Apuntes de geometría para Dibujo Técnico de 1º de bachillerato.

1. IES:Calderón:de:la:Barca:-:Gijón
Departamento:de:dibujo
Apuntes:de:dibujo:técnico:1º:bachillerato
primera:parte:
dibujo:geométrico
Material:educativo:fotocopiable
Edición curso 2016 - 2017

2. IES:Calderón:de:la:Barca:3:Gijón
Departamento:de:dibujo
Apuntes:de:dibujo:técnico:7º:bachillerato
primera:parte:
dibujo:geométrico
Material:educativo:fotocopiable EdiciónlcursolhÁCGlálhÁCH
Índice
ÁÁÁ
Á
C
CLh
CL,
h
hLC
hLh
,
,LC
,Lh
,L,
,Lí
,LI
í
íLC
íLh
íL,
íLí
I
ILC
ILh
G
GLC
GLh
H
HLC
HLh
HL,
HL,LC
REPASOlC
8LC
8Lh
8L,
8Lí
8LI
8LG
8LH
9LC
9Lh
9L,
9Lí
9LI
9LG
9LH
CÁLC
CÁLh
CÁLhLC
CÁLhLh
CÁL,
CÁL,LC
CÁL,Lh
CÁLí
CÁLíLC
CÁLíLh
CÁLI
UsoldellalescuadralylellcartabónL
DefinicioneslylconvencionalismosL
TrazadoslfundamentaleslconlreglalylcompásL
TrazadoslfundamentalesLlLugareslgeométricosL
TrazadoslfundamentalesLlLugareslgeométricosL
ProporcionalidadL
ProporcionalidadL
OperacioneslconlsegmentosL
ÁngulosL
ConstruccionesldelánguloslconlreglalylcompásL
ConstruccionesldelánguloslconlescuadralylcartabónL
ÁngulosLlPropiedadeslylparalelismoL
ArcolcapazL
ArcolcapazLlProblemaldelPothenotL
TriángulosL
TriángulospllíneaslylpuntoslnotablesL
TriángulospllíneaslylpuntoslnotablesL
TriángulosLlConstruccioneslsencillasL
TriángulosLlConstruccioneslsencillaslhL
CuadriláterosL
CuadriláterosLlConstruccionesL
CuadriláterosLlConstruccioneslhL
PolígonoslregularesL
PolígonoslregularesLlConstrucciónldadallalcircunferenciaL
PolígonoslregularesLlConstrucciónldadolellladoL
TransformacioneslgeométricasL
TransformacioneslgeométricasLlIgualdadlyltraslaciónL
TransformacioneslgeométricasLlGirolylsimetríaL
TransformacioneslgeométricasLlHomoteciaL
TransformacioneslgeométricasLlHomotecialhL
TangenciaslylenlaceslCL
TangenciaslylenlaceslhL
Tangenciaslylenlacesl,L
TangenciaslylenlaceslíL
TangenciaslylenlaceslIL
TangenciaslylenlaceslGL
TangenciaslylenlaceslHL
CurvasltécnicasL
CurvasltécnicaslhL
Curvasltécnicasl,L
CurvasltécnicaslíL
CurvasltécnicaslIL
CurvasltécnicaslGL
CurvasltécnicaslHL
CurvaslcónicasL
CurvaslcónicasLlElipseL
CurvaslcónicasLlElipselhL
CurvaslcónicasLlElipseLlTrazadoL
CurvaslcónicasLlHipérbolaL
CurvaslcónicasLlHipérbolalhL
CurvaslcónicasLlHipérbolaLlTrazadoL
CurvaslcónicasLlParábolaL
CurvaslcónicasLlParábolalhL
CurvaslcónicasLlParábolaLlTrazadoL
CurvaslcónicasLlAplicacionesL
Trazados
fundamentales
Proporcionalidad
Ángulos
Triángulos
Cuadriláteros
Polígonos
regulares
Transformaciones
geométricas
Tangencias:
y:enlaces
Curvas:técnicas
Curvas:cónicas
7
8
9
0
5
6
7
8
9
76

3. IES0Calderón0de0la0Barca0-0Gijón
Dpto.0de0dibujo
Apuntes0de0dibujo0técnico01º0bachillerato
000
Uso de la escuadra y el cartabón
Escuadra
Cartabón
Sujetar0las0plantillas0con0los0dedos0separados0sin0hacer0demasiada0presión
Paralelas horizontales y
líneas a 45º Paralelas verticales y
líneas a 45º
Sostenemos0el0cartabón0
y0rotamos090º0la0escuadra
Perpendicular
Dibuja con escuadra y cartabón
Duplicación0del0cuadrado
según0Platón

4. Definiciones
Punto
Líneaprecta
Línepacurva
Semirrecta
Segmento
Plano
Ángulo
IESpCalderónpdeplapBarcapMpGijón
Dptoypdepdibujo
Apuntespdepdibujoptécnicop1ºpbachillerato
DEFINICIONESpYpCONVENCIONALISMOS
Signospypsímbolospgeométricos
0

5. (ÁAMediatrizAdeAunAsegmentoÁ
IESACalderónAdeAlaABarcaAPAGijón
DptoÁAdeAdibujo
=puntesAdeAdibujoAtécnicoA(ºAbachillerato
TR=Z=DOSAFUND=MENT=LESAAPAA=LGUN=SACONSTRUCCIONESACONAREGL=AYACOMPÁS
)ÁAPerpendicularAaAunaAsemirrectaAenAsuAorigenÁ
PrimerAprocedimientoÁA
áÁAPerpendicularAaAunaAsemirrectaAenAsuAorigenÁ
SegundoAprocedimientoAFbasadoAenAarcoAcapazAdeA25ºU
FMásAadelanteAestudiaremosAarcoAcapazU
0ÁAPerpendicularAaAunaArectaAporAunApuntoAexteriorÁ
xÁAParalelaAaAunaArectaAaAunaAdistanciaAdada
9ÁAPerpendicularAaAunaArectaAporAunApuntoAdeAellaÁ
(
LasAconstruccionesAconAreglaAyAcompásAformanAparte
deAlaAbaseAdeAlaAgeometríaAclásicaAgriegaÁAFormalmente
basadasAenAlosAtresAprimerosApostuladosAdeAEuclidesÁ
LaAreglaAnoAtieneAmarcasAoAgraduaciónYAseAutilizaAsólo
paraAtrazarAlíneasArectasÁ
EnAinglésAtienenAunAtérminoAespecíficoAparaAesteA
instrumentoyAStraightedgeÁ
EnAlaAprácticaYAparaAtrazarAparalelasAyAperpendicularesY
usaremosAescuadraAyAcartabónÁ
A
= B
=( 9
= (
9
0
)
=
(
9
0
=
( 9
P
r
3ÁAParalelaAaAunaArectaArAporAunApuntoAPÁ
=plicamosAconsecutivamenteAloAvistoAenA0AyA9
TrazamosAunaAperpendicularAaAlaArecta
yAsobreAellaAllevamosAlaAdistanciaAdadaÁ
=plicamosAlosAprocedimientosA
vistosAenAestaApáginaÁ
ElAsímbolo
significaAA
ánguloArectoA
F,A25ºU

6. yÁDLaDcircunferenciaDcomoDlugarDgeométricoDdeDlosD
puntosDqueDequidistanDdeDunoDfijoDllamadoDcentroÁ
IESDCalderónDdeDlaDBarcaDÉDGijón
DptoÁDdeDdibujo
ApuntesDdeDdibujoDtécnicoDyºDbachillerato
TRAZADOSDFUNDAMENTALESDDÉDDLUGARESDGEOMÉTRICOSDBÁSICOS
HÁDLaDmediatrizDlugarDgeométricoDdeDlosDpuntosDdel
planoDqueDequidistanDdeDdosDpuntosDfijosDADyDBD
PÁDLaDmediatrizDconsideradaDcomoDlugarDgeométrico
deDlosDcentrosDdeDlasDcircunferenciasDqueDpasan
porDdosDpuntosDfijosDADyDB
3ÁDHallarDelDlugarDgeométricoDdeDlosDcentrosDdeDlas
circunferenciasDdeDradioDdadoDrDqueDpasanD
porDunDpuntoDfijoDP
ElDlugarDesÁÁÁ
6ÁDCircunferenciasDdeD
radioDrDqueDpasan
porDdosDpuntosDdados
5ÁDHallarDelDlugarDgeométricoDdeDlosDpuntosDdelDplano
queDdistanDrDdeDunDpuntoDdadoDP
yÁ5
Lugar geométrico es el conjunto que componen
todos los puntos que poseen las mismas propiedades
geométricas, es decir, que cumplen determinada
condición (o condiciones)
El concepto de lugar geométrico es muy útil
para resolver problemas geométricos.
P
r r
P
A B
A B
A B

7. IESTCalderónTdeTlaTBarcaTfTGijón
DptoqTdeTdibujo
ApuntesTdeTdibujoTtécnicoT(ºTbachillerato
TRAZADOSTFUNDAMENTALESTTfTTLUGARESTGEOMÉTRICOSTBÁSICOS
(q8
zqTCircunferenciaTqueTpasaTporTtresTpuntosT
dadosTA7TBTyTCTLnoTalineadosÉ
mqTDistanciaTdeTunTpuntoTaTunaTrecta
(yqTDistanciaTdeTunTpuntoTPTaTunaTcircunferenciaTcq9qTDadosTdosTpuntosTA7TBTyTunaTrectaTrTobtenerT
unTpuntoTPTdeTellaTqueTequidisteTdeTlosTdados
((qTTrazarTunaTcircunferenciaTqueTpaseTporTunT
puntoTdado7TPTyTequidisteTdeTotrosTtresTtambién
dados7TA7TBTyTC
A
B
C
O
P
r
d
d
c
O
P
A
B
rP
A
B
C
O
P

8. IESPCalderónPdePlaPBarcaPUPGijón
Dpto3PdePdibujo
ApuntesPdePdibujoPtécnicoPxºPbachillerato
PROPORCIONALIDAD
'
Razón Proporción:PigualdadPdePrazones
TeoremaPdePThales
CuartoPproporcionalPaPtresPsegmentosPdadosPa"Pb"Pc TerceroPproporcionalPaP'PsegmentosPdadosPa"Pb
SePlee:POaPesPaPbO SePlee:POaPesPaPbPcomoPcPesPaPdO
OUnoPesPaPtresO
OUnoPesPaPtresPcomoPdosPesPaPseisO
x
y
x
y
'
7
=
x
'
P
P
"Un haz de paralelas equidistantes intercepta a dos concurrentes según segmentos iguales en cada una".
ExtensiónPdelPteorema:
"Segmentos cualesquiera pertenecientes
a una de las concurrentes,
llevados mediante paralelas sobre la otra,
producen en esta última
segmentos proporcionales
a los primeros".
A
B
C
A:
B:
C:
AB
AC
A:B:
A:C:
= yPtambiénP
AB
A:B:
BC
B:C:
=
x
'
y
4
5
7
v
DivisiónPdePunPsegmentoPenP
unPnúmeroPcualquieraPdePpartesPiguales
A Bx ' y 4 5 7 vU A B
a
b
c
a: b: c:
DivisiónPdePunPsegmentoP
enPpartesPproporcionalesPaPotrasPdadas
a b
c
x
a b
b
x
=
a
b
c
x =
a
b
b
x
OPbien:
Observa que si intercambiamos
los términos b, c la proporción no varía.
a
b
c
x

