Dibujo Técnico II: Lugares geométricos y proporcionalidad

DIBUJO TÉCNICO II
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ÍNDICE:
TEMA I: LUGARES GEOMÉTRICOS Y PROPORCIONALIDAD.........3
1.1.: LUGAR GEOMÉTRICO...........................................................................3
1.2.: PROPORCIONALIDAD: TEOREMA DE THALES...................................4
1.3.: MEDIA PROPORCIONAL........................................................................4
1.4.: TERCERA PROPORCIONAL...................................................................5
1.5.: CUARTA PROPORCIONAL.....................................................................5
1.6.: SECCIÓN AÚREA....................................................................................6
TEMA II: LA CIRCUNFERENCIA.........................................................7
2.1.: ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA...................................................7
2.2.: ARCO CAPAZ..........................................................................................8
2.3.: POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA...9
2.4.: EJE RADICAL..........................................................................................9
2.5.: RECTIFICACIONES DE ARCOS Y CIRCUNFERENCIAS....................12
TEMA III: CONSTRUCCIONES POLIGONALES...............................13
3.1.: PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO......................14
3.2.: POLÍGONOS REGULARES..................................................................15
3.3.: EQUIVALENCIA DE FIGURAS PLANAS.............................................17
TEMA IV: TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS.........................18
4.1.: HOMOGRAFÍAS Y HOMOLOGÍA.........................................................19
4.2.: LA INVERSIÓN......................................................................................23
TEMA V: TANGENCIAS......................................................................25
5.1.: ESTUDIO SISTEMÁTICO DE TANGENCIAS.......................................26
TEMA VI: CURVAS CÓNICAS...........................................................30
6.1.: TANGENTES A LAS CÓNICAS...........................................................32

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TEMA I: LUGARES GEOMÉTRICOS Y PROPORCIONALIDAD.
1.1. LUGAR GEOMÉTRICO: Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que
satisfacen determinadas condiciones o propiedades geométricas.
* Así, por ejemplo, la MEDIATRIZ de un segmento se definiría como el lugar geométrico de los
puntos de un plano que equidistan de dos puntos fijos, extremos del segmento.
Traza la mediatriz del segmento AB:
* La BISECTRIZ de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
de dos rectas.
Traza la bisectriz del ángulo “rs”:
Cuando las rectas “r” y “s” no se cortan dentro de los límites del dibujo realizaremos el
siguiente trazado:

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Traza la bisectriz del ángulo “rs”:
1.2.: PROPORCIONALIDAD: TEOREMA DE THALES.
Este teorema geométrico nos dice que dadas dos rectas convergentes cualesquiera cortadas
por secantes paralelas, los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a los
segmentos determinados en la otra:
División de un segmento en partes iguales basada en el
teorema de Thales:
1.3.: MEDIA PROPORCIONAL:
Dados dos segmentos “a” y “b” se llama MEDIA PROPORCIONAL de ambos (“x”) a aquel que
cumple la siguiente proporción:
a
x
=
x
b
→ x2
=a×b → x=√a×b
Tenemos dos trazados gráficos para hallar la media proporcional de dos segmentos. Ambos se
basan en dos teoremas formulados por Pitágoras:
TEOREMA de la ALTURA (en todo triángulo rectángulo, la altura -x- relativa a la hipotenusa
es la media proporcional o geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa: a y b). (1)
TEOREMA del CATETO (en todo triángulo rectángulo, un cateto -”x” o “y”- es la media
geométrica entre la hipotenusa -a- y la proyección de ese cateto sobre ella). (2)

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(1) Teorema de la altura: (1) Demostración matemática:
(a+b)2
=c2
+d2
= x2
+b2
+x2
+a2
=2x2
+b2
+a2
a2
+2ab+b2
=2x2
+b2
+a2
→ x2
=a×b
(2) Teorema del cateto: (2) Demostración matemática:
a2
=x2
+ y2
→ y2
=a2
− x2
x2
=b2
+h2
→ h2
=x2
− b2
y2
=(a− b)2
+h2
a2
− x2
=(a− b)2
+ x2
− b2
a2
− x2
=a2
− 2ab+b2
+x2
− b2
− 2x2
=− 2ab → x2
=a×b
1.4.: TERCERA PROPORCIONAL:
Dados dos segmentos “a” y “b” llamamos
tercero proporcional (“x”) a aquel que
cumple la siguiente proporción:
a
b
=
b
x
1.5.: CUARTA PROPORCIONAL:
Dados tres segmentos “a”, “b” y “c”
llamamos cuarto proporcional (“x”) a
aquel que cumple la siguiente
proporción:
a
b
=
c
x

