Estadistica metodos de probabilidad

Métodos de Enumeración, Función
de Probabilidades y Eventos 2
SUMARIO:
2.1.- Introducción
2.2.- Experimento Estadístico y Espacio Muestral
2.2.1.- Espacio Muestral de un Experimento
2.2.2.- Eventos de un Espacio Muestral
2.3.- Funciones que se Evalúan en Conjuntos
2.3.1.- Cardinalidad de un Espacio Muestral
2.3.2.- La Función de Probabilidades
2.3.3.- El Espacio de Probabilidades y Eventos
2.4.- Métodos de Enumeración
2.4.1.- Cardinalidad de Eventos Finitos
3.4.2.- Regla de la Multiplicación de Opciones
2.4.3.- Combinaciones y Muestras
2.4.4.- Permutaciones
2.4.5.- El Coeficiente Multinomial
2.5.- Probabilidad Condicional
2.5.1.- Muestreo con y sin Reposición
2.6.- Independencia Estocástica de Eventos
2.7.- Regla de la Probabilidad Total y Teorema de Bayes

Objetivos del Capítulo

Que el lector llegue a:

1) Comprender qué es un experimento y cuando éste se lo califica como un experimento
Estadístico.
2) Determinar el número de elementos de un conjunto finito.
3) Definir con precisión el par de conjuntos que constituyen un espacio muestral.
4) Diferenciar cuando un par de eventos son mutuamente excluyentes y cuando no.
5) Reconocer de qué forma se le ha asignado a un evento la probabilidad de que ocurra.
6) A familiarizarse con funciones que no son las usuales del cálculo Infinitesimal.
7) Identificar el significado de los axiomas que sustentan la definición de Función Probabilidad.
8) Calcular el número de muestras de tamaño que se pueden obtener de una Población Objetivo de
tamaño N.
9) Diferenciar entre conjunto ordenado y no ordenado.
10) Calcular la probabilidad de que ocurra un evento u otro.
11) Calcular la probabilidad condicional de un evento, dado que ha ocurrido otro anteriormente.
12) Manejar fluidamente la noción de independencia de dos o mas eventos.
13) Calcular la probabilidad de que ocurra un evento dado que han ocurrido dos o mas eventos
que restringen su espacio muestral.
14) Manejar fluidamente el enunciado, demostración y aplicación del Teorema de Bayes.
15) Diferenciar Espacio Muestral de espacio de probabilidades.

ESTADÍSTICA
G. Zurita
Fundamentos y Aplicaciones

2.1.- INTRODUCCIÓN

Luego de presentar lo que se denomina Estadística Descriptiva
en el capítulo previo, es preciso comenzar a cuantificar la
incertidumbre relacionada con los eventos que se relacionan con
el quehacer estadístico; para eso, en este capítulo discutimos los
principales elementos que configuran la presentación de dicho
tema. Comenzamos por lo que es un experimento, y en
particular un experimento estadístico, para luego centrarnos en
un grupo de conjuntos relacionados con la experimentación
como son espacio muestral y eventos. Establecida esta
plataforma se trata con funciones que se evalúan en conjuntos
como prólogo de la presentación del conjunto estrella del
capítulo: la Función de Probabilidades y los axiomas que la
sustentan.

Puesto que para calcular probabilidades de eventos de
cardinalidad finita es importante saber determinar el número de
posibles resultados de un experimento, bajo predeterminadas
condiciones de trabajo, se revisan algunas técnicas de conteo
para conjuntos ordenados y no ordenados, estas son
combinaciones, permutaciones así como el coeficiente
multinomial.

El capítulo termina revisando como determinar muestras,
haciendo reposición y sin hacerlo, generando de esta manera
eventos condicionados y con ellos el cálculo de sus
correspondientes probabilidades condicionales, rematando con
el denominado Teorema de Bayes.

2.2.- EXPERIMENTO ESTADÍSTICO Y ESPACIO MUESTRAL

2.2.1.- Espacio Muestral de un Experimento

Experimento Un Experimento es un conjunto de acciones con las que,
Conjunto de utilizando procedimientos claramente establecidos, se efectúa
acciones con las que,
utilizando
algún tipo de observación o medida.
procedimientos
claramente En general el propósito de la experimentación es generar nuevo
establecidos, se conocimiento o puede ser también con la finalidad de verificar
efectúa algún tipo de el cumplimiento de algún principio, supuesto o teoría
observación medida
previamente establecida. También se experimenta para mejorar
la eficacia de algún mecanismo útil ya construido.

Un experimento se dice es un Experimento Estadístico si
reúne las siguientes características:

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ESTADÍSTICA
G. Zurita

a) Se sabe cuales son todos los resultados posibles del
experimento antes de su ejecutarlo;
b) Cualquier realización del experimento debe conducir a un
resultado que no es conocido previo a tal ejecución , pero
que se sabe es uno de los posibles; y,
c) El experimento puede ser repetido bajo idénticas
condiciones.

Espacio Muestral Dado un Experimento Estadístico, se denomina Espacio
del Experimento
Se denomina así al
Muestral del Experimento, al par (Ω , S), donde:
par (Ω , S), donde:
a) Ω es el conjunto a) Ω es el conjunto de todos los resultados posibles del
de todos los experimento; y,
resultados posibles b) S es el conjunto potencia de Ω, esto es, S es el conjunto de
del experimento; y,
b) S es el conjunto todos los subconjuntos de Ω, y es denominado Espacio de
potencia de Ω, esto Eventos.
es, S es el conjunto
de todos los Los elementos de Ω serán llamados “puntos” y genéricamente
subconjuntos de se los representa por la letra griega ω.
Ω, y es denominado
Espacio de Eventos
Téngase en cuenta que siempre es verdad que:

1) Ω no es vacío; y,
2) S cumple con incluir al conjunto vacío ∅ ; ser “cerrado”
bajo unión contable de sus elementos así como también bajo
complementación de sus elementos.
Como estructura algebraica, S sea denominado sigma álgebra
(σ-álgebra).

Nótese que S no es el único σ-álgebra posible de definir sobre
Ω. Ya que, si por ejemplo el experimento estadístico consiste
en lanzar una moneda una vez y observar si sale sello o cara,
tenemos que
Ω = {ω1 ; ω2} = {s ; c}

Donde s significa que el resultado del lanzamiento es sello y c
que es cara, mientras que el conjunto S de todos los resultados
posibles del experimento estadístico es:

S = { ∅ ;{s}; {c}; Ω}

Evento Imposible Siendo ∅={ } el conjunto vacío , y en el contexto de la
Conjunto vacío experimentación que estamos describiendo, el conjunto vacío o
∅={ } evento imposible es que al lanzar el dado “ no sale cara ni sale
sello” y Ω es “sale cara o sale sello”.

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ESTADÍSTICA
G. Zurita

Nótese que la unión de cualquier par de elementos de S
pertenece a S y por tanto es “cerrado” bajo la unión de
cualquier par de sus elementos; además, si se toma el
complemento de cualquiera de los elementos de S el resultado
Conjunto Contable es un conjunto que también pertenece a S. Decimos entonces
Se dice que un
conjunto E es que:
contable si y solo si,
es posible establecer i) E1, E2 ∈ S ⇒ (E1 ∪ E2) ∈ S; y,
una correspondencia
uno a uno entre los ii) E1 ∈ S ⇒ E 1 ∈ S
c

elementos de E y
aquellos de B, donde
B es un subconjunto Para cualquier conjunto Ω, es verdad que si S´ es el conjunto de
del conjunto de subconjuntos de Ω definido como S´={ ∅ ; Ω } se puede
números enteros
positivos. demostrar que también S´ es un sigma álgebra, pero no será
utilizado dentro de lo que se expone en este texto.

Hablemos un poco del número de elementos de S. Un conjunto
E se dice es contable si y solo si, es posible establecer una
Espacio Muestral correspondencia uno a uno entre los elementos de E y aquellos
Discreto de B, donde B es un subconjunto del conjunto de los números
Un espacio muestral enteros positivos.
(Ω , S) es discreto si
y solo si Ω es Si B = {1 ; 2 ; 3; ... n} decimos que B es finito. Al conjunto
contable vacío se lo define como finito.

Un espacio muestral (Ω , S) se dice es un espacio muestral
discreto si y solo si Ω es contable.

Si por ejemplo el experimento consiste en lanzar
simultáneamente dos monedas y observar qué par ordenado de
“lados” se observan, tenemos que cuatro puntos constituyen Ω:

Ω = {ω1; ω2; ω3; ω4} ={ss; sc; cs; cc}

Donde ss significa que en la primera moneda ocurrió sello y en
la segunda también; sc, es primero sello y luego cara, y así
sucesivamente.

Obviamente que Ω es discreto. Mientras que S tiene 24 =16
elementos, esto es:

S = {∅;{ss};{sc};{cs};{cc};{ss;sc};{ss;cs}; ... ;{sc;cs;cc}; Ω}

Si pensáramos en un experimento en el que se “lanzan” cuatro
monedas y observamos qué cuarteto ordenado de “lados”

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ESTADÍSTICA
G. Zurita

ocurre, Ω tiene 24 =16 puntos (elementos) mientras que S
tiene 65536 elementos, que es el número de subconjuntos de Ω.

A continuación presentamos los dieciséis “puntos” que
constituyen Ω, para el experimento de los “cuatro dados”;
ordenando los puntos de Ω de acuerdo al número de sellos
presentes en cada punto.

