10 se construye a continuación el polígono
de frecuencias:
¿Sabías qué?
Ma
tem
áti
ca
7
La mayoría de las gráficas
estadísticas se representan
en el plano cartesiano.
Para la mayoría de las
gráficas se acostumbra usar
el criterio de los 3
4
; es decir,
que la altura máxima de la
información que se representa
en el eje vertical sea 3
4
de la
información que se representa
en el eje horizontal.
Ojiva
También llamada polígono de frecuencia acumulada, es la
gráfica de una distribución de frecuencias acumulada que se
construye uniendo con una línea recta el punto de coordenada
formado por el límite superior real y la frecuencia acumulada.
Las características de una ojiva son:
a. Muestra las frecuencias acumuladas.
b. Se prefiere para el tratamiento de datos cuantitativos.
Polígono de Frecuencias
10,5 16,5 22,5 28,5 34,5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Intervalos reales
FrecuenciaAbsoluta
15
10
20
30
40
50
13,5 25,5 31,5 37,5
Ojiva
Límites reales superiores
9
FrecuenciaAcumulada
2
9
22
37
46
.
.
.
..
19,5

31. 23
Pictogramas
Los pictogramas, también llamados representaciones visuales
figurativas, utilizan símbolos para representar un conjunto
de datos. La mayor frecuencia se identifica por la mayor
acumulación de símbolos.
Estas gráficas de datos tienen como objetivo ofrecer una
descripción, lo más explícita posible, de la distribución de
datos y se emplean para hacer más entendibles los informes
estadísticos.
Para construirlos se dibujan figuras que aluden a la distribución
que se está estudiando y cuyos tamaños son proporcionales a
la frecuencia absoluta.
Mate
mátic
as
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Mate
mátic
as
7
Ejemplo
Elaborar un pictograma a partir de la siguiente tabla:
Año
Venta anual de bombillas en una
fábrica
2007 250 000
2008 320 000
2009 400 000
2010 520 000
Tabla 11
Venta anual de bombillas en una fábrica
550 000
450 000
350 000
250 000
2007 2008 2009 2010
(Años)
FrecuenciaAbsoluta
UnidadesVendidas
Pictograma
0
El diagrama de Pareto, es
una gráfica de barras de
frecuencia que se presenta
en orden de mayor a menor (
de la barra más alta a la barra
más baja).
Los diagramas de Pareto
son herramientas gráficas
muy utilizadas en control
de procesos y de calidad.
Pueden ayudar a los
ingenieros a identificar
defectos importantes y sus
causas.
¿Sabías qué?
Ma
tem
áti
ca
7
En los siglos XVII y XVIII la
estadística tuvo un mayor
desarrollo gracias a dos
matemáticos notables,
Bernoulli y De Moivre quienes
desarrollaron en 1930 la forma
de distribución normal.
En el siglo XIX Laplace y
Gauss desarrollaron el cálculo
de probabilidades aplicado
a la Astronomía. Quetelet,
estadístico belga, aplicó
la estadística a problemas
sociales y educativos y
Francis Galton la aplicó en
la Ciencias Sociales y a
los estudios de la herencia
eugenesia, sociología,
antropometría, etc.
En Estados Unidos James
Mckeen Cattell y su discípulo
E. L. Thomdike aplicaron
métodos estadísticos a
problemas de la sociología y
ciencias de la educación.
En el siglo XX varios
estadísticos principalmente
Fischer introducen varios
métodos y técnicas en
el estudio de muestras
pequeñas en el campo
agrícola y biológico.

32. 24
También se usan los cartogramas, que se basan, en mapas
geográficos que utilizan distintas tramas, colores o intensidades
para remarcar las diferencias entre los datos.
Trabajo en equipo
Elaboren un pictograma con los siguientes datos. Tomen en
cuenta las sugerencias que se les dan y aporte ideas propias
para el gráfico.
La demanda anual de un tipo particular de vehículos en algunos
países de Suramérica se muestra a continuación en la tabla
siguiente:
País Demanda
Colombia 20 000
Venezuela 40 000
Argentina 120 000
Chile 150 000
Brasil 160 000
Tabla 12
Sugerencias:
1. El símbolo que emplearemos tendrá forma de vehículo,
haciendo referencia al tema de la tabla. Cada símbolo podría
tener una equivalencia de 20 000 unidades demandadas.
2. En el eje cartesiano vertical colocamos los países y las
demandas en el horizontal.
Los economistas y
gerentes de empresas
nicaragüenses pueden
predecir los volúmenes de
venta, medir las reacciones
de los consumidores ante
los nuevos productos,
tomar decisiones de cómo
invertir el presupuesto en
campañas publicitarias
y determinar los mejores
metodos para el control de
las habilidades y aptitudes de
sus trabajadores con el fin de
promoverlos, hacer control
de calidad de los productos
elaborados, entre otros.
Una herramienta valiosa
es la estadística, debido
a que constituye la base
para que los economistas
analicen funciones básicas
tales como la demanda, el
ingreso, la función producción
y la función costo, entre
otros, esto se conoce
como Econometría.
¿Sabías qué?
Ma
tem
áti
ca
7

