El documento presenta información sobre números reales, funciones exponenciales y logarítmicas, y conceptos matemáticos como reglas de exponentes, interés compuesto, escala de Richter y ley de enfriamiento. Explica las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas, y provee ejemplos para ilustrar su uso en diversos contextos como crecimiento bacteriano, inversiones y medición de sismos.

2. NÚMEROS REALES Se dividen en NÚMEROS IRRACIONALES NÚMEROS RACIONALES Son ejemplo √ 2, π … 1,2,3,4…∞ ∞… -4,-3,-2,-1 Enteros negativos Enteros positivos Enteros Pueden ser Ejemplo Ejemplo

3. Regla de producto Para el producto de dos expresiones exponenciales con la misma base. Se mantiene la base y se suman los exponentes a m .a n = a m+n o lo que es lo mismo a) 3 2 .3 3 =(3.3)(3.3.3)=3 5 b)x 3 .x 4 =x 3+4 =x 7 Regla del cociente Para el cociente de dos expresiones exponenciales con la misma base. Se mantiene la base y se restan los exponentes a m /a n = a m-n . Por ejemplo : a)5 4 /5 2 = 5*5*5*5/5+5 = 5 4-2 = 5 2 b)x 5 /x 3 = x 5-3 = x 2

4. Funciones exponenciales y logarítmicas son del tipo trascendente, porque no se pueden definir sólo en términos de suma, resta , multiplicación, división y elevación a potencias racionales de una variable x . Son de gran importancia en matemáticas y tienen aplicaciones en casi cualquier campo de investigación humana

5. y x y x Terminología Definición Gráfica de f para a > 1 Gráfica de f para 0<a<1 Función exponencial f, con base a. F(x)=a x para toda x en R donde a>0 y a≠1.

7. Formula de interés compuesto A=P [1 +r/n] nt Donde P=monto principal r=tasa de interés (expresada como decimal) n= numero de periodo de interés por año t=numero de años en los que se invierte P A= monto total (después de t años). Por ejemplo Supongamos que se invierten $ 1000 a un tipo de interés de 9% compuesto mensualmente . Calculemos el monto total después de 5,10 y 15 años ; ilustrar el crecimiento de la inversión en su forma grafica Aplicando la formula del interés compuesto tenemos que r=0.09,n=12 y P=$ 1000 obtenemos que el monto total a los t años es A=1000( 1+0.09/12)12 t =1000(1.0075)12t Introduciendo t=5,10 y 15 Obtenemos la sig. tabla Numero de años Monto total 5 10 15 A= $ 1000(1.0075) 60 =$1565.68 A= $ 1000(1.0075) 120 =$2451.36 A=$ 1000(1.0075) 180 =$3838.04 1000 2000 3000 4000 5 10 15 A(dolares) t (años) Interes compuesto A= 1000(1.0075) 12t

8. Sea a un numero positivo real distinto de 1.El logaritmo de x con base a se define como: y= log a x si y sólo si x=a y para toda x>0 y todo numero real y. La función logarítmica con base a es biunívoca. Por consiguiente si se cumplen las siguientes condiciones equivalentes para números reales x 1 y x 2 (1) Si x 1 ≠ x 2 , entonces log a x 1 ≠log s x 2 . (2) Si log a x 1 = log a x 2 , entonces x 1 =x 2

9. Un ejemplo de ellas sería : En la escala de Richter, la magnitud R de un sismo de intensidad I esta dada por R= log I/I 0 donde I 0 es cierta intensidad mínima. Si la intensidad de un sismo es 1000 I 0 , calcular R. expresando I en términos de R e I 0 R= log I/I 0 ecuación dada = log1000I/I 0 sea I = 1000 I 0 = log 1000 se cancela I 0 =log 10 3 1000=10 3 =3 log 10 x = x para toda x

10. Otro ejemplo en el cual las podemos utilizar sería en la Ley de Newton para el enfriamiento. Esta ley dice que la rapidez con la cual se enfria un objeto es directamene proporcional a la diferencia de temperatura entre el objeto y el medio que lo rodea. Esta ley es empleada para demostrar que, bajo ciertas condiciones , la temperatura T (en 0 C), de un objeto en el momento t (en horas) es T=75e -2t . Expresar t como función de T. T=75s-2t ecuación dada e-2t=T/75 se aísla la expresión exponencial . -2t=In T/75 se pasa a la forma logarítmica . t=-1/2 In T/75 se divide entre -2