9. IESPCalderónPdePlaPBarcaPfPGijón
DptoáPdePdibujo
ApuntesPdePdibujoPtécnicoPqºPbachillerato
PROPORCIONALIDAD
"áq
MediaPproporcional
ConstrucciónPdePlaPmediaPproporcionalPx
entrePdosPsegmentosPdadosPavPbPempleando
la propiedad de la altura.
Media proporcional
B C
A
h
H
ObservaPlaPfiguraáPElPtriánguloPBACPesPrectánguloáPLaPalturaPhP
dividePaPsuPhipotenusaPenPdosPsegmentosPnvPmá
AdemásvPlaPalturaPdividePaPBACPenPdosPtriángulosPBHAPyPAHCá
EstosPsonPtambiénPrectángulosPyPsemejantesPaPBACPxporqueP
tienenPlosPmismosPángulosPxrecuerdaPOángulosPdePladosP
respectivamentePperpendicularesPtienenPsusPángulosPigualesOgá
LuegoP
n
h
h
m
h"
P=PnPPm= á
TeoremaPdePlaPaltura
"La altura de un triángulo rectángulo
es media proporcional entre los segmentos
que determina sobre la hipotenusa".
AdemásPatendiendoPaPlaPsemejanzaPentrePBACPyPcadaP
unoPdePlosPBHAPyPAHCvPsePcumple
c"
P=PaPPnPPPPPPPPPPyPPPPPPPPPPPb"
P=PaPPm
TeoremaPdelPcateto
"Un cateto es medio proporcional en la
hipotenusa y la proyección ortogonal
de dicho cateto sobre ella".
áá
MediaPproporcional
ConstrucciónPdePlaPmediaPproporcionalPx
entrePdosPsegmentosPdadosPavPbPaplicando
la propiedad del cateto.
a
b
a
b
Obtención de la media proporcional aplicando potencia de un punto respecto a una circunferencia
n m
ab
PonemosPaPyPbPunoPaPcontinuaciónPdePotro
yPtrazamosPlaPsemicircunferenciaPdePdiámetroPaPHb
a
b
SuperponemosPaPyPbPyPtrazamosPlaP
semicircunferenciaPdePdiámetroPa
xx
x"
P=PaPPbá x"
P=PaPPbá
b
c
P
T
O
A
B
PT"
P=PPAPPPBP=PkPxconstanteg
x
á
á
x"
P=PaPPbá
aP=PPA
bP=PPB
SuperponemosPlosPdatosPaPyPbPyPtrazamosP
unaPcircunferenciaPdePdiámetroPsuPdiferenciaá
LaPtangentePPTPesPlaPmediaPentrePaPyPbP
Nota: veremos tangencias y potencia de
un punto con más detalle más adelante.
a
b

10. IESOCalderónOdeOlaOBarcaO=OGijón
DptovOdeOdibujo
ApuntesOdeOdibujoOtécnicoOxºObachillerato
OPERACIONESOCONOSEGMENTOS
/v/
SumaOdeOsegmentosOOOOaOfOb RestaOdeOsegmentosOOOOOOOaO=Ob
ProductoOlinealOgráficoOdeOdosOsegmentosOb,Oc
dadoOelOsegmentoOuO=Ox,Ounidad
SeOresuelveOutilizandoOlaOconstrucción
delOcuartoOproporcional,Ohaciendo
aO=OxOparaOqueOxO=ObOOc
DivisiónOlinealOgráficaOdeOdosOsegmentosOc,Oa
dadoOelOsegmentoOuO=Ox,Ounidadv
a
b
c
x
=
v
AhoraOhacemosObO=OxOparaOqueOOxO=O
c
a
ObtenciónOdelOsegmentoOxzaOdadoOelOsegmentoOaO
yOelOunidad,OuO=Ox
AplicamosOlaOconstrucciónOdelOterceroOproporcional
a
b
b
x
= HacemosObO=OxOparaOqueOxO=
x
a
ObtenciónOgráficaOdeOlaOraízOcuadrada
UtilizamosOmediaOproporcionalOaplicandoOlaOpropiedad
deOlaOaltura,OcuandoOunoOdeOlosOsegmentosOenOlosOque
divideOaOlaOhipotenusaOesOelOsegmentoOunidadO=Ox
a
uO=Ox
uO=Ox
a
c
uO=Ox
c
uO=Ox
b
c
a
b
a
b
a b
aOfOb
a
b
aO=Ob
x
b x
c
a
c
xx
ax
a
a
x
x
x

11. IES3Calderón3de3la3Barca3z3Gijón
Dptoá3de3dibujo
Apuntes3de3dibujo3técnico3)º3bachillerato ÁNGULOS
3
Ángulo:3porción3del3plano3comprendida
entre3dos3semirrectas3concurrentesá
Los ángulos son muy importantes en geometría. Forman parte de innumerables construcciones y aplicaciones.
lado
lado
vértice
Construcciónzdezunzánguloz
igualzazotro
(transportezdezunzángulo)
Dato:
) 2 3
Sumazdezángulos Diferenciazdezángulos
A
B
A3M3B
A3z3B
B
A
B
Bisectrizzdezunzángulo
Sobre3ambos3lados3se3toman3puntos3AT3B3equidistantes
del3vértice3y3se3halla3otro3punto3M3equidistante3de3AT3B3
Bisectrizzdezunzángulozconzelzvérticezinaccesible
Primerzprocedimiento:
Trazamos3una3secante3y3dibujamos3las3bisectrices
de3los3ángulos3interiores
Bisectrizzdezunzángulozconzelzvérticezinaccesible
Segundozprocedimiento:
Trazamos3una3paralela3a3uno3o3dos3lados
para3conseguir3un3ángulo3con3vértice3al3cual3le
trazamos3la3bisectriz3auxiliar
bisectriz bisectriz
M3,punto3medio3de3ABq
A
B
bisectrizA
B
M
bisectriz3auxiliar

12. IES3Calderón3de3la3Barca3-3Gijón
Dpto.3de3dibujo
Apuntes3de3dibujo3técnico31º3bachillerato CONSTRUCCIONES0DE0ÁNGULOS
3.1
Construcción0de0un0triángulo0
equilátero0dado0el0lado
Construcción0de0un0ángulo0de062º
Ángulos0sin0ayuda0del0transportador0utilizando0sólo0regla0y0compás
Construcción0de0un0ángulo0de032º
Construcción3del3ángulo3recto:
Ver3página313gtrazados3fundamentalesg
15º0=0Bisecando0un0ángulo0de032º 45º0=0bisecando0un0ángulo0de092º
75º0=045º04032º 125º0=045º04062º 122º0=062º04062º
135º0=092º0445º 152º0=092º04062º

13. IES3Calderón3de3la3Barca3-3Gijón
Dpto.3de3dibujo
Apuntes3de3dibujo3técnico31º3bachillerato CONSTRUCCIONESbDEbÁNGULOS
3.2
Construcciónbdebángulosbutilizandobsólobescuadrabybcartabón
9vº 45º .35º 3vº 6vº .5vº .2vºb66vb+6vbób9vb+3v2
75ºb645b+3v2 .v5ºb675b+3v2 .5º .65º
LugarbgeométricobdebTales
Se)denomina)así)a)cualquier)semicircunferencia
de)diámetro)dado)BC)cuya)propiedad)es)que
cualquier)punto)A)de)ella)es)vértice)de)un
ángulo)recto)cuyos)lados)pasan)por)los)extremos
B,)C)de)dicho)diámetro)(el)lugar)completo
es)la)circunferencia).
Es)un)LG)importante)que)se)aplica)por)ejemplo
en)tangencias)y)cuaternas)armónicas.
Nuevabconstrucciónbdebángulosbrectosm
Otro3procedimiento3para3trazar3la3perpendicular
a3una3recta3en3un3punto3A3de3ella
B C
A B
O
C

14. IES3Calderón3de3la3Barca3z3Gijón
Dpto.3de3dibujo
Apuntes3de3dibujo3técnico31º3bachillerato ÁNGULOSººPropiedadesººParalelismo
3.3
Paresºdeºángulosºqueºseºformanºentreº
dosºparalelasºyºunaºsecante
Losºtresºángulosºinterioresºdeºunºtriánguloºsumanº180º
Observa(la(igualdad(de(los(ángulos(alternos(internos
que(se(forman(al(trazar(una(paralela(a(la(base(por(el(
vértice(opuesto.
A B
C D
E F
G H
Opuestos3por3el3vértice3333333
A = D ; B = C ; E = H ; F = G
Correspondientes:3Uno3exterior3y3otro3interior3a3las3paralelas3y3ambos3al3mismo3lado3de3la3secante
Alternos3internos:3Uno3a3cada3lado3de3la3secante3y3ambos3interiores3a3las3paralelas
Alternos3externos:3Uno3a3cada3lado3de3la3secante3y3ambos3exteriores3a3las3paralelas
Losºángulosºformadosºporºdosºrectasºincidentes
tienenºsusºbisectricesºperpendiculares
Ángulosºdeºladosºrespectivamenteº
perpendicularesºsonºiguales
Observa(que(los(dos(triángulos(que(se(forman(
son(rectángulos(y(poseen(ángulos(opuestos(iguales
Rectasºantiparalelas
Dos(rectas(r,(s(son(antiparalelas(a(otras(dos(r',(s'
si(se(cumple(que(los(pares(de(rectas(homólogas
(r(homóloga(de(r'(y(s(homóloga(de(s')
se(cortan(bajo(ángulos(iguales(B
Los(ángulos(formados(por(pares(de(antiparalelas(
son(iguales.
A = E ; B = F ; C = G ; D = H
C = F ; D = E ;
A = H ; B = G
C
F
D
E
paralela(a(la(base
D = EC = F
V
Vx
V3=3Vx
rx
r
sx
s
V
Vx
V3=3Vx
B
B
r
s
bisectriz
bisectriz
r
rx
sx
s

15. IES3Calderón3de3la3Barca383Gijón
Dpto03de3dibujo
Apuntes3de3dibujo3técnico31º3bachillerato ARCO CAPAZ
304
Construcción del arco capaz de un ángulo dado c
Con9centro9en9un9punto9cualquiera9de9la9mediatriz
de9AB9construimos9el9ángulo9dado9c9de9manera9que
uno9de9sus9lados9sea9dicha9mediatriz.
Luego9lo9desplazamos9mediante9paralela9hasta9que
su9otro9lado9pasa9por9A9
Otro procedimiento
Situamos9el9ángulo9dado9como9semiinscrito,9
con9uno9de9sus9vértices9en9uno9
de9los9puntos9dados9A,9B
(Construimos9el9ángulo9con9uno9de9sus9lados
en9el9segmento9AB9y9su9vértice9en9A9o9en9B
y9completamos9hasta990º9que9nos9da9el9
centro9O9donde9un9lado9corta9a9la9mediatriz9de9AB
Arco3capaz:3lugar3geométrico3que3ocupan3los3vértices3de3un3ánguloO3
de3abertura3constanteO3cuyos3lados3pasan3por3dos3puntos3fijos3AO3B
Lugar geométrico de Tales
Se9denomina9así9a9cualquier9semicircunferencia
de9diámetro9dado9BC9cuya9propiedad9es9que
cualquier9punto9A9de9ella9es9vértice9de9un
ángulo9recto9cuyos9lados9pasan9por9los9extremos
B,9C9de9dicho9diámetro9(el9lugar9completo
es9la9circunferencia).
Observa3lo3que3ocurre3si3desplazamos3
verticalmente3el3centro3del3arco0
B C
B C
B C
A B
O
Datos:3
ángulo3c
segmento3AB
A B
O
Arco capaz completo de un ángulo recto
Es3la3circunferencia3de3diámetro3AB3
A BO
A B
O
Arco capaz del suplementario
Completando3la3circunferencia3
c
180º383c
c
c
c

16. IES3Calderón3de3la3Barca3z3Gijón
Dptof3de3dibujo
Apuntes3de3dibujo3técnico31º3bachillerato ARCO CAPAZ Aplicaciones
3f5
Problema de la carta de Pothenot
Determinar3en3la3carta3marina3la3posición3de3un3barco3desde3el3cual3se3ven:
Punta3de3la3Esparteña3y3Playa3del3Muelle3bajo3un3ángulo3de330º
Playa3del3Muelle3e3Isla3del3Ciervo3bajo3un3ángulo3de3135º
Otras aplicaciones
Hemos3visto3en3construcción3de3triángulos3otras3aplicaciones3de3arco3capazf
Solución:3construir3dos3arcos3capaces3y3su3intersección3define3la3posición3del3barcof

17. IES4Calderón4de4la4Barca404Gijón
Dpto>4de4dibujo
Apuntes4de4dibujo4técnico48º4bachillerato TRIÁNGULOS
x
Notación
A B
C
c
ab
ClasificaciónAsegúnAsusAlados
ClasificaciónAsegúnAsusAángulos
Para4construir4un4triángulo4son4necesarios4tres4datos4
Ulados94ángulos94líneas4notables>>>m>
Uno4de4los4datos4debe4ser4una4magnitud4lineal>
EquiláteroAAAA
a4=4b4=4c
ab
c
Isósceles
a4=4b4=4c
Escaleno
a4=4b4=4c
ab
c
ab
c
a
b
c
A B
C
Acutángulo
A94B94C4<4zLº
Rectángulo
Un4ángulo4=4zLº
Obtusángulo
Un4ángulo4>4zLº
Cada4lado4es4menor4que4la4suma4de4los4otros4dos>
Los4tres4ángulos4de4un4
triángulo4suman4
siempre48TLº>
Polígono4que4tiene4tres4vértices4y4tres4lados4no4alineados>
Un4ángulo4exterior4mide4
igual4que4la4suma4de4los4
dos4ángulos4interiores4
opuestos4a4él>
C
F
D
E
paralela a la base
TriángulosAproporcionales TeoremaAdeAlaAbisectrizAinterior TeoremaAdeAlaAbisectrizAexterior
A
B
C
D
E
r
s
t
Si4r4qq4s4qq4t4entonces4ABqBC4=4DBqBE
Si4MN4qq4AC4entonces4BMqMA4=4BNqNC
B
M N
A C
A
B
C
AC4q4CB4=4AD4q4DB
D
vc
A B
C
D
bisectriz exterior de C
(perpendicular a vc)
AD4q4AC4=4BD4q4BC
Uconsecuencia4o4corolario4del4Teorema4de4Talesm
En4un4triángulo94la4bisectriz4de4un4ángulo4exterior
divide4a4la4prolongación4del4lado4opuesto4en4dos
segmentos4AD4y4BD4directamente4proporcionales
a4los4lados4AC4y4BC4que4forman4dicho4ángulo4
En4todo4triángulo94la4bisectriz4de4
un4ángulo4interior4divide4al4lado4
opuesto4en4dos4segmentos4
directamente4proporcionales4
a4los4lados4que4forman4
dicho4ángulo>
o4bien4AC4q4AD4=4CB4q4DB
A
B
C
D
vc
B)

