Este documento describe las aplicaciones de la curvatura en el diseño de carreteras y andenes incas. Explica que las carreteras se componen de rectas, curvas de transición y curvas, y que las curvas de transición cumplen una función importante. También analiza factores como la variación de la aceleración centrífuga y la pendiente transversal que deben cumplirse en el diseño. Por otro lado, explica cómo los incas construyeron andenes siguiendo las curvas de nivel para aprovechar terrenos montañosos para la agricult

1. UNIVERSIDAD ANDINA DEL
CUSCO
CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
ALUMNO: BRYANAUCCA CRUZ
CODIGO: 013300448-C
DOCENTE: IGNACIO
ASIGNATURA: CALCULO II
CUSCO-2015
“Aplicaciones de Curvatura”

2. Presentación
En el siguiente informe trataremos sobre la curvatura, y su campo
de aplicación en lo que respecta a ingeniería civil, un ejemplo muy
claro de ello se observa en el diseño de carreteras.
En la ingeniería civil, una de las principales aplicaciones del
cálculo vectorial se encuentra en la rama del diseño de vías y
carreteras, más específicamente, en la curvatura de estas
construcciones. En primer lugar hay que saber que toda carretera
se compone de tres tipos de curvaturas, estos son: las rectas, las
curvas de transición y la curva como tal.
En las rectas, la curvatura es igual a cero; en las curvas de
transición, la curvatura es variable y en la curva como tal, la
curvatura es constante. En este blog, se intentara explicar y hacer
un especial énfasis en las curvas de transición, es decir, con
curvatura variable.
También trataremos sobre la construcción de andenes incas
ubicados de forma circular donde se puede observar el estudio
geométrico que debió tener lugar durante su diseño y
construcción.

3. INDICE
1. DISEÑO DE CARRETERAS:
1.1. FUNCIÓN:
1.2. FORMA Y CARACTERISTICAS:
1.3. LONGITUD MINÍMA:
1.3.1.LIMITACION DE LA VARIACION DE LA ACELERACIÓN
CENTRIFUGA EN EL PLANO HORIZONTAL
1.3.2. LIMITACION DE LA VARIACION DE LA PENDIENTE
TRANSVERSAL:
1.3.3. CONDICIONES DE PERCEPCION VISUAL:
1.3.4.VALORES MAXIMOS:
2. ANDENES INCAS
2.1. SUPERFICIE ORIGINAL DIBUJADA CON EL PROGRAMA
MAPLEV.
2.2. SUPERFICIE CON LAS CURVAS DE CONTORNO
PROYECTADAS.
2.3. DIAGRAMA O MAPA DE LAS CURVAS DE CONTORNO.
2.4. ESBOZO DE LOS ANDENES SOBRE LA SUPERFICIE REAL.
3. CONCLUSIONES
4. BIBLIOGRAFIA

4. 1. DISEÑO DE CARRETERAS:
1.1. FUNCIÓN:
El objetivo principal de las curvas de transición consiste en evitar varias
discontinuidades en la curvatura de la carretera. Teniendo en cuenta
esto, las curvas de transición deben cumplir con las mismas condiciones
de seguridad y de estética de toda la carretera.
1.2. FORMA Y CARACTERISTICAS:
En la mayoría de los casos, la curva más aceptada para el diseño de carreteras
es la clotoide. Esta curva se representa por la ecuación:
Donde:
 R = es el radio de la curvatura en cualquier punto.
 L = es la longitud de la curva desde su punto de inflexión y el punto de
radio R.
 A = es el parámetro de la clotoide, este es característico de la clotoide.
El punto de inflexión de la curvatura se halla en el momento en que el radio es
infinito.
Otros de los elementos que hacen parte de la clotoide son:

5.  Ro es el radio de la curva circular contigua a la clotoide.
 Lo es la longitud total de la curva de transición.
 ΔRo es el retranqueo de la curva circular.
 Xo, Yo son las coordenadas del punto de unión de la clotoide y de la curva
circular, referidas a la tangente y normal a la clotoide en su punto de
inflexión.
 Xm, Ym son las coordenadas de la curva circular (retranqueada) respecto a
los mismos ejes.
 αL es el ángulo de desviación que forma la alineación recta del trazado con
la tangente en un punto de la clotoide. En radianes, este ángulo es = L/2*R.
En grados, este ángulo es = 31.83*L/R. αLo es el ángulo de desviación en
el punto de tangencia con la curva circular.
 Ω es el ángulo entre las rectas tangentes a dos clotoides consecutivas en
sus puntos de inflexión.
 V es el vértice o punto de intersección de las rectas tangentes a dos
clotoides consecutivas en sus puntos de inflexión.
 T es la tangente o distancia entre el vértice y el punto de inflexión de la
clotoide.
 B es la bisectriz o distancia entre el vértice y la curva circular.
1.3. LONGITUD MINÍMA:
La curva de transición debe cumplir con una longitud mínima para cumplir con
varios requerimientos, entre estos están:
1.3.1. LIMITACION DE LA VARIACION DE LA ACELERACIÓN
CENTRIFUGA EN EL PLANO HORIZONTAL