Ω ={cccc
cccs ;ccsc; cscc; sccc;
sscc; scsc; sccs; cscs; ccss; cssc;
sssc; sscs; scss; csss;
ssss}

={ω1; ω2; ω3; ω4 ; ω5; ω6; ω7; ω8; ω9; ω10;ω11; ω12 ; ω12; ω14;
ω15; ω16 }

No siempre Ω es finito, para poner un ejemplo que sea infinito
contable, imaginemos un experimento que consiste en lanzar
una moneda hasta que salga “cara”. Tendríamos en esta
situación:

Ω ={ c; sc; ssc; sssc; ssssc; sssssc; ... }

Es decir, un resultado posible es que salga cara al primer
lanzamiento de la moneda; otro es que primero salga sello y
luego cara; igualmente puede resultar que en los dos primeros
lanzamientos de la moneda salga sello y cara en el tercero; y así
al infinito. Éste es un experimento estadístico con un número
infinito contable de resultados posibles. Obviamente el espacio
muestral (Ω , S) de este experimento es discreto, a pesar de
tener cardinalidad no finita.

Si Ω no es discreto (Ω , S) es un espacio muestral continuo.
Ocurre por ejemplo cuando a un grupo de entes se les mide su
estatura o determina su peso. ♦

2.2.2.- Eventos de un Espacio Muestral

Eventos Todo subconjunto de Ω se denomina Evento y cuando dos
Mutuamente eventos de un mismo espacio de eventos Ω no tienen elementos
Excluyentes en común, se dice que son Eventos Mutuamente Excluyentes,
Son dos o más
esto es:
eventos de Ω que
no tienen
E1 y E 2 son eventos mutuamente excluyentes ⇔
elementos en
común [(E1, E2 ⊆ Ω) ∧ (E1 ∩ E2 = ∅)]

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ESTADÍSTICA
G. Zurita

Ejemplo 2.1

Las personas tenemos cuatro tipos de sangre: A, B, AB y O; a
su vez existe el factor Rhesus o factor Rh, que puede ser
positivo o negativo. Si un investigador realiza un experimento
que consiste en verificar a una persona su tipo de sangre y el
factor Rhesus, ¿Cuáles son los resultados posibles de este
experimento estadístico?.

Desarrollo.

La respuesta es simple,

Ω={ (A Rh+) ; (A Rh-); (B Rh+); (B Rh-) ; (AB Rh+) ; (AB
Rh-); (O Rh+) ; (O Rh-)}

El espacio muestral es discreto finito ya que la cardinalidad de
Ω es ocho y consecuentemente S contiene 28 eventos. ♦

Ejemplo 2.2

Si a n personas adultas se les mide su estatura, determinar Ω.

Desarrollo.

Ω no es único para este espacio muestral finito, pero para un
grupo de n estudiantes de educación superior en el Ecuador Ω
podría ser Ω = { x ∈ R | 1.20 < x < 2.00}, x en metros; mas si la
población objetivo son los jugadores de baloncesto de la NBA,
Ω podría ser:
Ω = { x ∈ R | 1.80 < x < 2.30}, x en metros. ♦

2.3.- FUNCIONES QUE SE EVALÚAN EN CONJUNTOS

2.3.1.- Cardinalidad de un Espacio Muestral

Para quien ha tomado un curso de Matemáticas a nivel superior,
las funciones que se evalúan en números reales - funciones de
variables real - son extremadamente familiares y hay quienes la
manejan con tanta frecuencia que se imaginan son las únicas
que tienen un verdadero sentido práctico, pero en realidad esto
no es así; existe muchos otros tipos de funciones y las
utilizamos, aunque no siempre lo hagamos de manera
consciente. Cuando estamos frente a un conjunto finito E de
entes y nos preguntan cuantos elementos tiene E, con gran
soltura, respondemos, adjudicándole al mismo, un número N(E)
y sin darnos cuenta hemos evaluado una función N en uno de

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ESTADÍSTICA
G. Zurita

Cardinalidad los puntos de su dominio A , punto al que hemos denominado
Número de conjunto E. Esta función se denomina Cardinalidad y es más
elementos de un
conjunto finito E.
usual que muchos otros entes matemáticos con los que
rutinariamente lidiamos y reconocemos como tales.

Formalmente N es una función representable como:

N: A→K

Donde A (su dominio) un conjunto cuyos elementos son
también conjuntos y K es el conjunto de los números enteros no
negativos.

Si por ejemplo A es el conjunto de las ciudades ecuatorianas
que eran capital de provincia al momento de realizarse el
empadronamiento del último censo de población (Noviembre
2001), entonces N(Guayaquil) = 1’985.379. En este caso N
asigna a cada ciudad el número de habitantes que fueron
contabilizados al momento del empadronamiento.

Este tipo de funciones son utilizadas en Estadística, con el
propósito de medir la incertidumbre existente alrededor de la
factibilidad de que ocurra un evento E, constituyente de un
Espacio Muestral (Ω , S). Surge de inmediato la noción de
“Probabilidad”.

Probabilidad es un concepto arraigado, aunque solo
informalmente, en la cultura de los pueblos.

Si se le pregunta a una persona adulta, sin importar su nivel
educativo, cuál es la probabilidad que salga el número seis
cuando se efectúa el “lanzamiento” de un dado “legal”, sin duda
alguna, dirá que es “un sexto”; o tal vez menos explícitamente,
que “es la misma que la de cualquier otro número” en el dado; o
tal vez otra expresión en la que señale que los seis números
tienen igual probabilidad de ocurrir, cuando se lanza un dado
legal. Si se le pregunta a esta misma persona donde aprendió
todo aquello, le dirá que no se recuerda o lo más probable es que
diga que esa es una pregunta que tiene una respuesta “obvia”.
Lo cierto es que lo aprendemos en el diario convivir. Es parte
de la cultura de los pueblos.

Mas, si la mañana de un domingo cualquiera le preguntamos a
una persona cuál es la probabilidad que ese día gane Barcelona
el juego que tiene programado , las respuestas serán en su
mayoría sin sustento racional ; las respuestas serán “que gana
sin duda alguna” si viene de uno de sus fanáticos - la victoria es
un evento seguro-; o que “con seguridad pierde” si el
entrevistado pertenece a la “otra orilla”- la victoria es un evento
imposible-; talvez obtendremos un “no se” de los que están

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ESTADÍSTICA
G. Zurita

poco interesados en el futbol. Este tipo de respuesta subjetiva y
extremista no resiste análisis; mas lo cierto es que la noción de
probabilidad está presente en la cultura popular por aprendizaje,
más involuntario que voluntario, también por afecto y en
muchos casos también por experimentación. Aunque no lo sepa
el gran público, está utilizando funciones que se evalúan en
conjuntos, a las que se les asignan como valor un número real
entre cero y uno. ♦

Si el experimento consiste en verificar el resultado del partido
que el domingo juega Barcelona, tenemos que

Ω ={Gana Barcelona; Empata Barcelona; Pierde Barcelona}
= {ω1; ω2; ω3 } ♦

Damos a continuación una ilustración más formal de funciones
que se evalúan en conjuntos. Supongamos que A es un conjunto
unidimensional constituido por todos los intervalos cerrados
que es posible construir sobre los números reales positivos.

Supongamos además que:

E1 = {x∈R ⏐0 ≤ x ≤1}; y,
E2 = {x∈R ⏐½ ≤ x ≤ 2}

−x
∫
Defínase la función Q, tal que Q(E) = e dx , para cualquier
E
intervalo real cerrado E, por lo que ,
1

Q( E1) = ∫e
0
−x
dx = -exp(-1) + 1 = 0.632

2

Q(E2) = ∫
1/ 2
e − x dx = -exp(-2) + exp(-1/2) = 0.471 ; y,
1

∫e
−x
Q(E1∩ E2) = dx = -exp(-1) + exp(-1/2) = 0.239
1/ 2
2

Q(E1∪E2) = ∫e
0
−x
dx = -exp(-2) + 1 = 0.865 ♦

Nótese que en la evaluación de estas integrales utilizamos la
expresión exp(y) como equivalente a ey .

Téngase en cuenta además que,

Q(E1∪ E2) = Q(E1) + Q(E2) - Q(E1∩ E2).

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ESTADÍSTICA
G. Zurita

En la sección siguiente se hará evidente el uso que vamos a dar
a las funciones que se evalúan en conjuntos. ♦

2.3.2.- La Función de Probabilidades

Función de Estamos ya en condiciones de definir una función que
Probabilidades determine valores de probabilidades para los eventos que
Es una función cuyo pueden ocurrir cuando se está frente a un Experimento
dominio es S y cuyo Estadístico.
conjunto de llegada
es el intervalo
cerrado de números
Supongamos que el Experimento Estadístico tiene Espacio
de cero a uno. Muestral (Ω , S); una función P cuyo dominio es S y cuyo
conjunto de llegada, es el intervalo cerrado de números reales
de cero a uno, es una Función de Probabilidades (P: S→
[0,1]) si y solamente si:

a) P(Ω) = 1 ;
b) 0 ≤ P(E) ≤ 1, ∀E∈S.
c) P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2); siempre que E1∩E2 = ∅.