33. 25
Trabajo en equipo
Estudie cada uno de los siguientes pictogramas y elabore una
tabla de frecuencias para los incisos 1, 2 , 3, 4, y 5 .
1)
Municipio
San Jorge
Diriomo
Bluefields
El Rama
Malpaisillo
Árboles
Número de árboles sembrados por municipio
= 1 000 árboles
2)
1930
1950
1970
1990
Población demográfica por año
del municipio de Masaya
equivale a 5 000
Año
3)
Aparatos telefónicos vendidos por año
1998
1999
2000
equivale a 10 000
Las principales características
de los pictogramas son:
HH Su formato es libre.
HH Emplean una secuencia de
símbolos para representar
frecuencias.
HH Se emplean para el
tratamiento de datos
tanto cualitativos como
cuantitativos.
¿Sabías qué?
Ma
tem
áti
ca
7
Herbert George Wells
mejor conocido como H.G.
Wells dijo: El pensamiento
estadístico será un día tan
necesario para el ciudadano
eficiente como la capacidad
de leer y escribir.
Herbert George Wells
1 866 - 1 946

34. 26
Tome nota
Medidas de tendencia
central: Son estadísticos
alrededor de los cuales se
concentran gran parte de los
valores de la distribución
MEDIANA (Me
) o x
Es una medida de
centralizacion que se
caracteriza por lo siguiente:
deja tras de sí el 50%
de la distribución.
El símbolo de la mediana x
se lee equis circunflejo.
MODA (Mo
)
Se define como el valor
de la variable que tiene
mayor frecuencia absoluta
LA MEDIA ARITMÉTICA (x)
Es un estadístico que nos
da una idea de entorno a
qué valor se encuentran
concentrados los valores
de una variable estadística,
aunque en ocasiones no
resulte un valor demasiado
representativo.
El símbolo de la media es x
y se lee como equis barra.
x : media aritmética
para una muestra .
μ: media aritmética
para una población.
4)
Hectáreas sembradas de trigo cada año
1992 1993 1994 1995 1996 1997
Año
5 500 ha
9 836 ha
12 162 ha
18 400 ha
21 645 ha
7 389 ha
5) Población en los departamentos
de la IV región de Nicaragua
Granada Masaya Carazo Rivas
Nota: Para elaborar la tabla verifique los datos
de la población con su docente de Ciencias Sociales
Medidasdetendenciacentralcondatosnoagrupados
En estadística, además de recopilar, organizar y representar
gráficamente los datos, es necesario hacer resúmenes de los
mismos en un solo número. Para esto se usan las medidas de
tendencia central.
Mate
mátic
as
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Mate
mátic
as
7
Ejemplo
La edad promedio de las y los estudiantes de séptimo grado de
tu salón de clases.
El salario promedio de las y los decentes de secundaria.
El promedio de las notas de matemática del 1er semestre de
7
mo
. grado en el municipio de Ciudad Sandino.

35. 27
Medidas de tendencia central
Son valores que generalmente se ubican en la parte central de
un conjunto de datos estadísticos.
Estos valores permiten analizar los datos alrededor a un valor
central. Entre estas medidas tenemos:
a. La media aritmética o promedio.
b. La mediana.
c. La moda.
La media aritmética.
La media aritmética es la medida que se obtiene al dividir la
suma de todos los datos de una variable entre el total de datos.
La media aritmética se simboliza x.
Procedimiento para calcular la media aritmética:
Dado un conjunto de datos x1, x2, x3, ..., xn, la media aritmética
se obtiene con la expresión:
x=
x1
+ x2
+x3
+...+ xn
n
donde n es el total de datos de la muestra.
Mate
mátic
as
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Mate
mátic
as
7
Ejemplo
En Matemática, una estudiante tiene las siguientes notas 54,
78, 65 y 83.
La media aritmética para estos cuatro datos (n = 4) es:
x =
54+78+65+83
4
=
4
280
= 70
Reforzamiento
¿Es posible que en un
grupo de datos existan
cuatro modas?
¿Es posible que un grupo
de datos estadísticos
no tenga moda?
¿Es posible que en
un conjunto de datos
estadísticos, la media,
la mediana y la moda
sean iguales?
Proponga un ejemplo.
¿Es posible que un
conjunto de datos no
tenga media aritmética?
¿Es posible que la media
aritmética sea la medida
más representativa de las
tres medidas de tendencia
central estudiadas?
Proponga un ejemplo.

