La carta de Smith fue desarrollada por Phillip H. Smith en 1939 para simplificar el análisis de líneas de transmisión. Representa una impedancia compleja normalizada en coordenadas polares, con círculos de resistencia y reactancia constantes. El módulo del coeficiente de reflexión es la distancia al origen, y su fase es el ángulo respecto al eje real. La carta permite determinar la impedancia de entrada a una línea conocida su longitud y carga.

1. TEORIA ELECTROMAGNETICA II
ING. ALBERTO TAMA FRANCO
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ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DEL LITORAL
Materia: Teoría Electromagnética II
LA CARTA DE SMITH
OBJETIVO
Conocer y entender la carta de Smith, así como sus aplicaciones en el análisis de líneas de
transmisión.
INTRODUCCIÓN
La carta de Smith fue desarrollada en 1939 por Phillip Hagar Smith en los laboratorios del
teléfono de Bell. Para conocimiento general, a continuación se relata un poco cómo surgió la
necesidad de elaborar una carta.
Debido a que P.H. Smith tenía el problema de acoplar la línea de la transmisión a la antena; una
componente, que él consideraba, acopló la línea al espacio. En vista de la frecuencia y de lo
pesado que era debido al tamaño y resultante de la antena, las medidas no eran simples. Por lo
que el elemento de detección era un puente del termopar con cerca de 6 o 8 termopares juntados
a dos bobinas, cuyas dimensiones fueron determinadas por la frecuencia de la transmisión. El
indicador era un microvoltímetro, que midió la magnitud de la señal. Entonces se movieron a
montaje entero a lo largo de la línea de la transmisión para determinar la magnitud y las
localizaciones relativas de las señales máximas y mínimas. Para las líneas de transmisión
arriba en el aire, éste requirió que un individuo moviera el dispositivo de detección adelante en el
extremo de un poste largo, mientras que un segundo individuo leería la señal a través de un
telescopio. Era primitivo, pero funcionó. Esto era lo primero que Phillip Smith hizo frente como
ingeniero eléctrico con los laboratorios del teléfono de Bell. Debido a los problemas que tenia,
el decidió crear una carta para simplificar el trabajo. De la ecuación de Fleming, y en un
esfuerzo para simplificar la solución del problema de la línea de la transmisión, él desarrolló su
primera solución gráfica en la forma de un diagrama rectangular.
Phillip persistió en su trabajo, el diagrama fue desarrollado gradualmente con una serie de pasos.
La primera carta rectangular fue limitada por la gama de datos que se podrían acomodar. En
1936 fue cuando él desarrolló un nuevo diagrama que eliminó la mayoría de las dificultades. La
nueva carta era una forma de coordenadas polares especiales, en la cual todos los valores de
los componentes de la impedancia podrían ser acomodados. Las curvas del cociente constante
de la onda de la situación, de la atenuación constante y del coeficiente de reflexión constante
eran todos los círculos coaxiales con el centro del diagrama. Las escalas para estos valores, no
eran sino lineales, pero eran satisfactorias. Con el tiempo la gente que trabajaba en este
ámbito, propuso las cartas para solucionar problemas de la línea de la transmisión.

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DEFINICIÓN
La Carta de Smith es un diagrama polar especial, que contiene círculos de resistencia constante,
círculos de reactancia constante, círculos de razón de onda estacionaria constante y curvas
radiales que representan los lugares geométricos de desfase en una línea de valor constante.
La Carta de Smith es ampliamente utilizada en la resolución de problemas de líneas de
transmisión y guías de ondas.
DESARROLLO
La carta de Smith es una herramienta gráfica usada para relacionar un coeficiente de reflexión
complejo con una impedancia compleja. La carta de Smith se puede utilizar para una variedad
de propósitos incluyendo la determinación de la impedancia, acoplamiento de la impedancia,
optimización de niveles de ruido y estabilidad, etc. La carta de Smith es una ingeniosa técnica
gráfica que virtualmente evita todas las tediosas operaciones con números complejos. Por
ejemplo, se puede determinar la impedancia de entrada a una línea de transmisión conociendo
su longitud eléctrica y su impedancia de carga.
Construcción de la Carta de Smith
La expresión del coeficiente de reflexión en la carga,  L en función de ésta, Z L , y de la
impedancia característica de la línea, Z o , está dada por:
Z L  Zo
L  |  L | e j L |  L |  L   r  ji 
Z L  Zo
La impedancia de carga, normalizada con respecto a la impedancia característica de la línea,
también puede escribirse en sus partes real e imaginaria como:
ZL 1 L
 zL   r  jx 
Zo 1  L
donde r y x son la resistencia y la reactancia normalizadas, respectivamente.
A partir de  y  se pueden obtener las partes real e imaginaria de  L , de la siguiente
manera:
1   L 1   r   ji
zL    r  jx
1   L 1   r   ji
zL 
1   r   ji 
1   r   ji
1   r   ji 1   r   ji
1   r 1   r   ji 1   r   ji 1  r    2
zL  i
1   r   i 2
2