Los axiomas aquí impuestos a la función P se denominan
Axiomas de Kolmogorov, en honor al matemático ruso A.
Kolmogorov que creo el sustento teórico de lo que hoy es
conocido como la Teoría de Probabilidades.
Probabilidad
El número real P(E) Se pretende que P sea una medida formal de la incertidumbre
se denomina que rodea a los eventos que constituyen el Espacio Muestral de
probabilidad de que un Experimento Estadístico.
un evento E ocurra,
bajo las condiciones
impuestas en el El número real P(E) se denomina probabilidad de que el
experimento evento E ocurra, bajo las condiciones impuestas en el
experimento.
Con los Axiomas de Kolmogorov no se pretende escoger una
función en particular cuando se tiene un determinado Espacio
Muestral, solo se exige que la función escogida cumpla los
requisitos de la definición de Función de Probabilidades.

Si por ejemplo un experimento consiste en verificar el género
del primer bebé que nace en un hospital el 1 de enero de un año
cualquiera, no queda dudas de que

Ω = {hombre; mujer} = {ω1 ; ω2}

y si otro experimento consiste en verificar el género de la
primera persona que será declarada héroe de guerra durante un
conflicto armado entre dos naciones, vuelve a tenerse que Ω =
{hombre; mujer} , pero en el primer caso P1(hombre) será un
valor cercano a 0.50, mientras que en el segundo caso,

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ESTADÍSTICA
G. Zurita

P2(hombre) será probablemente mucho mayor que 0.5,
tradicionalmente cercano a uno. Nótese que hablamos de dos
distintas funciones de probabilidades sobre un mismo espacio
muestral (Ω,S) correspondientes a dos diferentes
“experimentos”.

2.3.3.- El Espacio de Probabilidades y Eventos

Puede ocurrir también que sobre un mismo Espacio Muestral
(Ω, S) correspondiente a un mismo experimento se definan
distintas funciones de probabilidades, basados en distintas
experiencias o percepciones por parte de diferentes grupos
humanos.

La terna (Ω,S,P) es denominado un Espacio de
Probabilidades.

Abundaremos un poco, acerca de la razón por la cual (Ω,S) es
denominado un Espacio Medible.

Una función µ que se evalúa en lo subconjuntos de un conjunto
Ω y es tal que
µ: A→ [0, ∞)

es denominada una medida sobre (Ω,A) , si y solamente si:

a) µ(∅)=0; y,
∞

U A ) = ∑ µ(Ai )
∞
b) A es un σ-álgebra aditivo, esto es µ( i ; para
i =1 i =1
cualquier sucesión disjunta de elementos Ai en A.
Ésto es lo que se denomina una “medida contablemente
aditiva”. Nótese que bajo las condiciones dadas, µ(A) ≥ 0 para
todo A∈A,; además (Ω,A) es lo que se denomina un Espacio
Medible.

Esto significa que P es una medida sobre el Espacio Medible
(Ω, S).

Luego de esta digresión, vamos a probar algunas propiedades de
la Función de Probabilidades P.

Teorema 2.1. Si P es una Función de Probabilidades, para
cualquier evento E∈S la probabilidad de que el mismo ocurra
es P(E) = 1 - P(Ec). Siendo Ec el complemento de E en Ω.

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ESTADÍSTICA
G. Zurita

Prueba

Por definición de complemento de un conjunto cualquiera,
E∪Ec = Ω, por tanto P(E∪Ec) = 1; siendo E y Ec eventos
mutuamente excluyentes ,

P(E∪Ec) = P( E) + P(Ec) = 1

Concluyéndose entonces que

P(E) = 1 - P(Ec)

Lo cual demuestra el teorema. ♦

Como corolario de este teorema y de la definición de la
Función de Probabilidades P se concluye que P(∅) = 0, lo cual
significa que la probabilidad de que el Evento Imposible ocurra
es cero.

Recordemos que la probabilidad de que el Evento Seguro Ω
ocurra es por definición uno. En síntesis:

P(∅) = 0 y P(Ω) = 1 ♦

Teorema 2.2. Si P es una Función de Probabilidades y E1 y E2
son eventos en el correspondiente espacio muestral (Ω,S),
entonces P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1∩E2).

Prueba

Siendo E1 y E2 subconjuntos de Ω es cierto que

E1∪E2 = (E1∩E2c) ∪ (E2∩E1c) ∪ (E1∩E2).

Los tres eventos mostrados entre paréntesis son disjuntos o
mutuamente excluyentes; de aquí podemos decir que:

P(E1∪E2) = P[(E1∩E2c )∪(E2∩E1c) ∪(E1∩E2)]

= P(E1∩E2c ) + P(E2∩E1c) + P(E1∩E2)

= P(E1∩E2c ) + P(E2)

= [P(E1∩E2c ) + P(E1∩E2) ] +P(E2) - P(E1∩E2)

= P(E1) + P(E2) - P(E1∩E2)

Lo cual prueba el teorema. ♦

11

ESTADÍSTICA
G. Zurita

son eventos cualesquiera en un espacio muestral (Ω,S),
entonces P(E2∩E1C ) = P(E2) - P(E1∩E2).

E1∩E2
E1 E2

Ω E2∩E1c

Prueba

Para probar el teorema se debe tener en cuenta que

E2 = {E2∩E1}∪ {E2 ∩E1C}
De donde,

P(E2) = P({E2∩E1 }∪ {E2 ∩E1C})
= P(E2∩E1) + P(E2 ∩E1C) – P[(E2∩E1) ∩ ( E2∩ E1C)]

Siendo disjuntos los conjuntos cuyas probabilidades se evalúan
en el lado derecho de la última igualdad, sigue lo que se postula
en el enunciado del Teorema, esto es:

P(E2∩E1C ) = P(E2) - P(E1∩E2). ♦

son eventos en un espacio muestral (Ω,S) tal que E1 ⊆ E2 ,
entonces P(E1) ≤ P(E2).

Se deja la demostración al lector. ♦

Corolario.

Si P es una Función de Probabilidades y E1 y E2 son eventos
cualesquiera en un espacio muestral (Ω,S), entonces
P(E1∪E2)≤P(E1) + P(E2) .

son eventos en un espacio muestral (Ω,S), entonces
P(E1∩E2)≥P(E1) + P(E2) –1.

12

ESTADÍSTICA
G. Zurita

Prueba

Puesto que P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1∩E2), por lo que
también es verdad que

P(E1∩E2)= P(E1) + P(E2) - P(E1∪E2),

el teorema sigue del hecho de que P(E1∪E2) ≤ 1. ♦

Este último teorema es denominado Desigualdad de
Bonferroni que permite, sino calcular exactamente la
probabilidad de que dos eventos ocurran al mismo tiempo, al
menos acotar esta probabilidad.

son eventos cualesquiera en un espacio muestral (Ω, S),
entonces P(E1∩E2) ≥ 1- P(E 1 ) - P(E c ).
c
2

Prueba

Esta desigualdad de denomina Desigualdad de Boole. La
prueba se deja al lector. ♦

Los interesados en las interpretaciones gráficas de conjunto,
refiéranse a la Figura 2.1 que se adjunta, y que en un diagrama
de Venn esquematiza Ω así como los eventos con los que se ha
trabajado en la demostración.

Figura 2.1
Diagrama de Venn para dos eventos en Ω

E1∩E2
E1 E2

E1∩
E2c E2∩ E1c

Ω

Si se tienen tres eventos en lugar de dos, se puede probar que:

P(E1∪E2∪E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - P(E1∩E2) - P(E1∩E3)
- P(E3∩E3) + P(E1∩E2∩E3)

Para probar este resultado, debe considerarse a E1∪E2 como un
evento y E3 como otro evento y aplicar la expresión para la

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ESTADÍSTICA
G. Zurita

probabilidad de la unión de dos eventos cuya demostración se
hiciera en líneas previas. ♦

La extensión a la probabilidad de la unión de n eventos es
obvia.

Ejemplo 2.3

Obsérvese el esquema gráfico en el que se presentan tres eventos
y las correspondientes probabilidades; calcular P(E1∪E2∪E3) y
P[(E1∪E2∪E3)C]

Desarrollo.

Bajo las condiciones dadas,

E1 E2
P(E1) = 0.12 + 0.10 + 0.05 + 0.08
= 0.35
0.12 0.10 0.20
P(E2) = 0.20 + 0.10 + 0.05 + 0.10
0.05 = 0.45
0.08 0.10 P(E3) = 0.08 + 0.05 + 0.10 + 0.15
= 0.38
0.15
P(E1∩E2) = 0.05 + 0.10 = 0.15
Ω E3
P(E1∩E3) = 0.08 + 0.05 = 0.13

P(E2∩E3) = 0.05 + 0.10 = 0.15

P(E1∩E2∩E3) = 0.05

Por lo que,

P(E1∪E2∪E3) = 0.35 + 0.45 + 0.38 – 0.15 – 0.13 – 0.15 + 0.05
= 1.18 – 0.43 + 0.05
= 1.23 – 0.43 = 0.80

Por lo que todo aquello que está en Ω pero que no pertenece a
la unión de E1 con E2 y E3 es (E1∪E2∪E3)c, cuya probabilidad
es

P(E1∪E2∪E3)c = 1 – 0.80 = 0.20 ♦

Ejemplo 2.4

En un artículo que M. Gardner publicara en 1976 en el número
234 de la revista de divulgación científica denominada
Scientific American y que lo titulara Mathematical Games
plantea el siguiente juego que conduce a una paradoja.

