Apuntesdefisica

Tema 1
Repaso de matemáticas
1.1. Álgebra
Algunas reglas básicas
Cuando se realizan operaciones algebraicas, se aplican las leyes de la arit-
mética. Símbolos como x, y y z se emplean normalmente para representar
magnitudes no especiﬁcadas, denominadas incógnitas.
En primer lugar, consideremos la ecuación
8x = 32
Para despejar x, podemos dividir (o multiplicar) cada miembro de la
ecuación por el mismo factor sin romper la igualdad. En este caso, dividi-
mos ambos miembros de la ecuación por 8, obteniendo
8x
8
=
32
8
⇒ x = 4
Consideremos ahora esta ecuación:
x + 2 = 8
En este tipo de expresión, podemos sumar o restar la misma cantidad en
cada miembro de la ecuación. Si restamos 2 a cada miembro, obtenemos
x + 2 − 2 = 8 − 2 ⇒ x = 6
En general, si x + a = b, entonces x = b − a. Consideremos ahora la
siguiente ecuación:
x
5
= 9
Si multiplicamos cada miembro de la ecuación por 5, nos queda la incóg-
nita x en el miembro izquierdo de la ecuación y 45 en el miembro derecho:
1

2 Tema 1. Repaso de matemáticas
x
5
(5) = 9 · 5 ⇒ x = 45
En todos los casos, cualquier operación que se efectúe en el miembro iz-
quierdo debe también efectuarse en el miembro derecho.
A continuación se muestran las reglas que se debe tener presente para
multiplicar, dividir, sumar y restar fracciones:
a
b
c
d
=
ac
bd
(a/b)
(c/d)
=
ad
bc
a
b
±
c
d
=
ad ± bc
bd
Potencias
Cuando se multiplican potencias de una misma magnitud x, se aplica la
siguiente regla:
xn
xm
= xn+m
Cuando se dividen potencias de una misma magnitud, la regla es:
xn
xm
= xn−m
Una potencia fraccionaria, tal como 1/3, se corresponde con una raíz:
x1/n
= n
√
x
Por último, cualquier cantidad (xn) elevada a la potencia m es
(xn
)m
= xnm
Factorización
He aquí algunas fórmulas útiles para descomponer en factores una ecua-
ción:
ax + ay + az = a(x + y + z) (factor común)
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 (cuadrado perfecto)
a2 − b2 = (a + b)(a − b) (diferencia de cuadrados)
Apuntes de FFI. I.T.I. Química Jesús Cuevas Maraver

1.1. Álgebra 3
Ecuaciones de segundo grado
La forma general de una ecuación de segundo grado es:
ax2
+ bx + c = 0
donde x es la incógnita y a, b y c son factores numéricos denominados coefi-
cientes de la ecuación. Esta ecuación tiene dos soluciones, que se determinan
mediante la expresión:
x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
Si b2 ≥ 4ac, las raíces son reales.
Ecuaciones lineales
Una ecuación lineal tiene la forma general siguiente:
y = mx + b
donde m y b son constantes. Esta ecuación se denomina ecuación lineal por-
que la gráfica de y en función de x es una línea recta, como se muestra en la
figura. La constante b, llamada ordenada en el origen, representa el valor de
y en el que la línea recta corta al eje y. La constante m es igual a la pendiente
de la línea recta y también es igual a la tangente del ángulo que forma la línea
con el eje x. Si dos puntos cualesquiera de la recta se especifican mediante las
coordenadas (x1,y1) y (x2,y2), como se indica en la figura anterior, entonces
la pendiente de la línea recta se puede expresar como sigue:
m =
y2 − y1
x2 − x1
=
∆y
∆x
Obsérvese que m y b pueden tomar valores positivos o negativos. En la
figura anterior, tanto b como m eran positivas. En la figura adjunta se mues-
tran otras tres posibles situaciones.
1.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Consideremos la ecuación 3x + 5y = 15, que tiene dos incógnitas, x e y.
Una ecuación de este tipo no tiene una única solución. Por ejemplo, obsérve-
se que (x = 0, y = 3), (x = 5, y = 0) y (x = 2, y = 9/5) son soluciones de
esta ecuación.
Si un problema tiene dos incógnitas, solo es posible obtener una solución
si se tienen dos ecuaciones. En general, si un problema tiene n incógnitas, su
solución requiere n ecuaciones. Para resolver sistemas de dos ecuaciones que
impliquen dos incógnitas, x e y, despejamos x en función de y en una de las
ecuaciones y sustituimos dicha expresión en la otra ecuación.
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas puede resolver-
se gráficamente. Si las líneas rectas correspondientes a las dos ecuaciones se
Jesús Cuevas Maraver Apuntes de FFI. I.T.I. Química

dibujan un sistema de ejes cartesianos, la intersección de las dos líneas repre-
senta la solución. Por ejemplo, consideremos las dos ecuaciones siguientes:



x − y = 2
x − 2y = −1
Ambas rectas se han dibujado en la ﬁgura. La intersección de las dos lí-
neas es el punto de coordenadas (x = 5, y = 3), que es la solución de este
sistema de dos ecuaciones. Es aconsejable comprobar esta solución por el
método analítico explicado anteriormente.
Logaritmos
Supongamos que una magnitud x se expresa como una potencia de una
cierta magnitud a:
x = ay
El número a se denomina base. El logaritmo de x en base a es igual al
exponente al que debe elevarse la base para satisfacer la expresión x = ay:
y = loga x
Inversamente, el antilogaritmo de y es el número x:
x = antilogay
En la práctica, las dos bases empleadas con más frecuencia son 10, que es
la base de los logaritmos decimales, y el número e = 2.71828 . . ., denominado
constante de Euler o base de los logaritmos naturales o neperianos. Cuando
se emplean logaritmos decimales, tenemos:
y = log10 x (o x = 10y
)
y para el logaritmo neperiano
y = ln x (o x = ey
)
Por último, algunas propiedades útiles de los logaritmos son las siguien-
tes:

1.2. Geometría 5
log(ab) = log a + log b
log(a/b) = log a − log b
log(an
) = n log a
log(1/a) = − log(a)
logb x = logb a loga x
log 1 = 0
ln e = 1
ln ea
= a
1.2. Geometría
La distancia d entre dos puntos de coordenadas (x1, y1) y (x2, y2) es
d = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
La ecuación de una recta (ver figura) es:
y = mx + b
donde b es el punto donde la recta corta al eje y y m es la pendiente de la
línea.
La ecuación de una circunferencia de radio R centrada en el origen es:
x2
+ y2
= R2
La ecuación de una elipse que tiene el origen como centro (ver figura) es:
x2
a2
+
y2
b2
= 1
donde a es la longitud del semieje mayor y b es la longitud del semieje menor.
La ecuación de una parábola cuyo vértice se encuentra en y = b (ver
figura) es:
y = ax2
+ b
La ecuación de una hipérbola rectangular (ver figura) es:
xy = constante
La figura 1.1 muestra las áreas y volúmenes para distintas formas geomé-
tricas utilizadas durante el curso.

FIGURA 1.1: Áreas y volúmenes de diferentes figuras geométricas.
Ángulos
La longitud de arco s de un arco circular (ver figura) es proporcional al
radio r para un valor fijo θ (en radianes):
s = rθ ⇒ θ =
s
r
La relación entre radianes y grados sexagesimales es
360o
= 2π rad
En la figura 1.2 se muestran algunas relaciones útiles entre ángulos:
α = β α + β = 180º
α = β AB ⊥ BD, AD ⊥ BC → α = β
FIGURA 1.2: Relaciones entre ángulos.

1.3. Trigonometría 7
1.3. Trigonometría
La parte de las matemáticas que se basa en las propiedades especiales del
triángulo rectángulo se denomina trigonometría. Por definición, un triángu-
lo rectángulo es aquel que tiene un ángulo de 90º. Consideremos el triángulo
rectángulo de la figura, en el que el lado a es el cateto opuesto al ángulo θ, el
lado b es el cateto adyacente al ángulo θ y el lado c es la hipotenusa del trián-
gulo. Las tres funciones trigonométricas básicas definidas por este triángulo
son el seno (sen), el coseno (cos) y la tangente (tan). En función del ángulo θ,
estas funciones se definen del siguiente modo:
sen θ ≡
cateto opuesto a θ
hipotenusa
=
a
c
cos θ ≡
cateto adyacente a θ
hipotenusa
=
b
c
tan θ ≡
cateto opuesto a θ
cateto adyacente a θ
=
a
b
=
sen θ
cos θ
El teorema de Pitágoras proporciona la siguiente relación entre los lados
de un triángulo rectángulo:
c2
= a2
+ b2
A partir de las definiciones anteriores y del teorema de Pitágoras, se de-
duce que:
sen2
θ + cos2
θ = 1
La funciones cosecante, secante y cotangente se definen del siguiente mo-
do:
csc θ ≡
1
sen θ
=
c
a
sec θ ≡
1
cos θ
=
c
b
cot θ ≡
1
tan θ
=
b
a
El ángulo θ cuyo seno es x se denomina arcoseno de x y se escribe arc sen x.
Análogamente, se definen las funciones arcocoseno y arcotangente:
sen x = θ ⇒ θ = arc sen x
cos x = θ ⇒ θ = arc cos x
tan x = θ ⇒ θ = arctan x
Las siguientes relaciones se obtienen directamente del triángulo rectán-
gulo mostrado en la figura anterior:

sen θ = cos(90o − θ)
cos θ = sen(90o − θ)
cot θ = tan(90o − θ)
Algunas propiedades de las funciones trigonométricas son:
sen(−θ) = − sen θ
cos(−θ) = tan θ
tan(−θ) = − tan θ
Las siguientes relaciones se aplican a cualquier triángulo, como en la ﬁgu-
ra:
α + β + γ = 180o
a2
= b2
+ c2
− 2bc cos α
b2
= a2
+ c2
− 2ac cos β
c2
= a2
+ b2
− 2ab cos γTeorema del coseno
a
sen α
=
b
sen β
=
c
sen γTeorema del seno
A continuación se enumeran una serie de identidades trigonométricas
útiles:
sen2
θ + cos2
θ = 1
sec2
θ = 1 + tan2
θ
csc2
θ = 1 + cot2
θ
sen 2θ = 2 sen θ cos θ
cos 2θ = cos2
θ − sen2
θ
tan 2θ =
2 tan θ
1 − tan2 θ
sen2 θ
2
=
1 − cos θ
2
cos2 θ
2
=
1 + cos θ
2

1.4. Desarrollos en serie 9
sen(A ± B) = sin A cos B ± cos A sen B
cos(A ± B) = cos A cos B sen A sen B
sen A ± sen B = 2 sen
A ± B
2
cos
A B
2
cos A + cos B = 2 cos
A + B
2
cos
A − B
2
cos A − cos B = 2 sen
A + B
2
sen
B − A
2
En la ﬁgura 1.3 se representan las funciones trigonométricas en función
de θ. Las funciones seno y coseno tienen un periodo 2π rad (o 360º). Es decir,
para cualquier valor de θ, sen(θ + 360o) = sen θ. La función tangente tiene
un periodo de π rad (o 180º).
FIGURA 1.3: Funciones trigonométricas.
1.4. Desarrollos en serie
Mostramos a continuación una serie de desarrollos en serie útiles:

(a + b)n
=
n
∑
k
n
k
xn−k
yk
, con
n
k
=
n!
k!(n − k)!
(1 + x)2
= 1 + nx +
n(n − 1)
2!
x2
+ · · ·
ex
= 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·
ln(1 ± x) = ±x −
1
2
x2
±
1
3
x3
− · · ·
sen x = x −
x3
3!
+
x5
5!
− · · ·
cos x = 1 −
x2
2!
+
x4
4!
− · · ·
tan x = x +
x3
3
+
2x5
15
+ · · · (|x| < π/2)
Para x 1, se pueden utilizar las siguientes aproximaciones:
(1 + x)n
≈ 1 + nx
ex
≈ 1 + x
ln(1 ± x) ≈ ±x
sen x ≈ x
cos x ≈ 1
tan x ≈ x
1.5. Cálculo diferencial
En varias ramas de la ciencia, es necesario utilizar algunas veces las herra-
mientas básicas del cálculo infinitesimal, inventado por Newton, para descri-
bir los fenómenos físicos. El uso del cálculo infinitesimal es fundamental en
el tratamiento de distintos problemas de la mecánica newtoniana, la electrici-
dad y el magnetismo. En esta sección simplemente vamos a enunciar algunas
propiedades básicas y reglas prácticas.
En primer lugar, hay que especificar una función que describa cómo se
relaciona una variable con otra (por ejemplo, una coordenada en función del
tiempo). Supongamos que llamamos y a una de las variables (la variable de-
pendiente), y x a la otra (la variable independiente). Para estas dos variables,
podríamos tener una relación funcional como la siguiente:
y(x) = ax3
+ bx2
+ cx + d
Si a, b, c y d son constantes especificadas, entonces se puede calcular y
para cualquier valor de x. Normalmente, trabajaremos con funciones conti-
nuas, es decir, aquellas para las que y varía de forma suave al hacerlo x.