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1.6.: SECCIÓN AÚREA:
Esta es una proporción de gran importancia en la historia de las artes desde la época clásica.
Tal vez se deba a que el valor de esta proporción (√) número sagrado de los griegos, posee
asombrosas propiedades matemáticas (aritméticas, algebráicas o geométricas):
Φ=1,618 Φ
2
=2,618
1
Φ
=0,618
Dos segmentos “a” y ”b” se dice que tienen una proporción aúrea cuando el segmento menor
es al mayor como el mayor es a la suma de los dos, es decir, siendo “a” mayor que “b”:
b
a
=
a
a+b
El valor numérico de la proporción es constante y lo determinamos así:
b
a
=
a
a+b
→ b×(a+b)=a2
→ a2
− b2
− ab=0 →
a
2
− b
2
− ab
b
2
=
0
b
2
→ (
a
b
)
2
− (
a
b
)− 1=0 →
a
b
=
√5+1
2
=1,618(ϕ)
Si multiplicamos la equación ϕ
2
=ϕ+1 por ϕ
n− 2
, obtendremos ϕ
n
=ϕ
n− 1
+ϕ
n− 2
lo cual quiere
decir que en cualquier progresión o serie de términos que tenga √ por razón entre dos téminos
sucesivos, cada término es igual a la suma de los dos anteriores (de ahí la fácil obtención
gráfica de una serie conociendo dos términos sucesivos y mediante movimientos de compás):
OTRAS OBTENCIONES GRÁFICAS:
Dado un segmento AB determinar su división aúrea:
Dado un segmento AB determinar un punto C que
cumpla la proporción indicada:

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TEMA II: LA CIRCUNFERENCIA.
La circunferencia se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo (centro de la circunferencia).
2.1.: ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA:
ÁNGULO CENTRAL ÁNGULO INSCRITO 1 ÁNGULO INSCRITO 2 ÁNGULO INSCRITO 3
Cuyo vértice coincide con el
centro de la circunferencia.
Con el vértice sobre la
circunf. y los lados cuerdas
de ella.
̂V=
̂AOB
2
El valor de los ángulos inscritos
es igual a la mitad del central
correspondiente:
̂V=
̂AOB
2
̂V= ̂AVC− ̂BVC=
̂AOC
2
−
̂BOC
2
=
̂AOB
2
ÁNGULO SEMINSCRITO ÁNGULO INTERIOR ÁNGULO EXTERIOR ÁNG. CIRCUNSCRITO
Igual que el inscrito pero con uno
de sus lados tangente a la
circunferencia.
̂V=
̂AOB
2
El que tiene su vértice en el
interior de la circunferencia. Su
valor es la semisuma de los
centrales correspondientes:
̂V=A´ ̂BB ´+ A ̂A´B=
A´ ̂OB´
2
+
̂AOB
2
→
A´ OB´+AOB
2
El que tiene su vértice en el
exterior de la circunferencia. Su
valor es igual a la semidiferencia
de los centrales.
̂V=A´ ̂BB ´− A ̂A ´B=
A´ ̂OB´
2
−
̂AOB
2
→
A´ OB´− AOB
2
Caso límite del ángulo exterior con
sus lados tangentes a la
circunferencia.
̂V=
̂ARS− ̂ASR
2

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2.2.: ARCO CAPAZ:
Se llama ARCO CAPAZ de un segmento AB para un ángulo dado, 〈, al lugar geométrico de los
puntos del plano desde los que se ve el segmento AB fijo bajo dicho ángulo 〈.
Este lugar es un arco de circunferencia que tiene por extremos los del segmento.
TRAZADO DEL ARCO CAPAZ:
1. Trazamos la mediatriz del segmento AB.
2. Llevamos a partir de uno de los extremos
del segmento AB el ángulo dado: α
3. Por el mismo extremo se traza una
perpendicular a esta línea recién trazada
hasta que corte a la mediatriz del
segmento.
4. Este punto de intersección es el centro
del arco capaz que trazaremos hasta los
extremos A y B.
Este es el lugar geométrico buscado pues
desde cualquier punto del arco AB el
segmento se ve desde un ángulo AVB cuyo
valor es la mitad del central correspondiente.
Si se completa el arco de centro “O” por el otro
semiplano de AB, se obtiene el arco capaz para el
ángulo suplementario de α.
De lo anterior se deduce que el arco capaz para un
ángulo de 90o
será siempre una semicircunferencia o,
lo que es lo mismo, que cualquier triángulo inscrito en
una semicircunferencia con un lado en su diámetro
será un triángulo rectángulo.

