Vectores

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email: mitagi@gmail.com – mitagi@hotmail.com
Web: http://www.migueltarazonagiraldo.com/ contactos@migueltarazonagiraldo.com
Página 1 de 14
Con los pies sobre la tierra……… o bajo la tierra
Uno de los grandes aportes de Isaac Newton a la física
fue su famosa segunda ley o segundo principio: “la
fuerza es igual a la masa multiplicada por la
aceleración”. Mediante ella podemos calcular como un
cuerpo se mueve cuando está sometido a la fuerza.
Sin embargo cuando se pretende comprender el
movimiento de ciertos cuerpos celestes con la ayuda
de las leyes de Newton, aparecen otras
contradicciones. Una de ellas es que la velocidad de
rotación de algunos objetos astronómicos muy lejanos
excede la que cabría esperar de su masa visible.
Podemos entonces, suponer que existe un nuevo tipo
de materia, llamada “materia oscura”, que permite
explicar aquellos que con los principios de Newton no
es posible.
Así, se ha montado un laboratorio a más de 700 m de
profundidad en una antigua mina de hierro de
Minnesota (Estados Unidos), con el objetivo de
eliminar todos los ruidos posibles y detectar la
llamadas “partículas masivas débilmente
interactuantes “que se supone componen la materia
oscura. La idea es que una de esas partículas choque
con un núcleo atómico, y podamos medir
confiablemente la débil energía resultante. Después de
9 años de intensa búsqueda y varias falsas alarmas, el
hecho es que todavía no hay detecciones claras. A lo
mejor el 2013 nos trae mejor suerte.
Otro enfoque
Sin embargo, algunos piensan que en vez de investigar
acerca de la materia oscura, lo que se debe hacer es un
“pequeño ajuste” a la segunda ley de Newton, para
explicar las anomalías observadas en los objetos extra
galácticos.
El ajuste se basa en la hipótesis de la dinámica de
Newton modificada (MOND), que se basa en la
suposición de que la 2º ley de Newton no se cumple
para aceleraciones extraordinarias pequeñas.
Los científicos han realizados numerosas pruebas pero
sin embargo estas demuestran que la 2º ley de Newton
se sigue cumpliendo.
Capacidad de Comprensión de información
 Elabora un organizador visual de la lectura
Capacidad de juicio critico
Opina y responde
 ¿Qué valor tiene para el desarrollo de la ciencia el
trabajo de los investigadores para las generaciones
posteriores?
 ¿Qué valor tiene que las leyes de Newton puedan
seguir vigentes hasta el día de hoy?
 ¿Qué importancia tiene el postular un nuevo tipo
de materia llamado materia oscura?
 ¿Por qué para un mismo fenómeno, con la
velocidad de rotación de un cuerpo celeste lejano,
existen dos corrientes de investigación?
 Para el trabajo de la ciencia ¿Qué es más
importante: comprender un hecho o establecer
una ley que modela una si
 Forma un glosario de las palabras nuevas que
encuentres en la lectura, busca el significa en el
diccionario , encuentra sus sinónimos y antónimos
y forma oraciones
CONSULTORIO MATEMÁTICO “MITAGI”
ÁREA: MATEMÁTICA CURSO: MATEMÁTICA BÁSICA
TEMA: VECTORES
PUENTE PIEDRA
AÑO - 2017

Página 2 de 14
VECTORES I
La magnitudes físicas por su naturaleza se pueden clasificar en:
escalares y vectoriales
Magnitud Escalar: Son aquellas que requieren de un módulo
(valor+unidad) solamente, para su definición.
Magnitud Vectorial: Requiere para su correcta definición, además
de un módulo, una dirección.
Ejm: La velocidad, la aceleración; etc.
VECTOR: Segmento de recta orientado, que sirve para representar
una magnitud vectorial.