1.5. Cálculo diferencial 11
La derivada de y con respecto de x se define como el límite, cuando ∆x
tiende a cero de la pendiente de la cuerda dibujada entre dos puntos de la
curva que representa y en función de x. Matemáticamente, escribimos esta
definición del siguiente modo:
dy
dx
= l´ım
∆x→0
∆y
∆x
= l´ım
∆x→0
y(x + ∆x) − y(x)
∆x
donde ∆y y ∆x de definen como ∆x = x2 − x1 y ∆y = y2 − y1 (ver figura).
Cuando ∆x tiende a cero, la cuerda se convierte en la recta tangente en un
punto dado, de forma que la derivada coincide con la pendiente de dicha
recta tangente. Es importante destacar que dy/dx no significa dy dividido
entre dx, sino que simplemente se trata de la notación de Leibnitz que se em-
plea para designar el proceso de cálculo del límite para obtener la derivada,
definido en la ecuación anterior.
Una expresión útil que conviene recordar cuando y(x) = axn, donde a es
una constante y n es cualquier número, positivo o negativo (entero o fraccio-
nario), es:
dy
dx
= naxn−1
Si y(x) es un polinomio o función algebraica de x, aplicamos esta últi-
ma ecuación a cada término del polinomio, siendo cero la derivada de una
constante.
Propiedades especiales de las derivadas
Derivada de la suma de dos funciones. Si una función f (x) es igual a la
suma de dos funciones, f (x) = g(x) + h(x), entonces la derivada de la suma
es igual a la suma de las derivadas:
df (x)
dx
=
d[g(x) + h(x)]
dx
=
dg(x)
dx
+
dh(x)
dx
Derivada del producto de dos funciones. Si una función f (x) está dada
por el producto de dos funciones, f (x) = g(x)h(x), entonces la derivada de
f (x) se define como:
df (x)
dx
=
d[g(x)h(x)]
dx
=
dg(x)
dx
h(x) + g(x)
dh(x)
dx
Derivada del cociente de dos funciones. Si una función f (x) está dada por
el cociente entre dos funciones, f (x) = g(x)/h(x), entonces la derivada de
f (x) se define como:
df (x)
dx
=
d[g(x)/h(x)]
dx
=
1
h2(x)
dg(x)
dx
h(x) − g(x)
dh(x)
dx

Regla de la cadena. Si y = f (x) y x = g(z), entonces, dy/dz puede escri-
birse como el producto de dos derivadas:
dy
dz
=
dy
dx
dx
dz
La segunda derivada. La segunda derivada de y con respecto de x se deﬁne
como la derivada de la función dy/dx (la derivada de la derivada). Esto se
expresa, normalmente, del siguiente modo:
d2
y
dx2
=
d
dx
dy
dx
Derivada inversa. La derivada de x respecto de y es la inversa de la deri-
vada de y respecto de x, siempre que ninguna de ellas se anule:
dx
dy
=
dy
dx
−1
Ejemplo de derivadas de funciones particulares. A continuación se enu-
meran algunas de las derivadas utilizadas con más asiduidad (las letras a y
n representan constantes):
d
dx
(a) = 0
d
dx
(axn
) = naxn−1
d
dx
(eax
) = aeax
d
dx
(ln(x)) =
1
x
d
dx
(sen(ax)) = a cos(ax)
d
dx
(cos(ax)) = −a sen(ax)
d
dx
(tan(ax)) = a sec2
(ax)
d
dx
(arctan(x)) =
1
1 + x2
(1.1)
1.6. Cálculo integral
La integración es la operación inversa de la derivación. Por ejemplo, con-
sideremos la siguiente expresión:
f (x) =
dy
dx
= 3ax2
+ b

1.6. Cálculo integral 13
la cual es el resultado de derivar la función
y(x) = ax3
+ bx + c
Podemos escribir la ecuación anterior como dy = f (x)dx = (3ax2 + b)dx
y obtener y(x) “sumando” todos los valores de x. Matemáticamente, escribi-
mos esta operación inversa como sigue:
y(x) = f (x)dx
Para la función f (x) dada en el ejemplo anterior, tenemos:
y(x) = (3ax2
+ b)dx = ax3
+ bx + c
donde c es una constante de integración. Este tipo de integral se denomina
integral indefinida, dado que su valor depende de la elección que se haga
de c.
Una integral indefinida I(x) se define, en general, como
I(x) = f (x)dx
donde f (x) se denomina integrando y f (x) = dy(x)/dx.
Para una función continua cualquiera f (x), la integral se puede descri-
bir como el área bajo la curva limitada por f (x) y el eje x entre dos valores
especificados de x, por ejemplo, x1 y x2, como se muestra en la figura.
El área del elemento en color azul es aproximadamente f (xi)∆xi. Si su-
mamos todos esos elementos desde x1 hasta x2 y calculamos el límite de esta
suma cuando ∆xi → 0, obtenemos el área real bajo la curva limitada por f (x)
y x entre los limites x1 y x2:
Área = l´ım
∆xi→0
= ∑
i
f (xi)∆xi =
x2
x1
f (x)dx = I(x2) − I(x1)
Las integrales del tipo definido por esta ecuación se denominan integra-
les definidas.
Una integral habitual que surge en situaciones prácticas es la siguiente:
I(x) = xn
dx =
xn+1
n + 1
+ c (x = −1)
Este resultado es obvio, ya que la derivada del miembro derecho de la
ecuación con respecto a x es f (x) = xn, como puede verificarse directamente.
Si los límites de integración son conocidos, esta integral se convierte una
integral definida y se expresa como sigue:
x2
x1
xn
dx =
xn+1
2 − xn+1
1
n + 1
(x = −1)

Integración por partes
En ocasiones, resulta útil aplicar el método de la integración por partes para
calcular ciertas integrales. El método utiliza la propiedad que establece que
udv = uv − vdu
donde u y v se eligen cuidadosamente de modo que sea posible reducir una
integral compleja a una integral más sencilla. En muchos casos, se realizan
varias reducciones. Consideremos la función siguiente:
I(x) = xex
dx
Esta integral se puede calcular integrando por partes. Seleccionamos u ≡
x y dv ≡ exdx, de modo que du = xdx y v = ex. Así,
I(x) = xex
dx = xex
− ex
dx = xex
− ex
+ c
Es decir,
I(x) = x2
ex
dx = x(ex
− 1) + c
Integración por sustitución
Otro método útil que debe recordarse es la integración por sustitución,
en la que se realiza un cambio de variable. Por ejemplo, consideremos la
siguiente integral:
I(x) = cos2
x sen xdx
Esta integral es fácil de calcular si expresamos u = cos x, de modo que
du = − sen xdx. La integral queda entonces del siguiente modo:
I(u) = − u2
du = −
u3
3
+ C
Deshaciendo el cambio de variables queda, ﬁnalmente,
I(x) = −
cos3 x
3
+ c
Integrales inmediatas
A continuación se enumeran algunas integrales indeﬁnidas de utilidad
(tomando la constante de integración c igual a 0):

1.7. Vectores 15
xn
dx =
xn+1
n + 1
si n = −1
1
x
dx = ln x
f (x)
f (x)
dx = ln[f (x)]
eax
dx =
1
a
eax
sen(ax) dx = −
1
a
cos(ax)
cos(ax) dx =
1
a
sen(ax)
tan(ax) dx = −
1
a
ln[cos(ax)] =
1
a
ln[sec(ax)]
x
a2 + x2
dx =
1
a
arctan
x
a
1
a2 − x2
dx =
1
2a
ln
a + x
a − x
si a2
− x2
> 0
1
x2 − a2
dx =
1
2a
ln
x − a
x + a
si x2
− a2
> 0
1
√
a2 − x2
dx = arc sen
x
a
= − arc cos
x
a
si a2
− x2
> 0
1.7. Vectores
1.7.1. Sistemas de coordenadas
Muchos aspectos de la física se relacionan de una manera u otra con posi-
ciones en el espacio. Por ejemplo, la descripción matemática del movimiento
de un objeto requiere un método que permita especificar la posición del ob-
jeto. Por tanto, en primer lugar, vamos a ver cómo describir la posición de
un punto en el espacio. Esto se hace mediante coordenadas en una represen-
tación gráfica. Un punto sobre una línea puede ubicarse mediante una coor-
denada; un punto en un plano puede ubicarse mediante dos coordenadas, y
para ubicar un punto en el espacio, se necesitan tres coordenadas.
Un sistema de coordenadas que permita especificar posiciones consta de:
Un punto fijo de referencia O, denominado origen.
Un conjunto de direcciones o ejes, con una escala y unas etiquetas apro-
piadas sobre los ejes.
Instrucciones que indican cómo etiquetar un punto en el espacio res-
pecto del origen y de los ejes.
Un sistema de coordenadas que utilizaremos frecuentemente es el sis-
tema de coordenadas cartesiano denominado también en ocasiones sistema

de coordenadas ortogonal. En la figura se ilustra un sistema en dos dimensio-
nes. Un punto arbitrario de este sistema se define mediante las coordenadas
(x, y). Las x positivas se toman a la derecha del origen y las y positivas hacia
arriba respecto del origen. Las x negativas se sitúan a la izquierda del origen
y la y negativas hacia abajo respecto del origen. Por ejemplo, el P de coor-
denadas (5, 3) puede localizarse situándose 5 cm a la derecha del origen y
luego desplazándose 3 cm hacia arriba respecto del origen. De forma similar
el punto Q de coordenadas (−3, 4), se localiza desplazándose 3 cm hacia la
izquierda del origen y 4 cm por encima del origen.
Algunas veces, es mejor representar un punto en un plano mediante sus
coordenadas polares planas (r, θ), como se muestra en la figura. En este sis-
tema de coordenadas, r es la longitud de la línea que une el origen con el
punto y θ es el ángulo entre dicha línea y un eje fijo (normalmente, el eje
positivo x), midiendo θ en el sentido contrario a las agujas del reloj. A partir
del triángulo rectángulo de la figura, podemos establecer que sen θ = y/r y
cos θ = x/r. Por tanto, partiendo de las coordenadas polares planas, se pue-
den obtener las coordenadas cartesianas mediante las ecuaciones siguientes:
x = r cos θ, y = r sen θ
Además, se deduce que,
tan θ = y/x, r = x2 + y2
1.7.2. Vectores y escalares
Muchas magnitudes físicas pueden clasificarse dentro de una de estas
dos categorías: escalar o vector. Un escalar es una magnitud que queda com-
pletamente especificada mediante un número positivo o negativo, con las
unidades apropiadas. Por el contrario, un vector es una magnitud física que
debe ser especificada mediante su módulo, dirección y sentido.
La cantidad de manzanas contenidas en un cesto es un ejemplo de magni-
tud escalar. Si decimos que hay 38 manzanas en el cesto, especificamos com-
pletamente la información no siendo necesario indicar ninguna dirección.
Otros ejemplos de magnitudes escalares son la temperatura, el volumen, la
masa y los intervalos de tiempo. Para manipular las magnitudes escalares
se usan las reglas ordinarias de la aritmética; dichas magnitudes pueden su-
marse y restarse sin problemas (¡siempre que tengan las mismas unidades!),
así como multiplicarse y dividirse.
La fuerza es un ejemplo de magnitud vectorial. Para describir por com-
pleto la fuerza que actúa sobre un objeto, debemos especificar tanto la direc-
ción de la fuerza aplicada como el módulo de la misma.
Otro ejemplo de una magnitud vectorial es el desplazamiento de una
partícula, definido como la variación de su posición. Supongamos que la partí-
cula se mueve desde un punto A hasta un punto B a lo largo de una trayec-
toria recta, como se muestra en la figura. Este desplazamiento puede repre-
sentarse dibujando una flecha desde A hasta B, donde la punta de la flecha
indica la sentido del desplazamiento y la longitud de la flecha representa la
magnitud del mismo. Si la partícula se mueve a la largo de alguna otra tra-
yectoria entre A y B como, por ejemplo, la línea discontinua mostrada en la
figura, su desplazamiento seguirá siendo el vector que va desde A hasta B.