13. Para sacar los valores de la tabla anterior se tabulo. Los valores de esta grafica son positivos, por lo tanto la recta es ascendente y muestra un movimiento constante. Tiempo (Segundos) Posición (Metros) 0 0 1 10 2 20 3 30 4 40 5 50

14. NOTA: Pendiente: Es la razón de cambio de “x” y “y”. Es la inclinación de la recta. Ejemplos de los tipos de graficas lineales PENDIENTE TIPO DE RECTA Positiva Recta ascendente Negativa Recta descendente Cero Recta horizontal Indefinida Recta vertical

16. ºUn avión que va hacia Alemania vuela del punto uno en las coordenadas en (2,20), y de ahí se desplaza al segundo punto para llegar a China tiene las coordenadas (6,20). ¿Cual seria su pendiente? ¿Y que tipo de grafico se realizaría? Grafica de recta horizontal

18. La funci ó n cuadr á tica m á s sencilla es f(x) = x 2 cuya gr á fica es: Esta curva sim é trica se llama par á bola. Funciones cuadr á ticas m á s complejas se dibujan de la misma forma. Una ecuación cuadrática o de segundo grado es donde el mayor exponente es 2, por lo general su grafica es una curva y su forma general es : ax 2 +bx+c=0 Esta ecuación tiene dos valores para x que la satisfacen, pueden ser números reales o números complejos y se puede resolver por la formula general x -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3 f(x) = x 2 9 4 1 0'25 0 0'25 1 4 9

22. Dado un triángulo rectángulo con catetos de longitud a y b e hipotenusa de longitud c , se tiene la siguiente relación: + b 2 =C 2 Si α + β =900 ; γ =900 Como la suma de los ángulos internos de un triángulo suman 1800 | El objetivo del teorema es demostrar que la suma del área de los cuadrados a y b , es igual a área del cuadrado c . γ

24. 1)Sen 2 β+Cos 2 β=1 1) En el triángulo rectángulo, BCA, se tiene: Sen β =b/a Cos β =c/a Si elevamos al cuadrado estas dos igualdades, y sumamos miembro a miembro, resulta: Sen 2 β +Cos 2 β =b 2+ c 2 / a 2 Por el teorema de Pitágoras, se tiene: b 2 +c 2 =a 2 Por lo tanto Sen 2 β+Cos 2 β=1 C A B a b c

25. 2)Sen β/ Cos β=tan β tan β= Sen β/ Cos β tan β= x/y= Sen β/ Cos β lo que falta es expresar Cos β en términos de Sen β. Esto se hace despejando Cos β de la ecuación Sen 2 β+Cos 2 β=1 y se tiene Sen β =b/a Cos β =c/a (b/a)/(c/a)=ba/ca=b/c=c.a+c.o/c.a+c.ay : Tan β =b/c >>Sen215º+cos215º=1 Tan β =Sen β /Cot β y b a C β

27. El equipo que se a integrado para asistir al concurso de ortografía esta formado por tres alumnos cuyos apellidos son Rubio, Moreno, Delgado. El equipo del equipo será rubio cuyo apariencia por cierta es todo lo contrario a la característica que corresponde su apellido. Si el equipo hay efectivamente un rubio un moreno y un delgado pero ninguno de ellos posee las características físicas de su apellido ¿Cómo será la apariencia de los tres muchachos? Como Rubio es lo Opuesto a su apellido y los demás no tienen las características de su apellido entonces R= Rubio es moreno, Moreno es delgado

28. Claudia Susana y Mata desean saber sus calificaciones de Matemáticas. El profesor les dice que Susana tiene 11 puntos mas que Marta La diferencia de las calificaciones de Susana y de Claudia solo es de 4 puntos. Si la mejor calificación fue la de Susana, con 94 ¿que calificación tiene cada una de ellas? R=Susana Tiene 94 y Marta tiene 11 menos que Susana o sea que 94-11 entonces Marta tiene 83 y Susana tiene 4 Mas que Claudia o sea que 94-90 entonces Claudia tiene 90.