6. La variación aceptada de la aceleración centrípeta y que no es
contrarrestada por el peralte de la carretera, debe tener un valor máximo,
denominado J.
Para efectos de cálculo, suponiendo que la clotoide sea recorrida a una
velocidad constante igual a la velocidad especifica de la curva circular
asociada de radio menor, el parámetro A se puede definir como:
Donde:
 Ve es la velocidad específica de la curva circular asociada y de radio
menor.
 J es la variación de la aceleración centrifuga.
 R1 es el radio de la curva circular asociada de radio mayor.
 R0 es el radio de la curva circular asociada de radio menor.
 P1 es el peralte de la curva circular asociada de radio mayor.
 P0 es el peralte de la curva circular asociada de radio menor.
Teniendo en cuenta esto, la longitud mínima de la curva debe ser:
Los valores de J aceptados para todo trazado están dados por la
siguiente tabla:
1.3.2. LIMITACION DE LA VARIACION DE LA PENDIENTE TRANSVERSAL:
La variación de la pendiente transversal no puede ser mayor al 4%/s,
según la velocidad especifica de la curva de radio menor.
1.3.3. CONDICIONES DE PERCEPCION VISUAL:
Con el fin de que una curva sea lo suficientemente perceptible por el
conductor, es necesario que:

7. - La variación de azimut entre los extremos de la clotoide, sea mínimo
1/18 radianes.
- El retranqueo de la curva circular debe ser como mínimo 50
centímetros.
En términos de cálculo, las condiciones que se deben cumplir son:
O
Donde:

Lmin es la longitud en metros.

R0 es el radio de la curva circular en metros.
Además, es muy recomendable que la variación del azimut entre los
extremos de la clotoide, se como mínimo, la quinta parte del ángulo
total de giro entre las alineaciones rectas consecutivas en que se
inserta la clotoide.
Ósea:
Donde:

Lmin es la longitud en metros.

R0 es el radio de la curva circular en metros.

Ω es el ángulo de giro entre alineaciones rectas.
1.3.4. VALORES MAXIMOS:
Es recomendable que los valores mínimos dados no se excedan

8. considerablemente, de hecho, el máximo factor para excederse es de
1.5.
En las siguientes imágenes podemos observar diversas aplicaciones de la
curvatura en la vida real.
Puente Juscelino Kubitschek, Brasilia (Brasil). Aquí se puede observar una calada
con curvas consecutivas muy complicadas, donde su diseño tuvo que haber tenido
en cuenta las numerosas curvaturas en la calzada de tal manera que no se
excedan los valores máximos planteados por la reglamentación.
Las altas velocidades de los automóviles, unidas a unas curvaturas en las
carreteras muy inapropiadas, conllevan a un muy alto riesgo de accidentalidad en
estos trazados.

9. Construcción de una carretera. Antes de iniciar un proceso constructivo de una
carretera, es necesario que se lleven a cabo una gran cantidad de estudios que
conllevaran posteriormente a un diseño preliminar. En este diseño la curvatura
juega un papel muy importante para garantizar la suficiente seguridad al
conductor.
2. ANDENES INCAS
La civilización inca es conocida por muchas características que la han hecho cada
vez más famosa, pero quizá uno de sus principales logros fue la erradicación del
hambre por medio de innumerables técnicas e investigaciones en el área de la
biología. Los incas aprovecharon en gran cantidad las montañas secas y rocosas
de las que se componía su territorio para construir varios andenes o terrazas que
sirvieran como apoyo a sus cultivos agrícolas.