1.7. Vectores 17
El vector desplazamiento a la largo de cualquier trayectoria no directa desde
A hasta B se define como el equivalente al desplazamiento representado por
la trayectoria directa desde A hasta B. La magnitud del desplazamiento es la
distancia más corta entre los puntos extremos. Por tanto, el desplazamiento
de una partícula queda completamente definido si sus coordenadas iniciales
y finales con conocidas. No es necesario especificar la trayectoria. En otras
palabras, el desplazamiento es independiente de la trayectoria cuando los
puntos extremos de la trayectoria son fijos.
Es importante destacar que la distancia recorrida por una partícula es di-
ferente de su desplazamiento. La distancia recorrida (una magnitud escalar)
es la longitud de la trayectoria que, en general, puede ser mucho mayor que
el módulo del desplazamiento.
Si la partícula se mueve a lo largo del eje x desde la posición xi hasta
la posición xf , su desplazamiento viene dado por xf − xi. Usamos la letra
griega ∆ para indicar la variación de una magnitud. Por tanto, definimos la
variación de la posición de una partícula (el desplazamiento) como
∆x ≡ xf − xi
A partir de esta definición, vemos que ∆x es positivo si xf > xi y negativo
si xf < xi. Por ejemplo, si una partícula varía su posición desde xi = −5 m
hasta xf = 3 m, su desplazamiento es ∆x = 8 m.
Existen otras muchas magnitudes físicas, además del desplazamiento,
que son vectores, entre las que se incluye la velocidad, la aceleración, la fuer-
za y la cantidad de movimiento, las cuales se definirán en próximos capítu-
los. En este curso utilizaremos una flecha encima de la letra, tal como A, para
representar los vectores.
El módulo del vector A se expresa como A o, alternativamente, |A|. El
módulo de un vector siempre es positivo y especifica las unidades de la mag-
nitud que el vector representa. Los vectores se combinan siguiendo reglas
especiales que veremos más adelante.
1.7.3. Algunas propiedades de los vectores
Igualdad de dos vectores. Dos vectores A y B son iguales si tienen el mis-
mo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Es decir, A = B sólo
si A = B y A y B apuntan en la misma dirección y sentido. Por ejemplo,
todos los vectores de la figura son iguales, incluso aunque sus puntos de
partida sean diferentes. Esta propiedad nos permite trasladar un vector con-
servándolo paralelo a sí mismo en un diagrama, sin que ello le afecte a sus
propiedades.
Suma. Las reglas de la suma de vectores se describen perfectamente usan-
do la geometría. Para sumar el vector B al vector A, en primer lugar se dibuja
el vector A representando su módulo con la escala adecuada y luego se di-
buja el vector B, utilizando la misma escala, a partir de la punta del vector
A, como se muestra en la figura. El vector resultante R = A + B es el vector
desde el extremo de A hasta la punta de B.
Este procedimiento se conoce como el método del triángulo para la suma,

ya que los tres vectores se pueden considerar geométricamente como los la-
dos de un triángulo. Un procedimiento gráfico alternativo para sumar dos
vectores, conocido como regla del paralelogramo para la suma, se muestra en
la figura. En esta representación, los extremos iniciales de los vectores A y B
se dibujan juntos y el vector resultante R es la diagonal del paralelogramo
que tiene a los vectores A y B como lados.
Cuando se suman vectores, la suma es independiente del orden en que
se sumen. Esta propiedad se conoce como la propiedad conmutativa de la
suma:
A + B = B + A
Si suman tres o más vectores, su suma es independiente de la forma en
que se agrupen. Una demostración geométrica de esta propiedad para el caso
de tres vectores se muestra en la figura. Esto se denomina propiedad asocia-
tiva de la suma:
A + (B + C) = (A + B) + C
La representaciones geométricas también se pueden emplear para sumar
más de tres vectores. Esto se muestra en la figura para el caso de cuatro vec-
tores. El vector suma resultante R = A + B + C + D es el vector que cierra el
polígono formado por los vectores que se van a sumar. En otras palabras, R
es el vector dibujado desde el extremo del primer vector hasta la punta del
último vector. De nuevo, el orden en que se realice la suma no es importante.
Por tanto, se concluye que un vector es una magnitud que tiene un módu-
lo, una dirección y un sentido y que cumple las leyes de la suma de vectores
descritas anteriormente.
Opuesto de un vector. El opuesto de un vector A (también denominado
vector complementario) se define como el vector que sumado con A da cero
como vector suma. Es decir, A + (−A) = 0. Los vectores A y −A tienen el
mismo módulo y dirección, pero sentidos opuestos.
Resta de vectores. La operación de substracción de vectores hace uso de la
definición de vector opuesto. Se define la operación A − B como la suma del
vector −B con el vector A:
A − B = A + (−B)
En la figura se presenta un diagrama de la resta de dos vectores.
Multiplicación de un vector por un escalar. Si un vector A se multiplica
por una magnitud escalar positiva s, el producto sA es un vector que tiene
la misma dirección y sentido que A y un módulo igual a sA. Si s es una
magnitud escalar negativa, el vector sA tiene sentido opuesto a A.

1.7. Vectores 19
Multiplicación de dos vectores. Dos vectores A y B pueden multiplicarse
de dos formas diferentes, para dar como resultado una magnitud escalar o
una magnitud vectorial. El producto escalar A · B es una magnitud escalar
igual a AB cos θ, donde θ es el ángulo entre A y B. El producto vectorial A ∧ B
es un vector cuyo módulo es igual a AB sen θ. Veremos posteriormente estos
productos con más detalle.
1.7.4. Componentes de un vector y vectores unitarios
El método geométrico de suma de vectores no es un procedimiento re-
comendable en situaciones en las que se requiere una gran precisión o en
problemas donde se utilicen tres dimensiones. En este apartado se describe
un método para sumar vectores que hace uso de las proyecciones de un vector
sobre los ejes de un sistema de coordenadas cartesiano.
Consideremos un vector A que se encuentra sobre el plano xy formando
un ángulo arbitrario θ con el eje x positivo, como se muestra en la figura.
El vector A se puede representar mediante sus componentes cartesianas, Ax
y Ay. La componente Ax representa la proyección de A sobre el eje x y Ay
representa la proyección de A sobre el eje y. Las componentes de un vector,
que son magnitudes escalares, pueden ser positivas o negativas. Por ejem-
plo, en la figura anterior, Ax y Ay son positivas. Los valores absolutos de las
componentes son los módulos asociados con los vectores componentes Ax
y Ay. Este diagrama muestra dos características importantes. En primer lu-
gar, un vector es igual a la suma de sus vectores componentes. Por tanto, la
combinación de los vectores componentes es un sustituto válido del vector
real. La segunda característica es que el vector y sus vectores componentes
forman un triángulo rectángulo. Por tanto, podemos establecer el triángulo
como un modelo del vector y podemos emplear la trigonometría para anali-
zar el vector. Los catetos del triángulo tienen la longitud de las componentes
y la hipotenusa tiene una longitud proporcional al módulo del vector.
A partir de la figura y de la definición de seno y coseno de un ángulo,
podemos ver que cos θ = Ax/A y sen θ = Ay/A. Por tanto, las componentes
de A vienen dadas por las siguientes expresiones:
Ax = A cos θ, Ay = A sen θ
Es importante observar que, cuando se usan estas ecuaciones de las com-
ponentes, θ debe medirse en el sentido contrario a las agujas del reloj a partir
del eje x positivo. A partir del triángulo, se obtiene que el módulo de A y su
dirección se relacionan con sus componentes mediante el teorema de Pitágo-
ras y la definición de la función tangente:
A = A2
x + A2
y, tan θ =
Ay
Ax
Para obtener θ, podemos escribir θ = arctan(Ay/Ax). Obsérvese que el
signo de las componentes Ax y Ay dependen del ángulo θ. Por ejemplo, si
θ = 120º, Ax es negativa y Ay es positiva. Por el contrario, si θ = 225º,
tanto Ax como Ay son negativas. En la figura se resumen los signos de las
componentes cuando A se encuentra en los diferentes cuadrantes.

Las magnitudes vectoriales se expresan a menudo en términos de vecto-
res unitarios. Un vector unitario es un vector adimensional con un módulo
igual a la unidad y se usa para especificar una dirección y un sentido deter-
minados. Los vectores unitarios no tienen significado físico. Se usan simple-
mente como un convenio que permite describir una dirección y un sentido
en el espacio. Utilizaremos los símbolos ˆı, ˆ y ˆk para representar los vectores
unitarios que apuntan en las direcciones de los ejes x, y y z, respectivamen-
te. Por tanto, los vectores unitarios ˆı, ˆ y ˆk forman un conjunto de vectores
perpendiculares entre sí, como se muestra en la figura, siendo el módulo de
cada uno de los vectores igual a uno, es decir, |ˆı| = |ˆ| = |ˆk| = 1.
Consideremos un vector A que descansa sobre el plano xy, como el mos-
trado en la figura. El producto de la componente Ax por el vector unitario ˆı
es el vector componente Axˆı paralelo al eje x, cuyo módulo es Ax. Del mis-
mo modo, Ayˆ es un vector componente de módulo Ay y paralelo al eje y.
Cuando se usa la forma unitaria de un vector, simplemente se multiplica un
vector (el vector unitario) por un escalar (la componente). Por tanto, el vector
A expresado utilizando la notación de vectores unitarios, sería:
A = Axˆı + Ayˆ
Supongamos que deseamos sumar el vector B al vector A, siendo Bx y By
las componentes de B. El procedimiento para llevar a cabo esta suma con-
siste simplemente en sumar por separado las componentes x e y. El vector
resultante R = A + B es por tanto:
R = (Ax + Bx)ˆı + (Ay + By)ˆ
Luego las componentes del vector resultante vienen dadas por:
Rx = Ax + Bx
Ry = Ay + By
La extrapolación de estos métodos a vectores tridimensionales es directa.
Si A y B tienen componentes x, y y z podemos expresarlos como se indica a
continuación:
A = Axˆı + Ayˆ + Az
ˆk
B = Bxˆı + Byˆ + Bz
ˆk
La suma de A y B es
R = A + B = (Ax + Bx)ˆı + (Ay + By)ˆ + (Az + Bz)ˆk
Se puede usar el mismo método para sumar tres o más vectores.
Si un vector R tienes las componentes x, y y z, el módulo del vector será:
R = R2
x + R2
y + R2
z

1.7. Vectores 21
El ángulo θx que R forma con el eje x viene dado por:
cos θx =
Rx
R
Los ángulos con respecto a los ejes y y z se pueden obtener a partir de
expresiones similares a la anterior.
1.7.5. Producto escalar
El producto escalar de dos vectores cualesquiera A y B es una magnitud
escalar igual al producto de los módulos de los dos vectores por el coseno
del ángulo θ que forman entre ellos:
A · B ≡ AB cos θ (1.2)
donde θ es el menor de los dos ángulos que forman entre sí A y B, como se
indica en la figura.
Veamos algunas propiedades del producto escalar. A partir de la ecuación
(1.2), vemos que el producto escalar es conmutativo, es decir,
A · B = B · A
Además, el producto escalar, obedece a la propiedad distributiva de la
multiplicación, por lo que
A · (B + C) = A · B + A · C
El producto escalar es sencillo de evaluar a partir de la ecuación (1.2)
cuando A es paralelo o perpendicular a B. Si A es perpendicular a B (θ = 90º),
entonces A · B = 0 (esta igualdad también se cumple en el caso trivial en el
que A o B sean iguales a 0). Si A y B apuntan en la misma dirección y sentido
(θ = 0º), entonces A · B = AB. Si A y B apuntan en la misma dirección pero
en sentidos opuestos (θ = 180º), entonces A · B = −AB. El producto escalar
es negativo para 90o < θ ≤ 180o.
Los vectores unitarios ˆı, ˆ y ˆk, siguen los sentidos positivos de los ejes x, y
y z, respectivamente, en un sistema de coordenadas con orientación dextró-
gira. Por tanto, a partir de la definición A · B, los productos escalares de estos
vectores unitarios vienen dados por:
ˆı · ˆı = ˆ · ˆ = ˆk · ˆk = 1
ˆı · ˆ = ˆı · ˆk = ˆ · ˆk = 0
Vimos anteriormente que dos vectores A y B se pueden expresar especi-
ficando sus componentes del siguiente modo:
A = Axˆı + Ayˆ + Az
ˆk
B = Bxˆı + Byˆ + Bz
ˆk

Por tanto, utilizando todas estas expresiones, el producto escalar entre A
y B puede reducirse a
A · B = AxBx + AyBy + AzBz (1.3)
Las ecuaciones (1.2) y (1.3) se pueden utilizar de forma alternativa como
expresiones equivalentes del producto escalar. La ecuación (1.2) es útil si se
conocen los módulos y direcciones de los vectores, mientras que la ecuación
(1.3) es útil si lo que se conoce son las componentes de los vectores. En el
caso especial en el que A = B, tenemos que
A · A = A2
x + A2
y + A2
z = A2
1.7.6. Producto vectorial
Dados dos vectores cualesquiera A y B, el producto vectorial A ∧ B se de-
fine como un tercer vector C, cuyo módulo es AB sen θ, donde θ es el ángulo
formado por A y B:
C = A ∧ B, |C| = AB sen θ (1.4)
Obsérvese que el valor AB sen θ es igual al área del paralelogramo for-
mado por A y B, como se muestra en la figura. La dirección de A ∧ B es
perpendicular al plano formado por A y B y su sentido está determinado
por la regla de la mano derecha que se ilustra en la figura. Los cuatro de-
dos de la mano derecha se extienden apuntando en el sentido de A y luego
se “enrollan” hacia B barriendo el ángulo θ. El pulgar extendido indica la
dirección y el sentido de A ∧ B.
De la definición anterior, se deducen varias propiedades del producto
vectorial:
Al contrario que en el caso del producto escalar, el producto vectorial
no es conmutativo; de hecho,
A ∧ B = −B ∧ A
Por lo tanto, si se cambia el orden en el producto vectorial, se debe
cambiar el signo. Se puede comprobar esta relación de una forma muy
sencilla utilizando la regla de la mano derecha.
Si A es paralelo a B (θ = 0º o θ = 180º), entonces A ∧ B = 0, de donde
se deduce que
A ∧ A = 0
Si A es perpendicular a B, entonces |A ∧ B| = AB. A partir de esta
propiedad puede deducirse que el producto vectorial de los vectores
unitarios ˆı, ˆ y ˆk obedece las fórmulas siguientes:

1.7. Vectores 23
ˆı ∧ ˆı = ˆ ∧ ˆ = ˆk ∧ ˆk = 0
ˆı ∧ ˆ = −ˆ · ˆı = ˆk
ˆ ∧ ˆk = −ˆk · ˆ = ˆı
ˆk ∧ ˆı = −ˆı · ˆk = ˆ
Los signos son intercambiables. Por ejemplo, ˆı ∧ (−ˆ) = −ˆı ∧ ˆ = −ˆk.
A partir de las propiedades de los productos vectoriales de los vectores
unitarios, se puede encontrar una fórmula para el cálculo del producto vec-
torial entre dos vectores A y B, a partir de sus componentes:
A ∧ B =
ˆı ˆ ˆk
Ax Ay Az
Bx By Bz
(1.5)

Tema 2
Cinemática de la partícula
2.1. Introducción
El hombre siempre ha sentido curiosidad por el mundo que le rodea.
Como demuestran los primeros documentos gráficos, el hombre siempre ha
buscado el modo de imponer orden en la enmarañada diversidad de los su-
cesos observados. La ciencia es un método de búsqueda de los principios
fundamentales y universales que gobiernan las causas y los efectos en el uni-
verso. El método científico consiste en construir, probar y relacionar modelos
con el objetivo de describir, explicar y predecir la realidad. Esta metodología
comporta establecer hipótesis, realizar experimentos que se puedan repetir
y observar y formular nuevas hipótesis. El criterio esencial que determina el
valor de un modelo científico es su simplicidad y su utilidad para elaborar
predicciones o para explicar observaciones referidas a un amplio espectro de
fenómenos.
Generalmente consideramos la ciencia como dividida en diversos cam-
pos diferenciados, aunque esta división sólo tuvo lugar a partir del siglo XIX.
La separación de sistemas complejos en categorías más simples que pueden
estudiarse más fácilmente constituye uno de los mayores éxitos de la ciencia.
La biología, por ejemplo, estudia los organismos vivos. La química trata de
las interacciones de los elementos y compuestos. La geología es el estudio de
la Tierra. La física es la ciencia que trata de la materia y de la energía, del
espacio y del tiempo. Incluye los principios que gobiernan el movimiento de
las partículas y las ondas, las interacciones de la partículas y las propiedades
de las moléculas, los átomos y los núcleos atómicos, así como los sistemas de
mayor escala, como los gases, los líquidos y los sólidos. Algunos consideran
que la física es la más fundamental de las ciencias porque sus principios son
la base de los otros campos científicos.
La física es la ciencia de los exótico y la ciencia de la vida cotidiana. En
el extremo de lo exótico, los agujeros negros ponen retos a la imaginación.
En la vida diaria, ingenieros, músicos, arquitectos, químicos, médicos, biólo-
gos, etc., controlan temas tales como transmisión del calor, flujo de fluidos,
ondas sonoras, radiactividad y fuerzas de tensión en edificios o en huesos
para realizar su trabajo diario. Innumerables cuestiones respecto a nuestro
mundo pueden responderse con un conocimiento básico de la física. ¿Por
qué un helicóptero tiene dos hélices? ¿Por qué los astronautas flotan en el
espacio? ¿Por qué el sonido se propaga alrededor de las esquinas, mientras
25

26 Tema 2. Cinemática de la partícula
que la luz se propaga en línea recta? ¿Por qué un oboe suena distinto de una
flauta? ¿Cómo funcionan los lectores de CD? ¿Por qué no hay hidrógeno en
la atmósfera? ¿Por qué los objetos metálicos parecen más fríos que los objetos
de madera a igual temperatura? ¿Por qué el cobre es un conductor eléctrico
mientras que la madera es un aislante? ¿Por qué el litio, con sus tres electro-
nes, es enormemente radiactivo, mientras que el helio, con dos electrones es
químicamente inerte? Durante este curso intentaremos contestar algunas de
estas preguntas.
Comenzaremos nuestro estudio de la física con la mecánica. Esta rama de
la física considera el estudio del movimiento de los cuerpos. El movimiento
puede estudiarse desde el punto de vista cinemático y dinámico. En el primer
modelo se describe el movimiento en sí mismo; en el segundo, se investigan
las relaciones que existen entre el movimiento de los cuerpos y las causas que
lo producen. Dentro de este último apartado, la estática establece, como caso
particular, las condiciones de equilibrio de los cuerpos. La mecánica es la más
antigua de las ramas de la física y también la más elaborada. Sus modelos se
han levado a otros campos, incluso fuera de la física. De ahí su interés como
fundamento para entender otras parcelas científicas.
En este tema estudiaremos la cinemática de una partícula y dejaremos el
estudio de la dinámica para el próximo tema. Además, empezaremos el tema
con una introducción al concepto de las magnitudes físicas que intervienen
en mecánica, antes de abordar el estudio de la cinemática propiamente dicha.
2.2. Magnitudes Físicas. Unidades
Comenzaremos nuestro estudio de la mecánica estableciendo unas po-
cas definiciones básicas, introduciendo las unidades y mostrando cómo estas
unidades se tratan en las ecuaciones.
La medida de toda magnitud física exige compararla con cierto valor uni-
tario de la misma. Así, para medir la distancia entre dos puntos, la compara-
mos con una unidad estándar de distancia tal como el metro. La afirmación
de que una cierta distancia es de 25 metros significa que equivale a 25 veces
la longitud de la unidad metro; es decir, una regla métrica patrón se ajusta 25
veces en dicha distancia. Es importante añadir la unidad metros junto con el
número 25 al expresar una distancia debido a que existen otras unidades de
longitud de uso común. Decir que una distancia es 25 carece de significado.
Toda magnitud física debe expresarse con una cifra y una unidad.
2.2.1. El Sistema Internacional de unidades
Todas las magnitudes físicas pueden expresarse en función de un pe-
queño número de unidades fundamentales. Muchas de las magnitudes que
se estudiarán en mecánica, tales como velocidad, fuerza, trabajo o energía,
pueden expresarse en función de tres magnitudes fundamentales: longitud,
tiempo y masa. La selección de las unidades patrón o estándar para estas
magnitudes fundamentales determina un sistema de unidades. El sistema
utilizado universalmente en la comunidad científica es el Sistema Interna-
cional (S.I.). En el S.I. la unidad patrón de longitud es el metro, la unidad
patrón de tiempo es el segundo y la unidad patrón de la masa es el kilogra-
mo. Damos a continuación la definición de las unidades patrón de cada una

2.2. Magnitudes Físicas. Unidades 27
de las magnitudes fundamentales:
Longitud: La unidad patrón de longitud, el metro (símbolo m) esta-
ba definida originalmente por la distancia comprendida entre dos ra-
yas grabadas sobre una barra de una aleación de platino e iridio que
se guarda en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas, en Sèvres
(Francia). Se escogió esta longitud de modo que la distancia entre el
Ecuador y el Polo Norte a lo largo del meridiano que pasa por París
fuese igual a 10 millones de metros. El metro patrón se define hoy día
como la distancia recorrida por la luz en el vació durante un tiempo
de 1/299792458 segundos. Esto supone que la velocidad de la luz es
exactamente 299792458 metros por segundos.
Tiempo: La unidad de tiempo, el segundo (símbolo s) se definió origi-
nalmente en función de la rotación de la Tierra, de modo que corres-
pondía a 1/86400 del día solar medio. Actualmente se define en fun-
ción de una frecuencia característica asociada con el átomo de Cesio.
Todos los átomos, después de absorber energía, emiten luz con longi-
tudes de onda y frecuencias características del elemento considerado.
Existe una frecuencia y una longitud de onda particulares asociadas a
cada transición energética dentro del átomo de un elemento y todas
las experiencias manifiestan que estas magnitudes son constantes. El
segundo se define como la frecuencia de la luz emitida en una deter-
minada transición del Cesio es de 9192631770 ciclos por segundo. Con
estas definiciones, las unidades fundamentales de longitud y de tiempo
son accesibles a cualquier laboratorio del mundo.
Masa: La unidad de masa, el kilogramo (símbolo kg), igual a 1000 gra-
mos (g), se define de modo que corresponde a la masa de un cuerpo pa-
trón concreto, también conservado en Sèvres. Un duplicado del patrón
de masa se guarda en el National Bureau of Standards (NIST) de Gait-
hersburg, Maryland (EE.UU.). Estudiaremos con más detalle el concep-
to de masa en el capítulo siguiente. Como veremos, el peso de un objeto
en un punto determinado de la tierra es proporcional a su masa. Así,
las masas de tamaño ordinario pueden compararse a partir de su peso.
Al estudiar electricidad y termodinámica necesitaremos otras tres unida-
des físicas fundamentales: la unidad de corriente eléctrica, el amperio (A);
la unidad de temperatura, el kelvin (K) y la unidad de cantidad de materia,
el mol. Existe otra unidad fundamental, la candela (cd), unidad de inten-
sidad luminosa, que no tendremos ocasión de utilizar durante este curso.
Estas siete unidades fundamentales constituyen el Sistema Internacional de
unidades.
La unidad de cualquier magnitud física puede expresarse en función de
estas unidades del S.I. fundamentales. Algunas combinaciones importantes
reciben nombres especiales. Por ejemplo, la unidad S.I. de fuerza, kg·m/s2 se
denomina newton (N). Análogamente, la unidad S.I. de potencia, kg·m2/s3
se denomina watio (W). En la Tabla 2.1 se relaciona los prefijos de los múl-
tiplos y submúltiplos más corrientes de las unidades del S.I. Estos múltiplos
son todos potencias de 10 y un sistema así se denomina sistema decimal;
el sistema decimal basado en el metro se llama sistema métrico. Los prefijos
pueden aplicarse a cualquier unidad del S.I., por ejemplo, 0.001 segundos es
un milisegundo (ms); 1000000 de watios es un megawatio (MW).

Múltiplo Prefijo Abreviatura Múltiplo Prefijo Abreviatura
1018 exa E 10−18 atto a
1015 peta P 10−15 femto f
1012 tera T 10−12 pico p
109 giga G 10−9 nano n
106 mega M 10−6 micro µ
103 kilo k 10−3 mili m
102 hecto h 10−2 centi c
101 deca da 10−1 deci d
Tabla 2.1: Prefijos de las potencias de 10
2.2.2. Conversión de unidades
Todas las magnitudes físicas contienen un número y una unidad. Cuan-
do estas magnitudes se suman, se multiplican o dividen en una ecuación
algebraica, la unidad puede tratarse como cualquier otra magnitud algebrai-
ca. Por ejemplo, supongamos que deseamos hallar la distancia recorrida en
3 horas (h) por un coche que se mueve con una velocidad constante de 80
kilómetros por hora (km/h). La distancia x es precisamente la velocidad v
multiplicada por el tiempo t:
x = vt =
80 km
¡h
× 3 ¡h = 240 km
Eliminamos la unidad de tiempo, la hora, igual que haríamos con cual-
quier otra magnitud algebraica para obtener la distancia en la unidad de lon-
gitud correspondiente, el kilómetro. Este método permite fácilmente pasar
de una unidad de distancia a otra. Supongamos que quisiéramos convertir
nuestra distancia de 240 kilómetros en millas (mi). Teniendo en cuenta que 1
mi=1.61 km, si dividimos los dos miembros de esta igualdad por 1.61 km se
obtiene:
1 mi
1.61 km
= 1
Como toda magnitud puede multiplicarse por 1 sin modificar su valor,
podemos convertir 240 km en millas multiplicando por el factor (1 mi)/(1.61
km):
240 km = 240 ¨¨km ×
1 mi
1.61 ¨¨km
= 149 mi
El factor (1 mi)/(1.61 km) se denomina factor de conversión. Todos los
factores de conversión tienen el valor 1 y se utilizan para pasar una magni-
tud expresada en una unidad de medida a su equivalente en otra unidad de
medida. Escribiendo explícitamente las unidades no es necesario pensar si
hay que multiplicar o dividir por 1.61 para pasar de kilómetros a millas, ya
que las unidades indican si hemos escogido el factor correcto o el incorrecto.
2.2.3. Dimensiones de las magnitudes físicas
El área de una figura plana se encuentra multiplicando una longitud por
otra. Por ejemplo, el área de un rectángulo de lados 2 m y 3 m es A =