A : Se lee vector

A
||

A : Magnitud o módulo del vector

A
a) La magnitud es el valor del vector “

A ” (a)
b) La dirección está determinada por el ángulo  entre el
vector y el eje x
VECTORES IGUALES
Si: BA  (Magnitudes iguales)
21   (Direcciones iguales)
VECTOR OPUESTO: Es un vector de igual magnitud, peso, de
dirección contraria al vector dado.
Se cumple que:
AAA 
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
a) Cuando el número es positivo, sólo es afectado la magnitud del
vector
b) Cuando el número es negativo el magnitud varía y además
cambia el la dirección del vector.
Ejm:
SUMA DE VECTORES
La suma de 2 o más vectores es hallar un vector llamado resultante.
1. Método del Paralelogramo
Casos particulares:
a) Si  =0°(Direcciones iguales)
b) Si  = 180°(Direcciones opuestas)
c) Si =90° (Perpendiculares)
A
B
R


 BA
–
–2
3
2 +1,5
Rmáx=(A+B)
RBAR 
A

B
ABCosBAR 222

La dirección lo determina el ángulo
a
x
180°
Rmín=(A – B)

Página 3 de 14
01. Hallar el valor de la resultante del grupo de vectores
mostrados
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 0
02. ¿Cuál es el valor de la resultante? Los vectores están
colocados en un rectángulo.
A) 12
B) 16
C) 6
D) 8
E) 20
03. Del grupo de vectores mostrados, hallar:
DCBA  2
3
1
A) 12
B) –12
C) 7
D) – 7
E) 0
04. En la figura: 40||20||  DyC , determinar su
resultante
A) 20
B) 20 3
C) 20 5
D) 20 7
E) 60
05. Dos vectores a y b forman entre sí un ángulo de 53°. ¿Qué
ángulo formarán los vectores 2 a y –2 b?
A) 53° B) 106° C) Cero
D) 127° E) 90°
06. Hallar el valor de los módulos de 2 vectores sabiendo que su
resultante máxima vale 14 y el valor mínimo de su resultante
vale 4
A) 6,8 B) 9,5 C) 10,4
D) 12,5 E) 7,7
07. Encontrar el módulo de la resultante, si:
|a| = 6 y |b| = 6
A) 2 3
B) 4 3
C) 6 3
D) 8 3
E) 0
08. Hallar el módulo y dirección de la resultante del grupo de
vectores mostrados. Todos los vectores son paralelos
A) 7() B) 7() C) 12()
D) 12() E) 0
09. Encontrar el módulo de la resultante, sabiendo que:
8||;6||  ba
A) 12,2
B) 14,2
C) 2,14
D) 2,12
E) 13,5
10. Calcular el módulo de la resultante de los vectores mostrados:
A) 32
B) 22
C) 10
D) 2
E) 5
11. Determinar la resultante para los vectores dados, siendo:
3||;4||;2||;10||  dcba
A) 5 B) 4 C) 3 D) 7 E) 2
12. Hallar la resultante de:
A) 22
B) 20
C) 18
D) 21
E) 23
13. Calcular el valor de la resultante de dos vectores de 3 u y 5u,
que forman un ángulo de 53°.
A) 2 6 u B) 13 u C) 2 13 u
D) 2 26 u E) 26 u
14. Determinar el módulo de la resultante, si:
8||4||||  CyBA
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
F)
4 3 5
6
6
4
10
0
y
x
12
4 3
2
60°
30°
120°
10
12
10
53°
7
15
120°
3
2
7
5
6
4
8
6
80°
20°