29. Una planta aumenta en peso y tamaño de acuerdo con la siguiente tabla: L= ¾ P ya que la longitud aumenta la cantidad del peso por ¾. Si sustituyes los valores de P para cada valor en la tabla te dará de resultado la Longitud que se encuentra en la tabla Peso en gramos (p) Longitud en centímetros (L) 20 15 35 22.5 40 25 50 30

31. Se sabe que la población de la India es mayor que la de Japón y que la población de Corea es menor que la de Japón. Con base de esta información ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) La población de la India es mayor que la de Corea b) La población de la India es menor que la de Corea c) La población de la India es igual que la de Corea d) No se puede comparar las poblaciones de la India y Corea El siguiente reloj tiene un mecanismo muy particular: Su funcionamiento no marca el tiempo en forma tradicional. 1º son las 8:15 y luego son las 4:40 después 12:05 luego 8:30 y por ultimo 4:55. ¿Cuál es la que continua la serie? R= Serán las 3:25 ya que el reloj avanza cada 8 horas con 25 minutos.

32. Paco siente un atractivo muy especial a Verónica su compañera de clase. Ha hecho algunos intentos para acercase y comunicarse con ella, pero no ha tenido una respuesta satisfactoria, aun cuando a Verónica también le simpatiza paco pero ella quiere saber si Paco además de atractivo es inteligente; por lo cual un día le manda un mensaje que dice VEINTE HORAS EN PALACIO escrito así: VTRNA EEAPC IHSAI NOELC Paco motivado logra entender el mensaje y le contesta: ENTENDIDO ALLI ESTARE usando el mismo sistema de escritura ¿Cuál fue la respuesta de Paco? R= El mensaje contiene una letra de la palabra cada 4 letras entonces le contesto: ENOIA NDAER TILSE EDLT

34. Un barril de vino pesa 120 Kg. Y una caja de fresas pesa 36 Kg. ¿Cuánto pesan entonces 1 bandeja de cerezas y un saco de papas, si e! saco de papas y la caja de fresas pesan juntos lo mismo que el barril de vino y la bandeja de cerezas? Por otra parte, 2 bandejas de cereza pesan lo mismo que una caja de fresas. R= La bandeja de cerezas pesa 18 Kg. y el saco de papas pesa 102 Kg.

35. x y pi (X-Y)² Por que el área representa Pi (r)² Y tenemos que sacar el área del circulo mas chico y restárselo al mas grande ¿Qué expresión simboliza el área de la figura sombreada?

36. ¿Qué expresa el área de la figura sombreada? y y x x X ²-Y² ya que el área de un cuadrado es lado por lado Lo que en la figura sería (X)(X) y (Y)(Y) Entonces el área de adentro que es (Y)(Y) Se le restaría al Área total que es (X)(X)

37. Una serie de balas de 50 gr. Están en la posición que indica la figura, si la de la derecha se levanta a 15 cm. Con la relación a la horizontal y al soltarla choca con la mas próxima ¿Qué suceden con las balas? R= La ultima es la única que se mueve ya que la fuerza se traslada una tras otra hasta llegar ala ultima .

38. LA familia Zapata es una familia muy especial Ya que el Sr. la Sra. Zapata tuvieron 2 hijos que forman la primera generación estos a su vez tuvieron 2 hijos cada uno que forma la 2ª generación (en total4) y asi sucesivamente: ¿Cuantos elementos tendrán en la 12ª Generación? R= 12² ya que desde la primea Generación que son 2 integrantes se eleva 2 a la 1 y después la 2ª Generación se eleva a la 2 y la 3ª a la 3 y así sucesivamente. Generación Total de elementos 1 ra. 2 2 ra. 4 3 ra. 8 4 ra. 16 5 ra. 32

39. Toma en consideración que; ¿Cuál es el valor de ? R= ya que el circulo blanco + cuadrado blanco es triangulo blanco y este mas circulo blanco es circulo sombreado y este mas triangulo blanco nos da EL CUADRADO SOMBRADO

40. Se tiene un cubo con ciertas dimensiones, el cual se llena con 8 canicas; y se tiene un cubo con el triple de las dimensiones del anterior. ¿Cuántas canicas, del mismo diámetro que las primeras, se necesitan para llenar el segundo cubo? R= Un cubo, tiene la misma medida en los tres lados, y se llena con 8 canicas entonces tiene 2 canicas por lado, al triplicar las lados se tiene 6 canicas por lado. Las canicas necesarias serian 6 X 6 X 6 que son 216 canicas .

