Este documento presenta conceptos básicos sobre ángulos trigonométricos en posición normal. Explica que un ángulo está en posición normal si su vértice está en el origen y su lado inicial coincide con el eje X positivo. Define las razones trigonométricas para ángulos en posición normal y explica sus signos en cada cuadrante. También introduce ángulos cuadrantales y presenta ejercicios de práctica para aplicar los conceptos.

1. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Nota:
El radio vector siempre es positivo
Un ángulo trigonométrico está en Posición Normal
si su vértice está en el origen de coordenadas y su SIGNOS DE LA R.T. EN CADA CUADRANTE
lado inicial coincide con el lado positivo del eje X y Para hallar los signos en cada cuadrante
el otro está en cualquier cuadrante existe una regla muy práctica
Si el lado final coincide con un eje se dice que el Regla Práctica
ángulo no pertenece a ningún cuadrante.
Son Positivos:
Ejemplos: Y 90º
a.
Sen
β Csc Todas
α 0º
X 180º 360º
0
θ Tg Cos
Ctg Sec
270º
α ∈ IC
β ∈ IIC
ÁNGULO CUADRANTAL
θ ∈ IIIC Un ángulo en posición normal se llamará
Cuadrantal cuando su lado final coincide con
Y un eje. En consecuencia no pertenece a
ningún cuadrante.
b. Los principales ángulos cuadrantes son: 0º,
90º, 180º, 270º y 360º, que por “comodidad
gráfica” se escribirán en los extremos de los
90º ejes.
X
0
θ 90º
IIC IC
90º ∉ a ningún cuadrante
θ no está en posición normal 0º
180º 360º
IIIC IVC
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
EN POSICIÓN NORMAL
Si θ es un ángulo cualquiera en posición
normal, sus razones trigonométricas se 270º
definen como sigue:
Propiedades
Y Si θ es un ángulo en posición normal positivo y
r = x 2 + y 2 , r ≥ 0 menor que una vuelta entonces se cumple: (0º
P(x;y) x=Abscisa < θ < 360º)
y=Ordenada
r r=radio vector Si θ ∈ IC  0º < θ < 90º
θ
Si θ ∈ IIC  90º < θ < 180º
X Si θ ∈ IIIIC  180º < θ < 270º
0
Si θ ∈ VIC  270º < θ < 360º

2. R.T. DE ÁNGULOS CUADRANTALES
0º 90º 180º 270º 360º
R.T 3. Del gráfico mostrado, calcular:
Sen 0 1 0 -1 0 Cscα
E=
Secα
Cos 1 0 -1 0 1
Y
Tg 0 ND 0 ND 0
Ctg ND 0 ND 0 ND α
X
Sec 1 ND 0 ND 1 0
Csc ND 1 ND -1 ND
(-7; -24)
EJERCICIOS a) 24/7 b) –7/24 c) 25/7
d) –24/7 e) 7/24
Nivel I 4. Del gráfico mostrado, calcular:
E=Ctgβ – Cscβ
1. Del gráfico mostrado, calcular:
E = Senφ * Cosφ Y
Y
β
X
3; 2
φ
X (15; -8)
a) 2 b) 4 c) 1/2
5 5 6 d) 1/4 e) 1/5
a) b) c)
6 5 5
5. Si (3; 4) es un punto del lado final de un
6 6 ángulo en posición normal φ. Hallar el valor de:
d) e)
6 8 Senφ
E=
1 − Cosφ
2. Del gráfico mostrado, calcular: a) 1 b) 2 c) 1/2
E=Sec φ + Tg φ d) 3 e) 1/3
Y 6. Si el lado de un ángulo en posición estándar θ
pasa por el punto (–1; 2). Hallar el valor de:
E = Secθ . Cscθ
(-12; 5)
a) –5/2 b) 5/2 c) –2/5
d) 2/5 e) 1
φ
X 7. Si el punto (–9; –40) pertenece al lado final de
un ángulo en posición normal α. Hallar el valor
de:
a) 3/2 b) –3/2 c) 2/3 E = Cscα + Ctgα
d) –2/3 e) 1
a) 4/5 b) –5/4 c) –4/5
d) 5/4 e) –4/3