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2.3.: POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA:
Se llama potencia de un punto “P” respecto a una circunferencia, situados ambos en el mismo
plano, al producto de los segmentos determinados por dicho punto y los de intersección con la
circunferencia de cualquier secante a ella trazado por “P”. La potencia es constante e
independiente de la secante elegida.
Los triángulos P-A1-B2 y P-A2-B1
son semejantes pues en ambos
casos tienen ángulos iguales en
“P” y en A2 y B2 por ser ángulos
inscritos en el mismo arco A1-B1,
por lo tanto.
PA
1
PB
2
=
PB
1
PA
2
→
PA
1
×PA
2
=PB
1
×PB
2
VALOR DE LA POTENCIA:
Cogemos una secante cualquiera, por ejemplo la que
pasa por el centro:
- POTENCIA = (d-r) x (d+r) = (d
2
– r
2
)
- Cuando “P” es exterior la potencia es positiva pues
d>r.
- Cuando “P” es interior la potencia es negativa pues
d<r.
- Si “P” pertenece a la circunferencia la potencia es 0
(PA1 x PA2 = 0 x PA2 = 0).
SEGMENTO REPRESENTATICO DE LA POTENCIA:
- Si “P” es exterior el punto “T” es la situación
límite de la secante, cuando A1 y A2 coinciden:
POTENCIA = PA1 x PA2 = PT x PT = PT
2
(PT
2
= d
2
– r
2
).
- Si “P” es interior, el segmento “h” (=HP),
semicuerda normal al diámetro que pasa por
“P”, es media proporcional entre PB y PA, dado
que el triángulo HAB será rectángulo en ”H” y
por lo tanto:
h
2
= -PA x PB = -(d+r) x (d-r) = d
2
– r
2
2.4.: EJE RADICAL:
Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que las
contiene que tienen la misma potencia (variable para cada punto) respecto a ambas.
El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta que une los centros.
A continuación veremos su obtención en diferentes casos:

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EJE RADICAL DE DOS
CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES:
Trazamos una de las tangentes
exteriores a a ambas circunferencias y
por su punto medio (“P”), que tiene la
misma potencia con respecto a ambas,
dibujamos la perpendicular a la recta
que une los centros (O1 y O2).
Esta recta será el eje radical de las dos
circunferencias.
OTRO MÉTODO PARA EL EJE
RADICAL DE DOS
CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES:
Trazamos una circunferencia auxiliar
(Ca) que sea secante a las dadas (O1 y
O2) y obtenemos los dos respectivos
ejes radicales que se cortan en el punto
“P” y, por él, trazamos la perpendicular
a O1 y O2 que será el eje radical de las
dos circunferencias iniciales.
EJE RADICAL DE DOS
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES
EXTERIORES O INTERIORES:
El eje radical será la tangente común a
ambas circunferencias pues el punto de
tangencia es el que tiene potencia nula para
ambas.
EJE RADICAL DE DOS
CIRCUNFERENCIAS SECANTES:
El eje radical pasará por los puntos de
intersección de ambas circunferencias
puesto que ambos tienen potencia nula.

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EJE RADICAL DE DOS
CIRCUNFERENCIAS INTERIORES:
Trazamos una circunferencia auxiliar (Ca
) que sea secante a las dadas (O1 y O2) y
obtenemos los dos respectivos ejes
radicales que se cortan en el punto “P” y,
por él, trazamos la perpendicular a O1 y
O2 que será el eje radical de las dos
circunferencias iniciales.
CENTRO RADICAL DE TRES
CIRCUNFERENCIAS:
Se llama “centro radical de tres
circunferencias al punto que tiene las
misma potencia para las tres. Para
hallarlo trazamos una circunferencia
auxiliar (Ca) que sea secante a las
dadas (O1 , O2 y O3). Obtenemos los
tres respectivos ejes radicales que se
cortan en los puntos “P” y “Q” por los
que trazaremos las perpendiculares a
O1 - O2 y a O2 - O3 que serán los ejes
radicales en ambos casos y que se
cortan en el punto que es el centro
radical de las tres circunferencias
iniciales pues tiene la misma potencia
con respecto a ellas.
CASO PARTICULAR CON LAS
CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS:
Vemos que en este caso los ejes radicales
auxiliares resultan paralelos y su
intersección “P” se aleja hasta el infinito
(punto impropio) independientemente de
la secante utilizada.
La solución sería, por lo tanto, la recta del
infinito o impropia del plano que contiene
a las circunferencias.

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2.5.: RECTIFICACIONES DE ARCOS Y CIRCUNFERENCIAS:
Rectificar una curva es hallar gráficamente un segmento que tenga la misma longitud que
dicha curva. Para la rectificación de la circunferencia y arcos de la misma existen diferentes
métodos pero vamos a estudiar uno que, con algunas especificaciones, nos puede servir para
todos los casos:
Rectificación de un arco MN:
1. En el caso de que no se encuentre ya localizado,
hallamos el centro del arco MN mediante la intersección
de las mediatrices de la cuerda y semicuerda del arco.
2. Trazamos la circunferencia que completa el arco MN.
3. Por uno de los extremos del arco (M) trazamos un
diámetro y una perpendicular a él (r).
4. Prolongamos este diámetro y llevamos sobre esta
prolongación 3/8 de la longitud del diámetro hasta el
punto “Q”.
5. Unimos este punto “Q” con el otro extremo del arco (N) y
la intersección de esta recta con “r” nos define el punto
“P”.
6. El segmento MP es la rectificación del arco MN.
Caso particular:
Lógicamente este método no es aplicable cuando el arco MN
tiene su punto “N” más cerca de “Q” que el de la tangente a la
circunferencia trazada desde “Q” (como podemos comprobar
en el caso del ángulo 〈 del trazado del apartado anterior).
En este caso dividiremos el arco MN en dos de menor medida
(por ejemplo restándole 90
o
) y rectificando ambos por
separado sobre la misma recta “r”.
Rectificación de arcos de 180o
y
360o
:
De lo anterior podemos deducir cómo se
rectificaría un ángulo de 180 (sumando las
respectivas rectificaciones de 90
o
sobre la
recta) y una circunferencia completa.
Otro método de rectificación
de una circunferencia.

