Dinamica de sistemas fisicos

INGENIERIA DE SISTEMAS I ING. CARLOS R. BALDERRAMA VESQUEZ

Dinámica de sistemas físicos

EJEMPLOS
Problema B-7-1.
En el sistema de la Fig. 7-91 el interruptor se cierra en t=0. Encuentre el voltaje e0(t). Suponga al
capacitor descargado inicialmente.

1
R1i R2 i i dt E .......................................................... (1)
C2
1
e0 t R2 i i dt .............................................................. (2)
C2

Usando transformada de Laplace:

1 E
R1 R2 I s I s .................................................. (3)
C2 s s
1
E0 s R2 I s I s ........................................................ (4)
C2 s

Despejando I(s) de (4):

R2 C 2 s 1
I s E0 s
C2 s

C2 s
I s E0 s
R2C2 s 1

Sustituyendo I(s) en (3):

1 C2 s E
R1 R2 E0 s
C2 s R2 C 2 s 1 s

R1 R2 C2 s 1 C2 s E
E0 s
C2 s R2 C 2 s 1 s

SIS 3308 “A” -1- AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE


R1 R2 C2 s 1 E
E0 s
R2 C2 s 1 s

E R2 C 2 s 1
E0 s
s R1 R2 C 2 s 1

Descomposición en fracciones parciales:

E R2 C 2 s 1 1 R1C 2
E
s R1 R2 C 2 s 1 s R1 R2 C 2 s 1

Usando transformada inversa de Laplace:

1
1 R1 R2 C 2
e0 t E L1 R1C 2 L 1
s 1
s
R1 R2 C 2

R1 1
e0 t E 1 L1
R1 R2 1
s
R1 R2 C 2

1
R1 R1 R2 C 2
t
e0 t E 1 e
R1 R2

Problema B-7-2.
En relación con la Fig. 7-92 la fuente de voltaje E se conecta súbitamente por medio del interruptor S
en el instante t = 0. Suponga al capacitor C descargado inicialmente y que la inductancia L no lleva
corriente inicial. ¿Cuál es la corriente i (t)?

di 1
L Ri i dt E
dt C
1 E
LsI ( s) RI ( s) I ( s)
Cs s



1 E
LCs 2 I ( s) RCsI ( s) I ( s)
Cs s
1 E
LCs 2 RCs I ( s)
Cs s
2
LCs RCs 1 I ( s ) CE
LCs 2 RCs 1 I ( s ) CE
CE
I s 2 CE
I s LCs 2 RCs 1
LCs E / RCs 1
L
I s E/L 1
I s s 2 Rs
Rs 1
s 2 L LC
L LC 2 2
2 Rs 1 R 2 4 R2C
s 2 Rs 1 s R 4 R C
s L LC s 2L 4 LC
L LC 2L 4 LC

E 1 1 1
EL1
LL 2 1 2 1 2
R 4 R 2C 2 4 R2C
L s R
2
4 4 LC C
R s2 4 4 LC C
R
s 2L s s
R
2L 4 LC 4 LC s
2L
R
2L
2
4 R C
E 1 4 LC 2 C
4 R
1
E * L
L * 4 1R 2 C * L 1 2 4 4 LC C R2
L s 4 R 2C
R2
4 4 LC C s 2 4 LC
4 LC 4 LC
E 1 1 4 R 2C
it E * 1 2 * cos 2 R 2LC 2 E
1 4 C LC 1 4 R 2C
it L 4 R C cos cos * *t
L 4 R 2C 2 LC L 4 R 2C 2 LC
4 LC
4 LC
2E LC 1 4 R 2C
it * 2
cos * *t
L
Problema B-7-3. R C
4 2 LC
La masa m (m = 1 kg) esta vibrando inicialmente en el sistema mecánico mostrado en la Fig. 7-93. En
t=0 golpeamos la masa con una fuerza impulsiva p(t) cuya magnitud es de 10 N. Suponiendo que la
constante del resorte k es de 100 N/m y que x(0-) = 0.1 m y x´(0-) = 1 m/s, x(t) se mide desde
la posición de equilibrio en ausencia de la fuerza de excitación.