2.2. Magnitudes Físicas. Unidades 29
(2 m)(3 m) = 6 m2. La unidad de área es el metro cuadrado. Puesto que
el área es el producto de dos longitudes, se dice que tiene dimensiones de
longitud por longitud, o longitud al cuadrado, que suele escribirse L2. La
idea de dimensiones se amplía fácilmente a otras magnitudes no geométri-
cas. Por ejemplo, la velocidad tiene dimensiones de longitud dividida por
tiempo o L/T. Las dimensiones de otras magnitudes, tales como fuerza o
energía, se escriben en función de las magnitudes fundamentales: longitud
(L), tiempo (T) y masa (M). La suma de dos magnitudes físicas sólo tiene
sentido si ambas tienen las mismas dimensiones.
A veces pueden detectarse errores en un cálculo comprobando las dimen-
siones y unidades de las magnitudes que intervienen en él. Supongamos, por
ejemplo, que estamos utilizando erróneamente la fórmula A = 2πr para el
área de un círculo. Veremos inmediatamente que esto no puede ser correcto,
ya que 2πr tiene dimensiones de longitud, mientras que el área tiene dimen-
siones de longitud al cuadrado. La coherencia dimensional es una condición
necesaria pero no suficiente para que una ecuación sea correcta. Una ecua-
ción puede tener las dimensiones correctas en cada término, pero no des-
cribir una situación física. La tabla 2.2 relaciona las dimensiones de algunas
magnitudes corrientes en física.
Magnitud Símbolo Dimensión
Área A L2
Volumen V L3
Velocidad v LT−1
Aceleración a LT−2
Fuerza F MLT−2
Presión(F/A) p ML−1T−2
Densidad(M/V) ρ ML−3
Energía E ML2T−2
Potencial P ML2T−3
Tabla 2.2: Dimensiones de las magnitudes físicas
Cuando una magnitud carece de dimensiones, se denomina adimensio-
nal. Los ángulos, por ejemplo, son magnitudes adimensionales. Esto se ve
claramente en la definición de radián, que se muestra gráficamente en la fi-
gura. Con centro en el vértice del ángulo se traza un arco AB de radio R.
Entonces la medida θ en radianes es
θ =
s
R
(2.1) Definición de ángulo en radianes
donde s es la longitud del arco. Esta definición se basa en el hecho de que s/R
es independiente del radio del arco y, por tanto, caracteriza bien al ángulo.
Un radián se define, en consecuencia, como el ángulo que corresponde a una
longitud del arco igual al radio. Así, una circunferencia completa (360º) ten-
drá 2π radianes. Claramente, el radián carece de dimensiones, ya que pro-
viene del cociente entre dos longitudes. Análogamente, los argumentos de
funciones trascendentes (seno, coseno, logaritmo, exponencial, ...) son tam-
bién adimensionales.

2.3. Partículas materiales. Movimiento curvilíneo
2.3.1. Partículas materiales
Cuando se mueven los cuerpos describiendo una trayectoria, pueden al
mismo tiempo girar, caso de una pelota que rueda por el suelo, o vibrar, co-
mo una gota de agua que cae. Estos movimientos superpuestos al del cuer-
po, que se mueve como un todo, dificultan el estudio del movimiento. Para
evitar inicialmente estas complicaciones se considera que los cuerpos que se
mueven como partículas materiales. Matemáticamente, una partícula es un
punto sin dimensiones y, por tanto, no puede tener ni rotaciones ni vibracio-
nes internas.
En la realidad no existen tales cuerpos; sin embargo, frente al movimien-
to, muchos cuerpos se comportan (al menos, aproxidamente) como si lo fue-
ran. La mecánica de la partícula constituye un modelo que en muchos casos
es muy útil para el estudio del movimiento. A continuación realizamos una
serie de comentarios en relación con la aplicación del modelo de partícula a
la mecánica:
Aunque la palabra partícula se asocia intuitivamente a algo de peque-
ñas dimensiones, los cuerpos no tienen que ser necesariamente peque-
ños para que puedan considerarse como partículas. Así, con este mo-
delo, se consigue una gran cantidad de información acerca del movi-
miento de los cuerpos del Sistema Solar, considerando cada astro como
una partícula, cosa que por otra parte puede estar justificada si tene-
mos en cuenta la enorme distancia que los separa en relación con sus
dimensiones.
Si el cuerpo es demasiado grande para que pueda asimilarse a una par-
tícula en un problema específico, siempre puede analizarse su movi-
miento en función de los movimientos de cada una de las partículas
que lo forman, y en este caso también resultará útil el modelo de partí-
cula.
Finalmente, es obvio que este modelo de partícula, por su propia defi-
nición, tiene una limitación a la hora de aplicarlo. Con él sólo pueden
estudiarse movimientos de traslación, entendiendo como tales los mo-
vimientos de un cuerpo en los que, si imaginamos un sistema de refe-
rencia ligado al cuerpo, sus respectivos ejes se mantienen paralelos a sí
mismos en el transcurso del movimiento.
2.3.2. Vectores de posición, velocidad y aceleración
Cuando una partícula se mueve en el espacio, en general describe una
línea que no es una recta y decimos que experimenta un movimiento curvi-
líneo. La posición P de la partícula en un instante t queda completamente
especificada por su vector de posición r(t) respecto de un sistema de refe-
rencia:
r(t) = x(t)ˆı + y(t)ˆ + z(t)ˆk (2.2)
En un instante posterior t + ∆t, la partícula ocupará una posición P ca-
racterizada por un vector de posición r . El vector

2.3. Partículas materiales. Movimiento curvilíneo 31
∆r = r − r (2.3)
representa el cambio de posición de la partícula, tanto su cambio de direc-
ción, como el cambio de distancia respecto del origen de coordenadas (ver
figura). Se define la velocidad media de la partícula durante el intervalo ∆t
como el cociente
vm =
∆r
∆t
(2.4)
Por tanto vm es un vector de igual dirección y sentido que ∆r y módulo
|∆r|/∆t. La velocidad instantánea se obtendrá tomando un intervalo ∆t muy
pequeño:
v(t) = l´ım
∆t→0
∆r
∆t
= l´ım
∆t→0
r(t + ∆t) − r(t)
∆t
=
dr
dt
(2.5)
En la ecuación anterior hemos representado las posiciones de la partícula
en el tiempo mediante una función vectorial r(t) de la variable escalar t. La
velocidad aparece entonces como la derivada de esta función vectorial.
El módulo de la velocidad media se puede expresar como la derivada de
la longitud de arco s, ya que, cuando ∆t disminuye, la longitud de la cuerda
|∆r| se aproxima a la longitud del arco interceptado, de forma que ambas
coinciden en el límite ∆t → 0:
v(t) = |v(t)| = l´ım
∆t→0
|∆r|
∆t
= l´ım
∆t→0
∆s
∆t
=
ds
dt
(2.6)
Obsérvese también que mientras ∆t sea cada vez más pequeño, los des-
plazamientos ∆r son cada vez más cortos y los puntos P y P de la figura
anterior se acercan cada vez más, hasta que en el límite ∆t → 0 el vector v
obtenido es tangente a la trayectoria de la partícula, como muestra la figura.
De modo completamente análogo podemos definir la aceleración media
am =
∆v
∆t
(2.7)
y la aceleración instantánea:
a(t) = l´ım
∆t→0
∆v
∆t
= l´ım
∆t→0
v(t + ∆t) − v(t)
∆t
=
dv
dt
(2.8)
Las expresiones (2.5) y (2.8) se pueden escribir en función de las compo-
nentes del vector de posición. En efecto,
v(t) =
dr
dt
= ˙x(t)ˆı + ˙y(t)ˆ + ˙z(t)ˆk (2.9) Velocidad instantánea
ya que las derivadas respecto al tiempo de los vectores ˆı, ˆ y ˆk son cero pues
su módulo, dirección y sentido permanecen fijos en el tiempo.
Análogamente,

a(t) =
dv
dt
=
d2
r
dt2
= ¨x(t)ˆı + ¨y(t)ˆ + ¨z(t)ˆk (2.10)Aceleración instantánea
Por supuesto, se puede obtener el módulo y la dirección de velocidades
y aceleraciones a partir de sus componentes, como es habitual en el álgebra
vectorial.
2.3.3. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
El caso más sencillo de movimiento de una partícula es el movimiento
rectilíneo uniforme. Este se caracteriza por ser monodimensional y tener una
aceleración constante. Deduciremos a continuación una serie de ecuaciones
que caracterizan a este tipo de movimiento.
Como mencionamos anteriormente, el movimiento es monodimensional,
por lo que podemos escribir r(t) = x(t)ˆı, v(t) = v(t)ˆı. Además, como la ace-
leración es constante, tenemos a(t) = aˆı. A partir de (2.8) podemos encontrar
la velocidad en función del tiempo:
a =
dv
dt
→ dv = adt
Tomando como velocidad inicial v(t = 0) ≡ v0, podemos integrar las
ecuación anterior:
v(t)
v0
dv = a
t
0
dt
quedando, ﬁnalmente,
v(t) = v0 + at (2.11)Velocidad en el movimiento
rectilíneo uniformemente acelerado
De manera análoga, se puede obtener la posición en función del tiempo
a partir de la ecuación (2.5):
v(t) =
dx
dt
→ dx = v(t)dt
Tomando ahora x(t = 0) ≡ x0
x(t)
x0
dx =
t
0
v(t)dt =
t
0
(v0 + at)dt
y queda
x(t) = x0 + v0t +
1
2
at2
(2.12)Posición en el movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado
Se puede eliminar el tiempo de las ecuaciones (2.11) y (2.12) obteniendo
la relación:

2.3. Partículas materiales. Movimiento curvilíneo 33
v2
= v2
0 + 2ax (2.13)
Relación entre velocidad y posición
en el movimiento rectilíneo uniforme-
mente acelerado
Un ejemplo de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es la caí-
da libre de un cuerpo, en el cual a = g, donde g = 9.81 m/s2 es la aceleración
de la gravedad.
El caso particular en que a = 0 se conoce como movimiento rectiíneo uni-
forme. En ese caso, la velocidad v es constante y la posición viene dada por:
x(t) = x0 + vt (2.14)
2.3.4. Composición de movimientos. Lanzamiento de proyec-
tiles
Un proyectil es cualquier cuerpo que recibe una velocidad inicial y luego
sigue una trayectoria determinada debido a los efectos de la aceleración de
la gravedad. Un balón lanzado, un paquete soltado de un avión o una bala
disparada de un cañón son ejemplo de proyectiles.
Para analizar este tipo de movimiento, partiremos de un modelo ideali-
zado que representa el proyectil como una partícula con aceleración (debida
a la gravedad) constante en módulo y dirección. Despreciaremos los efectos
del aire y la curvatura de la Tierra.
En primer lugar, observamos que el movimiento de un proyectil está limi-
tado a un plano vertical determinado por la dirección de la velocidad inicial.
Esto se debe a que la aceleración debida a la gravedad es exclusivamente
vertical; la gravedad no puede mover un proyectil lateralmente. Por tanto,
este movimiento es bidimensional. Tomamos como plano de movimiento el
plano xy, con el eje x horizontal hacia la derecha y el y vertical hacia arriba.
La clave del análisis del movimiento de proyectiles es que podemos tratar
las coordenadas x e y por separado. La componente x de la aceleración es
cero, y la componente y es constante e igual a −g, ya que la gravedad está
dirigida hacia abajo. Así, podemos analizar el movimiento de un proyectil
como la combinación de movimiento horizontal con velocidad constante y
movimiento vertical con aceleración constante.
Así, podemos expresar todas las relaciones vectoriales de posición, ve-
locidad y aceleración con ecuaciones independientes para las componentes
horizontales y verticales. El movimiento real es la superposición de los dos
movimientos. Las componentes de a son:
ax = 0 ay = −g (2.15)
Supongamos que en t = 0 la partícula está en el punto (x0, y0) y sus
componentes de velocidad tienen las velocidades v0x y v0y. Consideramos
primero el movimiento en el eje x; como ax = 0, el movimiento es rectilíneo
uniforme, y la velocidad y posición instantánea son:



vx(t) = v0x
x(t) = x0 + v0xt
(2.16)