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TEMA III: CONSTRUCCIONES POLIGONALES.

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3.1.: PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO:
1. BISECTRICES: Son las rectas que dividen
los ángulos de un triángulo en dos ángulos
iguales y cuyos puntos equidistan de los
lados de dicho ángulo. Se cortan en in punto
llamado INCENTRO (centro de la
CIRCUNFERENCIA INSCRITA pues está a la
misma distancia de los tres lados).
2. BISECTRICES EXTERIORES: Son las que
bisecan los ángulos exteriores del triángulo.
Se cortan dos a dos dando tres
EXICENTROS (centros de las tres
CIRCUNFERENCIAS EXINSCRITAS).
3. MEDIATRICES: Son las mediatrices de los
tres lados del triángulo, por lo tanto sus
puntos equidistan de los extremos de dichos
lados. Se cortan en un punto llamado
CIRCUNCENTRO (centro de la
CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA pues
equidista de los tres vértices del triángulo).
4. MEDIANAS: Son las rectas que unen los
vértices del triángulo con los puntos medios
de los lados opuestos. Se cortan en un punto
llamado BARICENTRO. Cumplen dos
propiedades:
- Que si unimos los pies de las medianas
obtendremos un triángulo cuyos lados
son paralelos a los del ABC con la mitad
de su medida.
- Que la distancia del baricentro a un
vértice es igual a dos tercios de la
medida total de la mediana
correspondiente.
5. ALTURAS: Son las perpendiculares trazadas
desde cada vértice al lado opuesto. Se cortan
en un punto llamado ORTOCENTRO y si
unimos los pies de las tres alturas obtenemos
el llamado TRIÁNGULO ÓRTICO.
6. CEVIANAS: Son cualquier recta que una un
vértice con un punto cualquiera del lado
opuesto.

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3.2.: POLÍGONOS REGULARES:
Se llaman Polígonos Regulares a aquellos en los que todos sus lados y sus ángulos son
iguales. Existen muy variados métodos particulares para obtener los diferentes polígonos
regulares a partir de la medida de la circunferencia que los circunscribe o la medida de su
lado. Solo hablaremos de los más sencillos de estos métodos particulares y de dos métodos
generales para dibujarlos.
Construcciones simples a partir del radio de la circunferencia que los circunscribe:
TRIÁNGULO CUADRADO OCTÓGONO HEXÁGONO
Construcciones simples a partir del lado del polígono. Recuerda que el hexágono es el único
polígono regular en el que coincide la medida de su lado con la del radio de la circunferencia
que lo circunscribe:
TRIÁNGULO CUADRADO HEXÁGONO
MÉTODO GENERAL DE DIVISIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA EN PARTES IGUALES O
DE INSCRIBIR UN POLÍGONO REGULAR EN ELLA:
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1. En este método se trata de dividir la circunferencia en tantas partes iguales como deseemos
(o lados haya de tener el polígono). Para ello empezamos por dividir su diámetro vertical en
ese número de partes. Luego hacemos los dos arcos con centro en los extremos del diámetro
y su medida como radio y el punto donde se corten lo unimos con la segunda división
(siempre, independientemente del número de partes en que lo hayamos dividido). Ya tenemos
el lado del polígono (en el ejemplo: pentágono) y solo nos queda transportarlo sobre la
circunferencia.
2. Este mismo método puede adaptarse a cuando el dato inicial es la medida del lado del
polígono pues basta con dividir una circunferencia cualquiera en el número de lados que haya
de tener el polígono (pentágono en el ejemplo), dibujar los radios y llevar entre dos de ellos la
medida dada (AB) de la manera en que se indica en el ejemplo. Al hallar este punto ya
tenemos el radio de la circunferencia del polígono buscado y sus vértices en las intersecciones
de ésta con los radios.
MÉTODO GENERAL DADO EL LADO DEL POLÍGONO (AB):
A partir de la medida del lado (AB), buscamos el
centro de la circunferencia de radio AB (donde
esta medida cabrá seis veces) y el diámetro
vertical lo dividimos desde abajo en doce partes
iguales que serán los respectivos centros de los
polígonos regulares de ese número de lados.
En este ejemplo se construye un pentágono
tomando como centro de la circunferencia (que
lo circunscribirá) la división número 5 y radio
hasta los extremos A o B. Después se traslada
la medida AB sobre esta circunferencia.
CASO PARTICULAR:
Solo estudiaremos un caso particular del trazado de
un pentágono a partir de su lado (AB) ya que este
caso utiliza la relación aúrea que existe entre la
diagonal de un pentágono y su lado.
Para ello determinaremos primero la medida de la
diagonal (según hemos estudiado antes) y
trazaremos dos arcos con este radio desde los
puntos A y B que se cortan en el vértice superior.
Luego basta con trazar los arcos de medida AB que
se cortarán en los dos vértices restantes.