Página 4 de 14
15. Determinar el módulo de la resultante.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Más Ejercicios
01. En la figura, calcular el módulo de la resultante.
A) 13
B) 10
C) 6
D) 16
E) N.A
02. Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados:
NbyNa 3||5|| 
A) 5N
B) 6N
C) 7N
D) 8N
E) 9N
03. Dos vectores tienen una resultante mínima que vale 4 y una
resultante máxima o igual a 16. ¿Cuál es la resultante de estos
vectores cuando formen 60°?
A) 7 B) 9 C) 14 D) 5 E) 12
04. Hallar: BA2 y su dirección
A) 10 3
B) 10 3
C) 20 3
D) 20 3
E) 2
TAREA DOMICILIARIA
Comprensión de Información
1. ¿Qué es un vector?
2. Explica cómo se descompone un vector
Indagación científica
3. Indaga como se representaría vectorialmente
el movimiento de los autos.
4. Crea escenas de autos que viajan en
diferentes direcciones, realizando vectores de
cada recorrido. Luego realiza con estas
diversas operaciones vectoriales
Valores y actitudes
5. ¿Cuál es la utilidad para la ciencia diferenciar
las magnitudes vectoriales de las escalares?
UNA CORRIENTE DE AIRE
Newton (1642 – 1727) fue elegido miembro del
parlamento británico en 1689. Acudió durante
muchos años a su puesto aunque nunca intervenía.
En cierta ocasión, Newton se levantó durante una
sesión y se hizo un gran silencio para escuchar sus
palabras. Todo lo que Newton hizo fue pedir que
cerrasen una ventana abierta porque había mucha
corriente.
Recuerda que todos los vectores no colineales ni paralelos
no puedes sumarse directamente puesto que la suma
aritmética o algebraica es diferente a la suma vectorial en el
caso de estos vectores. Recuerda que el vector suma o
resultante vectorial de 2 o más vectores no colineales ni
paralelos se determina ubicando los vectores uno a
continuación de otro, determinando estos una poligonal
abierta, que será cerrada por el vector resultante.
R
A
B
C
DE
𝑅⃗ = 𝐴 + 𝐵⃗ + 𝐶 + 𝐷⃗⃗ + 𝐸⃗
CASO ESPECIAL
Cuando un polígono presenta los vectores sucesivos, es
decir no observamos intersección de cabezas de flecha no
existirá resultante (R = 0)
a b c
d
e
f
𝑎 + 𝑏⃗ + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 = 0
60°
60°
6
106
72°
12°
5
1060°
–
6
5
4

Página 5 de 14
18
P
Q
37º 53º
37º
a bx
a b
x
A B C D E
F
G H
3 2 4 3
a
b c
x
a
b
c
d
e
50º 40º
b = 10 C = 24
a
Método Poligonal
1) Para el sistema mostrado, encontrar una
expresión vectorial para 𝑋 en función de
𝑎, 𝑏⃗ 𝑦 𝑐.
A) x = c – b + a
B) x = b – c + a
C) x = b + c + a
D) x = b + c – a
E) x = -b + c - a
2) Determinar la resultante
A) 2b
B) 2(a +b)
C) 3c
D) 3d
E) 2(e + d)
3) Determinar el módulo de la resultante de los
vectores mostrados
A) 10√3
B) 43
C) 52
D) 48
E) 56
4) En el esquema se sabe que: 𝑃⃗ = 𝐴 + 4𝐵⃗⃗⃗ y
𝑄⃗ = 3𝐵⃗ − 𝐴
Se pide calcular el módulo de 𝐵⃗
A) 1
B) 2
C) 3
D) 14
E) 7
5) Calcular el módulo de la resultante de los
vectores mostrados , si el lado del hexágono
regular mide “a”
A) 1 a
B) 3 a
C) 2 a
D) 4 a
E) 5 a
6) Determinar una expresión vectorial para “x”
en función de 𝑎 𝑦 𝑏⃗
A)
𝑎+𝑏
25
B)
𝑎 − 𝑏
25
C)
16𝑎+9𝑏
25
D)
9𝑎+16𝑏
25
E)
𝑎+16𝑏
25
7) Determinar una expresión vectorial para 𝑥 en
términos de 𝑎 𝑦 𝑏⃗
A)
𝑎 − 𝑏
2
B)
2𝑏− 3𝑎
5
C)
3𝑎 − 𝑏
2
D)
2𝑏 − 3𝑎
6
E)
𝑎 − 𝑏
5
8) Dado el siguiente conjunto de vectores se
pide encontrar su vector resultante, esto es
indicar su módulo y su correspondiente
dirección
A) 1(→)
B) 2(→)
C) 3(←)
D) 4(→)
E) 5(←)

