1. SEMANA 2
POLINOMIOS – V.N. - GRADOS
1.
Sea el polinomio:
P(X) = (xn−1 + 2xn−2 + n)n, si 2n
veces su término independiente es
igual
a
la
suma
de
sus
coeficientes, entonces “n” es:
A) 1
D) 4
B) 2
E) 5
M( x )
→
C) 3
4.
M( x ) =
x g x² g x³ L x
m
M( x ) =
→
M( X ) = x
x
m+1
2
=
m
((x
=
n −2
M( x )
A) 4
D) 8
((
)
3
g
x
)
2n−3
2
xn g 4
x
B) 5
E) 9
RESOLUCIÓN
)
)
2
x
4
→
C) 6
9a² + 8ac + 8bc
..... ( α )
( a + b ) ² + c²
a
1
= →a=b=c=k
a+b 2
Lo reemplazamos en “α”
9a² + 8a² + 8a² 25a²
G.A. =
=
=5
4a² + a²
5a²
RPTA.: C
5.
Si: P(x+5) = x² − 3x + 1
Calcule: E = P(8) + P(6)
A) 0
D) 3
2
2
x9a g 8ac g 8bc
y z
Propiedad de proporciones:
a+b +c
1
=
2 ( a + b + c) 2
RPTA.: B
Calcule “n” para que el monomio
sea de 2º grado.
( a+b ) 2 + c2
de la condición:
a
b
c
=
=
=k
a+b b+c a+c
= x5
∴m=9
3.
x
 m+1 
m
÷
 2 
a
b
c
=
=
a+b b+c a+c
Halle el grado absoluto de:
Si:
El G.A. =
RESOLUCIÓN
1+2 +3 +....+m
x10n−4
x4n+8
RESOLUCIÓN
m
se transforma a una expresión
algebraica racional entera de 5to
grado.
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
m
2
=
transformable a una E.A.R.E.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 7
E) 8
Calcule “m” si la expresión:
m
2n + 4
g4
x
M(x) = x6n − 22 = x2 → 6n − 22 = 2
E ( x;y;z ) =
RPTA.: C
m
(x
2
RPTA.: A
T.I. = P(o) = nn
∑ coef = P(1) = (1 + 2 + n)n
→ 2n . nn = (3 + n)n
∴ 2n = 3 + n → n = 3
m
)
)
3n− 6 +2n− 3
∴n=4
RESOLUCIÓN
2.
(x
=
B) 1
E) 7
C) 2
RESOLUCIÓN
E = 3² − 3(3) + 1 + 1 − 3 + 1
E=0
RPTA.: A

2. 6.
Del siguiente polinomio
RESOLUCIÓN
en donde:
G.Rx − G.Ry = 3 ∧ G.A(P) = 13
Calcule: a + b
G.A. =
P(x; y) = 7xa+3yb−2z6−a+5xa+2yb−3za+b
A) 6
D) 11
B) 7
E) 12
RESOLUCIÓN
G. RX = a + 3
G. Ry = b − 2
∴ a + b = 12
7.
→
C) 8
46n = 552
∴ n = 12
G.A(P) = a+b+1
RPTA.: E
RPTA.: A
9.
Sea P(x) un polinomio lineal tal
que verifica la relación
M( x ) = x
→
a² − 6a = −9 ∧ ab = 21
→
(a−3)² = 0
a=3
∧
3b = 21
b=7
Entonces: P(x) = 3x + 7
∴ P(4) = 3(4) + 7 = 19
Calcule “n”, si
monomio es 6.
M ( x;y;z;w ) =
A) 12
D) 11
4
el
G.A.
x2n− 4 g 3 z2n+3
5
y2n g 5 w16
B) 13
E) 10
C) 14
x2
3
1
3
3
x
C) 2
1 1 1
+ +
2 n 6n
1 1 1
+ +
=4
2 n 6n
7 = 21n
∴n=
RPTA.: C
8.
n
3n + 6 + 1 = 24n
(a² − 6a)x + ab = −9x + 21
→
x
x g 2n x² g 6n x
M( x ) =
Sea P(x) = ax + b ∧ P(6X) = 6ax + b
P(P(x)) = a(ax+b)+b = a²x+ab+b
→
=
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
Luego:
a²x + ab + b − 6ax − b = −9x+21
Calcule “n” si el monomio es de
4to. grado M x
( )
A) 1
B)
1
D)
E)
2
( )
→
30n − 60 + 40n + 60 − 24n − 192 = 360
46n = 360 + 192
P P( x ) − P( 6X ) = −9x + 21
Para todo valor de “x”. Halle P(4)
A) 17
B) 18
C) 19
D) 32
E) 33
→
2n − 4 2n + 3 2n 16
+
−
−
=6
4
3
5
5
del
10.
1
3
nx + 1
Si: P( x ) =
x−8
RPTA.: E
Además P(P(x)) es independiente
de “x”. Calcule “n”
1
A) −1
B) 8
C) −
8
D) −8
E) 5
RESOLUCIÓN