El juego consiste en escoger, al gusto del participante, una de
dos urnas, una negra y otra blanca, y luego de eso escoger

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ESTADÍSTICA
G. Zurita

aleatoriamente una bola de las que están dentro de la urna que
fue seleccionada. Si al final el participante tiene una bola roja,
recibe un premio.

Si una urna negra contiene cinco bolas rojas y seis verdes y una
urna blanca contiene tres bolas rojas y cuatro verdes,
evidentemente que si usted fuera el jugador escogería la urna
negra pues 5 > 3 .
11 7

Se tiene otra situación, una urna negra tiene seis bolas rojas y
tres verdes, mientras que una urna blanca tiene nueve rojas y
cinco verdes, si usted fuese el jugador otra vez escogería la urna
negra por que la probabilidad de sacar una bola roja , y así ganar
el premio es mayor en la urna negra que en la blanca, ya que
6 9
> .
9 14

Pero observe lo que ocurre cuando se le plantea la siguiente
situación.

El contenido de la segunda urna negra se une al de la primera
urna negra y el de la segunda urna blanca al de la primera urna
blanca. Se vuelve a jugar con esta configuración de las urnas. No
lo piense, responda a lo siguiente ¿cuál urna escogería? Si se
dejó llevar por la intuición escogió una vez mas la negra, pero …
no ; debió escoger la urna blanca, donde , de las veintiún bolas
doce son rojas; en la urna negra once de veinte son rojas y
12 11
= 0.571 > = 0.550
21 20

Este resultado es conocido como la Paradoja de Simpson. ♦

Ejemplo 2.5

Un experimento con el que los profesores de Estadística y
probabilidades impresionamos a nuestros alumnos es
“jugándosela” al decir que está casi seguro que en la clase
existen dos estudiantes que cumplen año el mismo día. El autor
lo ha efectuado decenas de veces, en cursos con cuarenta o mas
estudiantes, y hasta ahora su calidad de “casi brujo” no ha
fallado. Encontrar la razón de estos resultados “milagrosos”.

Desarrollo.

Supongamos que cada día del año es igual de bueno para nacer
y no tengamos en cuenta los años bisiestos, esto es,
consideraremos solo los de 365 días.

Sean n las personas en el aula.

Sea E el evento “dos de las n personas en el aula cumplen año el
mismo día”

15

ESTADÍSTICA
G. Zurita

Tenemos además que P(E) = 1 – P(EC).

Si Ω es el espacio de puntos del experimento, éste consiste de
una “sucesión ordenada de n números representando fechas” de
la forma (a1 a2 … an) donde el primer número denota el número
que le corresponde al día del cumpleaños de la primera persona,
el segundo el número, al día del cumpleaños de la segunda
persona y así sucesivamente hasta llegar a la enésima persona.

En el caso de dos personas,

Ω={(1 1) (1 2) … (1 365) … (365 365) }

que configuran 3652 elementos en Ω.

Si existiesen solo tres personas, el resultado (1 4 33)
corresponde a la primera persona cumpliendo año el primero de
enero, la segunda el cuatro de enero y la tercera el dos de
febrero.

Si son tres personas Ω = { (1 1 1) (1 1 2) … (1 1 365) … (365
365 365) } para un total de 3653 elementos en Ω.

Evidentemente el número de resultados posibles para el caso de
n personas es 365n. En tanto que:

El número de personas que no cumplen año el mismo día es
365⋅364⋅ … ⋅(365 –n +1)

Por lo que :

365(364) .....(365− n + 1)
P( E c ) =
365 n

Si se calcula el valor de P(E) = 1 – P(EC), para distintos valores
de n, se encuentra que cuando n = 23 se supera el valor 0.500
para P(E) ; mas precisamente si n = 23 P(E) = 0.506; para n =
40, que es cuando nosotros nos arriesgamos P(E) = 0.891 , lo
cual conduce a fracaso en 109 casos de mil. El evento es
verosímil.♦

2.4.- MÉTODOS DE ENUMERACIÓN

2.4.1.- Cardinalidad de Eventos Finitos

Como puede inferirse de la teoría e ilustraciones presentadas en
el presente capítulo, es de singular importancia conocer la
Cardinalidad de los eventos finitos con los que se trabaja en
Estadística, ya que la probabilidad de que ellos ocurran,

16

ESTADÍSTICA
G. Zurita

depende del número de elementos que posea el evento con
respecto al total contenido en el Espacio de Eventos Ω.

Si por ejemplo, Ω tiene N elementos, esto es Ω = {ω1, ω2, ...,
ωN} y E es un evento en un espacio muestral (Ω,S), tal que E
tiene k elementos , k ≤ N, entonces:

P(E) = N(E) / N(Ω) = k/N , N ≠ 0

Si nos preguntamos cuál es la probabilidad de que aparezca un
número mayor que 4 en el lanzamiento de un dado “legal” o
equilibrado, debemos admitir que

Ω = { 1; 2; 3; 4; 5; 6}

y que el conjunto de números mayores que cuatro es E = {5; 6};
además N(E)=2 y N(Ω)=6 por lo que la probabilidad de que un
número mayor que 4 aparezca durante el experimento es:

P(E) = 2/6 = 1/3

La moraleja es que para muchas actividades, resaltando entre
ellas, la de calcular probabilidades de eventos de cardinalidad
finita, se debe saber determinar la cantidad de elementos que
constituyen un evento y como será evidente en líneas venideras,
no siempre el conteo se lo puede realizar “por simple
observación” como lo hemos hecho con experimentos que
involucran dados o monedas.

Es cierto que la Cardinalidad de eventos finitos es vital para el
cálculo de probabilidades, aunque también es verdad que para
determinar probabilidades de eventos no finitos, necesariamente
debe existir algún tipo de “medida” que lo caracterice y esta,
bien puede ser su longitud, área o volumen.

Ejemplo 2.6

Un experimento consiste en lanzar un dardo sobre un objetivo
circular de un metro de radio; ¿Cuál es la probabilidad de que
el dardo “caiga” sobre un punto perteneciente a la corona
circular cuyo radio interior mide 0.50 metros?.

Desarrollo.

Es el caso de un espacio muestral continuo donde

Ω = { (x,y) | x2 + y2 < 1}

E es el evento, “el dardo cae en la corona circular de radio
interior r1 = ½”. Véase gráfico.

17

ESTADÍSTICA
G. Zurita

Por lo que,

r1
P(E) = Área de la corona
r Área de Ω

π (12 − (1 2) 2 ) 3
= =
r1=0.5; r=1 π (1) 2 4

Ω no es un espacio de eventos finitos y la “medida” que lo
caracteriza es su área. ♦

2.4.2.- Regla de la Multiplicación de Opciones

Si en una compañía de taxis opera con vehículos de tres
distintas marcas, a las que llamaremos A, B y C. La compañía
tiene cuatro taxis de marca A, tres de marca B y dos de marca
C, esto es un total de nueve vehículos. Un cliente les pide el
alquiler simultáneo de tres automóviles pero exige que sean de
diferentes marcas. ¿De cuantas opciones de agrupamiento de sus
vehículos dispone la compañía para complacer a su cliente?

Resolvamos primero el problema utilizando un diagrama de
árbol. Véase Figura 2.2 en la misma observamos que son
veinticuatro las opciones que tiene la compañía de taxis;
comenzando con A1 B1 C1 y terminando con A4 B3 C2.

Figura 2.2
Diagrama de Árbol: Regla de Multiplicación de Opciones

B1
B2
B3

A1 B1
B2
B3
A2

A3
B1
A4 B2
B3

B1
B2
B3

18

ESTADÍSTICA
G. Zurita

En realidad nos encontramos ante tres conjuntos finitos E1, E2 y
E3 con sus respectivas cardinalidades n1, n2 y n3, lo cual hace
posible que si deseamos escoger primero un automóvil de la
marca A, lo podemos hacer de cuatro formas, si luego
escogemos uno de la marca B lo podemos hacer de tres maneras
y posteriormente, de dos maneras los de la marca C; para un
total de 4⋅3⋅2 = 24 opciones, y así satisfacer los requerimientos
del cliente. ♦

Esta situación puede generalizarse para k conjuntos E1, E2, ...;
Ek que respectivamente tienen n1, n2... nk elementos, mediante la
denominada Regla de Multiplicación de Opciones, teorema
cuyo enunciado es el siguiente:

Teorema 2.7. Sean E1, E2... Ek, k eventos (conjuntos) cuyas
cardinalidades son respectivamente n1, n2, ... nk; si se debe
tomar primero un elemento de E1, luego un elemento de E2 y así
sucesivamente hasta tomar el último elemento en Ek, entonces el
número de opciones que es posible elegir es igual a:
n1⋅ n2,⋅ ... ⋅ nk

Esto es, al producto de las cardinalidades de los
correspondientes eventos.

Prueba

La prueba del mismo es inductiva, haciendo variar i desde uno
hasta k. El caso en que i=1 es trivial; el resto de la prueba es
relativamente sencilla. ♦

Una aplicación de la Regla de Multiplicación de Opciones, es la
determinación del número de “placas” que el organismo
regulador del tráfico vehicular puede emitir para vehículos
“particulares” en cualquier provincia del Ecuador.

Cada placa tiene seis campos útiles, los tres primeros, de
izquierda a derecha, ocupados por letras del alfabeto y los tres
restantes por cualquiera de los diez dígitos del sistema numérico
decimal.