Página 6 de 14
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D E
A B
S
P Q R
X
a
X
P M Q
N
R
45º b
X
T
Q
M
AB
G
A
B
X
P
A
O
M
B
QN
X
9) Determinar la suma de todos los vectores que
se muestran en la figura
A) D
B) 2D
C) 3D
D) 4D
E) 5D
10) Determinar el módulo de 𝐴 + 𝐵⃗ − 𝐶 + 𝐷⃗⃗ − 𝐸⃗
Para el sistema mostrado donde
|𝐴| = 3; |𝐵⃗ | = 6
A) 6√2
B) 5√2
C) 4√2
D) 3√2
E) √2
11) En el triángulo mostrado encontrar el vector
“x” en función de los vectores 𝐴⃗⃗⃗ 𝑦 𝐵⃗ , si se
cumple que 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑄𝑅
2
A)
2𝐴+𝐵
3
B)
𝐴+𝐵
3
C)
2𝐴−𝐵
3
D)
𝐴−𝐵
3
E)
2𝐴+𝐵
6
12) Del triángulo PQR,M es punto medio de PQ.
Determinar una expresión para “X” en función
de a y b.
A)
4𝑎−𝑏
6
B)
𝑎−𝑏
6
C)
𝑎−4𝑏
6
D)
4𝑎+𝑏
6
E)
4𝑎−2𝑏
6
13) Sabiendo que “G” es el baricentro del
triángulo TQM. ¿encuentra una expresión
para X en función de A y B?
A)
𝐴+2
6
B)
𝐴+𝐵
2
C)
𝐴− 𝐵
6
D)
𝐴+𝐵
6
E)
𝐴+2𝐵
6
14) Dado el siguiente sistema de vectores, se pide
determinar una expresión para “X” en función
de A y B
A)
2𝐵+𝐴
4
B)
2𝐵− 𝐴
4
C)
2𝐵+3𝐴
4
D)
𝐵+2𝐴
4
E)
𝐵−2𝐴
4
15) Del sistema vectorial mostrado, se sabe que:
𝑚𝐴 + 𝑛𝐵⃗⃗⃗ − 𝑝𝑋 = 0
Calcular 𝐸 = 4𝑚 − 8𝑛 + 𝑝, sabiendo que M y
N son puntos medios de ON y PQ
respectivamente.
A) 4
B) 6
C) 2
D) 8
E) 10

Página 7 de 14
A
B
C
D
E
a
b
c
2b c
- b
a x
xx
A
B
C
Más Ejercicios
1) Calcular el módulo de la resultante de los
vectores mostrados si el lado del hexágono
regular mide “X” y el valor de x es
adimensional
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
2) Encontrar la resultante
A) 2b
B) 3ª
C) 2c
D) 2(a +b)
E) 3d
3) Encontrar una expresión vectorial para X en
función de a, b y c.
A) X = a – b – c
B) X = c + a – b
C) X = - a – b +c
D) X = a + b + c
E) X= -c + a – b
4) Determinar el módulo de la suma de los
vectores A,B,C mostrados en la figura, donde
| 𝐴| = 8𝑚; | 𝐵| = 3𝑚 𝑦 | 𝐶| = 5𝑚.
A) 3m
B) 4m
C) 6m
D) 8m
E) 9m
Descomposición Rectangular
Es una operación que consiste en reemplazar un vector por otros
dos o más vectores llamados componentes.
CONPONENTES ORTOGONALES
Donde:
 V = Vector a descomponer
 xV = Componentes en x
 yV = Componente en y
Se cumple:


Otras maneras de descomponer
1.
2.
3.
Nota: Un vector tiene infinitos componentes
El módulo de 1V y 2V se obtienen con propiedades de la
Geometría y/o Trigonometría
Y
X0
yx VVV  VCosV x
VSenV x
Vsen
0
Vcos
0
Vector a
descomponer
Componente 1
Componente 2
Componente
Componente
0

Página 8 de 14
NOTAS:
1.
2.
3.
4.
CÁLCULO DE LA MAGNITUD RESULTANTE (

R ) POR
DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR:
1er
Paso: Se descomponen los vectores respecto a los ejes.
2do
Paso: Se calcula la resultante parcial en cada eje (Rx, Ry)
teniendo en cuenta la convención de signos.
3er
Paso: Finalmente la magnitud de resultante (