mx kx pt

Sustituyendo valores:

x 100x 10 t

s2 X s sx 0 x 0 100 X s 10

s2 X s 0.1 s 1 100 X s 10

X s s 2 100 0.1s 10 1

X s s 2 100 0.1s 11

0.1s 11
X s 2 2
s 100 s 100

s 1
xt 0.1L 2
11L 2
s 100 s 100

s 11 10
xt 0.1L 2
L 2
s 100 10 s 100

1 11
xt cos10t sin10t
10 10

Problema B-7-4.
Una vibración libre del sistema mecánico de la Fig 7-94(a) indica que la amplitud de la vibración
decrece a 25% de su valor en t=t0 después de cuatro ciclos consecutivos de movimiento, como se
muestra en la Fig 7-94(b). Determine el coeficiente de fricción viscosa b del sistema si m = 1 kg y k
=500 N/m.

mx”+ kx + bx’=0
2
S +bS+500=0
S(S+b)=-500
b=-(500/S)-S
b=-[(500/S)+S



Problema B-7-5.
Una masa de 20 k esta soportada por un resorte y un amortiguador como se muestra en la Fig. 7-
95(a). Cuando se agrega una masa de 2 kg a los 10 kg masa, el sistema vibra como se encuentra en
la Fig. 7-95(b). Determine la constante del resorte k y el coeficiente de fricción viscosa b. [Note que
(0.02/0.08) x 100 = 25% de la diferencia máxima que corresponde a ς = 0.4]

mx '' x ' kx f ( x)
m 20 2
f ( x) 2*9.8 19.6
k f ( x)
x '' x' x
m m m
La solución particular es:
k
x '' x' x 0.89
m m
x p (t ) A
x p '(t ) 0
k 19.6
A 0.89 A
22 K
19.6
0.08 k 245
k
k 2
n n 3.337
m
2 n 2(0.4)(3.337)
m 22
58.73

0.89
X ( s)*( s 2 2.67 s 11.13)
s



0.89
X (s) 2
s *( s 2.67 s 11.13)
0.08 0.08* s 0.2143
X (s) 2 2
s s 2.67 s 11.13 s 2.67 s 11.13
x(t ) 0.08 0.08*cos(3.05t ) * e 1.335t 0.070* sen(3.05t ) * e 1.335 t

Problema B-7-6.
Considere el sistema mecánico mostrado en la figura siguiente. El péndulo m 2 está soportado por la
masa m1, la cual vibra a causa de una conexión elástica. Obtenga las ecuaciones de movimiento del
sistema.

Solución:
fk= kx
fm1=mx”
fm2=lθ”+ g sen θ
kx + mx”+ lθ”+ g senθ + kx =O
mx”+ lθ”+ g sen θ + 2 kx =O

Problema B-7-7.
El sistema de la siguiente figura está inicialmente en reposo. En t=0 una masa m se pone en
movimiento por una fuerza impulsiva cuya magnitud es la unidad. ¿Puede la masa detenerse por otra
fuerza impulsiva semejante?

fk= kx
fm1=mx”



δ(t)=1

mx” + kx = δ(t)
x”+(k/m)x=1/m

£{x”}+(k/m)£{x}=1/m
2
s X(s)+(K/M)X(s)= 1/M
2
X(s) [s +(K/M)]=1/M
1
X ( s) M
K
s2
M

m x' ' k x (t )
2
s x( s ) k x( s) 1 x( s ) s 2 k 1
1 donde 1 k
x( s ) 2
k k 2
s k k s k
1
1 sen kt
)
x(t ) sen k t El sistema vibra hasta que una fuerza los detenga pues no existe
kk
amortiguador que atenue la fuerza permanente porvocada por el impulso
El sistema lleva un movimiento vibratorio hasta que una fuerza externa actúa en el sistema para
detenerlo, puesto que la fuerza del amortiguador no existe. hace que el sistema se detenga
Si una fuerza con la misma amplitud pero desplazada 180
sen( k t 180 )
Problema B-7-8.
La siguiente figura muestra un sistema que consiste en una masa y un amortiguador. El sistema está
inicialmente en reposo. Cuando se pone en movimiento mediante una fuerza impulsiva cuya magnitud
es la unidad, encuentre la respuesta x(t). Determine la velocidad inicial de la masa m

fb=bx’
fm=mx”
δ(t)=1

mx”+ bx’= δ(t)
x”+(b/m)x’=1/m
£{x”}+(b/m)£{x’}=1/m

Problema B-7-9.
Encuentre las funciones de transferencia X0(s)/X1(s) y E0(s)/E1(s) de los sistemas mecánicos y el
eléctrico mostrados en la figura siguiente respectivamente.