36. 28
Explique.
¿Por qué la media
aritmética solo es aplicable
a datos cuantitativos?
Reforzamiento
Si las notas de un estudiante
en Matemática en sus
cuatro cortes evaluativos
del año anterior fueron:
97, 30, 89 y 30
Determine las medidas
de tendencia central
de esas notas.
La media aritmética:
La mediana:
La moda:
¿Por qué esta diferencia?
¿Cuál es la medida
de tendencia central
más confiable?
Discútanlo en equipo.
Trabajo en equipo
1. Investiguen el rendimiento académico de Matemática,
Lengua y Literatura y Ciencias Naturales del curso escolar
anterior, en su centro de estudios.
2. Realicen una encuesta entre los estudiantes de su sección,
acerca de la nota obtenida en estas tres disciplinas.
3. Calculen la media aritmética en cada materia y por último,
en un plenario, den a conocer los resultados, utilizando una
tabla de frecuencias con un gráfico de sectores.
4. Como conclusión, anote las dificultades que afectaron este
rendimiento académico y las alternativas para superarlo.
La mediana
Es el valor que divide a un grupo ordenado de números en
dos partes iguales, de tal forma que la mitad de los números
se encuentra por debajo de la mediana y la otra mitad se
encuentra por encima.
Procedimiento para calcular la mediana de datos no agrupados:
Se ordenan los datos de menor a mayor.
Si el número de datos es impar, la mediana es el dato que está
en el centro de los datos ordenados:
Me
: queda en la posición:
n+1
2
Si el número de datos es par, la mediana es igual a la media
aritmética de los dos datos centrales esto es:
La mediana es igual a la media aritmética de los datos dados
por las posiciones determinadas a partir de: n
2
y n+1
2

37. 29
Mate
mátic
as
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Mate
mátic
as
7
Ejemplo
a) Calculemos la mediana:
12,6,18,24,6,23,7,13
Solución.
Paso 1: Ordenamos los datos
6 7 12 13 18 23 24
Me
Paso 2: El número de datos es impar (n = 7), por tanto la
mediana es el valor del centro:
n +1
2
=
7+1
2
= 4 dato ubicado en cuarta posición: Me
= 13.
b) Calculemos la mediana
17, 15, 9, 13, 21, 32, 41, 7, 12.
Solución.
Paso 1: Ordenamos los datos
7 9 12 13 15 17 21 32 41
Me
Paso 2: El número de datos es impar (9), por tanto la mediana
es el valor del centro:
n+1
2
=
9+1
2
=5 dato ubicado en la quinta posición en la lista
anterior: Me
= 15
c) Calculemos la mediana
150, 162, 135, 184, 177, 256.
Solución.
Paso 1: Ordenamos los datos
135, 150, 162, 177, 184, 256.
Reforzamiento
Calcule las medidas de tendencia
central de los siguientes datos:
Datos x Me
Mo
2,4,7,8,9
6,8,7,5,3,7
34,25,22,20,15,
25,17,16,15,17
Los siguientes datos
indican el índice de
depresión de 13 personas
que asistieron a consulta
psicólogica en el centro de
salud Sinforoso Bravo
de la ciudad de Granada,
2,5,7,2,4,2,6,6,4,2,2,3,2.
¿Cúal es la medida de
tendencia central más
apropiada para indicar el
índice de depresión más
frecuente en los pacientes?
Los sociólogos utilizan los
conceptos y técnicas de
la estadística para medir y
comparar la conducta, las
actitudes, la inteligencia y las
aptitudes del ser humano.
Al estudio de la psicología
por medio de la estadística
se denomina psicometría.
¿Sabías qué?
Ma
tem
áti
ca
7

38. 30
Reforzamiento
Los siguientes datos
corresponden al número
de accidentes laborales
que se producen durante la
temporada de cortes de café
en las fincas cafetaleras de
la ciudad de Matagalpa:
8 7 9 10 3
15 4 7 8 9
3 10 4 2 0
14 7 9 3 7
11 12 14 1 3
9 8 6 3 4
Construya una tabla de
distribución de frecuencia
que represente estos datos.
Elabore una gráfica
apropiada para estos datos.
Calcule la media aritmética,
la mediana y la moda
Como el conjunto tiene un número par de elementos (6 números),
no hay un dato en el centro:
Calculamos la posición
n
2
=
6
2
=3 dato en la tercera posición = 162
n+1
2
=
6+1
2
= 3,5 4 dato en la cuarta posición = 177
135 150 162 177 184 256
Me
= x =
162 + 177
2
= 169,5
Mediana = Media Aritmética (x) de datos centrales
La moda
Definición
La moda de un conjunto de datos estadísticos no agrupados
es el valor que ocurre con mayor frecuencia. Se simboliza M0.
Mate
mátic
as
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Mate
mátic
as
7
Ejemplo
En cada uno de los siguientes ejercicios determine la moda:
En una evaluación sistemática efectuada a 15 estudiantes del
Instituto Salomón Ibarra Mayorga de Managua, el resultado
fue:
79, 72, 80, 98, 90, 72, 83, 72, 70, 75, 72, 72, 100
Solución.
Podemos observar que la nota con más frecuencia absoluta es
72, por tanto:
M0 = 72.

39. 31
Encuentre la moda para la serie de números dados:
a) 8, 12, 13, 8, 11, 10, 9.
Solución.
El número que tiene mayor frecuencia es el 8, por tanto:
Mo
= 8.
b) 23, 31, 45, 23, 38, 27, 45.
Solución.
Tanto el número 23 como el 45 tienen la misma frecuencia.
Entonces el conjunto tiene dos modas o sea es bimodal:
Mo 1
= 23 , Mo 2
= 45
c) 122, 135, 234, 167, 432, 328.
Solución.
En este caso, ningún dato se repite, por tanto no tiene moda.
Trabajo en equipo
Formen equipos de trabajo, elijan un coordinador y resuelvan
los siguientes ejercicios:
I) Para cada grupo de datos, calculen la media aritmética(x), la
mediana (Me) y la moda (M0).
1. 3, 7, 12, 16, 23.
2. 21, 25, 32, 48, 53, 62.
3. 128, 230, 196, 224, 196, 233.
4. 26, 31, 46, 31, 26, 29, 31.
5. 3,1; 4,5; 6,2; 7,1; 4,5; 3,8; 6,2; 6,3.
6. 14 320, 16 950, 17 330, 14 470.
Las medidas estadísticas
resumen la información de
la muestra, para un mejor
conocimiento de la población.
Las medidas de tendencia
central son valores
que, generalmente, se
ubican alrededor de un
conjunto de datos.
e iπ
+1 =
0
Aprenda
un poco
más...