R ) se calcula
por el teorema de Pitágoras.
x
y
yx
R
R
Tg
RRR

 22
Ejercicios
01. Determinar el módulo de la resultante:
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
E) 50
02. Hallar la resultante:
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
03. Determinar: BA
A) 50
B) 120
C) 130
D) 170
E) 180
04. El módulo de la resultante, del siguiente sistema es:
A) Cero
B) 2
C) 2 3
D) 4
E) 4 3
05. Determinar: CBA  ; si A=B=C=20
A) Cero
B) 4
C) 8
D) 12
E) 20
06. Si: K=10, determinar el módulo de la resultante. (Considerar:
3 =1,73)
A) 1,73
B) 17,3
C) 7,73
D) 77,3
E) 60
A) 10 2
B) 8
C) 6
D) 5 2
E) 8 2
08. El módulo del vector resultante es:
A) 25
B) 45
C) 55
D) 65
E) 50
45°
45°h
30°
60°2.k
1.k
k
30°
60°h
45°
45°.k
1.k
1.k
37°
53°5.k
3.k
4.k
16°
74°
25.k
7.k
24.k
5.k13.k
12.k
hSen h
hCos
hSen
53° 37°
2015
y
x
53° 37°
50
120
y
x
6
60° 37°
104
y
x
45°
37°
37°
x
y
6 K
12 K
60°45°
5 K
20
50
45°
53°
x
y
50
53°
A=100
y
B=55
x
10
37°37°
6
y
5
x

Página 9 de 14
A) 30
B) 60
C) 90
D) 120
E) 150
10. Determinar la dirección del vector resultante.
(A=100 2 ; B=C=D=100)
A) 30°
B) 37°
C) 45°
D) 53°
E) 60°
11. Si el módulo de la resultante es igual a 10, determinar el valor
de “A”.
A) 1
B) 1,5
C) 2
D) 2,5
E) 4
12. ¿Qué ángulo forma la resultante con el eje”x”?
A) 0°
B) 30°
C) 37°
D) 53°
E) 45°
13. En el sistema de vectores mostrado, determinar el módulo y
la dirección del vector resultante.
A) 4 y 37°
B) 4 y 45°
C) 5 y 37°
D) 4 2 y 45°
E) 4 2 y 37°
14. ¿Qué ángulo forma la resultante con el eje “x”?
A) 30°
B) 45°
C) 37°
D) 60°
E) 53°
A) 25
B) 25 2
C) 50
D) 50 2
E) 75
Más Ejercicios
01. En la figura, calcular la resultante de:
A) 6k
B) 8k
C) 4k
D) 10k
E) 16k
02. Hallar la resultante y la dirección del sistema mostrado:
A) 25k; 37°
B) 75k; 216°
C) 50k; 37°
D) 25k; 143°
E) 50k;217°
03. Hallar la resultante de todos los vectores mostrados y su
sentido:
A) 12  
B) 12  
C) 8  
D) 8  
E) 6  
04. Hallar la resultante y su sentido:
A) 0
B) 10 3  
C) 20 3  
D) 20  
E) 20  
05. Determinar la resultante del siguiente sistema de vectores:
A) 20k
B) 30k
C) 40k
D) 50k
E) 10k
120
53°37°
y
90
x
37° 45°
y
x
37°
4A
37°
45°
10A
5A
x
37°
1010
45°
37°
14
y
x
37°
150
30
y
x
K
5K
3K
37°
45° x
y
100
37°
37°
50
y
50
x
2 2
44
22
37°
30k
40k
53°
30°30°
10
10 10
24k
10k
10k
10 K45°
37°
90k
100k
40k