a) b)



b1 xi xo k1 x i xo b2 xo k 2 xo

b1 xi b1 xo k1 xi k1 xo b2 xo k 2 xo

sb1 X i s sb1 X o s k1 X i s k1 X o s sb2 X o s k2 X o s

X i s b1 s k1 X o s b1 s k1 b2 s k 2

Xo s b1 s k1
Xi s b1 s k1 b2 s k 2

Xo s b1 s k1
Xi s b1 b2 s k1 k2

Sistema eléctrico análogo

1 1
Ei R2 R1 I s
C2 s C1 s

1
Eo R1 I s
C1s

Eo Eo C1 s
I s Eo
1 R1C1 s 1 R1C1 s 1
R1
C1 s C1 s
C1 s 1 1
Ei Eo R2 R1
R1C1 s 1 C2 s C1 s

C1 s R2 C1C 2 s C1 R1C1C 2 s C 2
Ei Eo
R1C1 s 1 C1C 2 s



R2 C1C 2 s C1 R1C1C 2 s C 2
Ei Eo
R1C1 s 1 C 2

Eo R1C1C 2 s C 2
Ei C1C 2 R1 R2 s C1 C2

Problema B-7-10.
Obtenga las funciones de transferencia X 0(s)/X1(s) y E0(s)/E1(s) de los siguientes sistemas y muestre
que son análogos
a) b)

b1 (x’i – x’o) + k1 (xi – xo) = b2 x’o
b1 x’i – b1 x’o + k1xi – k1xo = b2 x’o
sb1 Xi(s) – sB1 Xo(s) + k1Xi (s) – k1Xo(s) = sB2 Xo(s)
sb1 Xi(s) + K1Xi (s) = sb1 Xo(s) + k1Xo(s) + sB2 Xo(s)
Xi(s) [sb1 + k1] = Xo(s) [sb1 + k1 + sb2]

X o (s) b1 s k1
X i (s) b1 b2 s k1

Circuito eléctrico análogo:

1
R1
C1 s
R2 I ( s) Ei s
1
R1
C1 s
1
R1
C1 s
I ( s) Eo (s)
1
R1
C1 s



R1
C1 s
I ( s) Eo (s)
R1C1 s 1
C1 s

R1
C1 s Eo ( s)
I ( s)
R1C1 s 1 R1
C1 s R1C1 s 1

R1C1 s 1
I ( s) Eo ( s )
R1

R1 R1C1 s 1
R2 Eo ( s) Ei ( s )
R1C1 s 1 R1

R2 ( R1C1 s 1) R1 R1C1 s 1
Eo ( s ) Ei ( s )
R1C1 s 1 R1

R2 ( R1C1 s 1) R1
Eo ( s) Ei ( s )
R1
Eo (s) R1
Ei ( s ) R1 R2 C1 s R1 R2

Problema B-7-11.

Después de encontrar la función de transferencia Xo(s)/X1(s) del sistema mecánico mostrado en la
Fig. 7-101, obtenga un sistema eléctrico análogo

SIS 3308 “A” - 10 - AUX. ELMER RODRIGO CRUZ MAGNE


b1 xi xo k1 x i xo b2 xo k 2 xo

b1 sX i s b1 sX o s k1 X i s k1 X o s b2 sX o s k2 X o s

b1 sX i s k1 X i s b2 sX o s k2 X o s b1 sX o s k1 X o s

X i s b1 s k1 X o s b1 b2 s k1 k2

Xo s b1 s k1
Xi s b1 b2 s k1 k2

Sistema eléctrico análogo

1 1
Ei s R1 R2 I s
C1 s C2 s

1
Eo R2 I s
C2 s

Eo Eo C2 s
I s Eo
1 R2 C 2 s 1 R2 C 2 s 1
R2
C2 s C2 s
C2 s 1 1
Ei Eo R1 R2
R2 C2 s 1 C1 s C2 s

C2 s R1C1C2 s C 2 R2 C1C2 s C1
Ei Eo
R2 C2 s 1 C1C 2 s

R1C1C 2 s C 2 R2 C1C 2 s C1
Ei Eo
R2 C 2 s 1 C1

Eo R2 C1C 2 s C1
Ei C1C2 R1 R2 s C1 C2

Problema B-7-12.
Encuentre la función de transferencia E0(s)/E1(s) del sistema eléctrico mostrado en la Fig 7-102.
Además, encuentre un sistema mecánico análogo



Problema B-7-13.

