Este documento contiene la guía número 2 del curso de Matemática II. Incluye 7 secciones con ejercicios sobre aproximaciones de áreas bajo curvas usando rectángulos, cálculo de integrales definidas, volúmenes de sólidos de revolución, y determinación de convergencia de integrales impropias. Los profesores son Josè Ollarves, Nancy Requena, Aida Ulacio, Arnaldo Mèndez y Ariel Luna en la Universidad Francisco de Miranda.

1. Universidad Nacional Experimental
“Francisco de Miranda”
´
Area de Tecnolog´ ıa
´
Complejo Academico Punto Fijo
Departamento de F´ ´
ısica y Matematica
´
Unidad Curricular: Matematica II
´
Lapso Academico I-2010
Coordinador: Lcdo. Dulce Curiel.
Profesores: Ing. Jos´ Ollarves, Ing. Nancy Requena, Lcdo. Aida Ulacio, Lcdo. Arnaldo M´ndez, Lcdo. Ariel Luna.
e e
GU´ N◦ 2
IA ´
MATEMATICA II
INTEGRAL DEFINIDA
1. Dada la funci´n f (x) definida en el intervalo I correspondiente, aproxime el area bajo la curva usando
o ´
el n´mero de rect´ngulos indicados
u a
a. f (x) = x2 , en [0, 1] con n = 3 b. f (x) = 3x − 2, en [1, 4] con n = 4
c. f (x) = x3 − 1, en [−1, 1] con n = 10 d. f (x) = 4 − x2 , en [−2, 2] con n = 8
2. Calcule el valor exacto del area para las funciones dadas en el ejercicio anterior utilizando la definici´n
´ o
de integral de Riemann
b n
f (x)dx = l´
ım f (xi )∆xi
a ∆x→0
i=1
donde a = x1 < x2 < x3 < · · · < xn−1 < xn = b
3. Calcule cada una de las siguientes integrales definidas.
0 4 1 √ π
x4 2t
a. (3x + 6)dx b. 3x − dx c. t t + dt d. sen(θ)dθ
5 5
−2 0 0 0
π/3 −1 3π/4 π
2 2
e. sec (θ)dθ f. dr g. sec(x) tan(x)dx h. 1 + cos(x) dx
r2
0 −2 π/4 0
√
0 π/3 π/2 2 √
2 2 2 r2 + r
i. cos (θ)dθ j. sen (x)dx k. 8y + sen(y) dy l. dr
r
π/2 −π/3 −π/2 1
4 1 2 1
3 x
m. (1 + 2x) dx n. y y2 + 1dy n.
˜ √ dx o. 3x2 x3 + 1dx
2x2 + 8
−2 0 −1 −1
4 3 3 e
3 2 dy sen(ln(x))
p. (2t + 3t ) dt q. y + 1dy r. s. dx
4−y x
0 0 1 1
1

2. √ √
2 2/2 e 4
dx x dx
t. √ u. √ dx v. w. ln(y)dy
4 − x2 4 − x2 x
0 0 1 1
3 π/2 4
z2 + 1 2 √
x. √ dz y. sen (3x) cos(3x)dx z. y+ 2y + 1 dy
z 3 + 3z
1 0 0
4. Dibuje y calcule el area de las regiones limitadas por:
´
a. El eje x, el intervalo [2, 4], y la curva y = 4x − x2 .
b. El eje x, y la curva y = 6x − x2 .
c. La curva x = 3 − y 2 , y el eje y.
d. La curva x = y 2 − 2y − 3, y el eje y.
e. El eje x, y la curva y = x − 4x2 .
f. El eje x, y la curva y = x2 − 6x.
g. El eje x, y la curva y = x2 + 2x − 15.
h. El eje x, y la curva y = 8 − 2x − x2 .
i. La curva y = 2 − x2 , y la recta y = −x.
j. La curva x = 4 − y 2 , y el eje y.
k. El eje y, el eje x, la curva y = x2 − 6, y la recta x = 2.
l. La curva x = 2 − y 2 , y la recta y = x − 1.
m. Las curvas y = 6 − x2 , y = x2 − 3.
n. Las curvas y 2 − 1 = x, x = 3 − y 2 .
n. La curva x = 8 + 2y − y 2 , y las rectas y = −1, y = 3, x = 0.
˜
o. Las curvas y = x2 , y = 5 − x2 .
p. Las curvas y = x2 + 2, y = 6 − x2 .
5 En los siguientes ejercicios, explique por qu´ es impropia la integral (en caso de serlo) y determine si
e
es convergente o divergente. En caso de convergencia, calcule su valor.
∞ ∞ ∞ 2
−x −x dx 3
a. e dx b. xe dx c. d. dx
x+1 (x − 1)2/3
0 1 1 0
4 ∞ 6 ∞
dx ln(x2 ) 2x dx
e. √ f. dx g. dx h. dx
x x x3 (x 2 − 4)2/3 x ln2 (x)
0 e 0 5
∞ 0 8 ∞
2 x3 x dx dx
i. x e dx j. 2 + 1)5/2
dx k. √ l. √
(x 3
x x x
−∞ −∞ −1 4
2