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POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS:
Los polígonos regulares estrellados son aquellos en los que sus vértices no se unen de uno en
uno sino de dos en dos (razón = 2), de tres en tres (razón = 3), etc... En los ejemplos
anteriores vemos un pentágono estrellado de razón dos y un heptágono estrellado de razón 3.
Dependiendo del número de lados y de la razón usada volveremos al punto de partida al final
u obtendremos dos polígonos con la mitad de lados.
3.3.: EQUIVALENCIA DE FIGURAS PLANAS:
La EQUIVALENCIA es una transformación anamórfica que relaciona figuras o polígonos que
poseen la misma área o superficie.
HALLAR EL POLÍGONO EQUIVALENTE A
OTRO CON UN NÚMERO MENOR DE LADOS:
- Si queremos, por ejemplo, transformar el cuadrilátero
ABCD en un triángulo equivalente basta con trazar una
diagonal del cuadrilátero y una paralela a ella por uno
de sus vértices (D) y comprobaremos que todos los
posibles triángulos con un vértice sobre esta paralela
son equivalentes entre sí pues comparten la base (AC)
y la altura (h). Prolongamos, por lo tanto, el lado AB
hasta que corte a la paralela a la diagonal y obtenemos
el punto “E” que convierte el cuadrilátero inicial en un
triángulo equivalente.
TRANSFORMAR UN
RECTÁNGULO EN UN
CUADRADO EQUIVALENTE:
- Dado un rectángulo ABCD sabemos
que su área es el producto de sus
lados (AB x BC) por lo tanto un
cuadrado equivalente será aquel cuyo
lado sea la media proporcional entre
AB y BC (BE).
BE
2
= AB x BC

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TRANSFORMAR UN RECTÁNGULO
EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO
EQUIVALENTE:
Tenemos más de una forma de hacerlo
sabiendo que el área del triángulo es base por
altura dividido entre 2.
- Obtenemos el triángulo ABE tomando como
base AB y duplicando la altura BC hasta el
punto “E”.
- Obtenemos el triángulo BCF o bien
manteniendo la altura (BC) y duplicando la
base AB (FB) o aplicando el trazado
explicado en el primer trazado de este
apartado.
TEMA IV: TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS.
Las transformaciones son movimientos que aplicamos a las figuras en el plano o el espacio.

DIBUJO TÉCNICO II
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4.1.: HOMOGRAFÍAS Y HOMOLOGÍA:
Se denomina HOMOGRAFÍA a cualquier transformación proyectiva que establece una
correspondencia entre dos formas geométricas, de modo que a un elemento, punto o recta, de
una de ellas le corresponde otro elemento de la misma especie, punto o recta, de la otra.
Son transformaciones homográficas: la traslación, las simetrías, el giro, la homotecia, así
como la homología y su caso particular la afinidad que a continuación vamos a estudiar.
La HOMOLOGÍA en el plano es una transformación homográfica que se genera a partir de
secciones de proyecciones. Tiene una aplicación directa en los abatimientos y secciones
planas en el sistema diédrico.
Dos figuras planas secciones de una misma radiación se llamas homólogas u homológicas y
cumplen siempre estas dos leyes (tanto en el espacio como en el plano, tras abatir):
1. Dos puntos homólogos están alineados con un punto “O” (centro de homología) vértice del
haz de rayos proyectantes. Dicho centro se considera un punto doble en la homología
(coincide con su homólogo).
2. Las rectas homólogas se cortan en puntos de la misma recta “e” (eje de homología)
intersección de los planos que contienen y generan las dos figuras. Todos los puntos del eje
son “dobles” (coinciden con su homólogo). Si una recta es paralela al eje, su homóloga
también lo será pues ambas se encontrarán en el punto impropio de dicho eje (en el infinito).
ELEMENTOS QUE DETERMINAN UNA HOMOLOGÍA:
El centro, eje y un par de puntos
homólogos.
El centro, eje y un par de rectas
homólogas.
Dos figuras homólogas.