40. 32
II) Se ha lanzado un dado 100 veces, obteniéndose los siguientes
resultados:
6 1 6 3 1 4 5 2 5 6 1 5 3 4 1 4 6 1 2 1
3 1 4 6 2 5 4 3 1 5 2 2 3 6 3 5 2 4 1 6
5 2 4 5 3 6 4 6 3 6 6 4 4 2 2 5 1 6 3 1
2 5 3 1 1 4 3 5 1 5 3 3 1 6 5 2 6 1 4 5
5 1 4 4 3 2 5 6 5 2 2 4 1 3 3 4 6 4 3 2
Determinen:
1. La media, la mediana y la moda.
2. Complete la siguiente tabla de distribución de frecuencias:
Resultado fi
Fi
fr
α = fr • 360
1
2
3
4
5
6
Total
Elaboren los siguientes gráficos:
a) Un gráfico de barras
b) Un diagrama de sectores circulares.
c) Un diagrama de Pareto
III) Los siguientes datos muestran las edades de 20 personas
convocadas a formar el jurado en el Juzgado Primero de lo
Penal:
48 58 33 42 57 32 52 25 46 60
61 49 38 53 30 47 52 63 41 34.
Determine las medidas de tendencia central.
Reforzamiento
El número de accidentes de
60 operarios de máquina que
fueron analizados en tres
meses por el experto Elías
Martínez, se muestran en la
tabla siguiente:
Número de
Accidentes
fi
0 27
1 12
2 6
3 6
4 3
5 3
6 2
7 1
Determinar:
HH Media aritmética
HH Moda
HH Mediana
HH Interprete cada medida de
tendencia central
HH Elabore un diagrama de
Pareto

41. 33
Actividades finales de la primera unidad
1. Señale en qué caso es más conveniente estudiar la población o la muestra.
a. La longitud (en pulgadas) de las reglas que corta una máquina de aserrar
ininterrumpidamente.
b. La estatura de los y las estudiantes de 7mo
. grado de Nicaragua.
c. El peso en libras de los estudiantes de 7mo
. grado A del Instituto Rubén Darío.
d. El número de aprobados de 7mo
. grado del departamento de Chontales en el curso
académico 2014.
2. Señale las variables cualitativas y las cuantitativas de la siguiente lista. Si son cuantitativas,
decir cuáles son discretas y cuáles continuas.
a. Color de los ojos de un grupo de seis personas.
b. Altura de los estudiantes de un grado de educación secundaria.
c. Número de hijos de una familia.
d. Color de piel de un grupo de personas.
e. Credo religioso de los estudiantes de un Instituto.
f. Género de los estudiantes de un Colegio.
g. Estado civil.
3. Escriba la letra correspondiente a la par de cada enunciado en el paréntesis, identifique
cuál es la muestra (M) y cuál es la población (P).
a. Se extrae cien tornillos de los que produce una fábrica en un día determinado ( )
b.Obtenemos las calificaciones de todos los estudiantes de la Facultad de Ciencias
Económicas ( )
c.Obtenemos la información de las horas trabajadas en un día por los obreros de
la Zona Franca. ( )
d.Extraemos dos galones de gasolina de un tanque de 500 galones para que sean
examinados ( )

42. 34
4. Señale con una A las series constituidas por datos cualitativos (o atributos) y con una V los
datos cuantitativos.
a.Preferencia musicales (Rock, Pop, Bachata, Reggae, Bolero). ( )
b.Marcas de galletas ( )
c.El peso en libras ( )
d.Velocidad en km/h ( )
e.Nivel educativo (primario, secundario, universitario) ( )
f.Número de empleados de una empresa. ( )
g.Años de antigüedad laboral. ( )
h.La clase social (bajo, media o alta) ( )
5. Señale cuál de las siguientes variables son continuas ( C ) y cuales son discretas ( D ).
a.Cantidad de quintales de café cortados en un período determinado ( )
b.Cantidad de cajas de fósforos en un determinado conteo físico ( )
c.Galones de gasolina consumidos por un automóvil en una semana ( )
d. Cantidad de camisas vendidas diariamente ( )
e.Tiempo de vida de los bombillos eléctricos ( )
6. Se realizó una encuesta por parte de los estudiantes de séptimo grado del Instituto
Nacional de Oriente a los vecinos del barrio El Arsenal, acerca de las preferencias en los
programas de TV, obteniendo los siguientes datos:
Preferencia fi
Fi
fr
α = fr
. 360
Novelas 48
Películas 35
Series de acción 22
Programas infantiles 38
Programascientíficos 27