Las letras que pueden ser ubicadas en los correspondientes
campos de la placa son veintiséis, pues no se utilizan la Ch, la
Ll, la Ñ, ni la “doble R”. Un bosquejo gráfico de la placa se
presenta a continuación, donde:

ECUADOR

E1 E2 E3 – E4 E5 E6

19

ESTADÍSTICA
G. Zurita

E1 es el conjunto de letras que pueden ser ubicadas en el primer
campo;

E2 es el conjunto de letras que pueden ser ubicadas en el
segundo campo;

E3 es el conjunto de letras que pueden ser ubicadas en el tercer
campo;

E4 es el conjunto de dígitos que pueden ser ubicadas en el cuarto
campo;
E5 es el conjunto de dígitos que pueden ser ubicadas en el quinto
campo; y,

E6 es el conjunto de dígitos que pueden ser ubicadas en el sexto
campo.

La cardinalidad N(E1) = 1 puesto que allí se ubica solo la letra
que identifica a la provincia, A para Azuay, B para Bolívar, C
para Carchi, etc.

N(E2) = N(E3 ) =26

Mientras que

N(E4) = N(E5 ) = N(E6 ) =10,

Ya que diez son los dígitos del cero al nueve.

Por tanto el número de placas que se puede emitir en una
provincia del Ecuador es:

1⋅ 26⋅ 26 ⋅ 10 ⋅10 ⋅10 = 676000

En la Costa, donde existen cinco provincias, aun no se
provincializa Santa Elena, se pueden emitir 5(676000)=
3’380.000 placas y en las veintidos provincias del país
22(676000)=14’872.000 placas en total.

De cristalizarse las aspiraciones de Santo Domingo, Santa Elena
o Chone, ese “veintidós” tiene sus días contados. Otra forma de
alterar ese veintidós, es diseñando una “División Político
Administrativa Nacional” que cree no mas de seis “regiones”,
no provincias, que sean geográfica y culturalmente integrables
y que preferiblemente incluyan porciones de las tres regiones
continentales del país. ♦

Será profusa la utilización que daremos a la Regla de
Multiplicación de Opciones durante el desarrollo de este libro,
tan profusa que a veces no nos daremos cuenta de ello.

20

ESTADÍSTICA
G. Zurita

2.4.3.- Combinaciones y Muestras

Número de Supongamos que se tiene una Población Objetivo de tamaño
Combinaciones finito N y que de ella vamos a tomar, sin reemplazo, una
Número de muestras
que pueden tomarse muestra de tamaño n, siendo n menor o como máximo igual a N.
de un conjunto El número de muestras que de esta forma pueden tomarse, se
(Población Objetivo) lo denomina Número de Combinaciones de n objetos
de tamaño N. El seleccionados de un conjunto (Población Objetivo) de tamaño
orden no es n.
relevante

Nótese que en esta definición, el orden no es relevante y que
hemos identificado la expresión Combinación con Muestra.
Una combinación de tamaño n tomada de un conjunto de
tamaño N es lo mismo que una muestra X de tamaño n tomada
de una Población Objetivo de tamaño N.

Si por ejemplo se tiene una Población Objetivo compuesta por
las cuatro primeras letras del alfabeto y se quiere identificar
todas las posibles muestras de tamaño dos que de ella pueden
obtenerse, se tiene:

Población Objetivo de tamaño N = 4: {a ; b ; c ; d}.

Posibles muestras de tamaño n = 2:

{a ; b} {a ; c} {a ; d} {b ; c} {b ; d} {c ; d}.

Como puede verse, son en total seis las muestras de tamaño dos
que se obtienen de una población de tamaño cuatro. Si
deseáramos saber cuantas muestras de tamaño tres pueden
obtenerse de la misma población objetivo tenemos:

Posibles muestras de tamaño n = 3: {a ; b ; c} {a ; b ; d} {a ; c ;
d} {b ; c ; d}.

En total cuatro muestras de tamaño tres de una Población
Objetivo de tamaño cuatro.
⎛N⎞
Lo tradicional es representar por el símbolo ⎜ ⎟ al número de
⎜ ⎟
⎝n⎠
muestras (combinaciones) de tamaño n que se pueden tomar de
una población de tamaño N.

De manera inductiva se puede probar que,

⎛N⎞
⎜ ⎟= N!
⎜ ⎟ ( N − n )!n!
⎝n⎠

Siendo el símbolo n! denominado factorial del número entero
n, que se define como:

21

ESTADÍSTICA
G. Zurita

n! = 1⋅ 2⋅ 3⋅ ...⋅ n;

esto es, n! es el producto de todos los números enteros positivos
menores o iguales que n; debe tenerse en cuenta además que
cero factorial , 0! , se lo define igual a uno.

Se puede probar que:

⎛N⎞
⎜ ⎟= N!
⎜ ⎟ ( N − n)!n! es siempre un número entero, a pesar de que
⎝n⎠
aparece como un número racional que potencialmente puede ser
también fraccionario, por ser el cociente de números enteros.
Coeficiente
Binomial Otra denominación que es usual darle al número de
Número de Combinaciones de tamaño n tomadas de una Población
Combinaciones de Objetivo de tamaño N es Coeficiente Binomial ya que aparece
tamaño n tomadas en la expansión de las potencias enteras de un binomio.♦
de una Población
Objetivo de tamaño
N De la definición de factorial se puede verificar que siempre es
verdad que n! = n⋅(n-1)! ♦

Ejemplo 2.7

Se nos pide computar 3!; (3! – 2!); (3 – 2)! y 10! / (4! 6!).

Desarrollo.

Calculando se obtiene:

3! =3⋅2⋅1= 6
(3! – 2!) = (3⋅2⋅1 - 2⋅1) = 6 – 2 = 4
(3 – 2)! = 1! = 1
10! / (4! 6!) = 10⋅9⋅8⋅7⋅(6!) / 4⋅3⋅2⋅1⋅(6!)
= 10⋅9⋅8⋅7 / 4⋅3⋅2⋅1 = 210 ♦

Ejemplo 2.8

De un grupo de veinte estudiantes se van a elegir seis para
integrar un comité. En la Población Objetivo hay nueve damas
y once caballeros; se requiere que dos de los integrantes del
comité sean mujeres. La pregunta es , ¿De cuántas maneras se
puede elegir este comité?.

Desarrollo.

Se tienen dos conjuntos, el de varones del que hay que escoger
cuatro elementos y el de mujeres del que hay que escoger dos.

El número de formas en que se pueden escoger cuatro varones

22

ESTADÍSTICA
G. Zurita

de un conjunto de once es:

⎛ 11 ⎞
⎜ ⎟ 11! 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7! 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 330
⎜ ⎟ = = n1 = = =
⎜ ⎟ (11 − 4) ! 4 ! 7! 4! 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
⎝4⎠

El número de formas en que se pueden escoger dos mujeres de
un conjunto de nueve:

⎛9⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟=
9!
= n2 = 9 ⋅ 8 ⋅ 7! = 36
⎜ ⎟ (9 − 2)!2! 7! 2!
⎝2⎠

Consecuentemente el número de formas en que se puede elegir
el comité con cuatro varones y dos mujeres, aplicando la regla
de multiplicación de opciones, es:

⎛ 11 ⎞ ⎛ 9 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(n1)⋅(n2)= ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ = 330⋅ 36 = 11880
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠

Si en este mismo contexto nos preguntaran de cuantas formas
se puede elegir los miembros del comité si cuando mas puede
haber un varón en el mismo, esto es igual a,

⎛ 11 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 11 ⎞ ⎛ 9 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ = 1⋅ 84 + 11⋅ 126= 1470
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝0⎠ ⎝6⎠ ⎝1⎠ ⎝5⎠

El primer sumando cuantifica el caso de “ningún hombre y seis
mujeres” y el segundo sumando el de “un hombre y cinco
mujeres”, y con estas dos opciones se cubre el “cuando mas
un hombre”.

Si nuevas condiciones posibilitan ubicar en el comité de seis
miembros no más de tres hombres, debemos considerar cuatro
casos y sumarlos, así:

⎛ 11 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 11 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 11 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎛ 11 ⎞ ⎛ 9 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ =1⋅ 84 + 11⋅ 126 +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝0⎠ ⎝6⎠ ⎝1⎠ ⎝5⎠ ⎝2⎠ ⎝4⎠ ⎝3⎠ ⎝3⎠
55⋅ 126 + 165⋅ 84
= 22260

Cantidad que representa el número de formas en que se puede
integrar el comité incluyendo como máximo tres hombres.