Página 10 de 14
e
d
c
b
a
60º
80º
5cm
A
20º
3cm
B
60º 37º
2F
1F
45º
37º
A=10 2
C=5u
B=5u
A
z
y
x
α β
ϒ
Práctica dirigida
1) Determinemos el módulo y al dirección del
vector dado
A
1u
1u
a) 5u; 37º b) 10u; 45º c) 4u; 53º d) 7; 37º
e) 10u;60º
2) Determine el modulo y la dirección del
desplazamiento total que experimenta un
colibrí si primero se desplaza 120m hacia el
norte, luego 60m hacia el este y finalmente
40m hacia el sur.
a) 100m;36º b) 50m; 45º c) 100m; 53º
d) 50m; 37º e) 10m;60º
3) Dado el siguiente conjunto de vectores donde
∣a∣ = 5u y ∣d∣= 3u, determinar el módulo de
la resultante de los vectores mostrados
a) 10u
b) 12u
c) 14u
d) 7u
e) 2u
4) Dados los vectores A y B determinemos el
vector resultante y su respectivo módulo.
a) 7u
b) 15u
c) 6u
d) 9u
e) 11u
5) Dados dos vectores 𝐴 𝑦 𝐵⃗ que forman entre
si 60º, donde A = 10u y el módulo del vector
diferencia tiene su menor valor, determine el
módulo del vector resultante entre 𝐴 𝑦 𝐵⃗ .
a) √7 b) 3√7 c) 4√7 d)5 √7 e) 2√7
6) Descomponer un vector 𝐴 de módulo 120u
en dos vectores que formen un ángulo de
53º y 74º con el mencionado vector.
a) 141u b) 142u c) 145u
d) 143u e) 144u
7) Un clavo empotrado en el techo es jalado
por las fuerzas 𝐹1
⃗⃗⃗ de módulo 120 N y 𝐹2
⃗⃗⃗⃗
según muestra el gráfico. Determine el
módulo de 𝐹2
⃗⃗⃗⃗ , de tal manera que dicho clavo
salga verticalmente. asimismo determine el
módulo de la fuerza resultante debido a
𝐹1
⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦 𝐹2
⃗⃗⃗⃗
a) 70N
b) 71N
c) 73N
d) 74N
e) 75N
8) En el sistema de vectores que se muestra,
determine el módulo de la resultante
a) 6√5
b) √5
c) 5√5
d) 5
e) 10
9) Exprese el 𝐴 en función de los vectores
unitarios 𝑖̂; 𝑗̂; 𝑘̂ sabiendo que su proyección
sobre el eje x es de 20u.
(cos ∝=
2√2
5
; cos 𝛽 =
√2
2
)
a) (20𝑖̂ + 25𝑗̂ + 15𝑘̂)
b) (10𝑖̂ + 15𝑗̂ + 15𝑘̂)
c) (2𝑖̂ + 2𝑗̂ + 1𝑘̂)
d) (20𝑖̂ + 15𝑗̂ + 25𝑘̂)
e) (20𝑖̂ + 25𝑗̂ + 5𝑘̂)
10) Se muestra un conjunto de vectores
dispuestos sobre un cubo cuya arista mide
“a”. Determinar el módulo de

Página 11 de 14
60º
23º
F
F1
2
2u
3u
4u
A
B
C
D
𝑘̂ = 𝐴 + 𝐵⃗ + 𝐶
(NyP son puntos medios)
a)
𝑎
2
b) 𝑎√6 c) a d)
𝑎√6
2
e) 1
11) Dados los vectores 𝐴⃗⃗⃗ 𝑦 𝐵⃗ ; 𝐴 = (20; 15)𝑢 y
𝐵⃗ = (24√2; −7√2)𝑢 Determine:
I. 𝐴⃗⃗⃗ ∗ 𝐵⃗
II.- El ángulo que forman los vectores 𝐴⃗⃗⃗ 𝑦 𝐵⃗
a) 375√2𝑢2
; 53º b) 35√2𝑢2
; 53º
c) 375√2𝑢2
; 37º d) 37√2𝑢2
; 37º
e) 375√2𝑢2
; 45º
12) Sean 𝐴 = (2 𝑖⏞ + 3 𝑗⏞ + 5𝑘̂) 𝑢 y
𝐵⃗ = (3 𝑖⏞ + 8 𝑗⏞ + 5𝑘̂) 𝑢 Determine el
producto vectorial 𝐴 × 𝐵⃗ y su módulo
además ¿Qué ángulo forman entre si los
vectores?
a) 26,44u y 0,431 b) 26,44u y 4,31
c) 15,44 y 0,341 d) 65,44 y 0,645
e) 25,44 y 25º 30' 57"
13) Sobre un clavo incrustado en un plano
inclinado actúan dos fuerzas que se
representan mediante los vectores 𝐹1
⃗⃗⃗ 𝑦 𝐹2
⃗⃗⃗⃗ .
Si su resultante está en la vertical y 𝐹2
⃗⃗⃗⃗ =
30𝑁. Determine los módulos de los
componentes de 𝐹1
⃗⃗⃗ en una dirección
paralela y perpendicular al plano inclinado.
a) 40N y 30N
b) 48N y 30N
c) 48N y 36N
d) 45N y 15N
e) Faltan datos.
14) Determine el módulo de la resultante del
sistema de vectores mostrados
a) 2u
b) 4u
c) 6u
d) 8u
e) 10u
15) En el gráfico, se muestra dos vectores que
representan aceleraciones y una tangente a
una curva. Si la pendiente de la recta
tangente es 0,75, determine el módulo de la
aceleración resultante en la dirección
tangente y normal a la curva para cada caso
a=15m/s2
a =10m/s2
2
curva
Recta
tangente
a) 6 m/s2
y 7 m/s2
b) 8 m/s2
y 10 m/s2
c) 16 m/s2
y 17 m/s2
d) 6 m/s2
y 17 m/s2
e) 12 m/s2
y 14 m/s2
16) Determine y grafique el vector unitario de la
resultante de los vectores que se muestran.
Considere a = 6u y b = 16u.
Y
X
a
b
c
d e
f
Y
Xi
j