18. IES4Calderón4de4la4Barca4=4Gijón
Dpto,4de4dibujo
Apuntes4de4dibujo4técnico4íº4bachillerato
LÍNEASuYuPUNTOSuNOTABLESuDELuTRIÁNGULO
M,í
Bisectricesuinteriores:uincentrou(centroudeulaucircunferenciauinscrita)
Bisectricesuexteriores:uexincentrosu(centrosudeulasucircunferenciasuexinscritas)
Las4bisectrices4interiores4del4triángulo4ABC4
se4cortan4en4el4incentro4I,
Cada4bisectriz4exterior4es4perpendicular4
a4su4respectiva4interior,
Dos4bisectrices4exteriores4más4una4interior
(prolongada)4determinan4los4exincentros,
Observa4que4las4circunferencias4exinscritas
son4tangentes4a4los4tres4lados4del4triángulo,
Se4cumple4también4que4las4bisectrices4interiores
son4alturas4del4triángulo4de4exincentros,
Luego4el4incentro4del4ABC4es4ortocentro
del4EaEbEc4
Observa4los4puntos4de4tangencia,
La4distancia4r4del4incentro4a4cualquiera4de4los4lados
se4llama4inradio4del4triángulo,
Se4cumple4que4x4=4xf4y4=4yf4z4=4z4
(las4tag4desde4un4punto4ext4
son4iguales)4luego
a4=4y4q4zf4b4=4x4q4zf4c4=4x4q4y44444
Euler4introdujo4la4costumbre4
de4llamar4s4al4semiperímetro
de4un4triángulof4es4decirf4
s4=4(aqbqc)y/
Luego4x4q4y4q4z4=4s
A
B
C
a
c
b
Eb
Ea
Ec
I
Mediatrices:ucircuncentrou(centroudeulaucircunferenciaucircunscrita)
A
B
C
O
Ma
Mb
Mc
mc
mb
ma
A
B
C
I
x
x
y
y
zz

19. IES4Calderón4de4la4Barca4y4Gijón
DptoH4de4dibujo
Apuntes4de4dibujo4técnico41º4bachillerato
LÍNEAS(Y(PUNTOS(NOTABLES(DEL(TRIÁNGULO
4H2
Medianas:(baricentro((centro(de(gravedad(del(triángulo)
El4baricentro4se4denota4con4la4letra4GH
El4baricentro4divide4a4cada4mediana4en4
dos4segmentosá4el4segmento4que4une4
el4baricentro4con4el4vértice4mide4el4doble4
que4el4segmento4que4une4baricentro4
con4el4punto4medio4del4lado4opuestoH
Alturas:(ortocentro
A B
C
G
Ma
Mb
Mc
GA4=42GMa
O4bien4444GMa4=41;34AMa
A B
C
ha
hc
hb
Comprueba4dónde4cae4el4ortocentro4
en4un4triángulo4rectángulo4
y4en4uno4obtusánguloH
H
Recta(de(Euler El4ortocentroá4el4baricentro4y4el4circuncentro4de4un4triángulo4no4equilátero4están4alineados;4
es4decirá4pertenecen4a4la4misma4rectaá4llamada4recta4de4EulerH4Compruébalo4dibujándoloH
A B
C
OGH

20. IES4Calderón4de4la4Barca4H4Gijón
Dpto.4de4dibujo
Apuntes4de4dibujo4técnico41º4bachillerato TRIÁNGULOS. Construcciones sencillas
4.3
Para construir un triángulo son necesarios tres datos (lados, ángulos,líneas notables...). Uno de los datos debe ser una magnitud lineal.
LLLR4los4tres4lados LALR4dos4lados4y4el4ángulo4
comprendido
ALAR4dos4ángulos4y4el4lado4comprendido
LLAR4dos4lados4y4un4ángulo4
opuesto4a4uno4de4ellos
AALR4dos4ángulos4y4un4lado
(no4comprendido)
Construir4arco4capaz
cR4hcR4C
Construir4arco4capaz4del4ángulo4dado4sobre4
su4lado4opuesto.4Construir4LG4de4la4altura.
cR4hcR4mc
Construir4LG4de4la4altura4y4LG4de4la4mediana
4
vcR4CR4A hcR4bR4c
Resolver4en4principio4el4triángulo4CR4HcR4A
c
b
a
Ac
b
c
A B
c
a
A A C
c

21. IES4Calderón4de4la4Barca4-4Gijón
Dpto.4de4dibujo
Apuntes4de4dibujo4técnico41º4bachillerato TRIÁNGULOS. Construcciones sencillas 2
4.4
Para construir un triángulo son necesarios tres datos (lados, ángulos,líneas notables...). Uno de los datos debe ser una magnitud lineal.
hc,4a,4b
Resolver4en4principio4el4triángulo4C,4Hc,4B4
y4el4C,4Hc,4A
hc,4c,4A
Resolver4en4principio4el4triángulo4C,4Hc,4A
hc,4a,4A
Resolver4en4principio4el4triángulo4C,4Hc,4A
hc,4A,4B
Resolver4en4principio4el4triángulo4C,4Hc,4A4
y4el4C,4Hc,4B
a,4C,4vc
Resolver4en4principio4el4triángulo4vc,4B,4C
Construcciones de triángulos rectángulos
Los4dos4catetos4b,4c Un4cateto4y4un4ángulo4adyacente Un4cateto4c4y4el4ángulo4opuesto
La4hipotenusa4y4un4cateto La4hipotenusa4y4un4ángulo4Lno4rectoU La4hipotenusa4a4y4la4altura4sobre4ella4ha4

22. IES5Calderón5de5la5Barca5T5Gijón
Dpto25de5dibujo
Apuntes5de5dibujo5técnico5yº5bachillerato CUADRILÁTEROS
U
Notación
A
B
C
c
a b
Clasificaciónm
Si5los5ángulos5opuestos5de5un
cuadrilátero5son5suplementarios=
el5cuadrilátero5se5puede5inscribir
en5una5circunferencia2
La5suma5de5los5ángulos
interiores5de5un5cuadilátero
es5O(xº2
Si5la5suma5de5los5lados
opuestos5de5un5cuadrilátero
coincide=5el5cuadrilátero
circunscribe5a5una5circunferencia2
Trapezoides:m
ningúnmladomparalelo
Trapecios:mdosmladosmsonmparalelosmállamadosmbbasesbv
Paralelogramos:mlosmladosmopuestosmsonmparalelosmemiguales.mÁngulosmopuestosmiguales
Figuraszplanaszlimitadaszporzcuatrozrectasz
quezsezcortanzdoszazdos,zdeterminandoz
unoszsegmentoszquezsonzloszladosz
delzcuadrilátero.
Loszpuntoszdondezconcurren
doszladoszcontiguoszson
loszvértices.
Laszdiagonaleszunenzdoszvértices
nozconsecutivos.
D
d
Propiedades
A
B
C
D
y)xº
y)xº
Observazcómozsezdescompone
enzdosztriángulos.
55A5+5B5+5C5+5D5=5O(xº
Ty
Tz
TO
TR
x y
yx
z
zt
t
O
A B
CD
AB5+5DC5=5BC5+5AD
A
B
C
D
A5+5C5=5B5+5D5=5y)xº
Atendiendozalzparalelismozentrezsuszlados,zclasificamos
loszcuadriláteroszconvexoszenzparalelogramos,ztrapecioszyztrapezoides.
Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
Cuatro5ángulos5iguales5y5rectos2
Diagonales5iguales5y5se5cortan
en5el5punto5medio2
Cuatro5lados5iguales2
Diagonales5perpendiculares2
Cuatro5lados5iguales5y5rectos2
Diagonales5iguales5y
perpendiculares
Diagonales5desiguales5y5
no5perpendiculares2
Isósceles Rectángulo Escaleno
Uno5de5los5dos5lados
no5básicos5es5perpendicular
a5la5altura
Lados5no5básicos5iguales2
Diagonales5iguales2
Deltoide
Cuadrilátero5simétrico5respecto5de
una5de5sus5diagonales2
Diagonales5perpendiculares2
Dos5pares5de5lados5contiguos5iguales2
Cuadriláteromconvexo
6o5simplemente5gcuadriláterog0
Cuadriláteromcóncavo

23. IES5Calderón5de5la5Barca5-5Gijón
Dpto.5de5dibujo
Apuntes5de5dibujo5técnico51º5bachillerato CUADRILÁTEROS Construcciones
5.1
A
B
C
c
a b
Cuadrilátero5dados5sus5cuatro5lados5y5una5diagonal
Elynúmeroydeydatosyqueynecesitamosyparayconstruiryunycuadriláteroydependeydeysuytipo.
D
d
Trapecio5dadas5las5bases5y5los5lados
e
A D
C
B
A
A
D
C
B
Ce
A
B
C
D
B
C
D
A
Figuraydeyanálisis:
A B
CD
Construiryenyprincipio
elytriánguloyauxiliaryCBC'
enyelyque:
C'By=yABy-yDCyyyyyC'Cy=yAD
CP
Trapecio5dadas5sus5bases,5un5lado
y5la5altura
h
A
B
C
B
C
D
Paralelogramo5dado5un5lado
y5las5diagonales
A B
e
f
a
DeterminaryelycentroyOyde
intersecciónydeylasydiagonales
dibujandoyelytriánguloyAOB
Rombo5dado5un5lado5y5un5ángulo
A
aA B

24. IES5Calderón5de5la5Barca5-5Gijón
Dpto.5de5dibujo
Apuntes5de5dibujo5técnico51º5bachillerato CUADRILÁTEROS Construcciones
5.2
Rombo5dado5un5lado5y5una5diagonal
El número de datos que necesitamos para construir un cuadrilátero depende de su tipo.
Rectángulo5dadas5las5diagonales5y5el5ángulo5
que5forman
A Ba
A C
Rombo5dadas5las5diagonales
A C
B D
Rectángulo5dada5la5diagonal5y5un5lado
e
n
e
Cuadrado5dado5el5lado
l
Cuadrado5dada5su5diagonal
e
Cuadrado5dada5la5suma5fo5la5diferencia(5de5su5diagonal5y5un5lado.
suma

