Produccion escrita: Expresiones Algebraicas

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA
UNIVERSIDA POLITECNICA TERRITORIALANDRES ELOY BLANCO
Expresiones
Algebraicas
NOMBRE YAPELLIDO
Gabriel Rodríguez 27.831.350, sección 0402
Kerlys García 26.398.231; sección 0202

2. EXPRESIONES ALGEBRICAS.
Una expresión algebraica es una expresión matemática conformada por letras, números y
operadores que se usa para representar una situación particular. Por ejemplo, el perímetro de un
círculo esta dado por la expresión algebraica:
π 2 r
En la que π es el número pi (aproximadamente 3.1416) y r es la medida del radio, estas tres
cantidades se multiplican.
Partes de una expresión algebraica.
Variables o incógnitas: Son letras que representan cantidades concretas, es decir, números que por
el momento desconocemos cuáles son. Encontrarás con más frecuencia el uso de las letras a,b, c o
bien x, y, pero es válido usar cualquiera. Por ejemplo, podemos llamar a y b a los lados de un
rectángulo.
Coeficientes: Son números que multiplican a las variables. Por ejemplo, si el lado de un rectángulo
mide a, podemos plantear que la suma de dos lados iguales de un rectángulo es 2a.
Exponentes: Son números que actúan como potencias de variables y coeficientes. Por ejemplo, el
cuadrado de un lado del rectángulo es a2
.
Operadores: Los operadores, como su nombre lo indica, operan variables coeficientes y
exponentes para formar expresiones más grandes. Estos son suma, resta, multiplicación y división.
Paréntesis: sirven para denotar términos de la expresión algebraica que operan primero.
En el siguiente diagrama puedes ver ejemplos de las partes de una expresión algebraica que está
formada por 2 términos: 3a y b.
SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
En la suma de expresiones algebraicas solo se reducen los términos semejantes, es decir, los
términos con la misma base y el mismo exponente solo se suman sus coeficientes.
Ejemplos:
A) 3xy + 2x + 5x + 9y = 3xy + 7x + 9y
B) x + 12x + 17y + 5y = 13x + 22y
C) 5y + 3 + 4x + 5 + 2y = 7y + 4x + 8

3. También se pueden acomodar en forma de columna para ver de manera más clara los términos
semejantes que se tienen que sumar:
RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Se dice que la resta algebraica es el proceso inverso de la suma algebraica. Lo que permite
la resta es encontrar la cantidad desconocida que, cuando se suma al sustraendo (el
elemento que indica cuánto hay que restar), da como resultado el minuendo (el elemento
que disminuye en la operación).
EJEMPLO
Decíamos también que la resta algebraica es una operación inversa a la suma, ya que
permite descubrir qué cantidad se necesita sumar al sustraendo para llegar al minuendo.
Con esta incógnita, podemos plantear la operación de la siguiente forma:
2 + x = 8
x = 8 – 2
x = 6
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas
multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad llamada producto, que sea
respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo lo que el multiplicador es respecto a la
unidad positiva. El multiplicando y multiplicador son llamados factores del producto.

4. Ejemplo:
Multiplicar 3x3y2 por 7x4
(3x3y2) (7x4)
Se realiza de la siguiente forma: los coeficientes se multiplican, el exponente de x es la
suma de los exponentes que tiene en cada factor y como y solo está en uno de los factores
se escribe y con su propio exponente.
(3)(7)x3+4y2
21x7y2
DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La división algebraica es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas
dividendo y divisor para obtener otra expresión llamado cociente por medio de un
algoritmo.
Como estamos trabajando con polinomios, debemos tener en cuenta un punto importante: el
mayor exponente de algún término del dividendo debe ser mayor o igual al mayor
exponente de algún término del divisor.
Ejemplo:
Dividir 9x3y2 entre 3x2w
9x3y2 / 3x2w
9x3y2 / 3x2w = 3xy2 / w
PRODUCTO NOTABLES DE EXPRECIONES ALGEBRICAS.

