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  1. 1. Memorias XI Encuentro Nacional de ÓpticaII Conferencia Andina y del Caribe en Óptica y sus AplicacionesEscuela Regional de ÓpticaUniversidad de Pamplona, Noviembre 10 – 14 de 2008Pamplona-Colombia http://enocancoa2008.unipamplona.edu.co Análisis de las Imágenes de la Espada de Luz Rodrigo Henaoa, Alberto Cirob, Andrzej Kolodziejczykc, Zbigniew Jaroszewiczd a Grupo de Óptica y Fotónica, Instituto de Física, Universidad de Antioquia, Medellín, Colombia; b Instituto Tecnológico Metropolitano, Medellín, Colombia. c Facultad de Física, Universidad Politécnica de Varsovia, Varsovia, Polonia d Instituto de Óptica Aplicada, Varsovia, PoloniaRESUMENDentro de los elementos ópticos difractivos con profundidad de foco extendido, el conocido con el nombre de Espada deLuz presenta características que lo convierte en fuerte candidato para usarse en la corrección del problema deacomodación del ojo humano o presbicia. Por lo tanto es de interés un estudio de la calidad de las imágenes producidaspor este elemento bajo diferentes situaciones. En este trabajo se realiza una amplia descripción analítica de la Espada deLuz, se presentan y se discuten resultados de simulaciones de la formación de imágenes para diferentes objetos ydistanciasPalabras Clave: espada de luz, acomodación del ojo, elemento difractivo.ABSTRACTWithin the diffractive optical elements with extended depth of focus, the most well-known with the name of the Sword ofLight presents features that makes it a strong candidate for use in correcting the problem of accommodation in the humaneye or presbyopia. Therefore, it is of interest to study the quality of images produced by this element under differentsituations. In this work an extensive analytical description of the Sword of Light is carried out; the results of simulationsof the formation of images for different objects and input planes are presented and discussed.Keywords: Light sword, Accommodation of the eye, Diffractive element, Presbyopia. 1. TEORÍA DEL ELEMENTO DIFRACTIVO ESPADA DE LUZEl elemento óptico Espada de Luz es un elemento difractivo delgado cuya transmitancia de fase está dada por [1,2]: T ( r ) = exp( ik ϕ ) (1)donde kr 2 ϕ (r) = − (2) 2 ( z 1 + θ ∆ / 2π ) Figura 1. Transmitancia de la espada de luz
  2. 2. Rodrigo Henao, et al. / Mem. XI Enc. Nal. Ópt. & II CANCOA, (2008) Como se puede ver en la figura 1, la Espada de Luz es un elemento que no presenta simetría radial. La fórmula (1)presenta una transmitancia en coordenadas polares, donde son respectivamente las coordenadas radial ytransversal ; donde λ es la longitud de onda de la luz utilizada. Podemos interpretar esta transmitancia de lasiguiente manera: Para un valor fijo de la transmitancia equivale a la transmitancia de una lente de distancia focal iguala z = z1 + θ∆ / 2π que enfoca la luz de una onda plana que incide en el sector angular 〈θ ,θ + d θ 〉 en elfoco dado por z ;lo que indica que todo el elemento enfoca la onda en un segmento focal ∆ delimitado por y z 2 comolo sugiere la figura 3. Se puede decir entonces, que el elemento difractivo Espada de Luz es una lente no convencional que presenta unamodulación angular que no presentan otros elementos difractivos citados en la literatura científica[3,4].Este hecho, haceque la luz transmitida se enfoque de manera diferente como lo hacen otros elementos cuya transmitancia de fase nodepende de coordenada angular[1,3,4]. En la figura 2 se esquematiza la forma como la onda se enfoca según el método del trazado de rayos[ 3].Este método enforma paraxial se puede expresar por la fórmula: r0 = r + z ∇ϕ ( r , θ ) (3)donde representa un punto del plano del elemento espada