3. ∞ ∞ 1 √ 9
dx −2x e x dx
m. n. xe dx n.
˜ √ dx o.
x ln(x) x (9 − x)3/2
1 0 0 0
−2 ∞ e 1
dx dx dx
p. q. r. s. ex − xe dx
(x + 1)3 (x − 1)3/2 x
−∞ 5 1 0
∞ ∞ 0 ∞
dx −x/3 −x2 dx
t. 2+1
u. e dx v. x5 dx w. √
x x−1
0 0 −∞ 5
∞ ∞ ∞ 1
3 dx dx
x. e−|x| dx y. 2+9
dx z. aa. √
√
x x ln(x) 1−x
−∞ 3 e 0
4 π/2 2 ∞
dx dx
ab. √ ac. tan(θ)dθ ad. √ ae. eax dx
16 − x2 x x2 − 1
0 0 1 0
∞ a 3a ∞
dx dx 2x dx
af. ag. √ ah. dx ai.
(1 + x)3/2 a2 − x 2 3
(x2 − a2 )2 a2 + b 2 x2
1 0 0 0
∞ ∞ ∞ 3
x dt x y
aj. √ dx ak. al. √ dx am. dy
9 + x2 t ln(t) x 2+4 9 − y2
3 2 −∞ 0
ln(2e) ∞
x ln(x)
an. dx a˜ .
n dx
e|x| x3
−∞ 1
S´lidos de revoluci´n
o o
6. En los siguientes ejercicios, determine el volumen del s´lido generado al rotar entorno a la recta
o
especificada, la regi´n acotada por las funciones dadas.
o
a. y = 2x2 , y = 0 y x = 5, alrededor del eje x, y alrededor del eje y.
√
b. y = x3 , y = x, alrededor del eje x, y alrededor del eje y.
√
c. y = 2 2x, el eje de las x y la recta x = 2, alrededor del eje x.
d. x = 9 − y 2 , y = x − 7, alrededor de x = 4.
√
e. y = x − 1, x = 5, y = 0, alrededor de y = 3.
f. y = x3 , y = x, alrededor del eje x, y alrededor del eje y.
3

4. x2
g. y = , x = 4, y = 0, alrededor del eje x.
4
h. y = 2 − x2 , y = x2 , alrededor del eje x, y alrededor del eje y.
7. Encuentre el volumen del s´lido generado cuando la regi´n indicada se gira alrededor del eje o recta
o o
especificado.
(a) Eje de las x (b) Recta x = 3
y y
5
4 ¡
+1
x2
y=
y=
4−
x
2
1
x x
¡
0 2 0 2 3
(c) Eje de las x (d) Eje de las y
y y
4 ¢
y=
4−
£
1
2x
y=
x
£
x
¢
0 1 4 x 0 2
4