3. 3 2
d) e) −
8. Dado el punto (20;-21) correspondiente al lado 2 2
final de un ángulo en posición normal β. Hallar
el valor de: 3π
16. Si Csc2θ = 16 ∧ π < θ < .
E = Tgβ + Secβ 2
Hallar el valor de: E = 15 Tgθ − Senθ
a) 2/5 b) –2/5 c) 1
d) 5/2 e) –5/2
a) –3/4 b) 3/4 c) –5/4
d) 5/4 e) 0
9. Si Cscθ < 0 ∧ Sec θ > 0. ¿En qué cuadrante
está θ?.
17. Calcular el valor de:
a) I b) II c) III
Tg360º
d) IV e) Es cuadrantal E= (Cos270º )Sen90º − +
Cos0º
10.Si θ ∈ II. Hallar el signo de: (Sec180º )C tg 270º
Senθ − 5Cosθ
E=
Tgθ + 3 C tg θ a) 0 b) 1 c) –1
d) 2 e) –3
a) + b) – c) + ó –
d) + y – e) No tiene signo 18. Calcular el valor de:
  π 
E = TgSen Cos  − Cos[ Tg(Senπ)]
  2 
11. Hallar el signo de:
E=Ctg432º . Tg2134º . Csc3214º . Sec4360º a) 0 b) 1 c) –1
d) 2 e) –3
a) + b) – c) + ∨ –
d) + ∧ – e) No tiene signo 19.Si (5; 12) es un punto del lado final de un
ángulo en posición normal φ. Hallar el valor de
1 − Senφ
E=
12.Si Senθ . Cosθ > 0. ¿En qué cuadrante está Cosφ
θ?. a) 5 b) –5 c) 1/5
d) –1/5 e) 10
a) I b) II c) III
d) I ∨ III e) II ∨ III 20. Del gráfico calcular:
P = ctgβ + Cscβ
1
13.Si Senθ = ∧ θ ∈ II. Hallar Tgθ. Y
3
2 2
a) b) − 2 2 c) −
4 2
0 X
2 β
d) 2 2 e) −
4 (7; -24)
14.Si Ctgφ = 0,25 ∧ φ ∈ III. Hallar Sec φ.
a) − 17 b) 17 c)
a) 3/4 b) –3/4 c) 1
17 d) 4/3 e) –4/3
4
17
d) − 14 e) − Nivel II
4
15.Si Ctg2φ = 3 ∧ 270º < θ < 360º. Hallar Sen θ 2 1
1. Si: cos θ = , θ ∈ IV C
3 16
a) 1/2 b) –1/2 c) − sec θ − csc θ
2 Calcule: M =
1 − ctg θ

4. 15 1 − 15
A) B) C) 5
4 4 4
7. Si: tg α = ∧ sen α < 0
1 2
D) − E) 4 Halle:
4
2. De la figura mostrada, determine: 29
E = csc α + cos α − 29 ctg α
M = tan α + tan β 4
A) 1/3 3 29 7 29 29
(-3;2) y A) − B) − C) −
B) 2/3 10 10 10
C) 1 β 11 29 3 29
D) − E) −
D) 2 10 10
E) 3 α
x 8. Si “b” es un ángulo de 4to cuadrante y
24
cos b = , halle:
25
V = 5 senb + 6 tgb + 12 sec b
3. Se tiene un ángulo“ θ ” en posición normal A) 12,85 B) 12,15 C) 10,35
que verifica las siguientes condiciones: D) 9,35 E) 8,35
i) cos θ = − cos θ Ctg θ
y θ ∈ III C
ii) tg θ = tg θ
9. Si 2Ctg θ −2 = 2
Halle: G = 17 sen θ − cos θ
 
5
iii) sen θ = A) 2 B) 3 C) 4
3 D) 5 E) 6
determine el valor de:
M = 5.csc θ + 9 cos θ 10.
cos θ
Si: sen2 θ = 4 sen θ
6 4
A) -11 B) -10 C) -9
D) -8 E) -6 Además θ ∈ IV cuadrante.
1
ctg α = 2, 4 ∧ csc α < 0; sabiendo Halle: A = sec θ + tg θ
4. Si: 8
además que " α " es un ángulo en A) 1 B) 2 C) 3
posición normal halle: D) 4 E) 5
1
P = 2 sen α + cos α 1
4 11. Si: sen θ = ; tg θ < 0
2
A) -1 B) 1 C) 0
D) -2 E) 2 Halle: H = csc θ + 3 ctg θ
A) 1 B) 5 C) 4
5. Halle “n” del gráfico, si D) -1 E) 3
ctg θ = 0,333... y
A) 1 θ 12. Del gráfico calcule “ cot θ ”
y
B) 2 x
C) -2 O
53º
D) 1/2
E) –1/2
θ
P(n-1;4n-1) x
A) 3/7 B) 4/7 C) 5/7
6. Si el punto (2m;-3m) pertenece al lado D) –3/7 E) –4/7
final de un ángulo “φ” en posición normal.
Calcule : 13. Del gráfico calcule: E = 25 sen α + tg θ
( )
y
ω = 13 sen2 φ − cos2φ ;m > 0
(24; 7)
A) -5 B) 5 C) –1/5
D) 1/5 E) 0
α
x
θ
(-4; -8)

5. A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9