43. 35
Complete la tabla de distribución de frecuencias.
Con los datos del problema 3 dibuje: un grafico de barra, un diagrama sector circular.
7. Elabore una tabla de distribución de frecuencias y un diagrama de sector circular con la
información brindada por el siguiente gráfico.
Deporte preferido.
8. Misael Martínez obtuvo las siguientes notas, durante el primer corte evaluativo:
98, 95, 93, 63, 89, 95, 91, 89.
a. Calcular la media aritmética, la mediana y la moda de estas notas.
b. ¿Cuál de las medidas de tendencia central es el más indicado para destacar las
habilidades académicas de Misael Martínez?
9. Los siguientes datos son las notas de Matemática de 7mo
. grado A, obtenidas por los
estudiantes del Instituto Gaspar García Laviana.
43, 44, 47, 57, 57, 58, 59, 59, 60, 60 61, 61, 62, 62, 62, 63, 70, 80, 92, 68.
a. Calcular la media aritmética, la mediana y la moda de estas notas.
b. ¿Qué medida en el cálculo anterior es la más representativa de los datos.
c. Explique su respuesta.
10. Resolver cada uno de los siguientes problemas.
En un estudio que se realizó en el asilo de ancianos La Providencia de Granada, se tomó
las edades en años cumplidos de los que pueden caminar sin dificultad, recolectándose
los siguientes datos: 69, 73, 65, 70, 71, 74, 65, 69, 60 y 62. Calcular la media aritmética,
la mediana y la moda .

44. 36
11. A continuación, se proporcionan los pesos (redondeados a la libra más próxima) de los
bebés nacidos durante un cierto intervalo de tiempo en un hospital Bertha Calderón de
la ciudad de Managua, capital de Nicaragua:
4, 8, 4, 6, 8, 6, 7, 7, 7, 8, 10, 9, 7, 6, 10, 8, 5, 9, 6, 3, 7, 6, 4, 7, 6
9, 7, 4, 7, 6, 8, 8, 9, 11, 8, 7, 10, 8, 5, 7, 7, 6, 5, 10, 8, 9, 7, 5, 6, 5
a.Construir una tabla de distribución de frecuencias de estos pesos.
b.Construir un gráfico de barra.
c.Construir un diagrama de sectores circulares.
d. Calcular las medidas de tendencia central.
12.La siguiente tabla de distribución muestra las edades en años de 40 estudiantes que
estudian el primer nivel de bachillerato en el Proyecto Educativo Sandino 2 del Colegio
Público Dr. Salvador Mendienta Cascante de la ciudad de Managua.
Intervalo
de Edades
Límites
reales
fi
Marca de Clase
(Xi
)
Fi
fr
α = fr
.
360º
16 - 17 5
18 - 19 11
20 - 21 10
22 - 23 9
24 - 25 3
26 - 27 2
Total (n)
Complete la tabla de distribución de frecuencia anterior y elabore los siguientes gráficos
estadísticos:
a. Diagrama de sectores circulares.
b. Histograma.
c. Polígono de frecuencias.
d. Ojiva.

45. 37
13. Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias sobre el peso en libras de los
estudiantes de undécimo grado del Instituto Público Douglas Sequeira.
Intervalo de peso
(libras)
Límites
reales
fi
Marca de
Clase (Xi
)
Fi
fr α = fr
. 360
100 - 109 10
110 - 119 26
120 - 129 20
130 - 139 15
140 - 149 14
150 - 159 19
160 - 169 12
Total (n)
Complete la tabla de distribución de frecuencia anterior y elabore los siguientes gráficos
estadísticos:
a. Diagrama de sectores circulares.
b. Histograma.
c. Polígono de frecuencias.
d. Ojiva.
14. La siguiente tabla muestra la preferencia que 1 250 personas televidentes tienen en
relación a seis noticieros que se transmiten diariamente por la televisión nacional de
Nicaragua.
Noticiero Número de personas que lo prefieren
A 200
B 300
C 300
D 100
E 250
F 100
Total

46. 38
Elabore un:
a. Diagrama de sectores circulares.
b. Diagrama de Pareto.
15.El Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional otorgó préstamos a 30 campesinos para
la siembra y producción de frijoles. El número de manzanas de tierra financiada a traves
de ALBA-CARUNA fueron:
17 57 10 35 26 3
21 11 7 72 5 86
6 20 95 40 14 42
12 32 28 13 19 28
45 8 19 21 38 20
a.Construya una distribución de frecuencias que contenga 5 clases.
b.Elabore un histograma.
c.Elabore un polígono de frecuencia.
d.Elabore una ojiva.
e.Calcule la media aritmética.
f.La mediana.
g.La moda.
h.Interprete los resultados.
16. A continuación se presenta la cantidad de familia beneficiada en el plan techo que impulsa
el Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional en 25 comarcas del departamento de
Boaco.
15 17 7 15 20
5 3 19 10 3
11 10 4 8 13
9 15 6 2 8
12 1 2 13 4