Si no discriminamos por género, sino que cualquier persona,
sea este hombre o mujer, puede estar en el comité, el número
de formas de seleccionar los integrantes del comité de seis
personas es:
⎛ 20 ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟=
20!
= 38760 formas. ♦
⎜ ⎟ 14 !6!
⎝6⎠

23

ESTADÍSTICA
G. Zurita

Ejemplo 2.9

Una muy útil aplicación del número de combinaciones es el
conocido resultado que se denomina Binomio de Newton y que
se expresa de la siguiente manera:

⎛1⎞ ⎛1⎞ 1 ⎛1⎞
⎜ ⎟ 1 0 ⎜ ⎟ 0 1 ⎜ ⎟
(a + b)1 = a + b = ⎜ ⎟ a b +⎜ ⎟ a b =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
i =0
∑ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
a1-i bi
⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝ i ⎠

⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎛2⎞
⎜ ⎟ 2 0 ⎜ ⎟ 1 1 ⎜ ⎟ 0 2
(a + b)2 =a2 + 2ab + b2 = ⎜ ⎟ a b +⎜ ⎟ a b + ⎜ ⎟a b
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝2⎠
2 ⎛2⎞
⎜ ⎟
= ∑
i =0
⎜ ⎟
⎜ ⎟
a2-i bi
⎝ i ⎠
⎛3⎞ ⎛3⎞
⎜ ⎟ 3 0 ⎜ ⎟ 2 1
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = ⎜ ⎟a b + ⎜ ⎟a b
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝0⎠ ⎝1⎠
⎛3⎞ ⎛3⎞
⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎟ 0 3
+ ⎜ ⎟ ab + ⎜ ⎟ a b
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝2⎠ ⎝3⎠
3 ⎛3⎞
⎜ ⎟
= ∑
i =0
⎜ ⎟
⎜ ⎟
a3-i bi
⎝ i ⎠

En general se encuentra que:

⎛n⎞ ⎛n⎞ ⎛n⎞ n ⎛n⎞
⎜ ⎟ n 0 ⎜ ⎟ n-1 1 ⎜ ⎟ 0 n ⎜ ⎟
(a + b)n = ⎜ ⎟a b +
⎜ ⎟
⎜ ⎟a b +
⎜ ⎟
... + ⎜ ⎟a b =
⎜ ⎟
∑
i =0
⎜ ⎟
⎜ ⎟
an-i bi
⎝0⎠ ⎝1⎠ ⎝n⎠ ⎝ i ⎠
.
Para cualquier par de números reales a y b.

Éste es un resultado de mucha utilidad para el cálculo de
probabilidades cuando se introduzca el concepto de variable
aleatoria discreta.
⎛N⎞
Ahora es evidente la razón por la que a ⎜ ⎟ se lo denomina
⎜ ⎟
⎝n⎠
también “coeficiente binomial”. ♦

Son importantes también otros resultados relacionados con los
previos y que deben ser tenidos en cuenta de manera implícita
en la resolución de problemas en los que se efectúa cálculos de
probabilidades, tales como:
n ⎛n⎞
⎜ ⎟
∑
i =1
(-1)i ⎜
⎜ ⎟
⎟ =0
⎝ i ⎠
Así como también,
n ⎛n⎞
⎜ ⎟
∑
i =1
⎜ ⎟=
⎜ ⎟
2n
⎝ i ⎠

24

ESTADÍSTICA
G. Zurita

Las pruebas para estos dos casos son inductivas, teniendo en
cuenta que (1 – 1)n es igual a cero y desarrollando además
(1+1)n utilizando la expresión del Binomio de Newton.
Recuérdese que el número de subconjuntos de un conjunto de
tamaño n es 2n.

2.4.4.- Permutaciones

Permutaciones Cuando definíamos combinaciones de tamaño n tomadas de un
Subconjuntos conjunto de tamaño N, enfatizábamos que los conjuntos que así
ordenados de
se obtenían no eran ordenados, esto es, si A = {a, b} y B={b,
tamaño n tomados
de un conjunto de a}, entonces A = B; analicemos ahora cuando se toman de un
tamaño N conjunto de tamaño N, subconjuntos ordenados de tamaño n.
⎛N⎞
Como es obvio, existirá un total de ⎜ ⎟ muestras o conjuntos
⎜ ⎟
⎝n⎠
no ordenados. Necesitamos saber cuantos conjuntos ordenados
“genera” cada una de estas Combinaciones.

Ilustremos primero el problema con casos particulares; como
encontráramos en sección previa, para una población objetivo
de tamaño N = 4, {a ; b ; c ; d}, se pueden obtener seis
muestras de tamaño dos que son: {a ; b} {a ; c } {a ; d} {b ; c}
{b ; d} {c ; d}.

Analicemos en la Figura 2.3, el número de conjuntos ordenados
que obtenemos en esta situación:

Figura 2.3
Combinaciones y Permutaciones (n = 2)

Muestras Conjuntos
(Combinaciones) Ordenados
ab ab ba
ac ac ca
ad ad da
bc bc cb
bd bd db
cd cd dc

Hemos conseguido dos conjuntos ordenados de cada muestra,
diremos que cada subconjunto de tamaño dos, genera 2!
subconjuntos ordenados del mismo tamaño. ♦

Consideremos ahora la misma población y sus muestras de
tamaño n = 3, que como ya hemos determinado, son cuatro en
total: {a ; b ; c} {a ; b ; d} {a ; c ; d} {b ; c ; d}.

25

ESTADÍSTICA
G. Zurita

En la Figura 2.4 se presentan los conjuntos ordenados
correspondientes a cada muestra.
Figura 2.4
Combinaciones y Permutaciones (n = 3)

Muestras Conjuntos Ordenados
abc acb bac
abc
bca cab cba
abd adb bad
abd
bda dab dba
acd adc cad
acd
cda dac dca
bcd bdc cbd
bcd
cdb dcb dbc

Estos resultados nos ponen al tanto de que cada muestra de
tamaño tres “genera” seis subconjuntos ordenados y seis es lo
mismo que tres factorial, 3!.

De igual forma encontraremos que cada muestra de tamaño
cuatro nos permitirá obtener cuatro factorial conjuntos
ordenados, esto es veinticuatro, conjuntos ordenados de tamaño
cuatro; y así sucesivamente, de cada muestra o combinación de
tamaño n, se puede obtener n! conjuntos ordenados de tamaño
n.

Cada uno de estos conjuntos ordenados los denominaremos
una Permutación de tamaño n.

Con lo que hasta ahora sabemos, podemos afirmar que el
número de Permutaciones de tamaño n que se pueden formar
de un conjunto (Población Objetivo) de tamaño N, para n ≤ N,
es igual n! veces el número de Combinaciones del mismo
tamaño.

Si denotamos por nPN al número de permutaciones de tamaño n
tomadas de un conjunto de tamaño N, es cierto que:

⎛N⎞ N! N!
n PN = n! ⎜ ⎟ = n! ( N − n ) !n! = ( N − n )!
⎜ ⎟
⎝n⎠

Si por ejemplo se tiene un conjunto de N = 6 elementos y se
quiere encontrar cuantas permutaciones de tamaño tres se
pueden determinar a partir del mismo, vemos que el número de
muestras (combinaciones) de tamaño tres son:

26

ESTADÍSTICA
G. Zurita

⎛6⎞ 6!
⎜ ⎟
⎜ ⎟=
(6 − 3)!3!
=6⋅5⋅4⋅3! / 3!⋅3!= 20 muestras (no ordenadas)
⎜ ⎟
⎝3⎠

En tanto que el número de conjuntos ordenados (permutaciones)
de tamaño tres tomadas de este conjunto de tamaño seis son:
20⋅3!= 120, o lo que es lo mismo:

6 6!
3P = =120
(6 − 3)!

El número de permutaciones de tamaño n, tomadas de un
conjunto de tamaño N= n es igual a n! , tal cual lo verificáramos
cuando encontramos que cada muestra de tamaño n “genera” n
permutaciones, esto es,

⎛n⎞ n!
⎜ ⎟ n!
n
nP = n! ⎜ ⎟= n!
( n − n ) !n!
= 0! = n! |
⎜ ⎟
⎝n⎠

2.4.5.- El Coeficiente Multinomial

Cuando se determinan las combinaciones de tamaño n en una
Población Objetivo de tamaño N, es posible visualizar también
que a la Población se la está “partiendo” en dos grupos, uno de
tamaño n y otro de tamaño (N-n) y como sabemos, del primero
⎛N⎞ ⎛ N ⎞
⎜ ⎟
se pueden obtener ⎜ ⎟ combinaciones y del segundo
⎜ ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎟
⎝n⎠ ⎝ N −n ⎠
N!
= , esto es, la misma cantidad de combinaciones de un
( N − n )!n!
⎛7⎞ ⎛7⎞
tamaño n y de tamaño (N – n), ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ , por ejemplo.
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Muestras o ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝3⎠ ⎝4⎠
Combinaciones
Distinguibles
Cada una de as Cada una de las muestras de tamaño n y las de tamaño (N-n) se
muestras de tamaño denominan también Muestras o Combinaciones distinguibles.
n y las de tamaño
(N-n) Los resultados previos es posibles extenderlos a una Población
Objetivo de tamaño N, en la que existan n1 elementos que por
sus particularidades puedan ser clasificados como “similares”
entre ellos pero “distinguibles” de los restantes (N-n1), de igual
forma n2 que sean similares y así sucesivamente hasta nk
elementos similares, con la condición de que:

n1 + n2 +...+nk = N

Bajo estas condiciones, el número de Muestras o
Combinaciones distinguibles cuando el espacio de eventos Ω
se particiona en k conjuntos distinguibles o identificables, se lo

27

ESTADÍSTICA
G. Zurita

⎛ N ⎞
denota por ⎜ ⎟ y se puede demostrar que este número es
⎜ n , n ,..., n ⎟
⎝ 1 2 k⎠
igual a N! , estamos asegurando que:
n 1 ! n 2 ! ... n k !

⎛ ⎞
⎜
N
⎟ N!
⎜ ⎟ =
⎜ ⎟ n 1 ! n 2 ! ... n k !
⎜ n , n ,...n ⎟
⎝ 1 2 k⎠

Ejemplo 2.10

Un ingeniero politécnico tiene que hacer mantenimiento a las
estaciones computacionales que administra en un laboratorio de
Simulación Matemática; un día cualquiera en el laboratorio
tiene a su disposición diez estaciones, dos de marca PH, cinco
de marca BMI y tres de marca Doll, calcúlese el número de
formas que puede “ubicarlas” en uno de los salones del
laboratorio.