5. Los productos notables son expresiones algebraicas que vienen de un producto que
conocemos porque sigue reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple
inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. Estas operaciones son fáciles de
recordar sin necesidad de efectuar la multiplicación correspondiente.
1. Cuadrado de la suma de dos cantidades
Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya suma está elevada al cuadrado, lo que
realmente se pide es que se multiplique la suma por si
misma:
Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:
Representación gráfica del cuadrado de la suma de dos cantidades
El cuadrado de la suma de a y b se
representa como un cuadrado
compuesto por los cuadrados de a y
de b y dos rectángulos cuyos lados
son a y b.
El cuadrado de la suma de a y b se
representa como un cuadrado
compuesto por los cuadrados de a y
de b y dos rectángulos cuyos lados
son a y b.
Podemos representar gráficamente el cuadrado de la suma de dos cantidades cuando los
valores son positivos. Así, la suma de dos cantidades positivas al cuadrado será igual a la
suma de:
 un cuadrado con sus lados iguales a la primera cantidad;
 un cuadrado con sus lados iguales a la segunda cantidad, y
 dos rectángulos cuyos lados son iguales a la primera y la segundad cantidad.
Como podemos ver, el cuadrado resultante tendrá un área igual a (a+b) por (a+b) = (a+b)2
Ejemplos con solución paso a paso
1) Desarrolle (x+10)2
.
 Cuadrado del primer término: x2
.
Regla del cuadrado de la suma
de dos cantidades
El cuadrado de la suma de dos
cantidades es igual al cuadrado
de la primera cantidad, más dos
veces la primera cantidad por la
segunda, más el cuadrado de la
segunda cantidad.

6.  Dos veces el primero por el segundo: 2(x)(10) =20x.
 Cuadrado del segundo término: 102
=100.
Respuesta:
(x+10)2
= x2
+ 20x + 100
2) Desarrolle (7a2
+5x3
)2
.
 Cuadrado del primer término: 72
(a2
)2
= 49a4
.
 Dos veces el primero por el segundo: 2(7a2
) (5x3
) = 70a2
x3
.
 Cuadrado del segundo término: (5)2
(x3
)2
=25x6
.
Respuesta:
(7a2
+5x3
)2
= 49a4
+ 70a2
x3
+ 25x6
.
2. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Cuando tenemos dos cantidades a y b, cuya resta está elevada al cuadrado, lo que
realmente se pide es que se multiplique la resta por sí
misma:
Esta multiplicación se efectúa de la siguiente forma:
Recordemos que dos números negativos cuando se multiplican, el signo resultante es
positivo:
Ejemplos con solución paso a paso
1) Desarrolle (x-10)2
.
 Cuadrado del primer término: x2
 Menos dos veces el primero por el segundo: -2(x10) = -20x.
 Cuadrado del segundo término: 102
=100
Respuesta:
(x-10)2
= x2
- 20x + 100
3. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (binomios conjugados)
Regla del cuadrado de la resta de dos
cantidades
El cuadrado de la resta de dos cantidades
es igual al cuadrado de la primera
cantidad, menos dos veces el primer
término por el segundo término, más el
cuadrado de la segunda cantidad.

7. En este caso, la multiplicación se realiza de la siguiente forma;
Ejemplos con solución paso a paso
1) Desarrolle (x+1) (x-1).
 Cuadrado del minuendo: x2
.
 Menos el cuadrado del sustraendo: -(12
) = -1
Respuesta:
2) Desarrolle (5a+3a2
) (3a2
-5a).
 Cuadrado del minuendo: (3a2
)2
= 9a4
 Menos el cuadrado del sustraendo: -(52
a2
) = -25a2
Respuesta:
4. Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c) (a+b-c)
Este producto lo podemos transformar en la suma de dos cantidades multiplicada por su
diferencia:
Ejemplos de multiplicación de trinomios
1) Desarrolle (x+y-2) (x+y+2).
2) Desarrolle (a2
-2a+3) (a2
+2a+3).
Regla del producto de la suma
por la resta de dos cantidades
La suma de dos cantidades
multiplicada por su diferencia
es igual al cuadrado del
minuendo (en la diferencia)
menos el cuadrado del
sustraendo.
Regla del caso especial de la
multiplicación de trinomios
La multiplicación de dos trinomios
con dos términos positivos iguales, y
un tercer término cuyo signo difiere
en cada trinomio es el cuadrado del
primer término, más dos veces el
primero por el segundo, más el
cuadrado del segundo término,
menos el cuadrado del tercero.

