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1. I.E. 1003 “REPUBLICA DE COLOMBIA” GEOMETRÍA
ccesarepublicacolombia.blogspot.com4º
II. LA
CONGRUENCIA DE
TRIÁNGULOS
Prof. Ccesa
1. DEFINICIÓN
Se dice que un triángulo es congruente
con otro, si sus lados respectivos son
congruentes y sus ángulos respectivos
también lo son.
Ejemplo:
Consideremos los triángulos de la figura.
Dado que estos triángulos tienen lados
respectivamente congruentes, que son:
AB  DF, AC  ED, BC  EF; y que también
tienen ángulos respectivamente
congruentes, es decir:
A  D, C  E, B  F, Entonces
afirmamos: ABC  EDF
2. CRITERIOS DE CONGRUENCIA
Se llaman criterios de congruencia a los
postulados y teoremas que enuncian
cuáles son las condiciones mínimas que
deben reunir dos o más triángulos para
que sean congruentes.
Estos son:
Congruencia de sus ángulos.
Congruencia de sus lados.
Para que dos triángulos sean
congruentes, es suficiente que sólo
algunos lados y/o ángulos sean
congruentes.
Los postulados básicos de congruencia
de triángulos son:
a) POSTULADO L – A – L
Dos triángulos son congruentes si tienen
dos lados y el ángulo comprendido entre
ellos respectivamente congruentes.
* LAL  Significa: Lado-ángulo-lado.
Si:
* BC  QR
* AC  PR
* BCA  QRP
ABC  PQR
b) POSTULADO A – L – A
Dos triángulos son congruentes si tienen
dos ángulos y el lado común a ellos,
respectivamente congruentes.
* ALASignifica: ángulo-lado-ángulo.
Si:
* F  M
* G  N
* FG  MN
FGH  MNP
c) POSTULADO L – L – L
Dos triángulos son congruentes si tienen
sus tres lados, respectivamente
congruentes.
 LLL  Significa: lado-lado-lado.
Si:
* DE  RS
* EF  ST
* DF  RT
DEF  RST
3. TEOREMAS FUINDAMENTALES
Son los siguientes:
a) TEOREMA DE LA BISECTRIZ:
Todo punto perteneciente a la bisectriz
de un ángulo, equidista de los lados de
dicho ángulo.
Además:
b) TEOREMA DE LA MEDIATRIZ:
Todo punto perteneciente a la recta
mediatriz de un segmento equidista de
los extremos de dicho segmento.
c) TEOREMA DE LA BASE MEDIA:
Llamado también “Teorema de los puntos
medios”; si por un punto medio de un
lado se traza una paralela a otro de sus
lados, ésta cortará al tercer lado en su
punto medio y además el segmento
determinado es igual a la mitad de la
longitud del lado al cual es paralelo.
Además
d) TEOREMA DE LA MEDIANA EN EL
TRIÁNGULO RECTÁNGULO:
En todo triángulo rectángulo la longitud
de la mediana relativa a la hipotenusa es
igual a la mitad de dicha hipotenusa.
NATAL.
PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Halla” x”, si AB = NC
A
B
C
E D
F
Q

°°
A
C
P
R
B

° ° ° °
F NG M
H P

D
F
E R
T
S
°
°
P
B
A
O
PA = PB
OA = OB
P
BA PA = PB
B
FE
A C
E F// A C
EF =
2
A C
N
C
B
A
40° 20°
x
E
B
C
A
BE =
2
A C

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Solución:
 Haciendo trazos auxiliares se llega a
que:
BMA   BCN
Caso: (LAL)
x = 20°
2).- Halla “AB”, si CD =5
Solución:
* Haciendo un trazo auxiliar se llega a
que:
 ACD: Isosceles AB = AD
AB = 5
3).- Calcula “”
Solución:
* Haciendo un trazo auxiliar se llega
 DBC = Isósceles
 = 40°
4).- Del gráfico , calcula “”
Solución:
ABE   BCD (LLL)
 ABE : 6 +  + 2 = 180°
 = 20°
5).- Del gráfico, calcula “”.
Si: MC = 2(BM)
Solución:
* T. Mediatriz
AM = MC = 2n
Trig. Rect. ABM (30° - 60°)
2 = 60°
 = 30°
6).- Del gráfico, calcula “BE”
Solución:
Triángulo. Rect. (53° - 37°)
EL = 8
T. Bisectriz
BE = EL = 8
7).- Calcula “x”.
Solución:
*Por teorema de la bisectriz.
AP = PB
x2
+ 4 = 20
x2
= 16
x = 4
8).- Calcula “x”
Solución:
*Por teorema de la base media:
48/2 = 4x
6 = x