47. 39
a.Construya una tabla de distribución de frecuencias que contenga 4 clases.
b. Elabore un gráfico de barra y un diagrama de sectores circulares.
17. La revisión de 8 documentos reveló el siguiente número de equivocaciones en cada uno:
2, 4, 2, 3, 2, 0, 1, 0
Determine:
a) El número promedio de equivocaciones.
b) El número mediano de equivocaciones.
c) El número modal de equivocaciones.
18. Los datos siguientes son los pasatiempos favoritos de un grupo de estudiantes de un
internado, que resultaron de una encuesta realizada.
Música TV Leer TV Leer Música TV TV
TV Descansar TV Música Dibujar Leer Leer Baseball
Leer Leer Leer Música Leer Dialogar Dialogar Leer
Baseball Leer Investigar Leer Pintar Noticias Leer Música
Noticias Leer Dialogar Música Música Noticias Dibujar Baseball
TV Leer Dibujar Descansar Investigar Música Leer Descansar
Elabore:
a.Una tabla de distribución de frecuencias.
b.Un gráfico de barras.
c.Un gráfico de sectores circulares.
19. Construir un diagrama de barras para representar el resultado obtenido al tirar un dado
100 veces, que se resume en la siguiente tabla:
Número que muestra el dado 1 2 3 4 5 6 Total
Frecuencia 20 15 22 18 14 11 100

48. 40
20. Construir un diagrama de barras para un estudio de la procedencia de los estudiantes de
una escuela, si se observó que:
Procedencia Urbana Rural Suburbana Total
No. de estudiantes 24 36 140 200
Construya un gráfico de sectores circulares para los datos de este ejercicio.
21. Dado el siguiente cuadro:
Ocupación Obreros Técnicos Administrativos
Cantidad de Personas 80 10 10
Construya un gráfico de sectores circulares para la distribución ocupacional del personal de
una fábrica.
22. Dado un conjunto de datos que representan información sobre el peso en gramos (g) de
48 muestras minerales.
25 43 12 38 23 45 17 19 23 24 31 38
15 32 35 17 34 41 40 27 19 31 41 44
24 28 12 36 38 33 42 35 31 26 29 26
37 40 18 19 27 28 47 23 21 17 19 29
Elabore:
a.Una tabla de distribución de frecuencias.
b.Un histograma.
c.Un polígono de frecuencia.
d.Una ojiva.

49. Conjunto de los
Números Enteros
Unidad 2
El Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional ha impulsado un importante proyecto
como es la construcción del puente Santa Fe y paralelo a la construcción del puente
también se construyó la carretera ubicada en la costa Sur del Río San Juan de Nicaragua
hasta concluir en la frontera con Costa Rica, lo que facilitará que las exportaciones de la
zona central del país puedan salir en esa dirección hacia Puerto Limón en Costa Rica,
además de la entrada y salida de nicaragüenses hacia el país vecino del Sur.
Fuente: 19 digital.
Abril 2014.
1 2 3 4 5 6 7
. . . -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
Enteros positivos
Enteros positivos
Enteros negativos
Enteros negativos Ni positivo ni negativo

50. 42
Teoría de Conjuntos (II)
Tipos de conjuntos
Repaso.
a. Los conceptos: conjunto, elemento y pertenencia son
conceptos primitivos de la Teoría de Conjuntos
b. Unconjuntoesunacoleccióndeelementosconcaracterísticas
bien definidas, que permitan decir con claridad, si este objeto
está o no está en el conjunto.
c. Para indicar la pertenencia de un elemento en un conjunto
se usa la letra griega epsilón (∈). La expresión a ∈ M se
lee el elemento a pertenece o está en el conjunto M. La
negación de esta expresión es a ∉ M y se lee el elemento a
no pertenece al conjunto M.
d. El conjunto universo es un conjunto que contiene a otros
conjuntos, dentro de un contexto definido.
Determinación de conjuntos
Determinar un conjunto es definir sus elementos.
Los conjuntos se pueden determinar de dos formas:
1. Por extensión, si se escriben los elementos del conjunto,
agrupados en llaves y separados por una coma. Por
ejemplo: A = {a, e, i, o, u}.
2. Por comprensión, si se determinan los elementos del
conjunto con una definición, una regla, o una propiedad
que los caracterice. Por ejemplo:
A = {x∣x es una vocal}.
Matem
áticas
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Matem
áticas
7
Ejemplo
Describir el conjunto formado por los elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 y 9.
a) Por extensión: A = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9}.
b) Por comprensión: A = {x∣ x es un dígito}.
Georg Ferdinand Ludwing
Phillip Cantor
1 845 - 1 918
HH Era un matemático alemán
de origen ruso conocido
como el creador de la
teoría de conjuntos.
HH Fue el primero en probar
la no numerabilidad de los
números reales.
HH Cantor recibió su
doctorado en 1 867 y
aceptó una posición en la
universidad de Halle,
en 1 869 donde
permaneció.
HH Nunca dudó de su
absoluta confianza en su
trabajo pero, después del
descubrimiento de las
paradojas de la teoría de
conjuntos, dejó la teoría de
los conjuntos transfinitos, a
matemáticos más jóvenes
tales como David Hilbert,
Bertrand Russell y Ernest
Zermelo.