8. 5. Caso especial multiplicación de trinomios (a+b+c) (a-b-c)
En este caso se realiza lo siguiente:
 los términos negativos del trinomio se agrupan en paréntesis con el signo negativo
delante, por lo que estos términos negativos pasan a ser positivos.
 Luego en el trinomio de las sumas se agrupan los mismos términos.
Esto queda de la siguiente forma:
Ahora se puede desarrollar como un producto de la suma por la resta de dos cantidades:
Ejemplos de multiplicación de trinomios con números
negativos
1) Desarrolle (x+y+z) (x-y-z).
2) Desarrolle (x3
-x2
-x) (x3
+x2
+x).
6. Cubo de la suma de dos cantidades
En el cubo de un binomio tenemos lo siguiente:
Podemos desarrollar el cuadrado de la suma y luego multiplicarlo por (a+b):
Regla del caso especial de la
multiplicación de trinomios
La multiplicación de dos
trinomios con un término positivo
igual, y los otros dos términos
iguales en valor absoluto, pero
con signos diferentes en cada
trinomio es el cuadrado del
primer término, menos el
cuadrado del segundo término,
menos dos veces el primero por el
segundo, menos el cuadrado del
tercero.
Regla del cubo de la suma de un
binomio
El cubo de la suma de dos cantidades
es igual al cubo de la primera
cantidad, más 3 seguido del cuadrado
del primero por el segundo, más 3

9. Ejemplos con solución paso a paso
1) Desarrolle (a+2)3
 Cubo del primer término: a3
 Triple del cuadrado del primero por el segundo: 3a2
2 = 6a
 Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(a)(2)2
= 12a
 Cubo del segundo término: 23
=8.
Respuesta:
2) Desarrolle (3+y2
)3
.
 Cubo del primer término: 33
=27.
 Triple del cuadrado del primero por el segundo: 3(3)2
y2
=27y2
.
 Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(3)(y2
)2
=9y4
.
 Cubo del segundo término: (y2
)3
=y6
.
Respuesta:
7. Cubo de la resta de dos cantidades
En el cubo de un binomio con una resta tenemos lo siguiente:
Podemos desarrollar el cuadrado de la resta y luego
multiplicarlo por (a-b):
Ejemplos con soluciones paso a paso
1) Desarrolle (x-2)3
.
seguido del primero por el cuadrado
del segundo, más el cubo del segundo.
Regla del cubo de la resta de un
binomio
El cubo de la diferencia de dos
cantidades es igual al cubo del
primer término, menos el triple del
cuadrado de la primera por el
segundo, más el triple del primero
por el cuadrado del segundo, menos
el cubo del segundo término.

10.  Cubo del primer término: x3
.
 Menos el triple del cuadrado del primero por el segundo: -3(x)2
2=-6x2
.
 Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(x)(22
) =12x.
 Menos el cubo del segundo término: -(23
) = -8.
Respuesta:
2) Desarrolle (a2
-2b)3
.
 Cubo del primer término: (a2
)3
=a6
.
 Menos el triple del cuadrado del primero por el segundo: -3(a2
)2
(2b)=-6a4
b.
 Triple del primero por el cuadrado del segundo: 3(a2
)(2b)2
=12a2
b2
.
 Menos el cubo del segundo término: -(2b)3
=-8b3
.
Respuesta:
8. Producto de dos binomios con tres cantidades
diferentes
Primer caso
Segundo caso
Tercer caso
Ejemplos con solución paso a paso
1) Desarrolle (x+7) (x+2).
Regla del producto de dos binomios
con tres cantidades diferentes
El primer término del producto es el
producto de los primeros términos de
los binomios; en el segundo término
del producto, el coeficiente es la suma
o resta de los segundos términos de
cada binomio y la x está elevada a la
mitad del exponente que tiene la x en
el primer término; el tercer término
del producto es el producto de los
segundos términos de los binomios.

11.  Producto de los primeros términos de los binomios: (x)(x) = x2
.
 Suma de los segundos términos por el primer término: (7+2) x =9x
 Producto de los segundos términos de los binomios: (7)(2) = 14
Respuesta:
2) Desarrolle (x+5) (x-2).
 Producto de los primeros términos de los binomios: (x)(x) = x2
.
 Suma de los segundos términos por el primer término: [(5) + (-2)] x= 3x.
 Producto de los segundos términos de los binomios: (5) (-2)=-10.
3) Desarrolle (x-10) (x-5).
 Producto de los primeros términos de los binomios: (x2
) (x)= x3
.
 Suma de los segundos términos por el primer término: [(-10) + (-5)]x= -15x.
 Producto de los segundos términos de los binomios: (-10) (-5) = 50.
Respuesta:
FACTORIZACION DE PRODUCTOS NOTABLES
La factorización es el proceso algebraico por medio del cual se transforma una suma o resta
de términos algebraicos en un producto algebraico.
También se puede entender como el proceso inverso del desarrollo de productos notables.
FACTOR COMÚN
REGLAS PARA OBTENER EL FACTOR COMÚN DE UN POLINOMIO
1.- Se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes
2.-Se identifica las literales con menor exponente que se repitan en cada uno de los
términos algebraicos del polinomio a factorizar.