Desarrollo.

Tenemos un conjunto de tamaño N=10 estaciones y tres grupos
distinguibles, por sus marcas, grupos que son de tamaño n1 = 2,
n2 = 5 y n3 = 3.

Por tanto el número de formas que puede distribuirlas es:
⎛ 10 ⎞
⎜
⎜
⎟
⎟ = 10!
= 2520 ♦
⎜ ⎟ 2!3!5!
⎜ 2,5,3 ⎟
⎝ ⎠

Nótese que si no miráramos la marca, el ingeniero puede
distribuir sus estaciones de N! = 10! Maneras diferentes.

El razonamiento puede extenderse al arreglo de veinte libros en
las perchas de una biblioteca, sabiendo que cuatro son de
Estadística, once de Física, cuatro de Geología y uno de
⎛ 20 ⎞
Dinámica ⎜ ⎟. Piénsese también en una compañía
⎜ ⎟
⎝ 4 ,11, 4,1 ⎠

distribuidora de vehículos que los clasifica como de “bajo
consumo” de combustible, “mediano consumo” y “alto
consumo”; o, en un agricultor que cultiva arroz utilizando
abono “orgánico”, otro tipo de cultivo de arroz en que “utiliza
herbicidas” y otro tipo en que no utiliza tratamiento de tipo
alguno.

Aspiramos que el esquema multinomial sea reconocido por el
lector de manera directa y lo apliquen de forma generalizada.
En capítulos venideros será utilizado nuevamente. ♦

28

ESTADÍSTICA
G. Zurita

2.5.- PROBABILIDAD CONDICIONAL

2.5.1.- Muestreo con y sin Reposición

Un mazo de naipes tiene cincuenta y dos cartas; trece de ellas
son corazón rojo, trece corazón negro, trece son brillo y trece
trébol; se van a tomar de manera sucesiva, aleatoria y sin
reemplazo dos cartas. Nos preguntamos cuál es la probabilidad
que la segunda carta sea trébol, sabiendo que la primera fue
corazón negro.

El esquema de extracción de cartas al que nos referimos en las
líneas previas es denominado “Muestreo sin reposición” o mas
comúnmente, “Muestreo Aleatorio Simple”.

En este experimento, llamemos E1 al evento “sale corazón negro
en la primera extracción” y E2 “sale trébol en la segunda”.
Suponiendo que toda carta en el mazo tiene igual probabilidad
de ser escogida y que la segunda es tomada sin tener en cuenta
como fue escogida la primera, pero sí contabilizando el efecto
en la cantidad de elementos disponibles para efectuar la
segunda extracción, por la no reposición.

En primer lugar podemos afirmar que:

P(E1) =N(E1) / N(Ω) = 13/52

Puesto que trece son las cartas del tipo “corazón negro” y
cincuenta y dos el total de ellas; nos resta determinar el valor
de la probabilidad

P(E2, sabiendo que ya se extrajo una carta, que es corazón negro
y que no ha sido reintegrada al mazo) .

Esto significa que quedan cincuenta y un cartas en total, pero
doce de ellas siguen siendo trébol por lo que la probabilidad
buscada es 12/51.

Buscando notación diremos que:

P(E2 sabiendo que la primera carta que fue de corazón negro y
no fue reintegrada)=13/51

o simplemente:
P(E2⏐E1) = 13/51

Que se lee, “probabilidad de que ocurra E2 dado que ya ocurrió
E1”. ♦

29

ESTADÍSTICA
G. Zurita

Nótese que si una vez verificada cual fue la primera carta
extraída hubiese sido reintegrada al mazo tendríamos,

P(E2) = P(E2⏐E1) = 13/52

Esquema de extracción que se denomina “Muestreo con
Reposición”; insistimos que el esquema que utilizamos
previamente es el conocido como “Muestreo sin reposición” o
“Aleatorio Simple”. ♦

Hemos presentado una noción intuitiva de lo que es
“Probabilidad Condicional”, pasamos a definir y analizar
algunas de sus características.

Dado un experimento estadístico, consideremos dos eventos
uno E1 y otro E2, tales que el primero ha ocurrido mientras que
el segundo, E2, está por ocurrir. La probabilidad de que ocurra
E2 dado que ha ocurrido E1 se la denota y define como:

P(E2⏐E1) = P(E1∩E2) / P(E1); siempre que E1 ≠ ∅

La última restricción es necesaria, a fin de evitar la división para
cero.

Si se tuviese el caso del lanzamiento de un dado legal y nos
preguntaran cuál es la probabilidad que haya salido un número
par, si se sabe que el número que salió es mayor que cuatro.

Esto hace que

E1 = {5; 6}, sale número mayor que cuatro
y
E2 = {2; 4; 6}, sale número par y además E1∩E2 ={6}.

Por lo que,

P(E1) = 2/6; P(E2) = 3/6 ; y, P(E1∩E2) = 1/6.

lo cual nos lleva a:

P(E2⏐E1) = P(E1∩E2) / P(E1) = 1/ 6
= 1/2.
2/6

Nótese que P(E2) ≠ P(E2⏐E1), pues P(E2) = 1/2. ♦

Es importante tener en cuenta que la definición de probabilidad
condicional satisface los axiomas de la Función de
Probabilidades, Axiomas de Kolmogorov, sin embargo debe
resaltarse que si el experimento tiene un espacio muestral (Ω,
S), al “condicionar” el mismo, esto es, al conocerse alguna

30

ESTADÍSTICA
G. Zurita

información adicional sobre la ejecución del experimento - se
sabe que ha ocurrido E1 por ejemplo-, el espacio muestral se
restringe a (Ω´, S´); donde Ω´ es el conjunto de resultados
posibles , conociendo que ha ocurrido E1 mientras que S´ es el
conjunto de subconjuntos de Ω´. Por lo tanto

a) P(E1⏐E1) = 1;
b) P(E2⏐E1) ≥ 0; y,
c) P(E2∪E3⏐E1) = P(E2⏐E1) + P(E3⏐E1), siempre que E2∩E3=∅
♦

Si no es evidente que P(E1⏐E1) = 1; verifiquémoslo.
Según la definición de probabilidad condicional si P es una
Función de Probabilidades y E1 y E2 son eventos en un espacio
muestral (Ω, S):

P(E1⏐E1) = P(E1∩E1) / P(E1) = P(E1) / P(E1) = 1

De igual manera, cuando E2∩E3 ≠ ∅

P(E2∪E3⏐E1) = P[(E2∪E3)∩E1)] / P(E1)

= P[(E2∩E1)∪(E1∩E3)] / P(E1)

= [P(E2∩E1)+ P(E1∩E3)] / P(E1)

= P(E2∩E1)/P(E1) + P(E1∩E3)] / P(E1)

= P(E2⏐E1) + P(E3⏐E1) ♦

Es igualmente posible demostrar lo siguiente:

Teorema 2.8. Si P(E2) > 0 entonces P(E1⏐E2) = 1 - P(E1C⏐E2).

Este teorema, en términos de probabilidades condicionales, es
equivalente al de la probabilidad del complemento de un evento,
es decir,

P(E1) = 1 - P(E1C)

Expresión que cabe tener en cuenta porque no siempre es claro
determinar que el complemento de E1⏐E2 es E1C⏐E2. Algunos
equivocadamente piensan que es E1⏐E2c, lo cual nos es
verdadero. ♦

31

ESTADÍSTICA
G. Zurita

Pasamos a dar una ilustración del último teorema enunciado y
cuya demostración sugerimos al lector la realice.

Ejemplo 2.11

En el caso del lanzamiento de un dado legal,

Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Si E1 es el evento “sale número par” y E2 es “sale número mayor
que tres”, verificar los axiomas de probabilidad condicional.

Desarrollo.

Sea
E1 = {2, 4; 6}

E2 = {4; 5; 6}
Entonces

E1∩E2 = {4; 6}

E1⏐E2 = {4; 6}

E1C⏐E2 = {2}

P(E1C⏐E2) = P({2}) = 1/3

P(E1⏐E2) = 1 - P(E1C⏐E2) = 1- 1/3 = 2/3

Para verificar este último resultado, utilicemos la ya conocida
definición de probabilidad condicional de un evento, esto es

P(E1⏐E2)= P(E1∩E2)/ P(E2)= (2/6) / (3/6)= 2/3.

Como era de esperarse, los dos resultados coinciden. ♦

Ejemplo 2.12

Se va efectuar un torneo de un juego en el que se utilizan urnas,
al juego se lo denomina “Acierto”; para efectos de este torneo,
en las urnas a emplearse se depositan cuatro fichas marcadas del
uno al cuatro; a cada jugador se le asigna una urna; y un “turno”
de un jugador ocurre cuando extrae las cuatro fichas de su urna.
Las fichas son extraídas por cada jugador de manera aleatoria
sucesiva y sin reemplazo.

Ocurre un “acierto” si el jugador al extraer la ficha i-ésima, el
número que se lee es el i, (i = 1; 2; 3; 4). Gana el jugador que
obtiene más “aciertos”.

Desarrollo.

32

ESTADÍSTICA
G. Zurita

Analicemos la probabilidad de que un acierto Ei ocurra en la i-
ésima extracción.