3. ( )
P p( x )
(n
=
2
)
+ 1 x + ( n − 8)
n≥3∧n=3
∨
( n − 8) x + 65
n=6
como es independiente de “x” se
cumple:
n² + 1 n − 8
=
→ 65n² + 65 =
n−8
65
n² − 16n + 64
⇒
13.
RPTA.: C
11.
( ( ) ) = 27x + 52
C) −4
⇒
⇒
⇒
RESOLUCIÓN
( ( ))
es
lineal,
P(x) = ax + b
a=3
∧
14.
b=4
∴ P(x) = 3x + 4
P(−1) = −3 + 4 = 1
Halle la suma de los valores de
“n” que hacen que la expresión:
n
1
P( x ) = 2xn−3 + 7 3 x − x7−n + 6
sea
3
racional entera.
A) 7
B) 8
C) 9
D) 12
E) 13
RESOLUCIÓN
n−3≥0∧
RPTA.: B
Sea P(x) = x³ + 3x + 3x² + 1
Calcule: P(P(−1)) + P(P(1))
A) 0
B) −3
C) 728
D) 729
E) 730
RESOLUCIÓN
P(x)= (x+1)³ ⇒ P(−1)=0 ∧ P(P(−1)) = 1
P(1) = (2)³ = 8 ⇒
P(P(1)) = P(8) = 9³ = 729
∴ P(P(−1)) + P(P(1)) = 1+729 = 730
RPTA.: E
12.
Q ( x;y ) =
m − 2 = n + 5 → m − n = 7 ....(α)
n² + 5 = m+4 → n²−m = −1 ...(β)
α + β: n² − n − 6= 0
n = 3 ∨ n = −2
P(P(P(x))) = a³x + a²b + ab + b
27x + 52 = a³ + a²b + ab + b
→
P ( x;y ) = 5xm−2 yn²+5 ∧
Luego:
n=3
⇒ m = 10
n = −2
⇒m=5
∴ menos: m + n = 3
entonces: P(x) es lineal. Luego
→
Sabiendo que:
RPTA.: C
Si: P(x; y) ∼ Q(x; y)
Calcule: P(−1)
A) −1
B) 4
D) 5
E) 1
P P P( x )
n=6
RESOLUCIÓN
Si: P P P( x )
Como
∨
2xn+5 ym+4
son semejantes. Calcule el menor
valor de m + n.
A) 1
B) 3
C) 5
D) 8
E) 13
1
1⇒n=−
8
1
8n
n=3
∴ ∑ de "n" = 9
64n² + 16n + 1 = 0
8n
∧n≤7
n
∈ ¢+ ∧ 7 − n ≥ 0
3
RPTA.: E
15.
Si el polinomio en “x” e “y”
P(x, y) = 5xa + 3xbyc + 2xcyb + ya
es
homogéneo
ordenado
y
completo respecto de “x” e “y”.
Calcule: 2a + b + 3c
A) 17
B) 13
C) 15

4. D) 16
E) 18
18.
RESOLUCIÓN
∴
Por ser ordenado y completo:
a = 3; b = 2 y c = 1
2(3) + 2 + 3(1) = 6 + 2 + 9 = 17
RPTA.: A
16.
Calcule “m” si el polinomio
2n
P( x ) = 7xn
n+1
x
− 8n
+ 6x (
+ ... + x
n−1)
n
+ 5x2n−2 +
RESOLUCIÓN
xn + 1 = 3 ⇒ xn = 2 → x =
Luego:
7
P(3) = n 2 − 1 = −
8
m²−m +3
es completo y ordenado; en forma
ascendente; de 4nn términos.
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Es
ordenado
ascendente:
⇒
en
forma
→
n2n − 8n = 0 ⇒ n = 2
Luego:
19.
El número de términos es:
m² − m + 3 + 1
m² − m + 4 = 4nn
m² − m + 4 = 16
m² − m − 12 = 0
∴m=4
Halle a y b en la identidad:
b4ax7 + bb y 8 ≡ ab x7 + aay8
1 1
y
2 3
1
D) 1 y
4
A) 1 y 3
1
1
y
2
4
E) 0 y 1
A) 6
D) 12
∑ coef = P ( 1)
⇒
= 2n + 5 + 1 = 70
2n = 64 → n = 6
∴ 10 + 6 = 4
RPTA.: C
20.
a =b ⇒
∧
Dado el polinomio mónico
P(x) = 5x4 − 7ax5 + (n−2)x7−4x − 1
Calcule el valor de: nn
A) 1
D) 25
b
b
B) 5
E) 3
ab = b4a ⇒ b = 2a
B) 4
E) 16
C) 27
RESOLUCIÓN
1
1
∧ b=
∴a=
4
2
RPTA.: C
10 + n
C) 4
RESOLUCIÓN
RESOLUCIÓN
a = b a ... ( α )
Sea P(x) un polinomio
P(x) = (3x − 1)n+5x + 1; además
la suma de coeficientes es 70.
B)
C)
a
1
1
2 = → 2n = 2−3
8
1
∴n = −
3
Calcule el valor de:
RPTA.: A
17.
2
RPTA.: E
P( x ) = 7x0 + 6x′ + 5x² + x³ + ...xm³−m+3
⇒
n
n
→
RESOLUCIÓN
Siendo: P(xn + 1) = x − 1
7
Halle: “n”, si: P(3) = −
8
1
1
1
A)
B) −
C)
3
2
2
2
1
D) −
E) −
3
3
⇒
Por ser mónico y de una variable
“x” (coeficiente principal = 1)
(n − 2) = 1 → n = 3
Luego nos piden: nn = 33 = 27

5. RPTA.: C

6. RPTA.: C