25. IES6Calderón6de6la6Barca6,6Gijón
DptoÁ6de6dibujo
5puntes6de6dibujo6técnico6yº6bachillerato POLÍGONOS REGULARES
á
Elementos de un polígono regular
CIRCUNFERENCI56CIRCUNSCRIT5Á6
Circunferencia6que6pasa6por6los6vértices6del6polígonoÁ
CIRCUNFERENCI56INSCRIT5Á6
Circunferencia6tangente6a6los6lados6del6polígonoÁ
CENTROÁ6
El6centro6de6las6dos6circunferencias6antedichas6es6a6su6vezz6centro6del6polígonoÁ
R5DIOÁ6
Distancia6del6centro6a6un6vérticez6radio6de6la6circunferencia6circunscritaÁ
ÁNGULO6CENTR5LÁ
Tiene6como6vértice6el6centro6y6sus6lados6pasan6por6dos6vértices6consecutivosÁ
Su6valor6en6grados6es6igual6a6dividir60ámº6entre6el6número6de6lados6del6polígonoÁ
ÁNGULO6INTERIORÁ
Formado6entre6dos6lados6consecutivosÁ6
Su6valor6en6grados6es6igual6a6yMmº6menos6el6valor6del6ángulo6centralÁ6
5POTEM5Á6
Radio6de6la6circunferencia6inscrita6del6polígono6
o6perpendicular6del6centro6a6un6lado6del6polígonoÁ
PERÍMETROÁ6
Suma6de6las6longitudes6de6los6ladosÁ6Se6denota6por63pÁ
ÁRE5Á6
Producto6de6la6apotema6por6el6semiperímetroÁ656x6a6Á6p
L5DOÁ6
Une6dos6vértices6consecutivosÁ6Su6mediatriz6pasa6por6el6centro6del6polígonoÁ
DI5GON5LESÁ
Unen6dos6vértices6no6consecutivosz6sus6mediatrices6pasan6por6el6centro6del6polígonoÁ
Polígono convexo
Todos6los6vértices6del6polígono6
se6unen6de6forma6consecutivaÁ
Polígono estrellado
Nos6vamos6saltando6vértices6y6el6polígono6
cierra6después6de6dar6más6de6una6vueltaÁ
Falso6estrellado26se6superponen6varios6
polígonos6convexosÁ
Paso del estrellado:
número6de6lados6que6nos6saltamosÁ
Para6averiguar6si6un6polígono6tiene6construcción6
de6estrelladosz6y6cómo6unir6los6vérticesz6
buscamos6los6números6enterosz6
menores6que6la6mitad6del6número6de6lados6
del6polígonoz6y6de6ellos6los6que6sean6primos6
respecto6a6dicho6número6de6ladosÁ6
Ejemplo26para6el6octógono6vM6ladosíz6
los6números6menores6que6la6mitad6de6sus6
lados6son6el60z6el636y6el6yz6y6de6ellosz6
primos6respecto6a6M6solo6tenemos6el60z6
por6tanto6el6octógono6tiene6un6único6estrellado6genuino6
que6se6obtiene6uniendo6los6vértices6de606en60Á
vSuperponiendo6dos6cuadradosz6uno6de6ellos
girado6ú8ºz6obtenemos6un6falso6octógono6estrelladoíÁ6
Octógono6regular6convexo Octógono6regular6estrellado
de6paso60
Octógono6vfalsoí6estrellado
de6paso63
Observa que el área de este pentágono
equivale a cinco triángulos cuya
altura es igual a la apotema del polígono
y su base es igual al lado.
Octógono6regular6estrellado
de6paso60
Polígono regular es el que tiene sus lados y sus ángulos interiores iguales entre si.

26. IES6Calderón6de6la6Barca6P6Gijón
Dptoñ6de6dibujo
Apuntes6de6dibujo6técnico6,º6bachillerato POLÍGONOSHREGULARESHConstrucciónHdadaHlaHcircunferencia
6ñ,
Dada0la0circunferencia0(=0división0de0la0circunferencia0en0partes0iguales)
1ElóDRAEóadmiteólaóescrituraódeóhexágonoósinóhóinicialó-exágonoMóporqueóhaósidoóunaóescrituraómuyócomúnóduranteóvariosósiglos,ómientrasóqueóheptágonoósinóhóinicialó
noóhaótenidoóestaótradiciónóescrita.óóóElóDPDó-DiccionarioópanhispánicoódeódudasMóaconseja,ósinóembargo,óqueóseóprefieraólaóescrituraóqueóconservaólaóhóinicial.
Trazamos6un6diámetro6vertical6y6con6centro
en6su6extremo6inferior6L6trazamos6el6arco
de6radio6el6mismo6que6la6circunferencia
que6nos6da6los6puntos6M6y676
,
L
M 7
TriánguloHequilátero Hexágono*Hregular
Procedemos6como6en6el6caso6anterior
añadiendo6un6segundo6arco6de6centro
el6punto6,6que6nos6proporciona6los
puntos6O6y66
,
L
M 7
O 6
DodecágonoHregular
Trazamos6un6hexágono6y6después
con6tres6mediatrices6m,46mL6y6mM
obtenemos6el6dodecágonoñ
,
L
M 7
O 6
m,
mL
mM
3,060y012
40y08
Trazamos6dos6diámetros6perpendiculares
que6nos6dan6los6puntos6,46L46M6y67
Cuadrado OctógonoHregular
Procedemos6como6en6el6caso6anterior
y6después6trazamos6dos6mediatricesñ
HeptágonoHregular
Con6centro6en6punto6L6trazamos
el6arco6MP7ñ6La6mitad6de6la6cuerda6MP7
es6el6lado6del6heptágonoñ
-Completaróllevandoólaómedidaó3-M
aóambosóladosódeó1óparaóreduciróerrorMó
,
L
M 7
,
L
M 7
M
7
50y010
Trazamos6dos6diámetros6perpendiculares
que6nos6dan6los6puntos6,46L46M6y67ñ
Con6centro6en6el6punto676y6radio6el6mismo
que6la6circunferencia6trazamos6el6arco6OP6ñ
Con6centro6en6M46punto6medio6de6OP64
abrimos6el6compás6hasta6el6punto6,
y6trazamos6el6arco6que6nos6da6el6punto67ñ
La6medida6,P76es6el6lado6del6pentágono4
que6llevamos6a6partir6del6punto6,6a6ambos6
lados6para6reducir6el6error6de6trazadoñ
La6medida6OP76es6el6lado6del6decágonoñ
PentágonoHregular
Completaróelótrazado
,
L
M 7
O
6
O
,
L
M 7
O
6
O

27. IES6Calderón6de6la6Barca6L6Gijón
Dptov6de6dibujo
Apuntes6de6dibujo6técnico65º6bachillerato POLÍGONOSxREGULARESxConstrucciónxdadoxelxlado
ªv7
Con6centro6en6los6extremos656y67
y6radio6AB6trazamos6dos6arcos6que6
nos6dan6en6su6intersección6el6punto6'
7
'
Triánguloxequilátero Hexágonoxregular
Procedemos6como6en6el6caso6anterior
y6hacemos6centro6en6el6punto6'6con6la6
misma6abertura6de6compásg6trazando6la6
circunferencia6circunscrita6al6hexágonov
Luego6trazamos6arcos6con6igual6radiov
Pentágonoxregular
Levantamos6perpendicular67L'g6de6medida
igual6al6ladog6sobre6punto67v
Con6centro6en6Mg6punto6medio6de65L7g
y6radio6M'g6trazamos6arco6que6nos6dag
en6la6prolongación6de65L7g6el6punto6ív
La6medida65Lí6es6la6diagonal6del6pentágonov
3 y 6
Procedimiento general n lados dada la circunferencia
5
5
'
5 7
5 7
'
í
U
M
5
7
'
í
U
ª
(
73
lado(
5
7
'
í
U
ª
(
73
lado6dado
Dividimos6el6diámetro6vertical6en6tantas6
partes6iguales6como6lados6ha6de6tener6
el6polígonov
Con6centro6en656y676y6radio6el6diámetro
trazamos6dos6arcos6que6se6cortan6en6punto6'v
Unimos6punto6'6con67ª6división6del6diámetrov
Llevamos6la6medida6obtenida6a6ambos6lados
para6reducir6errorv
PAun6asíg6este6método6es6aproximado6y6debe
hacerse6con6gran6precisión6para6evitar6erroresá
Hacemos6la6construcción6anterior
y6luego6aplicamos6una6homotecia6
de6centro6O6para6colocar6el6datov
Procedimiento general n lados dado el lado
O
5
7
'

28. IES7Calderón7de7la7Barca7T7Gijón
DptoR7de7dibujo
Apuntes7de7dibujo7técnico7(º7bachillerato TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS
Q
LasItransformacionesIgeométricasIsirvenIparaIresolverIproblemas
Las7transformaciones7geométricas7que7conservan7la7forma7y7el7tamaño7de7la7figura7original7se7llaman7MOVIMIENTOSR
Los7elementos7DOBLES7o7INVARIANTES7en7una7transformación7geométrica7son7aquellos7que7al7
aplicarles7la7transformación7se7transforman7en7si7mismosR
Recuerda7los7conceptos7de7RAZÓN7ñaZbM7y7PROPORCIÓN7ñaZb7=7cZdMR
IGUALDAD
EQUIVALENCIA
LasItransformacionesIgeométricasIsonIoperacionesIgeométricasIqueIpermitenIcrearIunaInuevaIfiguraI
aIpartirIdeIunaIpreviamenteIdada.IEstaInuevaIfiguraIseIdenominaIHOMÓLOGAIdeIlaIORIGINAL.

29. IES7Calderón7de7la7Barca7O7Gijón
DptoM7de7dibujo
Apuntes7de7dibujo7técnico7Lº7bachillerato TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Igualdad y traslación
vML
SiR7ademásR7al7superponer7dos7figurasR7coinciden7exactamente7y7se7confunden7en7una7solaR7entonces7son7IDÉNTICASM
Dos7figuras7planas7son7iguales7si7sus7lados7y7ángulos7son7iguales7y7están7dispuestos7en7el7mismo7ordenM
Igualdad
PROCEDIMIENTOS7PARA7OBTENER7UNA7FIGURA7IGUAL7A7UNA7FIGURA7ORIGINAL7DADA
Por7triangulación Por7perpendiculares
Por7radiación Por7copia7de7ángulos7o7rodeo
A B
C
D
E O
Ay By
Cy
Dy
Ey Oy
A B
C
D
E
Ay7 By
Cy
Dy
Ey
L ' 2 3 4 Ly 'y 2y3y 4y
Ay By
Cy
Dy
Ey
A B
C
D
E
Traslación de una figura plana
Consiste7en7aplicar7a7la7figura7un7movimiento7rectilíneo7en7una7dirección7establecidaM
A
Ay
B
By
C
Cy
D
Dy
E
Ey
F
F'
AAy
A
Ay

30. IES7Calderón7de7la7Barca7'7Gijón
DptoO7de7dibujo
Apuntes7de7dibujo7técnico7Lº7bachillerato TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Giro y simetría
3Oá
Todo7giro7es7una7isometría7directaO7vla7figura7homóloga7
conserva7la7orientación7de7la7original)O
El7único7punto7doble7de7un7giro7es7su7centroO
Giro o rotación Sentido7dextrógiro:7como7
las7manecillas7de7un7reloj
magnitud7angular7positiva)
Sentido7levógiro:7sentido
anti'horario
vmagnitud7angular7positiva)
A
B
C Cf
Af
Bf
O
80º
Observa que si giramos una figura
180º obtenemos una simetría central.
(Completar el dibujo).
O
A
B
C
Simetría axial Simetría central
Los7puntos7simétricos7están77en7una7perpendicular7al7
eje7de7simetría7y7a7igual7distancia7de7élO
Los7puntos7del7eje7son7doblesO
Los7puntos7simétricos7están7alineados7con7el7centro:7
a7igual7distancia7y7distinto7ladoO
Las7rectas7simétricas7son7paralelasO
El7centro7es7punto7dobleO
Equivale7a7un7giro7de7L40ºO
A B
C
D
E
Af Bf
Cf
Df
Ef
L'Lf
á
áf
y
yf
,
,f
eje
O'B'Bf
A
Af
C
Cf

31. IES7Calderón7de7la7Barca7g7Gijón
DptoP7de7dibujo
Apuntes7de7dibujo7técnico7vº7bachillerato TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Homotecia 1
/P>
El7centro7O7es7punto7dobleP
Las7rectas7que7pasan7por7O7son7doblesP
Las7rectas7homotéticas7son7paralelasP
Homotecia
Definición
Dado77un77punto7O7del7plano7y7un7número77real7
k≠=z7se7llama7homotecia7de7centro7O7y7razón7k
a7la7transformación77geométrica7que7asocia7a7
cada7punto7P7del7plano7otro7punto7Py
k7=7razón7de7la7homotecia
k7puede7ser7positiva7úk>=k7
o7negativa7úk<=k
Si7es7negativa7el7centro7queda7entre7
los7puntos7homotéticosP
k7=7
OP
OPy
O
P
Pyk7=7('v=7(
Ejemplos
O
Py
Pk7=7v'(7=7=z<
O
Py
P
k7=7gv7 (Equivale a una simetría central)
k > 0 k < 0
k7=7(7'7v
Ay By
Cy
Dy
Ey
D
A B
CE
D
Dy
O
A
B
C
E
Cy
AyBy
Ey
k7=7gv
Resolución por homotecia de cuadrado dada
la suma del lado y la diagonal
O
O
Ay By
Cy
Dy
Ey
AB
C
E
O
k7=7g7(7'7v
D
O
k7=7v7'7>
Py
P
O
k7=7>7'7v
Py
P

