1. Cálculo DIferencIal Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Recordemos lo que hemos aprendido…
Unidad 1. Antecedentes históricos del calculo diferencial
Unidad 2. Limites y continuidad
Y el tema
También que
Ya analizamos
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
funciones…
iniciamos
limites de hoy
es….
funciones…
Pero, antes de iniciar veamos una
simple pregunta…

2. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
“La pregunta del millón…”
( un minuto de silencio…)

3. Cálculo Diferencial Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
“La pregunta del millón…”
2
Si tenemos una función definida por y x
La mayoría contestaría: “su derivada es: y 2x ”
MUY BIEN!! ….. Pero……..
“memorizar términos matemáticos y no tener la mínima
idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”
“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”

4. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Algunos conceptos básicos La recta secante
Que necesitamos saber. y la recta tangente
en términos
geométricos
Recta tangente
Recta secante
“es una recta que “es una recta que
toca 2 puntos en toca solo un
un circulo” punto en un circulo”

5. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Algunos conceptos básicos. La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original

6. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Algunos conceptos básicos. La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta secante

7. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Algunos conceptos básicos. La recta secante
y la recta tangente
en una función
Función original
Recta tangente

8. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Algunos conceptos básicos.
Sabemos que una de las características
principales de una recta es su pendiente (m)
En términos muy simples la pendiente de una recta es
un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
( x2 , y2 ) y2 y1
m
y2 y1 x2 x1
( x1 , y1 )
Muy sencillo de obtener si
x2 x1 tienes dos puntos sobre una recta!

9. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Algunos conceptos básicos.
De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta
secante en la curva de una función es:
Función original
( x2 , y2 )
Recta secante
( x1 , y1 ) y2 y1
m
x2 x1

10. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Algunos conceptos básicos.
Pero……….. y como obtener la pendiente de una recta
tangente si solo conoce existe un punto?
Recta tangente
y2 y1
m ?
( x1 , y1 ) x2 x1

11. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Algo de historia….
Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años,
y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres,
entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo
Moderno, en 1684 propuso un método
general para encontrar las tangentes a una
curva a través de lo que el llamo DERIVADA.

12. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
mtan Supongamos que deseamos
conocer la pendiente de la
recta tangente en X=1
Observe que si hacemos
diversas aproximaciones
de rectas secantes,
podemos hacer una muy
buena estimación de la
Pendiente de la recta
tangente

13. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

14. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

15. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

16. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

17. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

18. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

19. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

20. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

21. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

22. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )

23. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan Observa que el punto
( x2 , y2 )
Cada vez se acerca
más al punto
( x1 , y1 ) Continuar
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
Volver a
mostrar
Atajo

24. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar
el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Ahora, como expresar el
comportamiento anterior
en términos matemáticos?

25. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
y2 y1 y2 y1
mtan Aprox. msec Procedemos msec
x2 x1 a sustituir: x2 x1

26. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
f ( x2 )
( x1 , y1 )
f ( x1 )
Considerando: y f ( x)
f ( x2 ) f ( x1 ) y2 y1
mtan x2 x1
Procedemos msec
a sustituir: x2 x1

27. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
f ( x2 ) f ( x1 )
mtan Ahora
x x2 x1
x Consideremos:

28. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
Ahora recordemos el comportamiento
f ( x2 ) f ( x1 )
mtan x
de las rectas secantes y podemos ver
que x tiende a disminuir
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)

29. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Analiza la siguiente secuencia de graficas y
observa como la recta secante, se acerca a la
recta tangente.

30. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o

31. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o

32. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o

33. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
Ahora recordemos el comportamiento
f ( x2 ) f ( x1 )
mtan x
de las rectas secantes y podemos ver
que x tiende a disminuir
Presiona para observar nuevamente el comportamiento
(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)

34. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
Se puede observar
que el punto ( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) cada vez se aproxima
más al punto ( x1 , y1 )
pero no llegará a tocarlo
x x2 x1
f ( x2 ) f ( x1 ) Podemos expresar lo anterior así:
mtan lim
x
x 0
Analizando dicho comportamiento,
x 0 procedemos a aplicar un límite así:

35. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
f ( x2 ) f ( x1 ) Finalmente considerando lo siguiente:
mtan lim
x x2 x1 x
x 0 La expresión nos queda así:

36. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
mtan
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
x x2 x1
f ( x1 x) f ( x1 ) Finalmente considerando lo siguiente:
mtan lim
x x2 x1 x
x 0 La expresión nos queda así:

37. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
f ( x1 x) f ( x1 ) Este límite, representa la pendiente
mtan lim
x
de las diversas rectas tangentes a la
gráfica de una función…..
x 0
Y se le conoce comúnmente como:
Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
dy Por su origen basado en
dx incrementos

38. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
La derivada.
dy f ( x1 x) f ( x1 ) Y precisamente por esta
= lim x fórmula es que lo siguiente,
dx ahora si, tiene sentido:
x 0
2
Si tenemos una función definida por y x
dy
Entonces su derivada es: 2x
dx
Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener
las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original

39. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Aplicación del límite obtenido….
Procederemos a la aplicación
2
del límite deducido para y f ( x) x
obtener la derivada de la función:
Recordemos que la dy f (x x) f ( x)
derivada esta definida lim
por el límite: dx x 0 x
Iniciamos encontrando la FUNCION INCREMENTADA:
2
x (x x) (x x)
se puede observar que:
2 2
Al sustituirlo obtenemos: x 2x x x

40. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Aplicación del límite obtenido….
Al sustituir en la formula f (x x) f (x)
de la derivada:
2 2 2
dy x 2x x x x
lim
dx x 0 x
Reduciendo 2 2 2
términos: dy x 2x x x x
lim
dx x 0 x
Factorizando dy x(2 x x)
El termino común: lim
dx x 0 x

41. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Aplicación del límite obtenido….
dy
lim 2 x x 2x 0
dx x 0
Al evaluar dicho límite llegamos a la conclusión que:
2
Si tenemos una función definida por y x
dy
Entonces su derivada es: 2x
dx

42. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Representación
gráfica de:
2
y x
La función que
representa su
derivada es:
mtan ? dy
2x
dx
Geométricamente la derivada se define como
la pendiente de la recta tangente a la curva
en un punto previamente establecido.

43. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Representación
gráfica de:
2
y x
La función que
representa su
derivada es:
mtan ? dy
2x
dx
En el punto: Al sustituir dy
en la derivada mtan 2( 1) 2
x 1 el valor de X: dx

44. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Representación
gráfica de:
2
y x
La función que
representa su
derivada es:
mtan 2 dy
2x
dx

45. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Representación
gráfica de:
2
y x
La función que
representa su
derivada es:
dy
2x
dx

46. Profr. E n e d I n o R o m e r o S o l a n o
Geométricamente la derivada se define como
la pendiente de la recta tangente a la curva
en un punto previamente establecido.