51. 43
Matem
áticas
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Matem
áticas
7
Ejemplo
Determinar, primero por extensión y después por comprensión,
los siguientes conjuntos.
a) A: el conjunto de los números primos menores que 15.
Solución.
Por extensión: A = {2, 3, 5, 7, 11, 13}.
Por compresión: A = {x|x es un número primo menor que 15}.
b) B: el conjunto de los departamentos de la región del pacífico
de Nicaragua.
Solución.
Por extensión:
B = {Chinandega, León, Managua, Granada, Masaya, Carazo,
Rivas}.
Por comprensión:
B = {x|x es un departamento de la región del pacífico de
Nicaragua}.
Trabajo en equipo
Escriba por extensión y después por comprensión diez conjuntos
tomados de su entorno.
Al referirnos a elementos
de un conjunto, estamos
hablando de personas,
animales. cosas, conjuntos
numéricos, etc, que tienen
características bien definidas.
Tome nota
Recuerde:
Es más cómodo escribir algunos
conjuntos por extensión, que por
comprensión, y viceversa.
La expresión x|x que se lee
“x tal que x”, significa que
los elementos del conjunto
cumplen la regla, definición,
propiedad o relación que
determinan los elementos del
conjunto.
Tome nota

52. 44
El conjunto vacío se
representa con el símbolo
∅ o también { }.
No se debe escribir {∅} para
simbolizar el vacío porque
estaríamos escribiendo un
conjunto con un elemento.
¿Sabías qué?
Ma
tem
áti
ca
7
Algunos autores de libros de
matemática, incorrectamente
dicen que el símbolo para
representar el vacío es la
letra griega ∅ (fi), esto es
falso, recuerde que es una
vocal utilizada en las lenguas
danesa, feroesa y noruega...
Conjunto finito y conjunto infinito
A veces nos encontramos con la situación de contar los
elementos de un conjunto, por ejemplo, contar las monedas que
están en una bolsa, las y los estudiantes de un instituto o los
habitantes del barrio. Este proceso de contar puede tener un
final o no.
Con esta idea podemos clasificar los conjuntos en:
a. Conjunto finito: intuitivamente un conjunto es finito si los
diferentes elementos del conjunto se pueden contar y este
proceso tiene un final.
b. En caso contrario el conjunto es infinito.
Matem
áticas
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Matem
áticas
7
Ejemplo
Algunos conjuntos particulares:
a. Conjunto vacío: F = {x|x es un múltiplo de 5 entre los números
11 y 14}.
b. Conjunto unitario: M = {x|x es un dígito par de la cifra 2 395.
c. Conjunto finito: el abecedario español.
d. Conjunto infinito: los números naturales.
El conjunto Universo
Sean los conjuntos:
A: Los números pares.
B: Los números impares.
C: Los números múltiplos de tres.
D: Los números primos.
ℕ: Los números naturales.
El conjunto de los naturales contiene a los demás conjuntos o
sea, es un conjunto de referencia, por tanto, podemos definir a
ℕ como el conjunto universo o universal y decir que ℕ = U.
Reforzamiento:
Escriba cada uno de los
siguientes conjuntos, por
extensión y después por
comprensión.
a. El conjunto de los números
enteros
b. Los meses que tienen
treinta días.
c. Los planetas de nuestro
sistema solar.
d. Los números dígitos.

53. 45
Una forma de representar los
conjuntos es con diagramas
(figuras geométricas).
Las relaciones entre
conjuntos puede ser:
1.
B
A
A está incluido en B
A ⊂ B
2.
B no está incluido en A
B ⊄ A
3.
=
A = B
4.
A
B
A y B son disjuntos
5.
A, B, C ⊂ U
fig.1
Tome nota
Trabajo en equipo
Con materiales del entorno y/o dibujos, represente el conjunto
vacío y mencione, sus características.
Representación gráfica de conjuntos
Los conjuntos se pueden representar con figuras geométricas
llamadas diagramas de Venn.
A
1 2
B
(Ver información adjunta en la columna izquierda).
Relaciones entre conjuntos
Entre dos conjuntos A y B, se pueden establecer las siguientes
relaciones:
1. Todo elemento de A pertenece a B, entonces A está incluido
en B y se simboliza A ⊂ B.
2. Parte de los elementos de A están en B, entonces A no está
incluido en B y se simboliza A ⊄ B.
3. Todos los elementos de A están en B y todos los elementos
de B están A, entonces A ⊂ B y B ⊂ A implica que A = B
4. Los conjuntos A y B no tienen elementos comunes, entonces
A y B son conjuntos disjuntos.
5. Si A, B, C...,Y, Z son conjuntos dentro de un mismo estudio,
entonces existe un conjunto referencial o universal U tal que
A, B,..., Z ⊂ U.
Trabajo en equipo
Estudie los diagramas de la fig.1 y después elabore con otras
figuras, diagramas que expresen las relaciones entre conjuntos.