E
A
B
C
2 D
2

EA
B
C
5
2
5
5
D
20°
E
A

D
B
C
40°
20°
20°
E
A

D
B
C
3
3 2

3
3 2

2

B
C
D
E
A
M
Mediatriz
C
A
B
M
C

A
B
2

2n
n
°
°
P
B
A
O
x2
+ 4
20
B
FE
A C
48
4x
B
N
C
A
40° 20°20°
20°
a
a
a
b
X
b
M
2n
10
53°

B C
A
E
10
53°

B C
A
x
E
8
L

3. I.E. 1003 “REPUBLICA DE COLOMBIA” GEOMETRÍA
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PROBLEMAS PROPUESTOS
NIVEL I
1).- Calcula “x”.
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
2).- Calcula “x”.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3).- Halla “”.
a) 20°
b) 40°
c) 30°
d) 50°
e) 80°
4).- Halla “AB”, si NC = 15.
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) 17
5).- Calcula “PB”, si AM = 6 y “L” es
mediatriz de “AB”.
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 9
6).- Calcula “”, si AP = 7, PB = 3 y
AC = 11.
a) 30° b) 60° c) 37°
d) 53° e) 45°
7).- Calcula “x”.
a) 6 b) 2 c) 3
d) 4 e) 7
8).- Calcula “m”, si m + n = 24
a) 6 b) 12 c) 8
d) 7 e) 10
9).- Calcula “AB”, si AC = 12 y LC = 7.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
10).- Calcula “”, si BM es mediana.
a) 15° b) 16° c) 17°
d) 18° e) 19°
11).- Calcula “x”, si BM es mediana.
a) 54° b) 36° c) 45°
d) 15° e) 30°
12).- Calcula “x”.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
13).- Calcula “BM”.
a) 5 b) 4 c) 3
d) 6,5 e) 7,5
14).- Calcula “OH”, si AB = 16, si:
AM = MC y BO = OM.
a) 12 b) 8 c) 4
d) 2 e) 6
A
16 x2
+ 7
P
B
A
P
B
80° 2
A
B
CM
N

2

A
P
B
L
60°
M
A
B
C
P

14
2x + 1
n
m


L C
B
A
A
B
C
M
4

A
B
CM
x
36°
3x - 3
x + 1
A
B
C
M
5 12
A
B
C
M
H
O
53°
°
°
P
B
A
O
3 +2x
15

4. I.E. 1003 “REPUBLICA DE COLOMBIA” GEOMETRÍA
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15).- Calcula “”.
a) 20° b) 40° c) 30°
d) 60° e) 80°
NIVEL I
1).- Calcula “”, si BD=1; DC= 2 y AD:
Bisectriz.
a) 37° b) 45° c) 53°
d) 30° e) 36°
2).- En la Fig, AG = EC, si AF = 2.
Calcula “ED”
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3).- Del gráfico, calcula “MN”.
Si CM =10 y AB =12
a) 2 b) 2 2 c) 3 2
d) 4 2 e) 5 2
4).- Calcula “x”
a) 10°
b) 20°
c) 30°
d) 40°
e) 50°
5).- Calcula ”BC”, si AB = 8 y CD = 4
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
6).- Calcula “AB” , si CD = 8
a) 3 b) 5 c) 2
d) 4 e) 8
7).- Calcula “x”.
a) 5 b) 10 c) 15
d) 20 e) 25
8).- En la figura: AG = EC, si AF = 8.
Calcula “ED”.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
9).- Calcula “x”.
a) 15 b) 10 c) 20
d) 25 e) 35
10).- Calcula “AB”, si: CD = 4.
a) 3 b) 5 c) 2
d) 4 e) 6
11).- Calcula “”
a) 45° b) 30° c) 35°
d) 60° e) 37°
12).- Calcula “x”.
a) 8
b) 9
c) 10
d) 15
e) 5
13).- Calcula “MN”, si AC = 20.
a) 10
b) 9
c) 8
d) 7
e) 5
14).- Calcula “HM”, si AB =12.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 12
30°
E
A

D
B
C
A C
D
B

F D
C
E
B
A
G
B
A
D
C
E
A C
B
D

2
10
8x
F D
C
E
B
A
G
20°
20°
x

 
b
a
a + b
x
20
A S
M
C
B
N
A
H
C
M


B
40°
x
40°
A C
B
E
D
2

B
A CE
D
45°
A
C
M
B
N