La Sostenibilidad Corporativa. Administración Ambiental
ÁNGULOS
1. ANGULO.-Es la abertura formado por dos rayos
divergentes que tienen un extremo común que se
denomina vértice.
ELEMENTOS DE UN ANGULO:
A
OA :lado
β
O
α
OB:lado
B
2. CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
a) ÁNGULO CONVEXO
α
0º < α < 180º
a.1) ÁNGULO AGUDO
β
0º < β < 90º
6. CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA
a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
α
α + β = 90º
β
b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
θ
θ + δ = 180º
δ
7. CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN
a) ÁNGULOS ADYACENTES
α
b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS
δ ε
β
φ
Puede formar más ángulos
Un lado común
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
α
α
Son congruentes
8. ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
Y UNA RECTA SECANTE
1
4
5
8
2
3
6
7
01. Ángulos alternos internos:
m ∠3 = m ∠5; m ∠4 = m ∠6
04. Ángulos conjugados externos:
m ∠1+m ∠8=m ∠2+m ∠7=180°
02. Ángulos alternos externos:
m ∠1 = m ∠7; m ∠2 = m ∠8
05. Ángulos correspondientes:
m ∠1 = m ∠5; m ∠4 = m ∠8
m ∠2 = m ∠6; m ∠3 = m ∠7
03. Ángulos conjugados internos:
m ∠3+m ∠6=m ∠4+m ∠5=180°
9. PROPIEDADES DE LOS ANGULOS
01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre
dos rectas paralelas.
α
x
β
y
θ
α + β + θ = x + y
13. Problema Nº 01
El complemento de la diferencia entre el suplemento
y el complemento de un ángulo “X” es igual al
duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la
medida del ángulo “X”.
RESOLUCIÓN
La estructura según el enunciado:
90 - { ( 180° - X ) - ( 90° - X
Desarrollando se obtiene:
)}=
2 ( 90° - X
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
Luego se reduce a:
2X = 180°
X = 90°
)
14. Problema Nº 02
La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el
complemento del primer ángulo es el doble de la
medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia
de las medidas de dichos ángulos.
RESOLUCIÓN
Sean los ángulos: α y β
Dato: α + β = 80°
Dato:
( 90° - α ) = 2β
Reemplazando (1) en (2):
( 90° - α ) = 2 ( 80° - α )
90° - α = 160° -2α
β = 80° - α
(2)
(1)
α = 70°
Resolviendo
β = 10°
Diferencia de las medidas
α - β = 70°-10°
= 60°
15. Problema Nº 03
La suma de sus complementos de dos ángulos es
130° y la diferencia de sus suplementos de los
mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos
ángulos.
RESOLUCIÓN
Sean los ángulos: α y β
Del enunciado:
β + α = 50° (+)
( 90° - α ) + ( 90° - β ) = 130°
β - α = 10°
β + α = 50°
(1)
2β = 60°
Del enunciado:
( 180° - α ) - ( 180° - β ) = 10°
β = 30°
β - α = 10°
(2)
α = 20°
Resolviendo: (1) y (2)
16. Problema Nº 04
Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC
(AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo
AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20°
respectivamente. Calcule la medida del ángulo
AOB.
RESOLUCIÓN
De la figura:
B
A
α = 60° - 20°
M
α = 40°
20°
X
Luego:
α
X = 40° - 20°
60°
α
X = 20°
O
C
17. Problema Nº 05
La diferencia de las medidas de dos ángulos
adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del
ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con
el lado OB.
Del enunciado:
RESOLUCIÓN
A
Construcción de la gráfica según
el enunciado
AOB - OBC = 30°
M
B
θ
( θ + X) - (θ - X) = 30º
2X=30º
X
θ
O
Luego se reemplaza por lo que
Se observa en la gráfica
(θ- X)
X = 15°
C
18. Problema Nº 06
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y
COD tal que la m∠AOC = m∠BOD = 90°. Calcule la
medida del ángulo formado por las bisectrices de
los ángulos AOB y COD.
RESOLUCIÓN
Construcción de la gráfica según el enunciado
De la figura:
A
M
α α
2α + θ = 90°
(+)
θ + 2β = 90°
2α + 2θ + 2β = 180°
α + θ + β = 90°
B
θ
C
X
X=α+θ+β
β
β
N
X = 90°
D
19. Problema Nº 07
Si m // n . Calcule la medida del ángulo “X”
m
α
α
80°
X
θ
θ
30°
n