El movimiento en la dirección y es uniformemente acelerado, con acele-
ración constante ay = −g; la velocidad y posición instantánea vendrá dada
por:



vy(t) = v0yt − gt2
y(t) = y0 + v0yt − 1
2 gt2
(2.17)
Por lo general, lo más sencillo es tomar la posición inicial (en t = 0) como
origen; así, x0 = y0 = 0. Este punto podría ser la posición de una pelota
cuando abandona la mano del lanzador, o la de una bala cuando sale de un
cañón.
FIGURA 2.1: Trayectoria de un cuerpo proyectado con una velocidad inicial v0 y un ángulo α0
respecto a la horizontal. La distancia R es el alcance horizontal, y h es la altura maxima.
La ﬁgura 2.1 muestra la trayectoria de un proyectil que parte de (o pasa
por) el origen de coordenadas en t = 0. La posición, velocidad, componentes
de velocidad y aceleración se muestran en una serie de instantes equiespa-
ciados. La componente x de la aceleración es 0, así que vx es constante. La
componente y de la aceleración es constante (pero no nulo), así que vy cam-
bia en cantidades iguales a intervalos iguales. En el punto mas alto de la
trayectoria, vy = 0.
También podemos representar la velocidad inicial v0 con su módulo v0 y
su ángulo α0 con el eje x. En términos de estas cantidades, las componentes
v0x y v0y, de la velocidad inicial son
v0x = v0 cos α0 v0y = v0 sen α0 (2.18)
Usando estas relaciones en (2.16) y (2.17) y haciendo x0 = y0 = 0 tenemos



x(t) = v0 cos α0t y(t) = v0 sen α0t − 1
2 gt2
vx(t) = v0 cos α0 vy(t) = v0 sen α0 − gt
(2.19)Ecuaciones del movimiento de
proyectiles

2.4. Componentes intrínsecas de la aceleración 35
Estas ecuaciones describen la posición y la velocidad del proyectil de la
ﬁgura 2.1 en cualquier instante de tiempo t. Podemos deducir una ecuación
de la trayectoria y(x) eliminando t de las ecuaciones anteriores:
y(x) = (tan α0)x −
g
2v2
0 cos2 α0
x2
(2.20)
Como α0, v0 y g son constantes, la ecuación anterior corresponde a una
parábola.
Es también interesante encontrar los valores de la altura máxima h y del
alcance R en función de las constantes v0 y α0. Para encontrar el valor de la
altura máxima, tenemos en cuenta que en ese punto, vy = 0, y buscamos
para qué valor de t = t1 tiene lugar ese evento. Sustituimos t1 en la ecuación
de y(t) y de ahí de obtiene h = y(t1):
t1 =
v0 sen α0
g
h = y(t1) = v0 sen α0
v0 sen α0
g
−
1
2
g
v0 sen α0
g
2
Es decir,
h =
v2
0 sen2 α0
2g
(2.21)
Si variamos α0, el valor máximo de h se obtiene cuando sen α0 = 1, es
decir, α0 = 90º. Para obtener la ecuación del alcance R usamos la ecuación de
la trayectoria (2.20) para obtener el valor de x cuando y = 0:
(tan α0)x =
g
2v2
0 cos2 α0
x2
Esta ecuación tiene dos raíces: la primera correspondería al punto inicial
(x = 0, y = 0); la otra raíz x = R nos daría el valor del alcance:
R =
2v0 sen α0 cos α0
g
=
v0 sen 2α0
g
(2.22)
El alcance será máximo cuando sen 2α0 = 1, es decir, α0 = 45º. Dada
la simetría de la trayectoria se puede deducir que el tiempo que tarda en
alcanzarse la altura máxima es la mitad del tiempo necesario para que x = R;
además, y(x = R/2) = h.
2.4. Componentes intrínsecas de la aceleración
Al describir el movimiento curvilíneo observamos que la velocidad es un
vector tangente en todo instante a la trayectoria, mientras que la aceleración
en general no lo es. En muchas ocasiones, resulta conveniente descompo-
ner la aceleración según las direcciones tangente y normal a la trayectoria.
Por simplicidad nos restringiremos al movimiento plano. Consideremos una
partícula que se mueve describiendo una curva en el plano del papel. Puesto

que la velocidad v es un vector tangente a la trayectoria, la podremos expre-
sar como
v = v ˆτ (2.23)
donde ˆτ es un vector unitario tangente a la trayectoria y orientado en el senti-
do del movimiento. La aceleración la obtenemos derivando respecto al tiem-
po
a =
dv
dt
ˆτ + v
d ˆτ
dt
(2.24)
Obsérvese que, a diferencia de lo que sucede con los vectores unitarios
(ˆı, ˆ, ˆk), la derivada de ˆτ es diferente de cero, ya que aunque el módulo de
ˆτ es siempre 1, su dirección cambia de un punto a otro de la trayectoria.
Si consideramos ˆτ como una función del ángulo θ que forma con el eje x,
aplicando la regla de la cadena tendremos:
d ˆτ
dt
=
d ˆτ
dθ
dθ
dt
(2.25)
Necesitamos calcular las dos derivadas. Para ello, consideramos la figura
adjunta. Sea P la posición de una partícula en un instante dado t y tomemos
de nuevo ˆτ como el vector tangente a la trayectoria en el punto P. En un
instante posterior t = t + ∆t, la partícula se encontrará en el punto P y el
vector tangente será ˆτ . Tomemos los vectores ˆτ y ˆτ y dibujémoslos desde
un mismo origen tal como aparece en la figura inferior. Como ambos tienen
módulo unidad, sus extremos se encuentran sobre una circunferencia de ra-
dio unidad. El ángulo que forman entre sí lo denominamos ∆θ de manera
que el vector ∆τ = ˆτ − ˆτ tendrá módulo
|∆τ| = | ˆτ|2 + | ˆτ |2 − 2 cos ∆θ = 2(1 − cos ∆θ) = 2 sen
∆θ
2
De manera análoga a lo que sucedía con la velocidad en el límite ∆θ → 0,
el vector ∆τ se vuelve tangente a la circunferencia de radio unidad de la
figura y, por tanto, perpendicular a ˆτ. En dicho límite el vector ∆τ/∆θ tiene
esas mismas propiedades, pero además su módulo vale:
l´ım
∆θ→0
∆τ
∆θ
= l´ım
∆θ→0
2 sen(∆θ/2)
∆θ
= l´ım
∆θ→0
sen(∆θ/2)
(∆θ/2)
= 1
Es decir, en el límite en que ∆θ → 0, el vector ∆τ/∆θ es un vector unita-
rio perpendicular a ˆτ y con el mismo sentido que gira ˆτ. Podemos entonces
escribir
ˆn = l´ım
∆θ→0
∆τ
∆θ
=
d ˆτ
dθ
(2.26)
El vector unitario ˆn se denomina vector normal a la trayectoria. Confor-
ma junto con ˆτ un par de vectores unitarios perpendiculares entre sí en cada
punto de la trayectoria.

2.4. Componentes intrínsecas de la aceleración 37
Una vez obtenida la derivada de ˆτ, necesitamos calcular dθ/dt. Este va-
lor se expresará en función del concepto llamado radio de curvatura instan-
táneo, ρ. Para definirlo, consideremos dos puntos de la trayectoria P y P ,
alcanzados en dos instantes de tiempo muy próximos t y t + dt. Si la trayec-
toria es curva, las perpendiculares a la trayectoria que pasan por P y P se
cortarán en un punto C, como se muestra en la figura. Obviamente, si la tra-
yectoria fuera circular, ρ coincidiría con su radio. La idea intuitiva consiste en
considerar que en un intervalo muy pequeño de tiempo dt, la distancia reco-
rrida ds puede asimilarse a un arco de circunferencia de radio ρ. La relación
entre ρ y ds será entonces
ds = ρdθ
y dividiendo por dt tendremos
ds
dt
= ρ
dθ
dt
de donde
dθ
dt
=
1
ρ
ds
dt
(2.27)
Recordemos que ds/dt es el módulo de la velocidad e insertando la ecua-
ción (2.27) en (2.25) obtenemos
d ˆτ
dt
=
v
ρ
ˆn (2.28)
Sustituyendo esta ecuación en (2.24):
a =
dv
dt
ˆτ +
v2
ρ
ˆn ≡ at + an (2.29)
Componentes intrínsecas de la ace-
leración
Por consiguiente, la componente tangencial de la aceleración refleja el
cambio en el módulo de la velocidad, mientras que la componente normal
refleja el cambio en la dirección del movimiento de la partícula. Cuanto más
pequeño sea el radio de curvatura y más grande la velocidad, más rápido
será el cambio en la dirección de la velocidad. La aceleración de una partí-
cula sólo será cero cuando tanto la componente tangencial como la normal
sean nulas. Es decir, si una partícula se mueve con velocidad constante des-
cribiendo una curva, su aceleración no es cero, salvo que la partícula pase
por un punto de inflexión o su trayectoria sea recta.
Se puede hacer una clasificación general del movimiento en función de
las componentes intrínsecas de la aceleración:
an = 0 (ρ = ∞)



at = 0 (Movimiento rectilíneo uniforme)
at = cte (Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado)
an = 0 (ρ = cte)



at = 0 (Movimiento circular uniforme)
at = cte (Movimiento circular uniformemente acelerado)

2.5. Movimiento circular
Un caso particular del movimiento curvilíneo es el movimiento circular.
En este movimiento, el radio de curvatura es constante e igual al radio r de
la circunferencia que describe la partícula, y la velocidad, al ser tangente a la
trayectoria, es perpendicular al radio en cada punto.
A partir de la definición de radián, se puede relacionar el arco recorrido
por la partícula, s, con el ángulo barrido el movimiento, θ:
s = rθ (2.30)
Por lo tanto, el módulo de la velocidad vale
v =
ds
dt
= r
dθ
dt
Al ángulo barrido por unidad de tiempo se le denomina velocidad angu-
lar:
ω =
dθ
dt
(2.31)Velocidad angular. Definición
y su unidad en el Sistema Internacional es rad/s. Así pues
v = ωr (2.32)
La velocidad angular ω puede considerarse como un vector perpendi-
cular al plano formado por v y r (ver figura), y cuyo sentido nos indique
el sentido del movimiento circular (es decir, horario o anti-horario) haciendo
uso de la regla de la mano derecha. La expresión vectorial que relacione estos
tres vectores será:
v = ω ∧ r (2.33)Relación entre velocidad lineal y
velocidad angular
La aceleración angular se define como
α =
dω
dt
=
d2
θ
dt2
(2.34)Aceleración angular. Definición
siendo rad/s2 su unidad en el Sistema Internacional.
Movimiento circular uniforme
Si α = 0, es obvio que ω es constante e integrando la ecuación (2.31)
tendríamos
θ(t) = θ0 + ωt (2.35)

2.5. Movimiento circular 39
expresión característica del movimiento circular uniforme. El tiempo em-
pleado en dar una vuelta o revolución se denomina periodo T. Haciendo
t = T y θ = θ0 + 2π en la ecuación (2.35) se deduce que
T =
2π
ω
(2.36) Periodo
Al número de revoluciones o ciclos que efectúa la partícula por unidad
de tiempo se denomina frecuencia:
f =
1
T
=
ω
2π
(2.37) Frecuencia
y se expresa en el Sistema Internacional en hertzios (Hz) o ciclos por segun-
do.
Las coordenadas cartesianas de la partícula respecto de un sistema de
referencia con origen en el centro de la trayectoria circular pueden expresarse
en función del ángulo θ (ver ﬁgura) como



x = r cos θ
y = r sen θ
Por lo tanto, en el movimiento circular uniforme,



x(t) = r cos(ωt)
y(t) = r sen(ωt)
Derivando, obtenemos



vx(t) = ˙x(t) = −ωr sen(ωt)
vy(t) = ˙y(t) = ωr cos(ωt)
Volviendo a derivar, resulta



ax(t) = ˙vx(t) = −ω2r cos(ωt) = −ω2x(t)
ay(t) = ˙vy(t) = −ω2r sin(ωt) = −ω2y(t)
Por lo tanto,
a = axˆı + ayˆ = −ω2
r (2.38)
es decir, no existe aceleración tangencial en el movimiento circular uniforme.
Toda la aceleración apunta hacia el centro de la circunferencia. Esto es lógico,
ya que al ser ω constante, el módulo de la velocidad v también lo será, y, por
consiguiente, at = ˙v = 0. Obsérvese entonces que α = 0 no implica a = 0, ya
que la velocidad cambia continuamente de dirección.