DIBUJO TÉCNICO II
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RECTAS LÍMITE EN UNA HOMOLOGÍA:
En homología se pueden calcular los puntos
homólogos de los puntos impropios o del infinito
de los planos que determinan las figuras
homólogas (π y π´).
Estos puntos forman las RECTAS LÍMITES (RL
y RL´), una de cada plano.
Así pues existen dos rectas límites que son
paralelas al eje y la distancia de una de ellas al
eje de homología ha de ser la misma que la de
la otra al centro de homología. Esto podemos
comprobarlo en el trazado adjunto donde, al
abatir el plano π y el centro “O” sobre el π´,
vemos la posición relativa que toman ambas.
En este trazado vemos cómo se hallan ambas rectas límite en una homología. Primero
determinamos la dirección de los puntos impropios de, por ejemplo, las rectas BC y B´C´ (P∞ y
Q´∞ respectivamente) y trazamos paralelas a ellas por el centro “O” (ya que sus homólogos
han de estar alineados con estos puntos impropios y “O”). Si “P∞” está en la recta AB su
homólogo “P´” estará en A´B´. Así obtenemos “P´” y por él trazamos una paralela al eje que
será RL´. Procedemos igual para hallar “Q” y la recta RL. Observa el romboide que se forma
entre O, Q, P´ y el punto del eje donde se cortan AB y A´B´.

DIBUJO TÉCNICO II
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Una homología también puede quedar definida por una recta límite sustituyendo a cualquiera
de los elementos necesarios antes citados (el centro, eje y un par de puntos o rectas
homólogas) ya que, de hecho, una recta límite equivale a un par de rectas homólogas pues
siempre se conoce la recta impropia (su homóloga). Reproduce el trazado y después
determina la otra recta impropia (RL´):
Se denomina HOMOLOGÍA INVOLUTIVA a aquella en la que el centro “O” equidista de los
planos π y π´ y, por lo tanto, las rectas límites se confunden y son la paralela media entre el
centro y el eje (A) o, si abatimos en sentido contrario, el centro se sitúa sobre el eje y las
rectas límites equidistan del eje y el centro (B). Halla la figura homóloga del triángulo ABC en
los dos casos:
A B

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HOMOLOGÍAS ESPECIALES:
Cuando en una homología el centro y/o el eje son impropios se dan las llamadas homologías
especiales en las que se cumplen las mismas leyes de la homología:
AFINIDAD OBLICUA
Cuando el centro “O” está en el infinito las rectas
que unen pares de puntos homólogos son paralelas
entre sí formando con el eje un ángulo distinto de
90
o
.
AFINIDAD ORTOGONAL
Las rectas que unen puntos homólogos forman con
el eje un ángulo de 90
o
. Esta homología tiene para
nosotros una importancia fundamental pues es la
que se da en sistema diédrico entre una figura en el
espacio y sus proyecciones vertical y horizontal.
HOMOTECIA
Cuando el centro eje está en el infinito (porque los
planos π y π´son paralelos) y las figuras tendrán
igual forma (lados paralelos) pero distinta magnitud.
TRASLACIÓN
Tanto el centro “O” como el eje están en el infinito.
Las figuras serán, por lo tanto idénticas.

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4.2.: LA INVERSIÓN:
Se dice que dos puntos son INVERSOS cuando cumplen las siguientes condiciones:
1. Estar alineados con un punto fijo “C”, llamado CENTRO de INVERSIÓN.
2. Que el producto de las distancias de los puntos inversos al centro de inversión sea una
constante (k), llamada POTENCIA de INVERSIÓN.
Relacionando esto con la “Potencia de un punto respecto a la circunferencia” deducimos
que:
* Dos pares de puntos inversos son concíclicos, es decir pertenecen a la misma
circunferencia. Así si tenemos el centro de inversión y dos puntos inversos (A y A´) y queremos
hallar el inverso de otro punto B, bastará con trazar la circunferencia que pase por los tres puntos
dados y su intersección con la recta que une B con el centro de inversión nos dará el punto B´(inverso
de B).
Con una inversión positiva (k>0): Con una inversión negativa (k<0):
Y cuando los tres puntos se encuentran alineados podemos relacionarlo con la “Media
proporcional” para obtener el inverso de B (B´).
Con una inversión positiva (k>0): Con una inversión negativa (k<0):
* La figura inversa de una circunferencia
que pasa por el centro de inversión es
una recta que no pasa por dicho centro y
es perpendicular a la recta que une el
centro de la circunferencia con el de
inversión. Asimismo podemos decir que la
figura inversa de una recta es un
circunferencia que pasa por el centro de
inversión y tiene su centro en la
perpendicular a la recta desde él.