Para cada jugador, Ω, el espacio de eventos del juego
(experimento) tiene una cantidad de elementos que es igual a 4!
= 24, es decir, el número de permutaciones de tamaño cuatro
que se pueden conseguir de un conjunto de tamaño cuatro;
veamos,

Ω = {1234; 1243; 1324; 1342; 1423; 1432;
2134; 2143; 2314; 2341; 2413; 2431;
3124; 3142; 3214; 3241; 3412; 3421;
4123; 4132; 4213; 4231; 4312; 4321}

Donde por ejemplo, 1234 significa, la ficha señalada con el
número uno sale primero y la ficha con el número dos, sale
segunda y la marcada con el número tres, sale tercera y la
marcada con el número cuatro, sale cuarta.

Como lo anunciáramos previamente, llamemos Ei al evento
“ocurre el número i en la i-ésima sacada” entonces,

E1 = {1234; 1243; 1324; 1342; 1423; 1432}
E2 = {1234; 1243; 3214; 3241; 4231; 4213}
E3 = {1234; 1432; 2134; 2431; 4132; 4231}
E4 = {1234; 1324; 2314; 2134; 3124; 3214}

Por tanto, P(Ei) = 6/24 = 2! / 4!; en tanto que :

E1∩E2 = {1234; 1243}
E1∩E3 = {1234; 1234}
E1∩E4 = {1234; 1324}
E2∩E3 = {1234; 4231}
E2∩E4 = {1234; 3214}
E3∩E4 = {1234; 2134}

De acuerdo con estos resultados, Ei∩Ej no son eventos
mutuamente excluyentes.

Siendo P(Ei∩Ej) = 2/24= 2!/4! ; para i , j = 1, 2, 3, 4; i ≠ j.

Finalmente,

Ei∩Ej∩Ek = {1234} siendo por tanto P(Ei∩Ej∩Ek) = 1/24
= 1!/6! ; para i, j, k = 1, 2, 3, 4; i≠j≠k.

Estas son las probabilidades que deben considerar los jugadores
al participar en la competencia. ♦

Pasamos ahora a demostrar un teorema interesante relacionado
con probabilidad condicional.

33

ESTADÍSTICA
G. Zurita

son eventos mutuamente excluyentes en un espacio muestral (Ω,
S), entonces
P(E1⏐ E1∪E2 ) = P(E1) / [P(E1) + P(E2)]

Prueba

P(E1⏐ E1∪E2 ) = P[(E1)∩(E1∪E2 )] / P( E1∪E2 )

= P(E1) / P( E1∪E2 )

= P(E1) / [P(E1) + P(E2)]

Lo cual completa la prueba. ♦

Ejemplo 2.13

En el lanzamiento de un dado “legal” se sabe que ha salido
número menor que tres o número mayor que tres. Se pide, que
con la información dada, determinemos cual es la probabilidad
que haya salido número menor que tres.

Desarrollo.

Sea E1= sale número menor que tres.
Sea E2= sale número mayor que tres.

Evidentemente que E1 y E2 son eventos mutuamente excluyentes
y que se nos pide determinar P(E1⏐ E1∪E2 ).

Puesto que:

P(E1) = 2/6 y P(E2) = 3/6
Entonces:
P(E1⏐ E1∪E2) = P(E1) / [P(E1) + P(E2)]

= (2/6) / [ 2/6 + 3/6] = 2/5 ♦

2.6.- INDEPENDENCIA ESTOCÁSTICA DE EVENTOS

Como ya hemos establecido

P(E2⏐E1) = P(E1∩E2) / P(E1); siempre que E1 ≠ ∅ ;

Esta última expresión hace posible que obtengamos la
denominada “regla de multiplicación para probabilidad
condicional” que es:

34

ESTADÍSTICA
G. Zurita

P(E1∩E2) = P(E2⏐E1)P(E1);
o también:
P(E1∩E2) = P(E1⏐E2)P(E2)

Según sea el caso. Es obvio que si ha ocurrido E1, y este hecho
afecta la probabilidad de que E2 ocurra, entonces es verdad que
P(E2⏐E1) ≠ P(E2); pero también puede ocurrir que tal situación
no se dé y que P(E2⏐E1) = P(E2).

Es lo que nos proponemos analizar a continuación.

Sean E1 y E2 eventos de un mismo espacio muestral, diremos
que el evento E1 es estocásticamente independiente del
evento E2 cuando y solo cuando:

P(E2⏐E1) = P(E2), así como P(E1⏐E2) = P(E1).

Lo usual es decir que los eventos E1 y E2 son independientes,
evitando la palabra “estocásticamente”; sin embargo hay que
tener en cuenta esta palabra, ya que en muchos casos se
confunde la independencia estocástica de eventos con el
concepto algebraico de independencia lineal de vectores.

Nótese que la definición de independencia de un par de eventos
implica que si E1 y E2 son eventos independientes:

P(E1∩E2) = P(E1)P(E2)

Ejemplo 2.14

Si se tienen eventos E1 y E2 que se conoce son independientes y
se sabe además que P(E1) = 0.8 y P(E2) = 0.30, determinar
P(E1∩E2) y P(E1∪E2).

Desarrollo.

Si los dos eventos son por hipótesis independientes,

P(E1∩E2) = P(E1)P( E2) = 0.8(0.3) = 0.24

Mientras que

P(E1∪E2) = P(E1) + P( E2) - P(E1∩E2) = 0.8 + 0.3 - 0.24 = 0.86

Es muy importante notar que los eventos E1 y E2 son
estocásticamente independientes pero no son mutuamente
excluyentes pues P(E1∩E2) ≠ 0.

Si en este mismo problema nos preguntasen cuál es la
probabilidad de que ocurra el complemento de E1 sin duda

35

ESTADÍSTICA
G. Zurita

alguna diríamos que P(E1C) = 1 - 0.8 = 0.2; mientras que , si nos
pidieran calcular P(E1C∩E2), ¿podríamos hacerlo suponiendo
que los eventos E1C y E2 son independientes? Verifiquemos
esto. ♦

Teorema 2.10. Si E1 y E2 son eventos independientes en un
mismo espacio muestral (Ω, S) entonces, también son
independientes los siguientes pares de eventos:
i) E1 y E2C
ii) E1C y E2; y,
iii) E1C y E2C

Prueba

i) Por hipótesis P(E1∩E2) = P(E1)P( E2) ya que los dos eventos
son independientes además se tiene que el evento E1∩E2C
expresado como la diferencia de dos eventos mutuamente
excluyentes, es tal que

E1∩E2 C = [E1 – (E1∩E2)] = {ω∈Ω⏐ω∈ E1∧ ω∉ (E1∩E2)};

por lo que,

P(E1∩E2C) = P[E1 – (E1∩E2 )] = P(E1 ) - P(E1∩E2 )

= P(E1) - P(E1)P( E2)

= P(E1)[ 1 - P(E2)] = P(E1)P( E2C)

Lo cual verifica la independencia de E1 y E2C, bajo la hipótesis
dada.

E1 E2
E1∩E2

E1∩E2C E2∩E1C

Ω

ii) La prueba de independencia entre E1C y E2 es similar a la
previa solo que ahora utilizaremos el hecho de que:

E1C∩E2 = [E2 – (E1∩E2)] = {ω∈Ω⏐ω∈ E2 ∧ ω∉ (E1∩E2)}

Para llegar a que,

P(E1C∩ E2) = P( E1C)P(E2)

iii) Probemos ahora el tercer resultado.

36

ESTADÍSTICA
G. Zurita

P(E1C∩E2C) = P[Ω - (E1∪E2)] = 1 – [P(E1) + P(E2) - P(E1∩E2)]
= 1 - P(E1) - P(E2) + P(E1)P(E2)

= [1 - P(E1)] - P(E2)[1 - P(E2)]

= [1 - P(E1)][1 - P(E2)]

= P(E1C)P(E2C)

Lo cual concluye la prueba. ♦

En el Ejemplo 2.14 que propusimos, nos preguntábamos, si nos
pidieran calcular P(E1C∩E2), ¿podríamos hacerlo suponiendo
que lo dos eventos presentados en la intersección son
independientes?.

Estamos ahora en condiciones de decir sí y proceder al cálculo.
P(E1C∩E2) = P(E1C)P(E2)

= [1 - P(E1)]P(E2) = 0.20(0.30) = 0.06 ♦

Veamos las novedades acerca de la independencia de mas de
dos eventos. Tres eventos E1, E2 y E3 se dicen son
estocásticamente independientes, cuando y solo cuando es
verdad que se cumplen las siguientes cuatro condiciones:

i) P(E1∩E2) = P(E1)P(E2);

ii) P(E1∩E3) = P(E1)P(E3);

iii) P(E2∩E3) = P(E2)P(E3); y,

iv) P(E1∩E2∩E3) = P(E1)P(E2)P(E3).

En un primer vistazo pensaríamos que la última condición
implica las tres primeras, o que las tres primeras implican la
cuarta, pero aquello no es cierto, presentaremos algunas
ilustraciones sobre el particular. Téngase en cuenta que en
general,

P(E1∩E2∩E3) = P(E1)P(E2⏐E1)P(E3⏐E1∩E2).

Ejemplo 2.15

Se conoce que tres eventos son tales que se cumplen las
siguientes condiciones:

P(E1) = P(E2) = P(E3) = 1/2;
P(E1∩E2) = P(E1∩E3) = P(E2∩E3) = 1/4; y,

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