32. IES7Calderón7de7la7Barca7,7Gijón
Dptog7de7dibujo
Apuntes7de7dibujo7técnico7Pº7bachillerato TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Homotecia 2
(gúgP
Homotecia y semejanza
k707M7q7P
AO BO
CO
DO
EO
D
A B
CE
O
A7efectos7prácticos7una7homotecia7y7una7semejanza7son7lo7mismoz7y7por7tantoz7se7opera7igual7en7una7que7en7otrag
La7diferencia7es7que7en7una7homotecia7siempre7hay7un7centro7de7homotecia7definidoz7las7figuras7tienen7la7misma7
orientación7y7los7segmentos7homotéticos7son7paralelosg7Por7ello7que7cuando7se7plantea7un7problema7de7homotecia7
siempre7te7dan7el7centro7o7datos7para7calcularlog7Mientras7que7en7la7semejanza7no7lo7suelen7darz7sino7que7eres7tú7el7
que7eliges7cual7te7conviene7másg7
Habitualmente7se7escoge7uno7de7los7vértices7de7la7figura7por7comodidadz7aunque7se7puede7utilizar7cualquier7punto7
incluidos7los7que7estaneestán7exterior7o7interior7de7la7figurag
Figuras semejantes
(y no homotéticas)Figuras homotéticas
(y por tanto, semejantes)
Circunferencias homotéticas
Dadas7dos7circunferenciasz7exterioresz7interiores7o7secantesz7la7recta7que7une7los7extremos7de7un7par7de7radios7
homotéticos7intercepta7a7la7que7une7los7centros7en7el7centro7de7una7homotecia7que7liga7a7las7circunferenciasg
Esta7homotecia7puede7ser7de7razón7positiva7o7negativaz7según7el7sentido7de7los7dos7radios7homotéticos7que7se7tomang
Si7las7circunferencias7son7igualesz7la7homotecia7de7razón7positiva7tiene7centro7impropio7ftraslacióná7y7la7de
razón7negativa7tiene7centro7propio7fsimetría7centralág
Nota7PN7Dos7circunferencias7tangentes7exteriores7finterioresá7tienen7un7centro7de7homotecia7coincidente7con7el
punto7de7tangencia7y7el7otro7exterior7finteriorá7a7ellas7fsalvo7que7las7circunferencias7sean7igualeság
Nota7MN7Dos7circunferencias7concéntricas7tienen7los7dos7centros7de7homotecia7fde7razón7positiva7y7negativaá7
coincidentes7con7los7de7tales7circunferencias7fhomotecia7centralág
7
k<Lk>L k<Lk>L
k<Lk>L
k<Lk>L
k<Lk>L

33. IES8Calderón8de8la8Barca8P8Gijón
DptoU8de8dibujo
Apuntes8de8dibujo8técnico8qº8bachillerato TANGENCIAS)Y)ENLACES)1
8Uq
Propiedades
La8recta8tangente8a8una8
circunferencia8es8siempre
perpendicular8al8radio
en8el8punto8de8tangencia8TU
El8punto8de8tangencia8T
de8dos8circunferencias
tangentes8siempre
pertenece8a8la8línea8de8
centros8OqOv
TOq
Ov
r
T T
Oq
Ov
La8mediatriz8m8de8una8
cuerda8pasa8siempre8
por8el8centro8de8
la8circunferenciaU
m
La8bisectriz8de8dos8rectas8
concurrentes8pasa8siempre8
por8el8centro8de8las8
circunferencias8tangentesU
t
Recta)tangente)a)una)circunferencia
en)un)punto)T)de)esta.
Rectas)tangentes)a)una)circunferencia
paralelas)a)una)dirección)dada)(d).
r
T
t
c
O
Trazamos8el8radio8OT
y8por8T8trazamos8la
perpendicular8al8radioU
Tv
tv
c
O
d
Trazamos8un8diámetro
perpendicular8a8la
dirección8dadaU
Los8extremos8de8dicho
diámetro8son8los8puntos
de8tangencia8Tq8y8TvU
Trazamos8las8tangentes
tq8y8tv8paralelas8a8la
dirección8dadaU
tq
Tq
Rectas)tangentes)a)una)circunferencia)desde)un)punto)exterior)a)esta.
P O
c
Tq
Tv
tq
tv
Utilizamos8el8lugar8geométrico8de8Thales:
asíx8trazamos8la8circunferencia8de8
diámetro8OPx8que8cortará8a8la8
circunferencia8dada8c8en8los8puntos
de8tangencia8Tq8y8Tv
Observa8cómo8en8dichos8puntos8los8
radios8son8perpendiculares8a8las8tangentesU
2Lugar8geométrico8de8Thales:8arco8capaz
de89,ºzU

34. IES8Calderón8de8la8Barca8Y8Gijón
Dpto(8de8dibujo
Apuntes8de8dibujo8técnico8"º8bachillerato TANGENCIAS Y ENLACES 2
8(g
Rectas tangentes comunes exteriores a dos circunferencias
O"
Og
cg
T:
T"
t"
tg
Rectas tangentes comunes interiores a dos circunferencias
R - r
R + r
r
r
R8Y8r
c"
aux
Tg
Tq
"
g
Por8medio8de8una8dilatación
transformamos8las8dos8
circunferencias8dadas8en
un8punto8O"8y8una8circunferencia
auxiliar(
Restamos8r"8a8la8circunferencia
cg8y8obtenemos8la8auxiliar,
cuyo8radio8es8R8Y8r(
Ya8tenemos8una8circunferencia
Pauxm8y8un8punto8PO"m(
Ahora8podemos8resolver8
Otangentes8desde8un8punto8
a8una8circunferenciaO,8obteniendo
los8puntos8"8y8g(
Ahora8procedemos8a8revertir
la8dilatación:
Desde8Og8prolongamos8radios
que8pasan8por8"8y8g8hasta
cortar8a8cg,8obteniendo8T"8y8Tg(
Por8O"8trazamos8radios
paralelos8a8los8OT"8y8OTg,
obteniendo8T:8y8Tq
O"
Og
cg
T:
T"
t"
tg
r
r
R8y8r
c"
aux
Tg
Tq
"
g
R
En8este8caso8sumamos8
los8radios8de8las8circunferencias
dadas(
Observa8que8los8radios8paralelos
van8cruzados(
Nota: si no te acuerdas de si
hay que restar o sumar radios,
simplemente haz un croquis
rápido.

35. IES8Calderón8de8la8Barca8-8Gijón
Dpto.8de8dibujo
Apuntes8de8dibujo8técnico81º8bachillerato TANGENCIAS.Y.ENLACES.3
8.3
Circunferencia.que.pasa.por.un.punto.P,.dado,.
y.es.tangente.a.una.recta,.r,.conocido.el
punto.de.tangencia,.T,.en.la.recta.
O lo que es lo mismo,
Circunferencia.que.tiene.el.centro
sobre.una.recta.n,.pasa.por.un.punto.,.T,.de.ella
y.por.otro.punto.P.exterior.
Circunferencia.que.pasa.por.un
punto.P,.dado,.y.es.tangente.
a.otra.circunferencia.c.también.dada,
conocido.el.punto.T.de.contacto.
Circunferencias.tangentes.a.dos.rectas.dadas,
conocido.el.punto.de.tangencia.en.una.de.ellas.
O lo que es lo mismo,
Circunferencias.que.tienen.su.centro.sobre.
una.recta.n,.pasan.por.un.punto.T.de.ella
y.son.tangentes.a.otra.recta,.r.
Circunferencias.tangentes.a.una.recta.y
una.circunferencia.dadas.conocido.el.punto
de.tangencia.en.la.circunferencia.
T
r
O
P c
O
O1
P
T
Si el punto P pertenece a c la solución es la propia c.
Dibújalo con el punto P interior a c.
t
T
T1
O1
O2
T2
n
r
t
T
T1
O1
O2
T2
r
c
O

36. IES8Calderón8de8la8Barca8R8Gijón
Dpto,8de8dibujo
Apuntes8de8dibujo8técnico8Uº8bachillerato TANGENCIAS2Y2ENLACES24
8,4
Circunferencias2tangentes2a2tres2rectas
que2se2cortan2dos2a2dos.
r
s
O2
O3
O4
OU
Las8circunferencias8que8buscamos8son8la8inscrita8y8las8exinscritas8
al8triángulo8que8forman8las8tres8rectas8dadas,
Recuerdag8para8ganar8tiempo8en8el8trazadog8que8las8bisectrices8
interiores8y8exteriores8son8perpendiculares,
t
Circunferencias2tangentes2a2otras2dos2
circunferencias2dadas,2conocido2un
punto2T12de2tangencia2en2una2de2ellas.
OU
TU
O4
O2
O3
T3
T2
A
B
cU
c2
r
Datos:BcircunferenciasBc1ByBc2ByBpuntoBdeBtangenciaBT1
queBperteneceBaBc1
1.8Trazamos8la8recta8r8que8pasa8por8el8centro8OUy8por8
el8punto8de8tangencia8TU
Trasladamos8los8segmentos8TUA8y8TUB8iguales8al
radio8de8c2,
Unimos8A8y8B8con8O2
2.8Trazamos8las8mediatrices8de8O2A8y8O2B,
Las8intersecciones8de8dichas8mediatrices8con8
la8recta8r8son8los8puntos8O38y8O4
centros8de8las8soluciones,
3.8Obtenemos8los8puntos8de8tangencia8T28y8T3
uniendo8O38y8O48con8O2
Análisis:
LosBcentrosBtienenBqueBestarBenBlaBrectaBrBqueBpasaB
porBO1ByBporBelBpuntoBdeBtangenciaBT1
ObservaBque,BsupuestoBresueltoBelBproblema,BsiB
hacemosBcentroBenBO3BconBradioBO3O2B=BO3BBtrazaríamos
unaBcircunferenciaBconcéntricaBaBlaBqueBbuscamos,
esBdecir,BconBelBmismoBcentroBO3B
ElBsegmentoBBO2BesBunaBcuerda
deBdichaBcircunferencia.BSuBmediatrizBtieneBqueBpasarB
porBelBcentroBO3BqueBesBelBqueBbuscamos.
ElBmismoBrazonamientoBconBelBpuntoBAByBO4
Trazar2una2recta2tangente2a2un2arco2de2
circunferencia,2de2centro2desconocido,2
dado2el2punto2de2tangencia2T
T

37. IES8Calderón8de8la8Barca8á8Gijón
Dpto.8de8dibujo
Apuntes8de8dibujo8técnico81º8bachillerato TANGENCIAS Y ENLACES 5
8.5
Circunferencias de radio dado
tangentes a una recta.
Trazando8paralelas8a8la8recta8a8una8distancia8
igual8al8radio8obtenemos8el8lugar8geométrico
de8los8centros8de8las8posibles8soluciones.
s
r
r
LG1
LG2
Circunferencias de radio dado
tangentes a una circunferencia.
c.8dada
LG1
LG2
Sumando8y8restando8el8radio8obtenemos8el8LG
de8los8centros8de8las8posibles8circunferencias.
r r
Circunferencias de radio dado
tangentes a una circunferencia
y a una recta.
c.8dada
LG1
LG2
r r
LG3
LG4
r
r
El8número8de8soluciones8depende8de8los8
datos8y8la8posición8de8estos.
Los8centros8de8las8soluciones8están
donde8se8cortan8los8LG.
Circunferencias de radio dado
tangentes a dos circunferencias.
c.8dada81
LG1
LG2
c.8dada82LG3
LG4
En8este8caso8tenemos888soluciones.