DIBUJO TÉCNICO II
24
*La figura inversa de una
circunferencia que no pasa por
el centro de inversión es otra
circunferencia que tampoco pasa
por él.
Observa que aunque su forma es
homotética la correspondencia
entre sus puntos no es la
habitual, salvo en el caso de los
puntos de tangencia (A y A´).
Tampoco son inversos los
centros.
* Se llama Circunferencia de Autoinversión (Ca) a
aquella cuyos puntos son todos inversos de sí mismos,
es decir que su distancia al centro de inversión es √k.
Se llaman Circunferencias Dobles las que están compuestas por pares de puntos inversos.
El centro de inversión puede estar dentro, fuera de ellas o coincidir con su centro y su potencia
puede ser positiva o negativa:
CONSERVACIÓN DE LOS ÁNGULOS EN LA INVERSIÓN:
Los ángulos formados por dos líneas que se cortan (rectas o curvas) y por sus inversas son
iguales. Se entiende que el ángulo entre dos curvas es el formado por sus tangentes en el
punto donde se cortan.
En consecuencia se puede afirmar que si dos curvas (o una recta y una curva) son tangentes
en un punto “T”, sus figuras inversas también serán tangentes en “T´” (inverso de “T”). Esto
nos será de ayuda en el tema de “Tangencias”.

DIBUJO TÉCNICO II
25
TEMA V: TANGENCIAS.
Comenzaremos por repasar algunos conceptos básicos en las tangencias:
Dos circunferencias tangentes
exteriores tienen sus centros
alineados con el punto de tangencia.
Dos circunferencias tangentes
interiores tienen también sus centros
alineados con el punto de tangencia.
El punto de tangencia entre una
circunferencia y una recta se halla
en la perpendicular a la recta
trazada por el centro.
Todas las circunferencias de radio
”R” tangentes a una recta tienen sus
centros sobre una paralela a ella a
la distancia “R”.
dado (R 2) tangentes exteriores a
otra (R1) tienen sus centros en una
circunferencia de radio R1 +R2.
dado (R 2) tangentes interiores a
otra (R1) tienen sus centros en una
circunferencia de radio R2 -R1.
Aplicando lo que hemos aprendido en las unidades anteriores podemos solucionar un caso de
tangencias con diferentes métodos: DILATACIÓN, RADICALIDAD o INVERSIÓN. Veamos un
ejemplo: traza las circunferencias tangentes a otra (O) y a una recta (r) en un punto (P) de ella.
Como los centros buscados han de
estar en la perpendicular a “R” por
“P”, desplazamos sobre ella la
medida “R” que hemos restado a la
circunferencia dejándola reducida a
su centro “O”. Las mediatrices de O-
(P+r) y O-(P-r) nos darán O1 y O2.
Trazamos una circunferencia auxiliar
con centro sobre la perpendicular a
“r” por “P” y determinamos el centro
radical de las soluciones y la dada
(√k) que nos da en ella los puntos T1
y T2 y uniéndolos con “O” los
centros.
Considerando la circunferencia y
recta dadas figuras inversas
(positivamente con C1 y
negativamente con C2) basta con
hallar en cada caso los puntos
inversos de “P” (T1 y T2).

DIBUJO TÉCNICO II
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5.1.: ESTUDIO SISTEMÁTICO DE TANGENCIAS:
El estudio sistemático de tangencias es un conjunto de casos que relacionan tres variables:
(P) un punto, (R) una recta y (C) una circunferencia, en diez casos de los que estudiaremos los
ocho primeros:
1. PPP: Circunferencia que pasa por tres puntos dados. (Caso ya estudiado).
2. PPR: Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta.
Por los puntos “A” y ”B” pasará el eje radical de todas las circunferencias que pasen por ellos (incluidas las
soluciones) que cortará a “r” (eje radical de las circunferencias tangentes a ella) en el punto “CR “. Tomamos una
circunferencia auxiliar que pase por “A” y “B” y determinamos la potencia (√k) que tiene con respecto a ella el
punto “CR”. Esta medida la tomamos como radio para, con centro en “CR”, encontrar los puntos T1 y T2.
Después trazando las perpendiculares a “r” por estos puntos encontramos O1 y O2 en sus intersecciones con la
mediatriz de AB.
3. RRP: Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a dos rectas.
Como las soluciones, además de pasar por “P” habrán de pasar por “P´” (su simétrico con respecto a la
bisectriz), reducimos el caso al anterior (PPR).

DIBUJO TÉCNICO II
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4. RRR: Circunferencias tangentes a tres rectas (4 soluciones ya vistas
en “Triángulos”).
5. PPC: Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a otra:
La recta que une “A” y ”B” será el eje radical de todas las circunferencias que pasen por ellos (incluidas las dos
soluciones). Tomamos una circunferencia auxiliar que pase por “A” y “B” y hallamos el punto “CR” (intersección
de los ejes radicales). Determinamos la potencia (√k) que tiene con respecto a la centro “O” y ya encontramos
T1. Esta medida (√k) la tomamos como radio para, con centro en “CR”, encontrar el punto T2. Hallamos O1 y O2
en las intersecciones de la mediatriz de AB con los radios de “O” trazados por los puntos de tangencia.
6. PRC: Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a otra y
a una recta.
Obtenemos dos soluciones (O1 y O2) cuando consideramos a la circunferencia “O” y a la recta “r” inversos con
centro de inversión C1. Como las soluciones tienen que tener un punto en cada una de ellas (T) habrán de ser
“dobles” y si pasan por “P” también tendrán que pasar por su inverso “P´”, Lo hallamos con los puntos inversos 1
y 1´. Reducimos el caso a PPR. (Observa que los puntos de tangencia de cada solución son inversos).