41. ¿Cual es la figura que completa la secuencia? R= Es ya que los cuadros van girando hacia la derecha.

42. ¿Cuál es la figura que completa la secuencia? R= Va cambiando hacia la izquierda y el circulo cambia negro a blanco y luego de blanco a negro

43. Observa cuidadosamente el siguiente cubo: Cual de la figuras representa a continuación, señala aquella que al unirse forma el cubo de arriba:

45. Dos alpinistas se encuentran en el pico Orizaba, el cual tiene una ruta de acceso de 7 500 m. En un momento determinando los alpinistas se encuentra en la cúspide y el otro en la base; iniciando el ascenso de uno de ellos con un avance promedio de 450 m. Cada hora y el otro desciende avanzando en promedio 800 m por hora ¿En cuanto tiempo se encontraran si inician su recorrido simultáneamente y sin descenso? R= En 6 horas . Se tiene que restar los 7500 por la distancia del que baja y eso multiplicarlo por la distancia del que sube y dividirlo por 450 que es la distancia en una hora del que sube

46. Un pedazo de plastilina que tiene forma cilíndrica, tiene 1m, de alto y 1m. De diámetro de la base. Si se aplasta hasta formar un cilindro que tenga un diámetro de base igual a 2m. ¿Cuál será la altura de este? V= (pi)r ²h h= v/(pi)r² V=0.785 h=.0785/Pi(1) ² h=0.249m= 25cm.

47. Se desea hacer un anuncio publicitario en una manta de 6 m. x 2 m. Se cuenta, pala hacerla con cortes de tela de 4 m. de largo pero de diferente ancho y diferente precio. Un corte de 0.60m. de ancho con un costo de $10.00, otro con 0.75 m. de ancho y un costo te $13.00 y un tercer corte de 1 m. de ancho y un costo de 815.00. ¿Cuál corte recomendarías comprar para que salga más barato el anuncio? El area que se debe de cubrir es 12 m 2 , y tiene trozos de manta de: 4X0.60, 4X0.75 y 4X1 metros R= Es mas barato comprar la tela de 4mX1m de $15.00

48. Se tiene un estanque con capacidad de 1m^3 de agua, el cual es el volumen mínimo para la subsistencia de un cazón. Si se triplica el largo, ancho y la altura del estanque, ¿Cuántos cazones como máximo podrán subsistir en dicho estanque? V=(L)(L)(h) V=3(3)(3) V= 27 cazones El triple de 1=3 se sustituye en cada lado y se saca el volumen

55. PENSAMIENTO CORRELACIONAL Paralelogramo (excepto cuadrado y rectángulo). 166 cm 2 48 cm Hexágono 96 cm 2 40 cm Trapecio 128 cm 2 48 cm Rectángulo 64 cm 2 32 cm Cuadrado 32 cm 2 24 cm Triángulo Área Perímetro Figuras

63. Actividad 1: Haciendo combinaciones 1) Hay tres bolsas con pan, cada una con 11 panes, si tomo un pan de cada bolsa de la siguiente manera: uno de la bolsa izquierda, otro de la bolsa del centro, otro de la bolsa derecha, otro de la bolsa del centro, otro de la bolsa izquierda, otro de la bolsa del centro, otro de la bolsa de la derecha, etc. Cuando la bolsa del centro queda vacía, ¿cuántos quedaran en las otras bolsas? 4 en la bolsa izquierda y 5 en la bolsa derecha. ( la resolución de este problema fue en base dibujos que representaban la situación plateada en el problema) 2) En una fiesta cada persona saluda exactamente a otras 3 personas. Si hubo 123 saludos. ¿Cuántas personas asistieron a la fiesta? 4.9 personas 3) Con vértices en los puntos. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden dibujar? 9 cuadrilateros

65. Pensamiento combinacional 2) En una fiesta cada persona saluda exactamente a otras 3 personas. Si hubo 123 saludos. ¿Cuántas personas asistieron a la fiesta? 4.9 personas 3) Con vértices en los puntos. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden dibujar? 9 cuadrilateros

66. Pensamiento combinacional 6) Un joven tiene 4 camisas, 2 pantalones y 8 corbatas. Si desea salir con diferentes combinaciones cada día, ¿Cuántos días podrá salir sin repetir combinación? 64 días 7) Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, y 7 se forman enteros de 2 cifras que sean múltiplos de 3 y 5 a la vez. ¿Cuántos enteros distintos se pueden formar? 13 enteros