38. IES8Calderón8de8la8Barca8,8Gijón
Dpto=8de8dibujo
Apuntes8de8dibujo8técnico8)º8bachillerato TANGENCIAS Y ENLACES 6
P=M
Enlace de dos rectas concurrentes por medio
de un arco de radio conocido.
Trazamos8paralelas8a8las8rectas8a8una8distancia8
igual8al8radio=
Los8puntos8de8tangencia(enlace8los8conseguimos8
trazando8perpendiculares8desde8el8centro8O=
s
Enlace de dos rectas paralelas mediante dos arcos del mismo
o distinto sentido, dados los puntos de enlace A y B.
Enlace de dos rectas paralelas mediante
dos arcos de igual radio, dados los
puntos de enlace A y B.
r
O
T)
Tá
radio8dado
radio8dado
)=8Trazamos8perpendiculares8por8A8y8B=
á=8Sobre8las8perpendiculares8llevamos8una
distancia8cualquieraq8tal8que8AO)8=8BC=8Observa8que8para8obtener8los8dos8arcos8con8el8mismo8sentido8Ofig=8á28el8radio
desde8O)8debe8ser8tal8que8el8punto8B8quede8dentro8de8la8circunferencia8de8centro8O)=8Si8queda8fuera8Ofig=8)28el8enlace
será8con8arcos8de8distinto8sentido=
3=8Dibujamos8la8mediatriz8del8segmento8O)C=
Esta8mediatriz8corta8a8la8perpendicular8por8B8en8Oácentro8del8segundo8arco=888
O)
A
B
C
Oá
)=8Unimos8A8y8B8con8una8recta=
á=8Hallamos8punto8medio8M8de8AB=
3=8Mediatrices8de8AM8y8BM=
U=8Por8A8y8B8levantar8perpendiculares
que8cortan8a8las8mediatrices
en8los8centros8de8las8soluciones=
A
B
MO)
Oá
O)
A
B
C
Oá
Fig. 2
Fig. 1

39. IES8Calderón8de8la8Barca8P8Gijón
Dpto38de8dibujo
Apuntes8de8dibujo8técnico81º8bachillerato TANGENCIASmYmENLACESm7
837
Enlacemdemdosmrectasmsecantesmconmdosmarcos
demsentidomcontrariomdadosmlosmpuntosmT1mymT2m
demenlacemymelmradiomdemunomdemlosmarcos.
Trazamos8paralelas8a8las8rectas8a8una8distancia8igual8al8radio3
Obtenemos8O18y8A8en8las8perpendiculares8por8T18yT28
Unimos8A8y8O18con8un8segmento8cuya8mediatriz8nos8da8O2
El8punto8de8enlace8B8en8la8línea8de8centros3
s
Enlacemdemcircunferencias.
EnlacemdemunmarcomdemcircunferenciamdemradiomR
ymunamrectammediantemunmarcomdemsentidomcontrario
ymdemradiomR1mdado.
r
O1
T1
T2
radio8dado
radio8dado
Consiste8en8sumar8o8restar8radios3
Esto8se8usa8mucho8para8trazar8hallar8los8centros8de8los8arcos8de8enlace8en8piezas3
Los8puntos8de8enlace8siempre8en8la8línea8de8centros388
O2
A
Datos : r, s, T1, T2
radio
B
s
O1
T2
O2
R1
R1
Paralela8a8la8recta8y8sumar8radio8al8arco3
Donde8se8cortan8es8el8centro8O28del8arco8solución3
O1
O2
O3

40. IES9Calderón9de9la9Barca9O9Gijón
Dpto39de9dibujo
Apuntes9de9dibujo9técnico9Pº9bachillerato CURVAScTÉCNICAS
93P
Óvalo
Óvalocóptimo.
Es9el9compuesto9por9arcos9que9pasan
por9el9incentro9,y9son9tangentes9en9élf9
del9triángulo9rectángulo9BACí9formado
por9las9tangentes9en9los9extremos9de9
los9semiejes9y9la9hipotenusa9BC
que9une9dichos9extremos3
Regióncdecloscóvaloscdecejescdados.
Curva9cerrada9plana9con9dos9ejes
de9simetría9perpendicularesí9compuesta9por9
cuatro9arcos9de9circunferencia9tangentesí
iguales9dos9a9dosí9cuyos9centros9pertenecen
a9dichos9ejes9de9simetría3
OOP
O:
OL
OT
centros9OP9y9OL9radio9rP
centros9O:9y9OT9radio9rL
Para9dos9ejes9dadosí9existen9tantos9óvalos9como9
configuraciones9pueden9obtenerse9variando9los9radios3
Los9casos9límite9serían:
rP9igual9a9cero:9figura9apuntada9con9forma9de9vesica3
rP9igual9a9semije9menor:9forma9oblonga39
En9este9caso9el9cambio9de9
curvatura9es9mínimo3
La9recta9que9une9los9centros9es9
perpendicular9a9la9hipotenusa
y9pasa9por9el9incentro9I3
I
B
CA
OP
OL
OP
OL
O
Trazado9práctico3
Trazadocacpartircdecunccírculoc
(útilcparacperspectivacisométrica).
Trazadocacpartircdecunccuadrado
encperspectivacisométrica.

41. IES9Calderón9de9la9Barca9f9Gijón
Dptoú9de9dibujo
Apuntes9de9dibujo9técnico93º9bachillerato CURVAS.TÉCNICAS
9ú4
Óvalo.dados.sus.ejes.y.uno.de.sus.radios.(construcción.por.dilatación)
Óvalo.dados.sus.ejes.
Empleamos9la9construcción9anteriorú9yver9dibujo9de9la9izquierdaáú9Situamos9los9ejes9y9llevamos9un9radio9r39cualquiera9
sobre9el9eje9mayor9ya9partir9de9Aáú9Esto9ya9nos9condicionará9r4
O3
O4
Trazado.del.arco.carpanel.
Llevamos9r39desde9C9
hacia9abajo9obteniendo9el9
punto9Sú
Unimos9S9con9O39y9su9
mediatriz9nos9da9O4
La9operación9se9efectúa9
restando9radiosú
Dado.el.radio.menor.r1
r39=9O3A9=9O3T9=9CS r49=9O4C9=9O4T9=9AS
Dado.el.radio.mayor.r2
OO3
O4
A
C
S
T
r3
OO3
O4
C
S
T
r4
A
T
O3
S
O4
C
r49f9r3
T
O3
S
O4
Cr49f9r3
Llevamos9r49sobre9el
eje9mayor9a9partir9de9A9obteniendo
el9punto9Sú
Trazados.sencillos.de.óvalos.de.eje.mayor.dado..
O,
O3 O4
O,
Og
O3 O4
flecha
luz
El9arco9carpanel9es9un9arco9rebajadoú
Se9utiliza9la9mitad9de9un9óvaloú
Dada9una9determinada9flechaU9
se9ha9generalizado9el9trazado9y9
construcción9del9carpanel9óptimoU
que9utiliza9la9mitad9de9un9óvalo9óptimoú
arco
carpanel
arco9de
medio9punto

42. IES9Calderón9de9la9Barca9,9Gijón
Dptoz9de9dibujo
Apuntes9de9dibujo9técnico9:º9bachillerato CURVAS TÉCNICAS
9z3
El ovoide
Trazado sencillo del ovoide
dado su eje menor.
Curva9cerrada9y9plana9formada9por9arcos9de9circunferencia9tangentes9con9un9solo9eje9de9simetríaz
Construcción del ovoide dados sus ejes.
Trazado del ovoide dado su eje mayor.
O:
O2
O3 O4
4r2r
r
O:
O2
O3 O4
Dividimos9el9eje9mayor9en9seis9partes9igualesz
Las9dos9primeras9se9toman9como9radio9de9
la9circunferencia9O:9y9la9última9como9radio9de9la9O2
O:
O2
O3 O4
Desde9O:ú9punto9medio9del9eje9menorú
trazamos9una9semicircunferenciaz
Como9en9el9caso9del9óvalo9construido
por9dilataciónú9para9hallar9los9otros9centros
partimos9de9un9arco9de9radio9arbitrario9
que9llevamos9desde9B9sobre9el9eje9mayor
y9desde9C9sobre9el9eje9menorú9en
ambos9casos9hacia9dentroú9obteniendo
los9puntos9:9y9O2z
Mediatriz9de9:,29nos9da9el9centro9O3z
O39simétrico9de9O49respecto9al9eje9mayorz
O:
O2
O3 O4C
B
A
D:
Aplicación9del9ovoide9para
conducciones9hidraúlicas:
conforme9aumenta9el9caudalú
se9incrementa9también9la
superficie9de9rozamientoú
consiguiendo9una9velocidad
uniformez9

43. IES9Calderón9de9la9Barca939Gijón
DptoL9de9dibujo
Apuntes9de9dibujo9técnico97º9bachillerato CURVAS TÉCNICAS
9LT
Espiral de Arquímedes o espiral aritmética
7L39Dividimos9el9segmento9cuya9longitud9
es9igual9al9paso9de9la9espiral9deseada9en9un9
nº9cualquiera9de9partes9iguales29por9ejemplo9
doce29en9un9número9de9partes9igualesL9
Se9trazan9circunferencias9concentricas9
que9pasan9por9todas9las9divisionesL9
Cuantas9más9divisiones9más9puntos9
se9obtendrán9para9trazar9la9espiralL
9
98L39Se9dividen9las9circunferencias9
en9el9mismo9nº9de9partes9iguales
que9el9segmento9original9
y9se9trazan9los9radios9respectivosL9
9
0L39Las9intersecciones9de9cada9radio9
con9sus9arcos9correspondientes9nos9
determinan9los9puntos9de9la9espiral29que9
se9unen9a9mano9alzadaL
Espiral de Teodoro
7
7
7
7
8
0T
í
(
)
8
9
76 77 78
70
7T
7í
7(
7)
También9llamada9espiral9de9raíces9cuadradas2
espiral9de9Einstein9y9espiral9pitagóricaL
Lleva9el9nombre9del9matemático9pitagórico
Teodoro9de9Cirene9úT(í9aC9390989aCzL

44. IES9Calderón9de9la9Barca9z9Gijón
Dptoq9de9dibujo
Apuntes9de9dibujo9técnico91º9bachillerato CURVAShTÉCNICAS
9q5
Volutas
Curva9abierta9y9plana9formada9
por9arcos9de9circunferencia
tangentesq
Las9volutas9están9formadas9por9arcos
de9circunferencia9tangentes9entre9siq
Por9tantox9en9rigorx9no9son9espiralesq
Los9centros9de9dichos9arcosx9si9son9
más9de9dosxforman9un9polígono9regularq
Las9volutasx9como9los9óvalosx9no9existen9en
la9naturalezax9son9una9construcción9humana
que9simplifica9las9formasx9pues9son9más
fáciles9de9construirq
Volutahdehdoshcentros
En9arquitecturax9la9voluta9es9el9principal9ornamento
del9capitel9de9orden9jónicoq9Posteriormente9sería
utilizada9en9el9renacimiento9y9en9el9barrocox9así9como
en9mueblesx9cerámicaq
Volutahdehtreshcentros Volutahdoblehdehtreshcentros
Bombahcentrífugahdehvoluta,hRichards,h1894

45. IES9Calderón9de9la9Barca9O9Gijón
Dpto29de9dibujo
Apuntes9de9dibujo9técnico95º9bachillerato CURVAS TÉCNICAS
92(
Espiral logarítmica
Esta9curva9se9encuentra9en9numerosos
fenómenos9de9la9naturaleza:9galaxiasq
ciclonesq9conchas9marinasq9el9vuelo9de
un9halcón9hacia9su9presa222
La9espiral9logarítmica9se9distingue9de9la9
espiral9de9Arquímedes9por9el9hecho9
de9que9las9distancias9entre9su9brazos9
se9incrementan9en9progresión9geométricaq9
mientras9que9en9una9espiral9de9
Arquímedes9estas9distancias9son9constantes2
O B
A
C
D
OT
Oá
Oy
OP
O5
En9esta9curva9el9movimiento9de9traslación9
no9es9uniformeq9sino9que9sigue9una9progresión9
geométricaq9de9tal9modo9que9el9paso9es9variable2
Construcción:9
529Trazamos9dos9ejes9perpendiculares9entre9síq9
que9se9cortan9en9el9punto9O29
Dibujamos9un9triángulo9rectángulo9ABOq9cuyos9
catetos9formen9con9la9hipotenusa9
los9ángulos9que9se9quieren9dejar9constantes9
durante9el9recorrido9del9punto9generador29
Partimos9del9triángulo9escogido9ABO2
T29Por9el9punto9B9trazamos9una9perpendicular9
a9la9hipotenusa9ABq9lo9que9nos9determina9
sobre9el9otro9eje9el9punto9C9por9el9queq9
a9su9vezq9trazamos9otra9perpendicular9
al9segmento9BCq9obteniendo9
el9punto9D9sobre9el9otro9ejeq9
y9así9sucesivamente2
á29Trazamos9las9mediatrices9de9los9segmentos9
ABq9BCq9CDq9etc2q9y9éstas9cortan9
a9las9bisectrices99de9los9ángulos9rectos9
que9forman9la9línea9poligonal9definida9por9ellosq9
obtenemos9los9centros9O5q9OTq9Oáq9etc2q9
de9los9diferentes9arcos9de9circunferencia9
que9configuran9la9espiral29
xTomamos9de9radio9para9O59
su9distancia9al9punto9A,2
9

46. IES9Calderón9de9la9Barca959Gijón
Dpto89de9dibujo
Apuntes9de9dibujo9técnico9úº9bachillerato CURVAS
980
Espiral áurea
Es9un9caso9particular9de9la9espiral9logarítmica3
basada9en9la9proporción9áurea9o9gdivina9proporcióng3
que9estudiaremos9con9más9detalle9el9próximo9curso8
Espiral de Fibonacci
F
(
ú
ú
z
)
ú(
Fú
(L
zz
)9
Es9una9aproximación9a9la9espiral9áurea9basada9en9la9sucesión9infinita9de9números9naturales9de9Fibonacci9
vLeonardo9Bonazzi9o9Leonardo9de9Pisa39c39úú0f959c8úFzfq999(Traza la curva)