Movimiento circular uniformemente acelerado
Cuando α es constante, tenemos un movimiento circular uniformemente
acelerado. La velocidad angular y la posición angular vendrán dadas enton-
ces por



ω(t) = ω0 + αt
θ(t) = θ0 + ω0t + 1
2 αt2
y tanto la componente tangencial como la componente normal de la acelera-
ción serán no nulas:
at =
dv
dt
=
d
dt
(ωr) = αr (2.39)
an =
v2
r
= ω2
r (2.40)
Estas relaciones entre ω, α y las componentes intrínsecas de la aceleración
siguen siendo válidas en un caso general de movimiento con α no constante.
2.6. Movimiento relativo de traslación
En muchas ocasiones es útil emplear un sistema de referencia móvil res-
pecto del sistema fijo ligado a un observador O. Consideramos el caso en el
que los ejes (x , y , z ) del sistema móvil son paralelos a los ejes (x, y, z) fijo
en O y además se trasladan respecto de O sin modificar su orientación en
el espacio. Veamos entonces qué relación existe entre las descripciones del
movimiento de una partícula vista desde O y vista desde O .
Llamemos r al vector de posición de la partícula, situada en el punto P,
respecto de O, y r al vector de posición del punto P respecto de O . En la
figura podemos ver que
r = r + roo’ (2.41)
siendo roo’ el vector de posición de O respecto a O. Derivando, obtenemos
v = v + voo’ (2.42)
y volviendo a derivar
a = a + aoo’ (2.43)
Es decir, el movimiento visto desde O puede obtenerse como una combi-
nación entre el movimiento visto desde O y el movimiento de O respecto
de O. Este resultado deja de ser válido cuando el sistema móvil cambia su
orientación con el tiempo.

2.6. Movimiento relativo de traslación 41
Un caso de especial interés es aquel en el que los observadores O y O es-
tán en movimiento de traslación relativo uniforme. En ese caso, voo es cons-
tante y el sistema O recibe el nombre de sistema de referencia inercial. En
consecuencia
a = a (2.44)
Es decir, los dos observadores miden la misma aceleración. Esto es impor-
tante porque desde un punto de vista dinámico, como veremos en el próximo
tema, signiﬁca que ambos observadores ven las mismas fuerzas. Las ecuacio-
nes (2.41)-(2.44) contienen implícita una suposición: que el tiempo transcurre
de igual manera para los observadores O y O , esto es, que si hacemos t = 0
cuando ambos coinciden, entonces
t = t (2.45)
Esta suposición de tiempo absoluto fue refutada por Einstein en su teoría
especial de la relatividad.
El conjunto de ecuaciones (2.41), (2.42), (2.44) y (2.45) recibe el nombre
de transformaciones de Galileo. Su importancia está en que nos descubre el
hecho de que una magnitud física, como es la aceleración, es independiente
del movimiento del observador o, más precisamente, es la misma para todos
los observadores en movimiento de traslación relativo uniforme. La existen-
cia de magnitudes físicas invariantes bajo transformaciones facilita enorme-
mente la resolución de problemas y ha tenido una inﬂuencia profunda en la
formulación de las leyes de la física.

Tema 3
Dinámica de la partícula
3.1. Leyes de Newton
En el capítulo anterior dedicado a la cinemática, hemos descrito el mo-
vimiento de las partículas en función de las deﬁniciones de los vectores de
posición, velocidad y aceleración. Pero no hemos deﬁnido aún la causa que
hace que los objetos se muevan de la forma en que lo hacen. Nos gustaría
poder responder a preguntas generales relacionadas con las causas del mo-
vimiento tales como “¿qué mecanismo hace que se produzca una variación
en el movimiento?” o “¿por qué algunos objetos aceleran con velocidades
mayores que otros?”. En esta sección describiremos la variación en el mo-
vimiento de las partículas utilizando los conceptos de fuerza y masa. Estos
conceptos están fundamentados en tres leyes fundamentales del movimien-
to, basadas a su vez en observaciones experimentales, formuladas hace más
de tres siglos por Isaac Newton. Estas leyes son las siguientes:
Todo cuerpo en reposo sigue en reposo a menos que sobre él actúe
una fuerza externa. Un cuerpo en movimiento continúa movién-
dose con velocidad contante a menos que sobre él actúe una fuerza
externa
Primera Ley de Newton
La aceleración de un cuerpo tiene la misma dirección y es propor-
cional a la fuerza externa neta que actúa sobre él. La constante de
proporcionalidad recibe el nombre de masa. La fuerza neta que actúa
sobre un cuerpo es la suma de todas las fuerzas que sobre él actúan
Segunda Ley de Newton
Las fuerzas siempre actúan por pares de la misma magnitud y sen-
tidos opuestos. Si el cuerpo A ejerce una fuerza sobre el cuerpo B,
éste ejerce una fuerza con el mismo módulo pero con sentido contra-
rio sobre el cuerpo A
Tercera Ley de Newton
Veamos a continuación las consecuencias que se derivan de cada una de
estas leyes.
43

44 Tema 3. Dinámica de la partícula
3.1.1. Primera ley de Newton: Ley de la Inercia
Si empujamos un trozo de hielo sobre una mesa, observamos que desliza
y luego se para. Si la mesa está húmeda, el hielo recorre una distancia ma-
yor antes de pararse y el cambio de velocidad es menor. Antes de Galileo se
creía que una fuerza, tal como un empuje o un tirón, era siempre necesaria
para mantener un cuerpo en movimiento con velocidad constante. Galileo,
y posteriormente Newton, reconocieron que si los cuerpos se detenían en su
movimiento en las experiencias diarias era debido al rozamiento (o fricción).
Si este se reduce, el cambio de velocidad también lo hace. Una capa de agua
o un colchón de gas son especialmente efectivos para reducir el rozamiento,
permitiendo que el objeto se deslice a gran distancia con un pequeño cam-
bio en su velocidad. Si se eliminan todas las fuerzas externas —razonaba
Galileo— su velocidad no cambiará, una propiedad de la materia que él des-
cribía como su inercia. Esta conclusión, reformulada por Newton como su
primera ley, se llama también ley de la inercia.
Sistemas de referencia inerciales
La primera ley de Newton no distingue entre un objeto en reposo y un ob-
jeto que se mueve con velocidad constante distinta de cero. El hecho de que
un objeto esté en reposo o en movimiento con velocidad constante depende
del sistema de referencia en el cual se observa el objeto. Consideremos una
pelota situada en la bandeja del asiento de un avión que vuela en una trayec-
toria horizontal. En un sistema de coordenadas ligado al avión (es decir, en
el sistema de referencia del avión) la pelota está en reposo, y permanecerá en
reposo relativo al avión en tanto este vuele con velocidad constante. Supon-
gamos ahora que el piloto aumenta la potencia de los motores y el avión, de
forma brusca, acelera (con respecto al suelo). Observaremos que la pelota, de
repente, retrocede acelerando con respecto al avión incluso cuando no actúa
ninguna fuerza sobre ella.
Un sistema de referencia que acelera respecto de un sistema de referencia
inercial, no es un sistema de referencia inercial. Así, la primera ley de New-
ton nos proporciona el criterio para determinar si un sistema de referencia es
inercial o no. Es decir, si sobre un objeto no actúa ninguna fuerza, cualquier siste-
ma de referencia con respecto al cual la aceleración es cero, es un sistema de referencia
inercial.
Tanto el avión cuando se mueve a velocidad constante, como el suelo,
son una buena aproximación de sistemas de referencia inerciales. Cualquier
sistema de referencia que se mueve a velocidad constante con respecto a un
sistema de referencia inercial es también un sistema de referencia inercial.
Un sistema de referencia ligado a la superficie de la Tierra no es totalmen-
te inercial a causa de la pequeña aceleración de la superficie de la Tierra, la
cual se debe, a su vez, a la revolución alrededor del Sol. Sin embargo, como
estas aceleraciones son del orden de 0.01 m/s2 (o menos), podemos conside-
rar que aproximadamente un sistema de referencia ligado a la superficie de
la Tierra es inercial.
El concepto de sistema de referencia inercial es crucial porque las leyes de
Newton son válidas sólo en sistemas de referencias inerciales.

3.1. Leyes de Newton 45
3.1.2. Segunda Ley de Newton. Fuerza y masa
La primera y la segunda ley de Newton nos permiten definir el concepto
de fuerza. Una fuerza es una influencia externa sobre un cuerpo que causa
su aceleración respecto a un sistema de referencia inercial. La dirección y
sentido de una fuerza coinciden con la dirección y sentido de la aceleración
causada. El módulo de la fuerza es el producto de la masa del cuerpo por la
módulo de la aceleración. La siguiente ecuación muestra matemáticamente
esta ley:
F = ma (3.1) Formulación matemática de la Se-
gunda Ley de Newton
Los objetos se resisten instrínsecamente a ser acelerados. Imaginemos que
damos una patada a una pelota de fútbol o a una bola en la bolera. Esta úl-
tima se resiste mucho más a ser acelerada que la pelota de fútbol, lo cual se
manifiesta inmediatamente en la diferente sensación que notan los dedos de
nuestros pies al dar el golpe sobre ambos objetos. Esta propiedad intrínse-
ca de los objetos es la masa. En consecuencia, la masa es una medida de la
inercia (resistencia al cambio del estado de movimiento) del cuerpo. La rela-
ción entre dos masas se define cuantitativamente aplicando la misma fuerza
y comparando sus aceleraciones. Si la fuerza F produce una aceleración a1
cuando se aplica a un cuerpo de masa m1, y la misma fuerza produce la ace-
leración a2 cuando se aplica a un objeto de masa m2, el cociente entre las
masas se define por.
m2
m1
=
a1
a2
Esta definición está de acuerdo con nuestra idea intuitiva de masa. Si la
misma fuerza se aplica a dos objetos, el objeto de más masa es el que se ace-
lera menos. Experimentalmente se deduce que la relación a1/a2, obtenida
cuando fuerzas de idéntica magnitud actúan sobre dos cuerpos, es indepen-
diente del módulo, dirección o del tipo de fuerza utilizada. La masa de un
cuerpo es una propiedad intrínseca de mismo y, por lo tanto, no depende de
la localización del cuerpo. Es decir, la masa de un cuerpo continúa siendo la
misma si el cuerpo está sobre la Tierra, sobre la Luna o en el espacio exterior.
Experimentalmente se encuentra que si sobre un cuerpo actúan dos o más
fuerzas, la aceleración que causan es igual a la que causaría sobre el cuerpo
una sola fuerza igual a la suma vectorial de las fuerzas individuales. Esto
se conoce como principio de superposición. En consecuencia, las fuerzas se
combinan como los vectores, y la segunda ley de Newton puede expresarse
de la forma
∑ F = Fneta = ma (3.2)
Fuerza debida a la gravedad: el peso
Si dejamos caer un objeto cerca de la superficie terrestre, el objeto acele-
ra hacia la Tierra. Si podemos despreciar la resistencia del aire, todos los objetos
poseen la misma aceleración, llamada aceleración de la gravedad g, en cual-
quier punto del espacio. La fuerza que causa esta aceleración es la fuerza de

la gravedad sobre el objeto, llamado peso del mismo, P 1. Si el peso es la úni-
ca fuerza que actúa sobre un objeto, se dice que este se encuentra en caída
libre. Si la masa es m, la segunda ley de Newton define el peso de la forma:
P = mg (3.3)
Peso
Como g es idéntico para todos los cuerpos, llegamos a la conclusión de
que el peso de un cuerpo es proporcional a su masa. El vector g se denomi-
na campo gravitatorio terrestre y es la fuerza por unidad de masa ejercida
por la Tierra sobre cualquier objeto. Es igual a la aceleración en caída libre
experimentada por un objeto. Cerca de la superficie terrestre g tiene el valor
g = 9.81 m/s2
Medidas cuidadosas muestran que g varía con el lugar. En particular, en
un punto por encima de la superficie terrestre, g apunta hacia el centro de la
Tierra y varía inversamente con el cuadrado de la distancia a dicho punto.
Así pues, un cuerpo pesa ligeramente menos cuando se encuentra en lugares
muy elevados respecto al nivel del mar. El campo gravitatorio también varía
ligeramente con la latitud debido a que la tierra no es exactamente esférica,
sino que está achatada por lo polos. Por lo tanto, el peso, a diferencia de
la masa, no es una propiedad intrínseca del cuerpo. Aunque el peso de un
cuerpo depende del lugar donde esté situado debido a las variaciones de g,
el cambio en el peso es prácticamente despreciable para la mayor parte de
las aplicaciones prácticas sobre o cerca de la superficie terrestre.
Un ejemplo puede clarificar la diferencia entre masa y peso. Supongamos
que en la Luna tenemos una bola pesada. Su peso es la fuerza gravitatoria
que ejerce la Luna sobre ella, pero esta fuerza es solo una sexta parte de la
fuerza que se ejerce sobre la bola cuando está en la Tierra, por lo que para
levantar la bola en ella se necesita una sexta parte de la fuerza. Sin embargo,
lanzar la bola con cierta velocidad horizontal requiere la misma fuerza en la
Luna que en la Tierra, o en el espacio libre.
Aunque el peso de un objeto puede variar de un lugar a otro, en cualquier
lugar determinado, su peso es proporcional a su masa. Así pues, podemos
comparar convenientemente las masas de dos objetos en un lugar determi-
nado comparando sus pesos.
La sensación que tenemos de nuestro propio peso procede de las demás
fuerzas que lo equilibran. Por ejemplo, al estar sentados en una silla, apre-
ciamos la fuerza ejercida por ella que equilibra nuestro peso, y por lo tanto
evita que nos caigamos al suelo. Cuando estamos situados sobre una balan-
za de muelles, nuestro pies aprecian la fuerza ejercida sobre nosotros por la
balanza. Esta balanza está calibrada de modo que registra la fuerza que debe
ejercer (por compresión de su muelle) para equilibrar nuestro peso. La fuer-
za que equilibra nuestro peso se denomina peso aparente. Este peso aparen-
te es el que viene dado por una balanza de muelle. Si no existiese ninguna
fuerza para equilibrar nuestro peso, como sucede en la caída libre, el peso
aparente sería cero. Esta condición, denominada ingravidez, es la que expe-
rimentan los astronautas en los satélites que giran alrededor de la Tierra. La
1Referirse a la fuerza de gravedad como el peso es desafortunado ya que parece implicar que
el peso es una propiedad del objeto más que una fuerza externa que actúa sobre él. Para evitar
caer en esta interpretación aparente, cada vez que leamos “el peso” mentalmente traduciremos
esta denominación como “la fuerza gravitatoria”