Obtenga tanto la función de transferencia E0(s)/E1(s) del sistema mecánico mostrado en la Fig. 7-103,
como también un sistema eléctrico análogo.

b1 xi xo b2 xo k 2 xo

b1 sX i b1 sX o b2 sX o k2 X o

b2 sX o k2 X o b1 sX o b1 sX i

X o b1 s b2 s k2 b1 sX i

Xo b1 s
Xi b1 b2 s k 2

Sistema eléctrico análogo:



1
Ei R2 R1 I s
C2 s

Eo R1 I s

Eo
I s
R1
1 Eo
Ei R2 R1
C2 s R1

R2 C2 s 1 R1C2 s
Ei Eo
R1C2 s

Eo R1C2 s
Ei R2 C2 s 1 R1C2 s

Eo R1C 2 s
Ei R1 R2 C 2 s 1

Problema B-7-14.
En el sistema térmico mostrado en la Fig 7-104(a) se supone que el tanque esta aislado para evitar
perdidas de calor hacia el aire del medio ambiente, que no hay almacenamiento de calor en el
aislamiento y que el liquido en el tanque esta perfectamente mezclado de modo que se le done a una
temperatura uniforme. Así que puede usarse una sola temperatura para denotar la temperatura del
líquido en el tanque y la del liquido que sale. Posteriormente se supone que la rabón del flujo de
liquido hacia el tanque y saliendo del tanque es constante e igual a o iK. Para t<0 el sistema se
encuentra en estado permanente y el calentador suministra calor a razón de H J/s. En t=0 la razón de
entrada de calor se cambia de H a H +h J/s. Este cambio causa que la temperatura del liquido que
sale cambie de Oo aOo + teta k. Suponga que el cambio en temperatura teta k es la salida y que el
cambio en la entrada de calor h J/s, es la entrada al sistema . Determine la función de transferencia
térmico es análogo al sistema eléctrico mostrado en la figura 7-104b, donde el voltaje e0 es la salida y
la corriente i es la entrada.



Problema B-7-15.
Una piedra con masa de 0.1 kg esta unida al extremo de una cuerda de 1m y gira a una velocidad
angular de 1 Hz. Encuentre la tensión en la cuerda. Si la máxima tensión que la cuerda permite es de
40N, ¿Cuál es la velocidad angular máxima en hz que puede obtenerse sin romper la cuerda?

1Hz 2 m
s



m * v2
T
r
(0.1) *(2 ) 2 2
T 4 3.947 N
1
T 40
T *r 40*1
v 20m / s
m 0.1
20
v 3.1831Hz
2

Problema B-7-16.
En el regulador de velocidad de la fig. 7-105, ¿Cuál es la frecuencia w necesaria para mantener la
configuración mostrada en el diagrama?

Problema B-7-17.
El sistema masa resorte mostrado en la Fig. 7-106 esta inicialmente en reposo. Si se excita la masa
mediante una fuerza senoidal p(t) =P sen wt, ¿Cuál es la respuesta x(t)? suponga que m= 1
kg, K =100 N/m, P =5N, y w = 2 rad/s

mx kx pt



Sustituyendo valores:
x 100x 5 sin 2t

2
s2 X s 100X s 5 2
s 4

10
s 2 100 X s 2
s 4

10
X s 2
s 4 s 2 100

5 5
10 48 48
2
s 4 s 2 100 2
s 4 s 2
100

5 1 1 5 1 1
xt L 2
L 2
48 s 4 48 s 100

5 1 1 2 5 1 1 10
xt L 2
L 2
48 2 s 4 48 10 s 100

5 1
xt sin 2t sin10t
96 96

Problema B-7-18.
Una máquina rotatoria de masa Ma=.0 kg a una distancia r = 0.5m del centro de rotación. (La masa M
incluye a la masa m)). La velocidad de operación es de 10hz. Suponga que la maquina esta montada
sobre un aislador que consta de de un resorte y un amortiguador como se muestra en la Fig. 7-107.
Si se desea tener a símbolo raro =0.2, especifique la constante del resorte k tal que solamente 10%
de la fuerza de excitación se transmita a la cimentación. Determine la amplitud de la fuerza
transmitida.