47. IES0Calderón0de0la0Barca0F0Gijón
Dpto'0de0dibujo
Apuntes0de0dibujo0técnico01º0bachillerato CURVAS CÓNICAS
1P'1
Cónicas
El0plano0es0oblicuo0al0eje0del0cono
y0corta0a0todas0las0generatrices'
Caso0particular:0si0el0plano0es
perpendicular0al0eje)0tenemos0
una0circunferencia'
El0plano0es0oblicuo0o0paralelo
al0eje0del0cono0y0paralelo0a
dos0generatrices'
Curva0abierta0con0dos0ramas'
El0plano0es0oblicuo0al0eje0
y0paralelo0a0una0generatriz'
Curva0abierta0con0una0rama'
Hipérbola ParábolaElipse
Son0las0curvas0que0resultan0al0seccionar0una0superficie0cónica0con0un0plano'
zLa0superficie0cónica0completa0de0revolución0es0engendrada0por0una0recta)0llamada0generatriz)0que0gira0alrededor0de
un0eje0al0que0corta0en0un0punto)0llamado0vérticeq'0
Para ver mejor las cónicas, se recomienda ver animaciones, que puedes encontrar en Youtube y en Geogebra.
Cónicas0degeneradas:0cuando0el0plano0pasa0por0el0vértice)0podemos0tener0un0punto)0dos0rectas0o0una0recta'
directriz
F
plano de la directriz
Fv
directriz0d
directriz0dv
F
plano de la directriz
plano
de la directriz directriz0dv
plano de la directriz
plano de la directriz
directriz0d
Fv
F
Esferas de Dandelin
Descubiertas0por0el0matemático0belga0GP0Dandelin'0Interiores0al0cono)0
Son0tangentes0al0plano0secante0y0a0la0superficie0cónica'0Su0punto0de0contacto0con0el0plano0secante0es0el0foco0o0focos'

48. IES0Calderón0de0la0Barca0/0Gijón
Dptof0de0dibujo
Apuntes0de0dibujo0técnico0Pº0bachillerato CÓNICASu
P'fT
Elipse
Curva0cerrada0y0plana0lugar0geométrico0de0los0puntos0cuya0razón0de0distancias0a0un0punto0FFoco)0y0
a0una0recta0FDirectriz)0es0constante=0igual0a0la0excentricidad0e0siendo0e0<0cOa
Curva0cerrada0y0plana0lugar0geométrico0de0los0puntos0cuya0suma0de0distancias0a0dos0puntos0fijos
llamados0focos0es0constante0e0igual0a0Ta0<0eje0mayorf
Elementos de la elipse
Simetrías Diámetros
Vértices Focos
Radiosuvectores
O
OA B
C
D
F F(
P
P(
OA B
C
D
F F(
O
A B
C
D
F F(
a
c
b
OA B
F F(
Tc
Ta
Toda0cuerda0que0pase0por0el0centro0es0un0
diámetro0de0la0elipsef
Dentro0de0los0infinitos0diámetros0posibles=0hay0unos0
pares0llamados0diámetrosuconjugados=0como0MM(0y0NN(=0
en0los0que0se0cumpleí0PX0<0PX(
La0elipse0tiene0cuatro0vértices0que0son
los0puntos0donde0los0ejes0cortan0a0la0curvaf
Las0magnitudes0de0los0ejes0se0designaní
ABu=uejeumayoru=u2a
CDu=uejeumenoru=u2b
Son0los0puntos0F0y0F(0sobre0el0eje0mayorf
Son0simétricos0con0respecto0al0centro0Of
FFfu=udistanciaufocalu=u2c
Observa0el0triángulo0rectángulof00000a2
u=ub2
u+uc2
Son0los0segmentos0que0unen0cualquier
punto0de0la0curva0con0los0focosf
Su0suma0es0constante0y0se0cumpleí
uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuur1u+urf1u=u2a
Los0elementos0de0simetría0soní
Dos0ejes0AB0y0CD0perpendiculares0entre0sif
Un0centro0O0de0simetríaf
e0<0
c
a
Mide0el0grado0de0achatamiento0de0la0elipseU0sus0límites0soní0'0;0e0;0P
e0<0'000c0<0'000circunferencia
e0<0P000c0<0a000segmento0FF(
P
M
M(N
N(
X
X(
OA B
C
D
F F(
P
rP
r(P
Directricesuyuexcentricidad
O
A
B
F F(
d
P
e0<0
PF
Pd
Las0directrices0son0dos0rectas0asociadas0
a0los0focos0en0las0que0se0cumple0la0constanteí
La0excentricidad0también0se0puede
expresar0como0el0cociente0de0los0parámetros0c0y0a

49. IES0Calderón0de0la0Barca0z0Gijón
DptoN0de0dibujo
Apuntes0de0dibujo0técnico0xº0bachillerato CÓNICAS
x=NqNx
Elipse. Circunferencia principal.
OF Fy
La0circunferencia0principal0de
una0elipse0tiene0por0centro0O
y0su0diámetro0es0qa0áeje0mayormN
Es0el0lugar0geométrico0de0los
pies0de0las0perpendiculares0
a0las0tangentes0trazadas0
desde0los0focosN
Nos0permite0trazar0la0elipse0
por0envolventesN0
F Fy
O
Elipse. Circunferencias focales.
O
F Fy
La0elipse0tiene0dos0circunferencias0focalesN
Sus0centros0son0los0focosN
Su0radio0es0qa0álongitud0del0eje0mayormN
Son0los0lugares0geométricos0de0los0puntos
simétricos0de0los0focos0respecto0a0las0tangentesN
Fyx0simétrico0de0Fy
Fx0simétrico0de0F
tangente
Elipse. Rectas directrices.
e0=0excentricidadN0Constante0que0mide0el0grado0de0achatamiento0
de0la0elipse;0sus0límites0son:0=0<0e0<0x
e0=0=000circunferencia00000000000000000e0=0x000segmento0FFy
O
A
B
F Fy
dy
P
e0=0
PF
PD
d
D
Para0cualquiera0de0las0secciones0cónicasg0
la0distancia0de0un0punto0fijo0áel0focom0
es0proporcional0a0la0distancia0desde0
una0línea0fija00llamada0directrizN0
Esta0constante0de0proporcionalidad0
es0llamada0excentricidadN
La0elipse0tiene0dos0directricesg
perpendiculares0al0eje0mayorN
En0la0figura0vemos0las0directrices0d0y0dyg0
son0la0intersección0del0plano0en0el0cual0surge
la0cónica0áplano0cm0con0los0planos0a0y0bg0
perpendiculares0al0eje0del0conog0que0
contienen0las0circunferencias0de0tangencia0
de0las0esferas de Dandelin0con0la0superficie0cónicaN
Observa0los0focos0de0la0elipseg0son0los0puntos0
de0tangencia0de0las0esferas0con0el0plano0cN0
Fy
d
dy
Trazado0para0obtener0las0directricesN
F
c
a
b

50. IES0Calderón0de0la0Barca0,0Gijón
Dptof0de0dibujo
Apuntes0de0dibujo0técnico0qº0bachillerato CÓNICASv
q3fáfá
Trazadovdevlavelipse.v
OF F:
Esta0construcción0se0basa0en0el0criterio
de0lugar0geométricoV0PF0x0PF:0M0AB0M0áaf
Se0toman0puntos0auxiliares0sobre0el
eje0mayory0entre0el0centro0y0un0focof
A0continuación0se0trazan0arcos0de0
circunferencia0FPqy0FPáy0FPv00fff0de0radios0
Aqy0Aáy0Av0fff0que0se0cortarán0
correlativamente0con0los0arcos0F:Pqy0F:Pá0fff
y0radios0Bqy0Báy0ffff
Se0unen0los0puntos0a0mano0alzadaf
Trazadovporvafinidad
Se0trazan0dos0circunferencias0de0centro0O
y0diámetros0la0longitud0d0elos0ejesf
Se0toman0puntos0P:y0Q:y0R:0fff0en0la
circunferencia0mayor0y0se0obtienen0sus0
homólogos0Py0Qy0R0fffy0que0son0de0la0elipsey
en0la0intersección0de0las0paralelas0a0los0ejesf
Trazadovdadosvdosvdiámetrosvconjugadosv(porvafinidad)
Construcciónvporvpuntos
La afinidad es una transformación geométrica que veremos el próximo curso.
DatosV0de0los0tres0parámetros0ay0by0c0nos0dan0dosf
Dos0diámetros0conjugados0son0aquellos0que0corresponden0a0la0proyección0Pcilíndrica+
de0dos0diámetros0de0la0circunferencia0que0se0cortan0perpendicularmentef
Un0diámetro0conjugado0pasa0por0los0puntos0medios0de0las0cuerdas0paralelas0al0otrof
qáv
A B
Pq
Pá
Pv
Esta0construcción0se0basa0en0la
afinidad0entre0circunferencia0y0elipsef
OO
A B
C
D
P:
P
TrazadovporvenvolventesvVer0Ocircunferencia0principal0Phoja0q3fq+
X
X:
O
M
M:N
N:
P
PV0punto0medio0de0XX:
OA B
C
D
M
M:
N
N:
O
M
M:
N
N:
U3º
M
M:
N
U3º
O
N:
Trazamos0una0perpendicular0al0diámetro
mayor0y0dibujamos0la0semicircunferencia
de0diámetro0NN:
Observa0que0la0elipse0sobresale0
de0la0circunferencia0NN:

51. c
a
b
FgF
c
a
FgF
P
FgF
P
O AgA
B
Bg
IESéCalderónédeélaéBarcaé:éGijón
Dptoqédeédibujo
Apuntesédeédibujoétécnicoé(ºébachillerato CÓNICASg
(zq)
Hipérbola Lugarégeométricoédeélosépuntosédeléplanoécuyaédiferenciaédeédistanciaséaédosépuntoséfijosé
llamadoséfocoséeséconstanteqéElélugaréeséunaécurvaéabiertaéplanaédeédoséramasq
También:élugarégeométricoédeélosécentrosédeélasécircunferenciasétangenteséaéotraédadaé
queépasanéporéunépuntoéfijoéexterioréaééstaq
PFg-gPFíg=g2a
Focos:ésonélosépuntoséfijoséFéyéFgq
Ejegprincipalgogreal:éAAgéenélaérectaéqueépasaéporéloséfocosq
Ejegsecundariogogimaginario:éBBgéenélaémediatrizédelésegmentoéFFg
Centro:épuntoéOéintersecciónédeélosédoséejesq
Vértices:élosépuntoséAéyéAgésonélosévérticesérealesq
LosépuntoséBéyéBgésonélosévérticeséimaginariosq
Radiosgvectores:ésonélosésegmentoséPFéyéPFgéqueévané
desdeéunépuntoédeélaéhipérbolaéaéloséfocosq
Suédiferenciaéeséconstanteq
LosépuntoséBéyéBgéseéobtienenéenélaéintersecciónédel
ejeésecundarioéconélaécircunferenciaédeécentroéAgéyéradioécq
Distanciagfocalém2cy:éeséelésegmentoéFFgé=é2cé
Ejeémayorém2ay:ésegmentoéAAgé=é2a
Ejeémenorém2by:ésegmentoéBBgé=é2b
Simetrías:élosédoséejesésonéejeédeésimetríaq
c2
g=ga2
g+gb2
Asíntotas:ésonélasédosérectaséqueépasanéporéel
centroéyéqueétiendenéaéacercarseéaélaécurvaé
sinéencontrarseénuncaémtangenteséenéeléinfinitoyq
SeétrazanéconstruyendoéelétriánguloéOMAgq
Cuandoélaséasíntotaséformanéunéánguloédeé=íº
conéeléejeérealélaéhipérbolaéseéllamaéequiláteraq
Elementos de la hipérbola
O Ag
M
b
asíntota
asíntota