3.1. Leyes de Newton 47
única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravedad (su peso). El astronau-
ta está también en caída libre. La única fuerza que actúa sobre él es su peso,
que produce la aceleración g. Como no existe ninguna fuerza que equilibre
la fuerza de la gravedad, el peso aparente del astronauta es cero.
Unidades de fuerza y masa
Podemos establecer una escala de masas eligiendo un cuerpo patrón y
asignándole la masa de 1 unidad. Como vimos en el capítulo anterior, el
cuerpo elegido como patrón es un cilindro de una aleación de platino e iri-
dio que se conserva en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas en Sèvres,
y se le asigna la masa de 1 kilogramo, la unidad S.I. de masa. La fuerza nece-
saria para producir una aceleración de 1 m/s2 sobre el cuerpo patrón es por
definición 1 newton (N). Según la segunda ley de Newton, 1 N=1 kg·m/s2.
La unidad patrón de masa conveniente en física atómica y nuclear es la
unidad de masa atómica o uma (u) que se define como la doceava parte de
la masa del átomo neutro de carbono-12 (12C). La uma está relacionada con
el kilogramo por
1 u = 1.66540 × 1027
kg
La masa de un átomo de hidrógeno es aproximadamente 1 u.
Otra unidad de fuerza muy usada es el kilopondio (kp), también de-
nominado frecuentemente kilogramo-fuerza (kgf). Se define como aquella
fuerza que imprime una aceleración igual a la gravitatoria a una masa de un
kilogramo. En consecuencia,
1 kp = 1 kgf = 9.81 N
3.1.3. La tercera ley de Newton. Acción y reacción
Cuando dos cuerpos interaccionan mutuamente, se ejercen fuerzas en-
tre sí. La tercera ley de Newton establece que estas fuerzas son iguales en
módulo y van dirigidas en sentidos opuestos. Es decir, si un objeto A ejerce
una fuerza FA,B sobre un objeto B, el objeto B ejerce una fuerza FB,A sobre el
objeto A que es igual en módulo y de sentido opuesto a la anterior. Es decir,
FA,B = −FB,A
Así, las fuerzas se dan en pares. Es común referirse a estas fuerzas como
acción y reacción; sin embargo, esta terminología es desafortunada porque
parece como si una fuerza reaccionara a la otra, lo cual no es cierto, ya que
ambas fuerzas actúan simultáneamente. Si cuando una fuerza externa actúa
sobre un objeto particular la llamamos fuerza de acción, la correspondiente
fuerza de reacción debe actuar sobre un objeto diferente. Así en ningún caso
dos fuerzas externas que actúan sobre un único objeto constituyen un par
acción-reacción.
En la figura se muestra una caja que descansa sobre un mesa. La fuerza
hacia abajo que actúa sobre la caja es el peso P debido a la atracción de la
Tierra. El bloque ejerce sobre la Tierra una fuerza igual y de signo contrario

P = −P. Estas fuerzas forman pues un par acción-reacción. Si fueran las
únicas fuerzas presentes, el bloque se aceleraría hacia abajo y la Tierra se
aceleraría hacia arriba. Sin embargo, la mesa ejerce sobre la caja una fuerza
hacia arriba N que compensa el peso. La caja también ejerce una fuerza sobre
la mesa N = −N hacia abajo. Las fuerzas N y N forman otro par acción-
reacción.
3.2. Las fuerzas en la Naturaleza
La gran potencia de la segunda ley de Newton se maniﬁesta cuando se
combina con las leyes de las fuerzas que describen las interacciones entre
objetos. En esta sección describiremos los diferentes tipos de fuerzas pre-
sente en la Naturaleza. En primer lugar, mostraremos que todas las fuerzas
de la Naturaleza surgen como una manifestación de cuatro tipos de fuerzas
fundamentales. Posteriormente, se mostrará otra clasiﬁcación de las fuerzas
dependiendo de si estas actúan a distancia o, si por el contrario, son fuerzas
de contacto.
3.2.1. Interacciones fundamentales
Todas las fuerzas de la naturaleza pueden considerarse como la compo-
sición de una serie de fuerzas o interacciones fundamentales:
1. Fuerza gravitatoria
2. Fuerza electromagnética
3. Fuerza nuclear fuerte
4. Fuerza nuclear débil.
Analizaremos a continuación estas fuerzas de forma individual.
Fuerza gravitatoria. La fuerza gravitatoria es la fuerza de atracción mutua
entre dos objetos cualesquiera del Universo. Es interesante y bastante cu-
rioso que, aunque la fuerza gravitatoria puede ser muy fuerte entre objetos
macroscópicos, es la fuerza inherentemente más débil de todas las fuerzas
fundamentales. Por ejemplo, la fuerza gravitatoria entre el electrón y el pro-
tón en el átomo de hidrógeno tiene un módulo con un orden de magnitud
de 10−47 N, mientras que la fuerza electromagnética entre estas mismas par-
tículas es del orden de 10−7 N.
Además de sus contribuciones a la comprensión del movimiento, New-
ton estudió en profundidad la fuerza de la gravedad. La ley de la gravitación
universal de Newton establece que toda partícula del Universo atrae a otras
partículas con una fuerza que es directamente proporcional al producto de
las masas de las partículas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia entre ellas. Si las partículas tienen masas m1 y m2 y se encuentran
separadas por una distancia r, el módulo de la fuerza gravitatoria es:
Fg = G
m1m2
r2
donde G = 6.67 × 1011 N·m2/kg2 es la constante universal de gravitación.

3.2. Las fuerzas en la Naturaleza 49
Fuerza electromagnética. La fuerza electromagnética es la fuerza que une a
los átomos y moléculas en compuestos para formar la materia. Es mucho más
intensa que la fuerza gravitatoria. La fuerza que hace que un bolígrafo que
se ha frotado contra una prenda de lana atraiga trocitos de papel y la fuerza
que un imán ejerce sobre un clavo de hierro son fuerzas electromagnéticas.
En esencia, todas las fuerzas que operan en nuestro mundo macroscópico,
dejando aparte la fuerza gravitatoria, son manifestaciones de la fuerza elec-
tromagnética. Por ejemplo, las fuerzas de rozamiento, las fuerzas de tensión
y las fuerzas elásticas de los muelles son consecuencia de las fuerzas electro-
magnéticas existentes entre partículas cargadas que se encuentran próximas
entre sí.
La fuerza electromagnética implica dos tipos de partículas: aquellas que
tienen carga positiva y aquellas otras que tienen carga negativa. A diferencia
de la fuerza gravitatoria, que siempre es una interacción atractiva, la fuerza
electromagnética puede ser de atracción o de repulsión, dependiendo de la
carga de las partículas.
La ley de Coulomb proporciona el módulo de la fuerza electrostática Fe
entre dos partículas cargadas y separadas por una distancia r:
Fe = k
q1q2
r2
donde q1 y q2 son las cargas de dos partículas, medidas en unidades denomi-
nadas coulombios (C), y ke = 8.99 × 109 N·m2/C2 es la constante de Coulomb.
Obsérvese que la fuerza electrostática tiene la misma forma matemática que
la ley de gravitación universal de Newton, con la carga haciendo el papel
matemático de la masa y utilizándose la constante de Coulomb en lugar de
la constante de gravitación universal. La fuerza electrostática es una fuer-
za de atracción si las dos cargas tienen signos opuestos, y es una fuerza de
repulsión si las dos cargas tienen el mismo signo.
La cantidad más pequeña de carga aislada que se ha podido encontrar
en la Naturaleza (hasta el momento), es la carga de un electrón o de un pro-
tón. Esta unidad fundamental de carga se designa mediante el símbolo e y
tiene el valor e = 1.60 × 10−19 C. Una serie de teorías desarrolladas en la
segunda mitad del siglo XX proponen que los protones y neutrones están
formados por unas partículas más pequeñas, denominadas quarks, que tie-
nen cargas 2e/3 o −e/3. Aunque se han encontrado pruebas experimentales
de la existencia de tales partículas en el interior de la materia nuclear, no se
han detectado nunca quarks libres.
Fuerza nuclear fuerte. Un átomo consta de un núcleo cargado positiva-
mente y extremadamente denso, rodeado por una nube de electrones carga-
da negativamente, estando los electrones atraídos hacia el núcleo por la fuer-
za eléctrica. Dado que todos los núcleos, excepto el del hidrógeno, son com-
binaciones de protones cargados positivamente y neutrones con carga neutra
(denominados, de forma colectiva, nucleones), ¿por qué la fuerza electrostá-
tica de repulsión entre los protones no hace que el núcleo se rompa? Eviden-
temente, existe una fuerza de atracción que contrarresta la fuerza electrostá-
tica, extremadamente intensa, de repulsión, y que es responsable de la esta-
bilidad del núcleo. Esta fuerza que une los nucleones para formar el núcleo
se denomina fuerza nuclear fuerte. A diferencia de las fuerzas gravitatoria
y electromagnética, que dependen inversamente del cuadrado de la distan-
cia, la fuerza nuclear fuerte tiene un alcance extremadamente pequeño y su

intensidad decrece muy rápidamente fuera del núcleo, siendo despreciable
para distancias de separación mayores que 10−14 m, aproximadamente. Para
una distancia de separación de unos 10−15 m (una dimensión nuclear típi-
ca) la fuerza nuclear es aproximadamente dos órdenes de magnitud más alta
que la fuerza electrostática.
Fuerza nuclear débil. La fuerza nuclear débil es una fuerza de alcance muy
pequeño que tiende a producir inestabilidad en determinados núcleos. La
primera vez que se observó fue en las sustancias radiactivas naturales, y pos-
teriormente se vio que juega un papel clave en la mayoría de las reacciones
de desintegración radiactiva. La fuerza nuclear débil es aproximadamente
1025 veces más fuerte que la fuerza gravitatoria y unas 1012 veces más débil
que la fuerza electromagnética.
3.2.2. Acción a distancia y contacto
Existe una clasificación de las fuerzas alternativa a la anteriormente ex-
puesta. Consiste en dividir las fuerzas en dos tipos fundamentales: fuerzas
de acción a distancia y fuerzas de contacto. Esta clasificación es más útil a la
hora de analizar los problemas desde un punto de vista dinámico.
Fuerzas de acción a distancia
Las interacciones gravitatoria y electromagnética actúan entre partículas
separadas en el espacio. Esto crea un problema filosófico llamado acción a
distancia. Newton consideraba la acción a distancia como un problema de
su teoría de la gravitación, pero evitaba dar cualquier otra hipótesis. Hoy el
problema se evita introduciendo el concepto de campo, que actúa como un
agente intermedio. Por ejemplo, la atracción de la Tierra por el Sol se con-
sidera en dos etapas. El Sol crea una condición en el espacio que llamamos
campo gravitatorio. Este campo gravitatorio ejerce una fuerza sobre la Tie-
rra. Nuestro peso es la fuerza ejercida por el campo gravitatorio de la Tierra
sobre nosotros mismos. Cuando estudiemos la electricidad y el magnetismo
analizaremos los campos eléctricos, producidos por cargas eléctricas, y mag-
néticos, producidos por cargas eléctricas en movimiento.
Fuerzas de contacto
La mayor parte de las fuerzas ordinarias que observamos sobre los obje-
tos se ejercen por contacto directo. Estas fuerzas son de origen electromag-
nético y se ejercen entre las moléculas de la superficie de cada objeto.
Sólidos. Si empujamos una superficie, esta devuelve el empuje, según se
deduce de la tercera ley de Newton. Consideremos una escalera que se apoya
contra una pared (Figura 3.1a). En la región de contacto, la escalera empuja
la pared con una fuerza horizontal, comprimiendo las moléculas de la su-
perficie de la pared. Como los muelles de un colchón, las moléculas compri-
midas de la pared empujan la escalera con una fuerza horizontal. Tal fuerza,
perpendicular a las superficies de contacto se denomina fuerza normal (la

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