5. Respuestas de los ejercicios
5 111
1a. Aproximaci´n por abajo : A ≈
o = 0.185 1b. Aproximaci´n por abajo : A ≈
o = 13.875
27 8
14 159
Aproximaci´n por arriba : A ≈
o = 0.518 Aproximaci´n por arriba : A ≈
o = 19.875
27 8
9 17
1c. Aproximaci´n por abajo : A ≈
o = 1.8 1d. Aproximaci´n por abajo : A ≈
o = 8.5
5 2
11 25
Aproximaci´n por arriba : A ≈
o = 2.2 Aproximaci´n por arriba : A ≈
o = 12.5
5 2
1 33 32
2a. A = = 0.333 . . . 2b. A = = 16.5 2c. A = 2 2d. A = = 10.666 . . .
3 2 3
424 33 √ √
3a. 6 3b. − 3c. 3d. 2 3e. 3 3f. 1 3g. − 2 2
25 100
√ √
π π 3 2π 3 5 √ 8−1
3h. π 3i. − 3j. − 3k. 3l. + 2 2 3m. 810 3n.
4 3 4 3 2 3
√ √
4− 10 4 2 819968 16 π
3˜ .
n 3o. 3p. 3q. 3r. ln 3 3s. 1 − cos(1) 3t.
2 3 105 3 4
7 8 1
3u. 2 − 3v. 1 3w. 4 ln(4) − 3 3x. 3y. − 3z. 14
2 3 9
y
y
4
x=
y=
√ 3−
3 y2
4x
4a. 4c. √
A=4 3
−
3 x
x
2
16
A= 3 √
x − 3
2 4
y
y
1 y = x − 4x2 −1 x
16 −5 3
256
A=
15
3
−
4e. 1 4g.
A=
2x
96
x
x2+
1
1 4
8
y=
−16
5

6. y y y = x2 − 6
y
2 2 x
=
√
6
2−
28
4i. 4k. A=
x
3
2
√ A= 9 √
− 2 2 2 2
x
−1
y
=
−
x
−2
−6
x=2
y
y
6
x = 8 + 2y − y 2
y = x2 − 3
y=3
4m. √ 4˜ .
n A= 92
3
A = 18 2 1
5 9 x
x y = −1
3 3
− √2 √
2
y = 6 − x2
−3
y
6 y = x2 + 2
√
16 2
4p. A= 3
2
y = 6 − x2
√ √ x
− 2 2
2
5a. Converge, 1 5b. Converge, 5c. Diverge 5d. Converge, 18
e
3 √
3 1
5e. Diverge 5f. Converge, 5g. Converge, 9 4 5h. Converge,
2e2 ln(5)
1 9
5i. Diverge 5j. Converge, − 5k. Converge, 5l. Converge, 1
3 2
1
5m. Diverge 5n. Converge, 5˜ . Converge, 2(e − 1)
n 5o. Diverge
4
6

7. 1 e2 − 2
5p. Converge, − 5q. Converge, 1 5r. No es impropia, 1 5s. No es impropia,
2 e+1
π 1
5t. Converge, 5u. Converge, 3 5v. Converge, − 5w. Diverge
2 2 ln(5)
π
5x. Diverge 5y. Converge, 5z. Diverge 5aa. Converge, 2
3

 Diverge si a>0
π π 
5ab. Converge, 5ac. Diverge 5ad. Converge, 5ae.
2 6 
 −
1
si a<0
a
 π
si a>0 √
√ 
 2 3 π
5af. Converge, 2 5ag. 5ah. Converge, 9 a2 5ai. Converge,
 π
 − si a<0 2ab
2
5aj. Diverge, 1 5ak. Diverge 5al. Diverge 5am. Converge, 3
−2 − ln(2) 1
5an. Converge, 5a˜ . Converge,
n
2e 4
5
Alrededor del eje x: V = 2500 π = 7853.98 Alrededor del eje x: V = 14 π = 1.12
6a. 6b. 2
Alrededor del eje y: V = 625π = 1963.5 Alrededor del eje y: V = 5 π = 1.26
333
6c. Alrededor de la recta x = 2: V = 16 π = 50.27 6d. Alrededor de la recta x = 4: V = 5 π = 209.23
8
Alrededor del eje x: V = 21 π = 1.197
6e. Alrededor de la recta y = 3: V = 28 π = 87.96 6f. 8
Alrededor del eje y: V = 15 π = 1.68
16
64
Alrededor del eje x: V = 3 π = 16.755
6g. Alrededor del eje x: V = 5 π = 40.21 6h.
Alrededor del eje y: V = π = 3.1416
206 3 16
7a. V = π = 43.14 7b. V = 12π = 37.7 7c. V = π = 2.36 7d. V = π = 16.75516
15 4 3
7