52. IES0Calderón0de0la0Barca0g0Gijón
DptoF0de0dibujo
Apuntes0de0dibujo0técnico0=º0bachillerato CÓNICAS
=íFPF=
Hipérbola
ExcentricidadM0mide0la0mayor0o0menor0abertura0de0las0ramas0de0la0curvaF0
A0mayor0valor0de0excentricidadL0mayor0aberturaF0(la0curva0se0acerca0a0la0directrizzF
A0menor0valorL0la0curva0se0acerca0al0eje0realL0adoptando0una0forma0apuntadaF
La0hipérbola0también0puede0definirse0como0el0
lugar0geométrico0de0los0puntos0cuyo0cociente0de0distancias0
a0un0punto0fijo0F0llamado0foco0y0a0una0recta0fija0d0llamada0
directrizL0es0una0constante0mayor0que0=F0
Esa0constante0es0la0excentricidadF0
La0hipérbola0tiene0una0directriz0para0cada0focoF
Las0directrices0se0obtienen0en0la0intersección0de0las0
asíntotas0con0la0circunferencia0principalF
e0<0c0q0a e0<0PF0q0PD00
F,F
P
D
d,d
F,F
T
Circunferencia principal
Su0centro0es0O0y0su0diámetro00/aF
O
F,F
Circunferencias focales
Sus0centros0son0los0focos0y0su0radio0/aF
O
Se0denomina0diámetro0real0de0la0hipérbola0a0cualquier0recta0
que0pase0por0el0centro0y0corte0a0la0curvaF0(Ver0MNz0
Se0denomina0diámetro0imaginario0a0cualquier0recta0que0
pase0por0el0centro0y0no0toque0a0la0curvaF0(Ver0RSz0
El0sector0correspondiente0a0los0diámetros0
imaginarios0está0determinado0por0las0asíntotasF
Diámetros conjugados
El0diámetro0conjugado0RS0de0uno0dado0MN0es0el0lugar0geométrico0
de0los0puntos0medios0de0las0cuerdas0paralelas0a0élF0
Si0un0diámetro0es0realL0su0conjugado0es0imaginarioL0y0viceversaF
Las0tangentes0a0la0hipérbola0(Ver0t=0y0t/z0en0los0extremos0de0un0
diámetro0real0son0paralelas0al0diámetro0conjugado0imaginarioF
La0circunferencia0focal0de0un0foco0es0el0lugar0
geométrico0de0los0puntos0simétricos0del0otro0
foco0con0respecto0a0cualquier0tangente0a0la0hipérbolaF
Es0el0lugar0geométrico0de0los0pies0de0las0perpendiculares0
a0las0tangentes0desde0los0focosF
Es0también0el0lugar0geométrico0de0los0puntos0
medios0entre0un0foco0y0su0simétrico0respecto0a0la0tangenteF
El0punto0TL0punto0de0contacto0de0una0tangente0con0la0curvaL0
está0alineado0con0un0foco0y0el0simétrico0del0otro0con0respecto0
a0esa0tangente0(ver0línea0de0puntos0en0el0dibujozF0
La0tangente0es0bisectriz0del0ángulo0formado0por0TL0F0y0F=F
t
M
F=
simétrico
de0F
Diámetros
t=
t/
M
N
R
S
Directrices y excentricidad
y0también
=0R0e0R0
2
e0<0=00000c0<0a0000000dos0semirrectas
e0<00000000a0<0í0000000mediatriz0de0FF,
2

53. FF=
Py
O AA=
FF=
IESsCalderónsdeslasBarcasfsGijón
DptoLsdesdibujo
Apuntessdesdibujostécnicosyºsbachillerato CÓNICAS
ygLTLí
Hipérbola
PFsfsPF=s=sía
MarcamosspuntossyHsíHsqLLLssobreselsejesprincipalL
HacemosscentrosenselsotrosfocosconsradiosA=yHsA=íHsA=qLLL
HacemosscentrosenselsfocosFstomandoscomo
radioslasdistanciasAyHsAíHsAqLLL
Losspuntossdeslasotrasramasdeslascurvassesconsiguen
conslasmismasoperaciónHsinvirtiendoslosscentrossFsysF=H
osbiensporssimetríaL
Consestesmétodosobtenemossparejassdesradios vectoresH
cuyasdiferenciassiempresessconstantesesigualsasíaL
PrimerossituamossunspuntosPsdeslascurvaH
obtenidosmedianteselsmétodosanteriorL
Trazado de la hipérbola por puntos
1 2 3
P=y
Observasques
A=ysfsAys=sía
A=ísfsAís=síaLLL
Trazado de la hipérbola por haces proyectivos
TrazamosselsrectángulosARPSL
DividimosslossladossRPsysSPsenselsmismosnúmero
despartessigualesL
LuegostrazamossrectassquesunenselsvérticesAs
conslassdivisionessdesRPHsyselsvérticesA=s
conslassdivisionessdesSPHsobteniendosens
sussinterseccionesspuntosspertenecientessaslascurvaL
Lasmitadsinferiorsdesestasrama
yslasotrasramassespuedensobtenersporssimetríaL
AA=
PR
S
1
2
3
1 2 3

54. IES0Calderón0de0la0Barca0=0Gijón
DptoM0de0dibujo
Apuntes0de0dibujo0técnico0íº0bachillerato CÓNICAS
íáM)
Parábola Lugar0geométrico0de0los0puntos0del0plano0que0equidistan0de0uno0fijo0denominado0foco0
y0de0una0recta0denominada0directrizM0Es0una0curva0plana0y0abiertaM
F
directriz
ejeV
P
A
PF0=0PA
F eje
Fí
simétrico
de0F
M
T
F
d
ejeV
P
d
tv
D
parámetro
t
Cuenta0con0un0eje0de0simetría0EP0perpendicular0a0la0directriz0
y0en0el0que0se0encuentra0el0focoM
0000
El0vértice0V0es0punto0de0intersección0de0la0curva0con0el0ejeM0
La0tangente principal tv0es0paralela0a0la0directrizM0
Por0ser0V0un0punto0de0la0curvaP0
equidista0del0foco0y0la0directrizM0VF0=0VD
Parámetro0es0la0mitad0de0la0cuerda0
que0pasa0por0el0foco0y0es0paralela0a0la0directrizM
Parámetro0=0distancia0del0foco0a0la0directriz0=0FD0
La0parábola0puede0considerarse0como0una0elipse0
cuyo0segundo0foco0está0en0el0infinito0zes0impropiovM
La0directriz0de0la0parábola0equivale0a0la0circunferencia focal
del0foco0impropio0zyP0por0tantoP0se0convierte0en0una0rectavM
La0tangente0principal0tvzparalela0a0la0directriz0por0el0vérticev0
se0corresponde0con0la0circunferencia principal0de0la0elipseM
La0directriz0zcircunferencia0focal0del0foco0impropiov0es0
el0lugar0geométrico0de0los0puntos0simétricos0del0foco0F0
con0respecto0a0cualquier0tangente0a0la0parábola0zFí0en0la0figuravM
La0tangente principal tv0es0el0lugar0geométrico0de0los0puntos0
zM0en0la0figurav0queP0estando0en0las0tangentesP0son0
los0intermedios0entre0un0foco0y0su0simétrico0con0respecto0
a0cualquier0tangente0a0la0parábolaP0es0decirP0es0el0lugar0
geométrico0de0los0pies0de0las0perpendiculares0
a0las0tangentes0desde0el0focoM
El0punto0TP0punto0de0contacto0de0una0tangente0
con0una0parábolaP0está0alineado0con0un0foco0zel0impropiov
zver0línea0de0puntos0en0la0figuravM0
y0el0simétrico0del0otro0con0respecto0a0esa0tangenteM0
La0tangente0en0T0es0bisectriz0del0ángulo0formado0por0TP0F0y0FíM
Cualquier0punto0de0la0curva0equidista0del0foco0y0de0la0directrizM
Los0radios vectores0PF0y0PA0unen0cualquier0punto0P0de0la0curva0
con0el0foco0F0y0perpendicularmente0con0la0directriz0dM
Fy0zimpropiov
tv

55. IES0Calderón0de0la0Barca0v0Gijón
Dptom0de0dibujo
Apuntes0de0dibujo0técnico0(º0bachillerato CÓNICAS
(,mím(
Excentricidad en la parábola
F
d
eje
V
FT
dT
e0=0c0P0a c0=0FV a0=0VD e0=0(FV0=0VD
F
d
eje
V
TT
La0parábola0es0la0única0cónica0cuya0excentricidad0es0invariablem0Siempre0vale0(m
Por0tantox0todas las parábolas son semejantes0Ltienen0la0misma0formaám
A0simple0vistax0no0parece0asím0La0razón0de0esto0es0la0diferencia0de0escala0yPo0
que0estamos0viendo0una0porción0de0la0curvam
Observa0la0parábola0grande0de0la0izquierda0c(0y0la0de0la0derecha0cfm0Son0la0mismax0pero0vemos0
sólo0un0fragmento0de0cf
A0la0izquierdax0c(0y0c)0son0homotéticas0con0centro0de0homotecia0en0Vm0La0diferencia0de0escala0
nos0hace0verlas0diferentesx0pero0lo0cierto0es0que0su0forma0es0igual30son0semejantesm
Observa0como0las0tangentes0son0paralelasm
T
t
tT
c(
c)
cf
D

56. IES0Calderón0de0la0Barca0y0Gijón
Dptoq0de0dibujo
Apuntes0de0dibujo0técnico0Nº0bachillerato CÓNICAS
Nñq)q:
Trazado de la parábola
Trazado por puntos
F
directriz
V
F eje
F
d
V
P
d
La0tangente0principal0tv0es0el0lugar00
geométrico0de0los0pies0de0las0perpendiculares0
a0las0tangentes0desde0el0focoq
Sabiendo0esto,0basta0trazar0varios0segmentos0desde0el0foco
y0donde0encuentran0a0la0tangente0principal,
trazar0sus0perpendicularesq0De0esta0manera0dibujamos
muchas0tangentes0que0acaban0mostrando0la0curvaq
Este0método0se0basa0en0la0propiedad0fundamental0de0que
cada0punto0de0la0curva0equidista0del0foco0y0de0la0directrizq
Marcamos0divisiones0en0el0ejeq0Conviene0que0sean0de0igual
tamaño0o0muy0parecido0para0obtener0puntos0distribuidos
uniformementeq
Numeramos0las0divisionesq
Por0cada0división0trazamos0rectas0perpendiculares0al0ejeq
Con0centro0en0el0foco,0trazamos0arcos0de0radio0la0distancia0
entre0cada0división0y0la0directrizq
Ejemplo:0Con0centro0en0el0foco0y0distancia0Nd,0trazamos0arcos
que0cortan0a0la0perpendicular0del0punto0Nq
tv
1 2 3 4
eje
Trazado por rectas o haces proyectivos
1
2
3
4
1 2 3 4
eje
Primero0obtenemos0un0punto0P0gbastante0alejado0del0ejev
por0el0método0anteriorq
Construimos0el0rectángulo0VMPN0y0lo0dividimos0horizontal
y0verticalmente0en0el0mismo0número0de0partes0igualesq
Trazamos0rectas0horizontales0por0las0divisiones0verticalesq
Trazamos0rectas0que0unen0el0vértice0V0con0las0divisiones0
horizontalesq0Estas0rectas0intersectan0a0las0horizontales
en0puntos0de0la0curvaq
La0otra0mitad0de0la0curva0se0puede0obtener0por0el0mismo
método0o0aplicando0simetríaq0
Trazado por tangentes envolventes
V
M
N

57. IES0Calderón0de0la0Barca0v0Gijón
Dptof0de0dibujo
Apuntes0de0dibujo0técnico0zº0bachillerato CURVAS CÓNICAS
záfO
Algunas aplicaciones de las cónicas
Jf0Lf0Synge09zÓíNvzííO7
Horno0solarf0Paraboloide0de0revoluciónf
Los0rayos0solares0se0concentran0en0el0focof
Similar0a0una0antena0parabólicaf
Parábola0de0seguridadf0Envuelve0a0todas
las0posibles0parábolas0lanzadas0desde0un
punto09para0proyectiles0con0igual0empuje7f
La0trayectoria0de0un0proyectil09no0autopropulsado7P
por0ejemplo0una0bala0o0una0flechaP0es0siempre0una0parábolaP
desde0el0mismo0instante0que0sale0del0cañónf
Sistema0LORAN09Long0Range0Navigation7
La0ubicación0de0todos0los0puntos0en0los0que0
las0señales0de0las0dos0estaciones0están0
separadas0un0determinado0intervalo0de0tiempo0
se0puede0representar0mediante0una0hipérbolaP0
cuyos0focos0se0encuentran0en0
ambas0estaciones0emisorasf0
Órbitas0elípticas0de0los0planetas0con0diferente0excentricidadf
F0
9Sol7
Planeta
distancia0x
distancia0y
Elhplanetahcubrehlahdistanciahx
yhlahdistanciahyhenhelhmismohtiempo.
Lasháreashxhehyhsonhiguales.
Elhplanetahsehmuevehmáshrápido
cuandohestáhmáshpróximohalhsol
área0x
área0y
Segunda ley de Kepler
Perihelio Afelio
Ademáshdehlashrectas,hcírculos,hplanoshyhesferashquehconocehcualquierhestudiantehdehEuclides,h
loshgriegoshsabíanhlashpropiedadeshdehlashcurvashquehsehobtienenhalhcortarhunhconohconhunhplano:h
lahelipse,hlahparábolahyhlahhipérbola.hKeplerhdescubrióhalhanalizarhsushobservacioneshastronómicash
-yhNewtonhlohdemostróhmatemáticamentehsobrehlahbasehdehlahleyhuniversalhdehlahgravitación-hqueh
loshplanetashdescribenhelipses.hAsíhsehhizohdehlahgeometríahdehlahGreciahantiguahpiedrahangularhdehlah
astronomíahmoderna.h