54. 46
El conjunto de los números naturales (ℕ)
Breve reseña histórica. Al iniciar el estudio de la Matemática
en la educación Primaria, se comienza contando elementos
de conjuntos por ejemplo, los dedos de las manos o algunos
objetos del entorno, relacionando dos conjuntos, igual a como
pudieron hacerlo nuestros ancestros, contar y haciendo marcas,
ya sea en un pedazo de hueso (se descubrió uno en China), en
un trozo de madera o señales en la pared, etc.
9 19 21 11
1719
13 11
Marcas en un hueso
Conelnacimientodelaescritura,haciaelsigloIVa.deC.enlabaja
Mesotopotamia, se emplean los primeros signos matemáticos
para contar y medir. Se comprobó, con el descubrimiento de las
tablillas pictográficas de Erech del 3500 a. de C. que son las
más antiguas que se conocen, que este inicio matemático toma
mayor consistencia.
Número natural
En la escuela primaria nos familiarizamos con el conjunto de los
números naturales:
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...}
los que usamos para contar los elementos de un conjunto.
Entonces se deduce que, un conjunto cualquiera tiene un
número de elementos llamado la cardinalidad del conjunto y
representado con un símbolo denominado numeral.
El nombre de número
natural se debe, según los
historiadores, a la afirmación
que hizo el matemático
alemán Leopoldo Kronecker
en el siglo XIX: “Dios hizo
los números naturales, lo
demás lo hizo el hombre”.
Leopold Kronecker
1 823 - 1 891
HH Las actividades del hombre
prehistórico: pensar, hablar
y fabricar instrumentos,
están ligadas con los
conceptos básicos de
la matemática: número,
medida y orden.
HH Casi todos los sistemas
antiguos de escritura,
disponen de signos
especiales para representar
los números.
Historia de la Matemática

55. 47
Mate
mátic
as
7
Area: Matemática fecha: 27-07-87
Tema: Representación gráfica de las operaciones con conjuntos.
Mate
mátic
as
7
Ejemplo
La figura adjunta, es una pintura donde
están varios cazadores y un conjunto de
animales, ¿cuántos animales?, el numeral
para este conjunto (llamado también la
cardinalidad) es el 10, porque son diez
elementos (animales) que tiene dicho
conjunto.
En este libro no haremos distinción entre
numeral y número.
En los siguientes grados de Primaria, se comprende que este
proceso de contar no tiene fin:
1, 2, 3, 4, 5, ..., 100, 101, 102, ..., 1000, 1001, ...
Porque, después de cada número existe el siguiente llamado el
sucesor, por eso se escribe punto suspensivo indicando que, el
proceso de contar continúa indefinidamente, no tiene fin.
El conjunto 1, 2, 3, 4, 5, ..., 100, 101, 102, ... se denomina el
conjunto de los números naturales, es un conjunto infinito y se
escribe por extensión:
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5,...}
Los números naturales y la recta numérica.
Si establecemos una correspondencia entre el conjunto de los
números naturales y algunos puntos de una recta:
1 2 3 4 5 6....
Quedaría la siguiente figura:
1 2 3 4 5 6...
Que se denomina semirrecta numérica.
Una teoría matemática
está basada en los
siguientes elementos:
1. Conceptos primitivos. No
se pueden definir con
otros conceptos más
fundamentales.
2. Axiomas: Verdades
tan evidentes que no
necesitan demostrarse.
3. Definiciones.
4. Teoremas: Afirmaciones
que deben demostrarse.
5. Lenguaje lógico.
Pintura rupestre
(prehistórica)
¿Sabías qué?
Ma
tem
áti
ca
7

56. 48
Propiedades del conjunto ℕ
El conjunto de los números naturales presenta las siguientes
características:
a. Todo elemento n ∈ ℕ tiene un sucesor n + 1, llamado también
el consecutivo de n.
b. ℕ es un conjunto discreto, esto quiere decir que entre dos
números naturales consecutivos, no existe otro número
natural.
c. El conjunto ℕ no tiene último elemento.
Relaciones de orden en el conjunto de los
números naturales
Si a y b son dos números naturales, una y solamente una de las
siguientes afirmaciones es verdadera:
a b (se lee “a es menor que b”)
a b (se lee “a es mayor que b”)
a = b (se lee “a es igual que b”)
Por ejemplo, si los naturales son 34 y 26, entonces es cierto que
34 26 o también que 26 34 pero, es falso que 34 = 26.
Orden en el conjunto ℕ
En la recta numérica, se puede afirmar que un número natural
a es mayor que otro b, si el punto correspondiente al número a
está a la derecha del punto que le corresponde al número b.
Por ejemplo, sean tres números naturales a, b y m, si la gráfica
de estos tres números es:
b a m
entonces podemos decir que m a y también b m.
Las expresiones m a y b m se denominan desigualdades.
El orden en el conjunto ℕ queda especificado a través del
término preceder y decir que:
“x precede a y” significa que x y.
El conjunto de los naturales tiene el siguiente orden:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...
Los segmentos pueden
medirse de 1 en 1, de 5 en
5, de 10 en 10, de la forma
que le facilite el gráfico de
los diferentes puntos.
Ejemplo: Grafiquemos
los puntos 24, 76 y 105.
Solución.
En este caso cada
segmento mide 10.
Los conjuntos de los números
primos, pares e impares
son subconjuntos de ℕ. El
siguiente diagrama de Venn
representa esta relación:
Pares
Primos
Impares
2
P: números naturales primos.
P = {2, 3, 5, 7,11, 13, . . .}
A: números naturales pares.
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .}
B: números naturales impares
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .}
e iπ
+1 =
0
Aprenda
un poco
más...