12. Ejemplos de factor común en un polinomio:
FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN
En la factorización por agrupación, no todos los elementos del polinomio comparten un
factor común, por lo que se deben identificar primero los grupos de elementos que si
comparten términos comunes y después factorizar cada grupo de elementos.
Ejemplos de factorización por agrupación:

13. DIFERENCIA DE CUADRADOS
La diferencia de cuadrados tiene la forma de x2
– y2
y su factorización es el producto de
binomios conjugados:
Ejemplos de diferencia de cuadrados:
TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO
RESULTADO:
Es un binomio al cuadrado
REGLAS PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO

14. 1.-Se ordenan los términos del trinomio en orden descendente a una de las literales, de
forma que los extremos sean expresiones que tengan raíz cuadrada exacta
2.-Se obtiene la raíz del primer y tercer termino
3.-Para comprobar que haya sido un trinomio al cuadrado “perfecto”, se realiza el doble
producto de los términos obtenidos en el paso dos y debe ser igual al 2do término del
trinomio.
4.-El signo del binomio que dio resultado es el mismo que el signo del 2do término del
trinomio original
Ejemplos de Trinomio al Cuadrado Perfecto:
TRINOMIO DE LA FORMA: (x2 + bx + c)
RESULTADO:
Producto de dos binomios con término común
REGLAS PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO DE LA FORMA (x2 + bx + c):
1.-Se ordenan los términos del trinomio en orden descendente a una de las literales, de
forma que el primer término sea una expresión que tenga raíz cuadrada exacta
2.-Se obtiene la raíz cuadrada de este primer término y se coloca en los dos binomios

15. 3.-Se buscan dos números que su producto sea igual al 3er término del trinomio (c) y su
suma aritmética sea igual al coeficiente del 2do término del trinomio (b). De estos números,
el mayor se coloca en el primer binomio y el menor en el segundo binomio.
x2
+ (e + h) x + (e * h) = (x + e) (x + h)
4.-El signo del primer binomio es igual al signo del 2do término del trinomio, y el signo del
segundo binomio es igual al signo resultante del producto de los signos del 2do por el 3er
término del trinomio.
Ejemplos de trinomios de la forma (x2 + bx + c):
TRINOMIO DE LA FORMA (ax2 + bx + c)
RESULTADO:
Producto de dos binomios

16. REGLAS PARA FACTORIZAR UNA TRINOMIO DE LA FORMA (ax2
+ bx + c):
1.-Se ordenan los términos del trinomio en orden descendente a una de las literales
2.-Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del 1er termino
3.-Con esto, el trinomio del numerador se factoriza a dos binomios con termino común
4.-A cada uno de estos dos binomios se les divide por el denominador para obtener los dos
binomios de la forma: (fx + e) (x + h)
Ejemplos de trinomios de la forma (ax2 + bx + c):
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS
RESULTADO:
Producto de un binomio por un trinomio
REGLAS PARA FACTORIZAR UNA SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS:
1.-Se obtienen las raíces de cada uno de los términos
2.-El primer término es un binomio igual a la suma o resta de estas raíces obtenidas
3.-El segundo término es un trinomio igual:
1er termino: Igual al cuadrado de la raíz del primer término del binomio
2do término: Igual al producto de las raíces del binomio con signo opuesto.
3er término: Igual al cuadrado de la raíz del segundo término del binomio

17. Ejemplos de Suma y diferencia de cubos:

18. BIBLIOGRAFIA
https://www.todamateria.com/expresiones-algebraicas/
https://cursoparalaunam.com/suma-y-resta-de-expresiones-algebraicas
http://cidecame.uaeh.edu.mx/lcc/mapa/PROYECTO/libro1/153_multiplicacin_de_exp
resiones_algebraicas.
https://www.todamateria.com/productos-notables/
https://cursoparalaunam.com/productos-notables-y-factorizacion