Página 12 de 14
Repaso de unidad
01. Si la máxima resultante de dos vectores es 23 y su
mínima resultante 7. Hallar el módulo de la resultante
cuando los vectores forman un ángulo de 90°
A) 15 B) 17 C) 20 D) 22 E) 24
02. Se tiene dos vectores de módulos 9cm y 15cm. ¿Qué
ángulo forman si la resultante entre ellos mide 21cm?
A) 30° B) 60° C) 53° D) 37° E) 45°
03. Se tiene dos vectores || a =5N y || b =3N, calcular
|2| ba 
A) 4N
B) 5N
C) 6N
D) 7N
E) 8N
04. Hallar: || BA
A) 1
B) 2
C) 3
D) 3
E) 7
A) 30
B) 60
C) 90
D) 120
E) 150
A) 25
B) 25 2
C) 50
D) 50 2
E) 75
A) 10 2
B) 8
C) 6
D) 5 2
E) 8 2
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70
09. Calcular: |32| CBA 
A) 3
B) 23
C) 13
D) 2
E) 5
10. Calcular el módulo de la resultante en el siguiente
paralelogramo ( =120°)
(M y N puntos medios)
A) 10
B) 15
C) 25
D) 17,5
E) 30
11. Si M es punto medio del trapecio, hallar el módulo de la
resultante
A) 6
B) 8
C) 10
D) 14 E) 15
12. Determinar el módulo de la resultante sabiendo que es
el máximo posible. Además hallar x(radio=2)
A) 2; 30°
B) 4; 30°
C) 12; 30°
D) 4; 60° E) 12; 60°
13. Hallar el módulo de la resultante
A) 12
B) 16
C) 13
D) 19
E) 22
14. Hallar  para que los vectores mostrados se
encuentren en el eje Y
A) 37°
B) 30°
C) 45°
D) 60°
E) 53°
15. La figura muestra la disposición de tres vectores,

CyBA, , la magnitud de la resultante es
A) 0
B) 3
C) 1
D) 6
E) 9
10°63°
A=1
B=2
87°
33°
90
120
37° 53°
50
100
37°
37°
50
50
53°
45°
50
20
40
60°
60°
80
80
30
5
4
3
5
5
M
N
8
3
M
60°
x
4
15
37° 37°
8°
10
80
50
20
20
53°
-6
-6
6
6
-3 3
-3
0
3
X
Y

Página 13 de 14
16. En la figura, donde cada cuadrado tiene longitud 1u, se
muestra la disposición de tres vectores

CyBA, . Si

 CNBKA los valores de K y N son
A) 5 y 0
B) 5 y 3
C) 3 y –3
D) 3 y 6
E) –3 y 9
17. En la figura que se muestra, calcular el ángulo  y la
magnitud de B de tal modo que