de luz con coordenadas ( r ,θ ) , r 0 representa un punto delplano de salida con coordenadas (r0 ,θ + π / 2) , z es la distancia entre el plano del elemento y el plano de salida (Fig.3)y es el gradiente de la transmitancia del elemento en coordenadas ryθ . Figura 2. Geometría para mostrar el método del trazado de rayos Es interesante notar en la figura 3, que el enfoque en realidad se da sobre un segmento fuera del eje a diferencia de lo queocurre con elementos como Axilentes, Axicones, Ojo de Pavo Real y Lentes que enfocan una onda plana sobre puntos deleje. A medida que θ aumenta entre 0 y2π, dicho segmento gira alrededor del eje óptico avanzando hacia la derecha desde hasta z2 = z1 + ∆ como se indica en la figura3. E n la medida en que el tamaño de la abertura disminuye,el tamaño de este segmento también disminuye, lográndose en primera aproximación enfocar la luz en un punto, lo cualtrae como consecuencia que la luz transmitida por el elemento también disminuye. Pág. 2 de 2
  3. 3. Rodrigo Henao, et al. / Mem. XI Enc. Nal. Ópt. & II CANCOA, (2008) Figura 3. Diagrama que ilustra el enfoque de un sector angular infinitesimal de la espada de luz. 3. PROCEDIMIENTOEl procedimiento a seguir para la realización de las simulaciones es el siguiente: haciendo uso de la teoría de Fourier paraformación de imágenes en sistemas incoherentes [6 ], se lleva a cabo una serie de simulaciones con objetos en diferentesplanos de entrada. Las imágenes se localizan 20mm más allá del plano del elemento Espada de Luz. Se toma como longitudde onda la de un láser de Helio-Neón de 6328 angstroms. El montaje usado, utiliza parámetros de la visión humana como seilustra en la figura 4. Figura 4. Gráfica de la geometría utilizada en las simulaciones. Los objetos fueron las palabras ITM Y GOF como objetos transparentes (letras blancas) y la palabra GOF nuevamentecomo objeto opaco (letras negras). Esto con el fin de analizar la calidad de las imágenes producidas por la Espada de Luzpara diferente clase de objetos. El análisis de un conjunto de imágenes se basa en dos funciones importantes: la función de punto extendido incoherentey el módulo de la función de transferencia óptica. La primera tiene que ver con la sensibilidad o no de las imágenes en elplano de salida, con respecto a la ubicación del plano de entrada la cual varía desde 25cm hasta infinito. La otra funcióntiene que ver más con el contraste y la resolución de las imágenes. A la distribución de fase dada por la ecuación 2 se le entran los siguientes parámetros: z 1 =18.5mm, r varíaentre 0 y 3mm y θ varía entre 0 y 2 π . Con esta información se construye la transmitancia de la figura1. Las imágenes en el plano de salida corresponden a objetos ubicados en planos de entrada distantes 30,70, 100 y150 cm con relación al plano central del elemento difractivo, como se ilustra en la figura 4. 4. RESULTADOSSe presentan la función de punto extendido incoherente, el módulo de la función de transferencia óptica con sus respectivasimágenes (figura 5) para el primer caso de la serie de imágenes que se presenta al final. Pág. 3 de 3
  4. 4. Rodrigo Henao, et al. / Mem. XI Enc. Nal. Ópt. & II CANCOA, (2008) IPSF 3-D para objeto puntual a 30 cm, cuya imagen aparece a la Imagen de la IPSF del objeto puntual derecha. MTF 3-D cuya imagen aparece a la derecha Imagen de la MTF del objeto puntual Figura 5. Gráfica e imagen de la función de punto extendido incoherente (IPSF) y gráfica e imagen del módulo de la función de transferencia óptica (MTF). La figura 6 ilustra las imágenes simuladas de objetos planos (palabras) ubicados a las distancias que se indican conla letra p, con respecto al elemento Espada de Luz p=30cm p=30cm p=30cm Pág. 4 de 4