10. Para conseguir la construcción de estas estructuras fue necesario un trabajo y un
desarrollo tecnológico muy extenso, ya que debieron construir en primer lugar
varios muros de contención, los cuales posteriormente debieron ser llenados con
piedras o arena para posteriormente colocar en la parte superior una capa de
tierra lo suficientemente fértil.
Además de la construcción y adecuación del territorio sobre el cual se iba a
cultivar, también era necesaria la construcción y el diseño de un gran sistema de
irrigación para hacer de la zona un terreno lo suficientemente fértil y más aun
teniendo en cuenta que estos cultivos debían sostener a una cantidad inmensa de
pobladores de las ciudades.
Por otro lado, con el fin de mantener la humedad en el terreno para así mantener
la fertilidad del mismo, era necesario ubicar una capa de arcilla entre la capa fértil
y el terreno infértil del fondo. Los incas utilizaron también muchos fertilizantes para
mantener la fertilidad de sus terrenos.
Los andenes incas son un gran ejemplo del estudio de curvas de contorno. Por
ejemplo, podríamos imaginar una colina de forma cónica donde la base se
encuentra definida por la ecuación:
El vértice del cono de la colina se encuentra ubicado a 5 unidades del origen, al
ubicarlo en el sistema cartesiano. Por otro lado, teniendo en cuenta que la simetría
se mantiene entre la curva de la base y el origen, entonces la ecuación que
describe la superficie de la colina podría ser:
2.1. Superficie original dibujada con el programa MapleV.
Teniendo en cuenta esto, podemos definir la curva de contorno de nivel
como:
Donde:

11.  z=f(x,y) Es la superficie original en coordenadas cartesianas.
 K es un número real.
Cuando se proyectan las curvas de contorno sobre la superficie original,
se puede encontrar un gráfico más aproximado de la situación real.
2.2. Superficie con las curvas de contorno proyectadas.
Por otro lado, también es posible dibujar el mapa de las curvas de
contorno.
2.3. Diagrama o mapa de las curvas de contorno.
Finalmente, y después de todo el análisis, es posible recrear un esbozo
aproximado de cómo se verían los andenes sobre la superficie original.
2.4. Esbozo de los andenes sobre la superficie real.
Para la proyección de los andenes sobre el piso se identifico en primer
lugar el máximo número entero menor que z, obteniendo así la altura de
cada escalón. Es importante tener en cuenta que los incas no poseían

12. tecnologías tan avanzadas como los programas computarizados para
realizar sus cálculos y diseños, además el ejemplo presentado es una
situación demasiado idealizada, la mayoría de las veces sucede que los
andenes debían ser proyectados sobre montañas que no obedecían a
ecuaciones conocidas, entonces todo el proceso analítico debía ser
reemplazado.
Cuando sucedía esto, probablemente lo que se hacia era utilizar los
recursos topográficos que poseían para realizar un esbozo de las curvas
de contorno y posteriormente proyectar los andenes sobre las mismas.
Aun en la actualidad, un proceso de estos requiere un muy arduo trabajo
de campo para un equipo topográfico.
Aun así, las situaciones ideales sirven mucho para estudiar determinados
factores que podrían, por ejemplo, aumentar la productividad de
determinadas superficies. En este caso, el problema deja de ser
puramente matemático y pasa a ser un problema interdisciplinario, donde
intervienen ramas del conocimiento como la ingeniería civil, el análisis de
suelos, la biotecnología agrícola, etc.
Pero podría ser un proyecto útil e interesante para la recreación de la
agricultura inca.
3. CONCLUSIONES
Bueno el trabajo amplio mis expectativas en referencia al estudio de la
asignatura, es de mucha importancia el estudio del cálculo vectorial ya
que, a nosotros los futuros ingenieros civiles nos permitirá aplicarlos en los
distintos proyectos a desarrollar en nuestra vida profesional, como por
ejemplo en el diseño de carreteras (vías de comunicación), así como
también se observa en las vigas, el efecto del pandeo, y en muchos otros
casos.
Por lo tanto deberíamos de tener mucha más consideración en el estudio
de la asignatura ya que esto nos ayudara a ser un profesional de calidad.
El cálculo vectorial puede llegar a ser muy atractivo para un estudiante al
cual se le presenten una serie de problemas relacionados con su
cotidianidad. Dentro de los numerosos ejemplos del uso del cálculo
vectorial podemos destacar los andenes incas, que fueron una serie de
terrazas que sirvieron para mejorar considerablemente la agricultura de la
cultura inca en épocas prehispánicas.

13. 4. BILBIOGRAFIA
Páginas visitadas:
 http://calculovectorial57.blogspot.com/
 https://es.scribd.com/doc/169282693/Aplicaciones-Del-Calculo-
Vectorial
 http://www.buenastareas.com/ensayos/Aplicaciones-Del-Calculo-
Vectorial-En-La/7242681.html
Libros de apoyo:
 Stewart, J. (2008). Cálculo de varias variables trascendentes tempranas (6ª
Ed.).
México: Cengage.
ISBN: 9789706866523
 Thomas, G., Finney, R. (1999). Cálculo: varias variables (11ª Ed.).
México: Pearson Educación
ISBN: 9702606446
 Larson, R. y Hostetler, R. (2005). Cálculo II (8ª Ed.).
México: Mc Graw Hill.
ISBN: 9789701052754