 0CBA
sabiendo que A=10u.
A) 45°, 5u
B) 30°, 15u
C) 37°, 10u
D) 37°, 5u
E) 53°, 10u
18. En la figura mostrada, determinar el módulo del vector
resultante si 20||;15|| 

BA (Cos164°= –24/25)
A) 5
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
19. Hallar el módulo del vector resultante de los tres
vectores mostrados en la figura
(Lado del cuadrado: 2)
A) 3
B) 3 2
C) 4
D) 4 2
E) 5
20. En la figura mostrada, el lado de cada cuadrado
pequeño mide 1cm, calcular el módulo de

 dcba
A) 1
B) 2
C) 2
D) 5
E) 2 5
21. Si la resultante del sistema es cero, hallar “P”
A) 200
B) 150
C) 500
D) 100
E) 250
TAREA domiciliaria
01. Hallar el módulo de la resultante:
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
02. Se tienen dos vectores de módulos 14N y 30N que dan
una resultante de 40N. ¿Qué ángulo formarán dichos
vectores entre sí?
A) 30° B) 37° C) 53° D) 60° E) 90°
03. Si dos vectores de igual módulo forman entre sí un
ángulo “ ” y se sabe que el módulo de la resultante es
el doble de la diferencia. Hallar “ ”
A) 30° B) 45° C) 53° D) 60° E) 90°
04. En el siguiente triángulo equilátero de lado 4 unidades
de longitud. Hallar la resultante, además M, N P son
puntos medios.
A) 2 19
B) 19
C) 2 13
D) 19
E) 76
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 10
06. Determinar el módulo de la resultante del siguiente
sistema de vectores:
A) Cero
B) 6
C) 8
D) 6 3
E) 8 3
164°
37°
0
16
240
x
y
P
70
110° 50°
A=10
B=6
P
NM
5
10
37°
53°
6
6
30°
53°
16
10

Página 14 de 14
07. Hallar la resultante de los siguientes vectores:
A) 5
B) 3
C) 15
D) 7
E) 10
08. Calcular el módulo de la resultante en cada caso
)75( 
A) 5 2 : 7 3 B) 5 : 7
C) 10 2 : 7 6 D) 5 2 : 7 6
E) 15 2 : 7 3
09. Calcular:
3
3
B
A 
A) 7
B) 14
C) 12
D) 15
E) 25
10. Calcular el módulo del vector resultante en cada caso
A) 4 : 5 B) 8 3 : 5 C) 4 3 : 19
D) 8 3 : 19 E) 5 3 : 13
11. Calcular el módulo de la resultante
A) 1
B) 4
C) 9
D) 7
E) 5
12. Calcular el valor de la resultante en el tetraedro regular
de lado 10
A) 15 B) 15 7
C) 5 3 D) 5 7
E) 5 5
13. Calcular el módulo de la resultante
A) 5
B) –5
C) 10
D) 6
E) 8
14. En el siguiente rectángulo, determinar el módulo del
vector resultante (M y N puntos medios)
A) 3
B) 4
C) 5
D) 10
E) 15
15. Determinar el módulo de la resultante
A) 2
B) 5
C) 3
D) 7
E) 2
16. Dado el conjunto de vectores calcular el valor de la
resultante.
A) 85
B) 60
C) 35
D) 25
E) 15
17. Hallar el ángulo que forman dos vectores de igual
módulo, si su vector resultante tiene el mismo módulo
que los vectores componentes
A) 60° B) 75° C) 90° D) 120° E) 150°
18. Dados los vectores 6||5|| 

ByA , mostrados en la
figura adjunta, calcular ||

 BA
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) N.A
5
5
45°
37°53°
10
5
60°
60°
7
7
7
5
5
60°
15 B
A
1
5 120°
4
8
6
6
8 N
M
°
44° 46°
25°
20
40
Y
X
10°
63°
60°60°
5
13 3 60°
60°
3
2
1

Vectores

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Vectores

Similar a Vectores (20)

Más de UNI - UCH - UCV - UNMSM - UNFV

Más de UNI - UCH - UCV - UNMSM - UNFV (20)

Último

Último (20)

Vectores