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1   r 2  j 2 i   i 2
zL   r  jx 
1   r 
2
 i 2
1  r 2   i 2 2 i
r x y
1   r  1   r 
2 2
 i 2  i 2
A partir de la ecuación , podemos obtener:
r 1   r   r i 2  1   r 2   i 2
2
r 1   r   1  r  i 2  1   r 2
2
dividiendo esta última expresión para 1  r  , se tendría lo siguiente:
r 1 r 2 1 1
1   r  
2
i   r 2
1 r 1 r 1 r 1 r
1 r 2
r
1 r

1  2 r   r 2 
1 r
i 
1

1
1 r 1 r
r 2
r 2r r 1 1
 r   r 2  i 2   r 2
1 r 1 r 1 r 1 r 1 r
2r 1 r
r 2   r  i 2  
1 r 1 r 1 r
2
 r 
Sumando a cada miembro   , se tiene:
 1 r 
2 2 2
2r  r  1 r  r  1 r  r 
r 
2
r     i  1  r  1  r   1  r   1  r   1  r 
2
1 r  1 r     
r 
2r  r 
r  
1  r 1  r   r 2  1  r 2  r 2
2
  i 
2 2
1 r  1 r  1  r  1  r 
2 2
2
2r  r  1 r2  r2
r 
2
r     i 2 
1 r  1 r  1  r 
2
2 2
 r   1 
  r  1  r    i  1  r 
2

   

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 r   1 
La ecuación  representa un círculo con centro en  1  r , 0  y de radio 1  r 
   
A partir de la ecuación , podemos obtener lo siguiente:
2 i 2 i
  r  1   r  1
2 2
 i 2    i 2  0
x x
2
1
Sumando a cada miembro   , se tiene:
 x
2 i 2 2
  r  1  i       
2 2 1 1
x x
x    
2 2
  r  1   i     
1 1

2
   x
 x  
 1 1
La ecuación  representa un círculo con centro en 1, x  y de radio  x 
   

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Superponiendo los lugares geométricos de los círculos r = constante, con los círculos (arcos) de
x = constante, obtenemos lo que se denomina como Plano de Impedancias o Carta de Smith.

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Representación de impedancias normalizadas
La intersección de un círculo r y un círculo x, define un punto que representa una impedancia
normalizada: r + jx. Por ejemplo: el punto P, representa la impedancia normalizada 0.50 + j1,
de igual manera, la representación de una impedancia de carga en cortocircuito, en circuito
abierto y una impedancia acoplada a la línea de transmisión, se muestran en la siguiente figura:
Obtención del coeficiente de reflexión
Si pensamos en la Carta de Smith como una representación en coordenadas polares, la distancia
de un punto al origen de coordenadas se corresponde con el módulo del coeficiente de reflexión
y el ángulo con respecto al eje real positivo se corresponde con su fase.
|  L |  r 2  i 2 
 
 L  tg 1  i  
 r 
La carta de Smith proporciona ambas escalas, tanto para la lectura del módulo (en la parte
inferior) como para la lectura de la fase (sobre el círculo de radio constante r = 1).
Todas las impedancias que presenten el mismo módulo del coeficiente de reflexión, se situarán
sobre un círculo centrado en el origen. Por ejemplo, el punto P (0.5, 1) se corresponde con un
coeficiente de reflexión   0.62 83o , observándose en la figura anterior que dicho punto está
contenido en un círculo de |  | 0.62 .