74. Un club de alpinistas desea diseñar su bandera, sus integrantes propusieron que debe constar de dos escudos, incluyendo la posibilidad de que haya repeticiones. ¿Cuántas combinaciones posibles se pueden presentar si se dispone de escudos que tienen la siguiente presentación? R= 10 combinaciones

75. Con fines de investigación se encuentran en una invocadora los huevos de una codorniz ¿Cuál probabilidad de que el primer polluelo que rompa el cascaron sea macho, sabiendo que hay 4 machos y 12 hembras? R= 4/12 Ya que como lo acaban de mencionar son12 hembras contra 4 machos.

76. En un tinaco A que contiene 10 litros de agua se introduce una manguera que se arroja 5 litros de agua por minuto; en este mismo instante en un tinaco B, completamente vacío, se introduce una manguera que arroja 7 litros de agua por minuto ¿Cuántos minutos tendrá que pasar para que los dos tinacos tengan la misma cantidad de agua? R= En 5 Horas ya que si los 7 litros por minuto en 5 horas es igual a 35 (que se multiplica 7*5) eso da igual a los 5 litros por minuto mas 10 que ya tenia (se multiplica y se suman los 10 litros= 5*5+10 )

78. En la siguiente figura, las dos primeras básculas están equilibradas, encuentre cuántos tenedores deberá colocar en la tercer báscula para que se equilibre. R=

79. ¿Cuál de los siguientes cuadros cumple con la condición de que la suma de sus cifras, considera de manera horizontal, y vertical, y diagonalmente da por resultado un mismo número? A) B) C) R= Es el C ya que si sumando todos sus lados (Diagonalmente, verticalmente y horizontalmente) nos dan 15 3 5 7 8 1 6 4 9 2 3 8 4 1 5 9 6 2 7 2 7 6 9 5 1 4 3 8

80. Se tienen 16 monedas que suman un total de $36.00 pesos. La tabla muestra de que valor son cada una de ellas. C ó mo puedes acomodarlas en 2 montones de tal manera que est é n equilibradas; es decir, la misma cantidad de monedas y la misma cantidad de dinero? Monedas Valor $ Suma 5 1 5 8 2 16 3 5 15 Total 16 Total 36 M $ $ 4 1 4 2 2 4 2 5 10 M $ $ 1 1 1 6 2 12 1 5 5

81. Se refiere a la habilidad que se tiene para anticipar resultados de desplazamientos, trayectoria, tiempo, velocidad, volumen, tama ñ o, posici ó n entre otros; con base en la coordinaci ó n de dos o m á s sistemas. En un momento determinado, las agujas del reloj de un campanario coinciden exactamente la una sobre la otra. ¿ Cu á nto tiempo tiene que transcurrir para que esto vuelva a suceder? R= esto sucede cada 12 horas ya que es solamente donde se encontraran exactamente igual una con otra

82. Dos monedas idénticas están situadas una al lado de la otra. Visualmente haga rodar la moneda de la izquierda (moneda A) sobre la otra moneda (moneda B). Cuando la moneda A alcance el lado opuesto de la moneda B, deténgase. ¿En que dirección esta mirando la cara de la moneda A?. A B R= Hacia la izquierda , ya que la cuando llegue con la otra moneda estará al revés

83. Centro cultural ural Cementerio Plaza municipal i Escuela Parque de diversiones Iglesia Centro deportivo Mercado Plaza Municipal Parada de autobús Claudia no conoce el pueblo de Santa Clara donde vive su prime: Cuando decide visitarla Rosita le envía un plano de con las siguientes indicaciones que la llevaría ala lugar donde deberían encontrarse: “Cuando bajes del autobús camina 4 cuadras al oeste, 1 al norte, 1 al este, 3 al norte, 3 al este, 3 al sur, 2 al oeste y por ultimo 1 cuadra al norte ¿En donde se encontraran? EN LA ESCUELA

84. En los anaqueles del dibujo hay tres vajillas de tres dimensiones pero están colocadas de tal modo, que la capacidad total de las vasijas que hay en cada anaquel es la misma. La capacidad de la menor de las vasijas es un vaso ¿Qué capacidad tienen las vasijas de los otros dos tamaños? vasija = 6 vasos plato = 3 vasos vasija = 2 platos