  5. 5. Rodrigo Henao, et al. / Mem. XI Enc. Nal. Ópt. & II CANCOA, (2008) p=70cm p=70cm p=70cm p=100cm p=100cm p=100cm p=150cm p=150cm p=150cm Figura 6. Imágenes obtenidas por simulaciones y producidas por el elemento difractivo Espada de Luz, con parámetros que se ajustan a la visión humana. La función de punto extendido incoherente (IPSF) revela la falta de simetría de revolución de la transmitancia; noobstante una gran parte de la energía incidente se localiza en el máximo central. Probablemente la forma no simétrica de lafunción de punto extendido incoherente sea la causa del aspecto ligeramente borroso que presentan las imágenes. En lasimágenes centrales principalmente, la borrosidad o ruido varía ligeramente en su intensidad. Se puede interpretar estehecho diciendo que la función de punto extendido incoherente es sensible a la profundidad de campo. El módulo de lafunción de transferencia óptica (MTF) revela la transferencia de un gran rango de frecuencias espaciales alrededor de lafrecuencia correspondiente al máximo central con valores (MTF) altos que definen un buen contraste; pero las altasfrecuencias no se transfieren, lo que permite explicar la poca definición de las imágenes de salida de ciertas letras de lafigura 6. Se puede notar que todas las imágenes en general presentan una resolución aceptable, manteniéndose esacaracterística constante a lo largo de todo el muestreo. Como era de esperarse no se observa una diferencia entre un objeto opaco y uno transparente, aparentemente hay másruido en el fondo de los elementos opacos, pero esto es solo un efecto visual por la forma de presentación de lasimágenes. Es decir, este ruido también aparece en los objetos transparentes. Se observa una distribución no uniforme dela intensidad en algunas partes de las imágenes. Se hace más manifiesto en las formas rectas pero también aparece en lasformas curvas. Es de destacar, que en los objetos opacos este fenómeno no es tan evidente. 5. CONCLUSIONESAunque el elemento óptico Espada de Luz produce imágenes más definidas en los planos cercano, medio y lejano que otroselementos con alta profundidad de foco, las imágenes no son perfectas y presentan nivel de ruido, como también unadistribución no uniforme de la intensidad. Para reducir estos efectos se debería modificar la función de transmitancia de laEspada de Luz y en este sentido se están iniciando investigaciones. AGRADECIMIENTOSR. Henao agradece el apoyo de CODI Universidad de Antioquia y A.Ciro agradece todo el apoyo brindado por elInstituto tecnológico Metropolitano de Medellín para la presentación de este trabajo. REFERENCIAS 1. G.Mikula, A.Kolodziejczyk,M.Makowski,C.Prokopowicz, M.Sypek, “Diffractive elements for imaging with extended depth of focus”,Opt.Eng.44,058001-058007, 2005. 2. A.Kolodziejczyk, S.Bará, Z.Jaroszewicz, M. Sypek, “the light sword optical element-a new diffraction structure with extended depth of focus”J.Mod.Opt.,37,1283-1286, 1990. Pág. 5 de 5
  6. 6. Rodrigo Henao, et al. / Mem. XI Enc. Nal. Ópt. & II CANCOA, (2008)3. G.Mikula,Z.Jaroszewicz,A.Kolodziejczyk,K.Petelczye,and M.Sypek, “Imaging with extended focal depth by means of lenses with radial and angular modulation”,Opt.Express,15,9184-9193, 20074. J.Sochacki, A.Kolodziejczyk,K.Jaroszewicz,and S.Bará, “Nonparaxial design of generalized axicones”,Appl.Opt.31,5326-5330, 1992.5. J.H. McLeod, “Axicones y sus usos”, J.Opt.Soc.Am.50, 166-169(1960).6. J.W. Goodman, Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill, 1968, Chap. 6.7. M. Sypek, “Light propagation in the Fresnel region. New numerical approach,” Opt. Commun. 116, 43-48, 1995. Pág. 6 de 6

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