Problema B-7-19.
En la Fig 7-108 un instrumento esta sujeto a una base cuyo movimiento se va a medir. El movimiento
relativo entre la masa m y la base, registrado en un tamborrotatotio indicara el movimiento de la base
z=x y es el movimiento de la pluma relavio a la base. Si el movimiento de la base es y =Y sea wt
¿Cuál relación de amplitudes de z con respecto a y en estado estable? Muestre que si w >>w n, este
puede usarse para medir la aceleración de la base.



Problema B-7-20.
La figura 7-109 muestra una maquina m montada sobre un aislador en el cual el resorte k1 es el
resorte que soporta a la cara y el amortiguador viscoso b2 esta en serie con el resorte k2. Determine
la transmisibilidad de la fuerza cuando la masa m este sometida a una fuerza de excitación p(t)=P sen
wt. Determine también la amplitud de la fuerza transmitida a la cimentación.



Problema B-7-21.
Una máquina m esta montada sobre un aislador en la Fig. 7-110. Si la cimentación está vibrando de
acuerdo con y = Y sen ωt, donde y es el desplazamiento de la cimentación, encuentre la amplitud de
vibración de la maquina. Determine la transmisibilidad del movimiento.

mx bx y k k x y 0

mx bx k x k x by k y k y

X s ms 2 bs k k Y s bs k k



X s bs k k
2
Y s ms bs k k

2 2
X jω bω k k
TR
Y jω bω
2
k k mω
2

q k k
q 2
n
m
b
2ζωn
m

b 2ω2 q2
TR
b 2ω2 q2 2mqω m 2 ω 2
b 2ω2 q2
m2 m2
TR
b 2ω2 q2 2qω
mω 2
m2 m2 m

2 4
2ζωn ω 2 ωn
TR
2 4 2
2ζωn ω 2 ωn 2ωn ω mω 2

si
n

4ζ 2 β 2 1
TR
ω mβ 2
4ζ 2 β 2 1 4ζβ 2 2
ωn ωn

Problema B-7-22.
La figura 7-111 muestra una máquina con un absorbedor de vibración dinámica. La frecuencia natural
no amortiguada del sistema en ausencia del absorbedor de vibración dinámica es ωn k m.
Suponga que la frecuencia de operación está próxima a ω n . Si el absorbedor de vibración

k a ma ω
dinámica se sintoniza de modo que , ¿Cuál es la amplitud de la masa m a del
absorbedor de vibración?



mx bx kx k a x y p(t ) P sin ωt
ma y ka y x 0

ms 2 bs k ka X s k aY s Ps
2
ma s ka Y s ka X s 0

2
ka
ms 2 bs k ka X s Ps
ma s 2 k a

X ( s) ma s 2 ka
2 2
P( s ) ms bs k k a ma s 2 ka ka

X ( jω) ma ω 2 ka
P( jω) mω 2 k ka ma ω 2 ka ka
2

Fuerza transmitida a la cimentación:

f (t ) kx bx kx

La amplitud de esa fuerza transmitida es k X jω , donde X jω está dada, P jω P mω 2 r

ka ma ω 2
X jω 2
P jω
k ka mω 2 k a ma ω 2 ka



Si m a y k a están dadas de modo que ka ma ω 2 0 o k a / ma ω 2 , entonces X jω 0 y la
k a ma ω
fuerza transmitida a la cimentación es cero. De modo que si la frecuencia natural , es
posible eliminar la fuerza transmitida a la cimentación.

Y jω ka
P jω mω 2
k ka ma ω 2 ka ka
2

Si m a y k a se escogen de modo ka ma ω 2
Y jω 1 1 P P
P sen ωt sen ωt 180 sen ωt
P jω ka ka ka ka

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