DIBUJO TÉCNICO II
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Las otras dos posibles soluciones (O3 y O4, ésta fuera del papel): considerando a la circunferencia “O” y a la
recta “r” inversos con centro de inversión C2. Hallamos “P´” con los puntos inversos 2 y 2´.
En este caso consideramos a la circunferencia “O” inversa de sí misma con “P” como centro de inversión y,
trazando la circunferencia de autoinversión (radio=√k) hallamos la circunferencia inversa de “r” (O´) en la misma
inversión. Las circunferencias inversas a las rectas tangentes interiores y exteriores a las circunferencias O y O´
serán las soluciones (O1, O2, O3 y O4, fuera del papel el centro de ésta última).

DIBUJO TÉCNICO II
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7. RRC: Circunferencias tangentes a dos rectas y a una circunferencia.
Restamos a la circunferencia “O” su radio y también dilatamos positiva y negativamente a las rectas “r” y “s”. Así
el caso queda reducido a PPR en ambos casos hallando en “r” y “s” T1, T2, T3 y T4 (deshaciendo la dilatación) y
los correspondientes centros.
8. PCC: Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a otras dos.
Las dos primeras soluciones (O1 y O2) las hallamos considerando a las circunferencias dadas (O y O´) inversas
con centro C1. Como las soluciones tienen que tener un punto en cada una de ellas (T) habrán de ser “dobles” y
si pasan por “P” también tendrán que pasar por su inverso “P´”. El caso queda reducido a PPC tomando como
“C” cualquiera de las dos circunferencias iniciales.

DIBUJO TÉCNICO II
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Para las otras dos soluciones (O3 y O4) consideramos a las circunferencias dadas (O y O´) inversas con centro
C2. Como las soluciones tienen que tener un punto en cada una de ellas (T) habrán de ser “dobles” y si pasan
por “P” también tendrán que pasar por su inverso “P´”. El caso queda reducido a PPC tomando como “C”
cualquiera de las dos circunferencias iniciales.
9. RCC: Circunferencias tangentes a una recta y a otras dos.
(No estudiaremos este caso).
Este caso se reduce al PRC restando su radio a una de las circunferencias dadas dejándola reducida a su
centro y aplicando la dilatación a los otros dos datos (circunferencia y recta).
10. CCC: Circunferencias tangentes a otras tres.
(No estudiaremos este caso).
Este caso se reduce al PCC restando su radio a una de las circunferencias dadas dejándola reducida a su
centro y aplicando la dilatación a las otras dos.
TEMA VI: CURVAS CÓNICAS.
Recordemos que las curvas cónicas provienen de las secciones de un cono y su definición:
1. CIRCUNFERENCIA: Se obtiene cortando al cono con un plano
perpendicular a su eje y es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto (centro de la circunferencia).
2. ELIPSE: Se obtiene cortando al cono con un plano oblicuo a su eje y es el
lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos (focos) es constante (AB).
3. PARÁBOLA: Se obtiene cortando al cono con un plano paralelo a su
generatriz y es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a
un punto (foco) y a una recta (directriz) es la misma.
4. HIPÉRBOLA: Se obtiene cortando al cono con un plano paralelo u oblicuo
a su eje (con un ángulo menor que el de la generatriz) y es el lugar
geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos
puntos fijos (focos) es constante (AB).

DIBUJO TÉCNICO II
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Recordemos también su trazado por puntos a partir de su definición como lugar geométrico:
ELIPSE por PUNTOS ELIPSE por AFINIDAD
PARÁBOLA por PUNTOS HIPÉRBOLA por PUNTOS
Para el trazado de las tangentes a las cónicas debemos
conocer estas circunferencias y sus propiedades:
CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL: Es la que tiene el centro
en el de la elipse y diámetro su eje mayor (AB). Contiene
los pies de las perpendiculares a las tangentes trazadas
desde los focos.
CIRCUNFERENCIAS FOCALES: Tienen sus centros en
los focos y radio AB. Contienen a los simétricos de los
focos con respecto a las tangentes.

DIBUJO TÉCNICO II
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6.1.: TANGENTES A LAS CÓNICAS (se recomienda imprimir a DIN A-3):

Dibujo Técnico II: Lugares geométricos y proporcionalidad

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