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Obtención de la ROE (SWR)
La expresión que relaciona la “Razón de Onda Estacionaria” (ROE, es español y SWR en inglés)
con el coeficiente de reflexión está dada por:
1 |  L |
ROE  s  
1 |  L |
Si comparamos la ecuación  con la ecuación , podemos concluir que la ROE coincide con el
valor de la impedancia normalizada cuando la fase del coeficiente de reflexión es cero, es decir,
la ROE se obtendría directamente a partir de la intersección del círculo que contiene el
coeficiente de reflexión |  | constante (círculo centrado en el origen) con el eje real positivo.
Situación de los puntos Vmax y Vmin
Partiendo de la expresión de la onda de tensión en la línea de transmisión en función del
coeficiente de reflexión, es decir:
 V 
V  z   Vo  e  z  Vo  e z  Vo  e  z 1  o  e 2 z 
 Vo 
 '

V  z   Vo  e  j  z 1   L e  j 2  l  Vo  e  j  z 1 |  L | e



j  L  2  l' 


 LTSP 
| V  z  || Vo  |    
2 2
1 |  L | cos  L  2  l'   |  L | sen  L  2 l' 
   
| V  z  || Vo  |  
1  2 |  L | cos  L  2  l'  |  L |2
En la expresión anterior, hay que tener presente que l' se mide desde la carga hacia el
generador, y su valor debería ser negativo, sin embargo, el signo ya ha sido considerado. Así
mismo, es fácil comprobar que los máximos y los mínimos se producirán cuando se cumplan las
siguientes relaciones:
Máximos   L 2  l'  fasemáx  debe ser igual a : 0 ,  2 ,  4 , etc .
Mínimos   L 2  l'  fasemín  debe ser igual a :   ,  3 ,  5 , etc .
La separación entre los voltajes máximos y mínimos es  / 4 180  . o
Las posiciones de los
máximos y los mínimos, medidas a partir de la carga hacia el generador, estarán dadas por:
   fasemáx     fasemín 
Máximos  l' máx   L
4  Mínimos  l' mín   L
4 
   

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Transformación de impedancias
Si nos desplazamos desde la carga hacia el generador, el coeficiente de reflexión en cualquier
punto z de la línea de transmisión, viene dado en función del coeficiente de reflexión en la carga,
por la siguiente expresión:
  z    L e 2 l    z    L e j 2  l
' '
(LTSP)
Para el caso particular, es decir, una línea de transmisión sin pérdidas (LTSP), un desplazamiento
l' (signo ya considerado) desde la carga hacia el generador se traduce en un cambio de fase del
coeficiente de reflexión, pero el módulo del mismo, se mantiene constante. Por ejemplo, un
desplazamiento de l'   / 8 , supone un incremento de fase de  / 2 sobre el círculo de
módulo constante. Esto nos lleva a la obtención de un nuevo punto en la carta de Smith, que se
corresponde con la impedancia equivalente vista desde ese punto.
De esta forma, la transformación de impedancias producida a lo largo de la línea puede
deducirse observando los valores de r y x que se leen al desplazarse sobre círculos centrados en
la carta (espirales si hay pérdidas). Debemos tener presente que la Carta de Smith proporciona
dos escalas adicionales sobre su perímetro (en longitudes de onda), una para los movimientos
hacia el generador y otra para los movimientos hacia la carga.
Diagrama de Admitancias
La representación gráfica de admitancias, se la hace diametralmente opuesta al de las
impedancias correspondientes. Es posible emplear la carta de Smith como diagrama de
admitancias, muy útil para resolver problemas de conexiones de líneas en paralelo (donde las
admitancias se suman). Si se trabaja con admitancias normalizadas las posiciones de
cortocircuitos y circuitos abiertos están invertidas respecto de la carta de impedancias y también
se invierte la posición de los lados capacitivo e inductivo.

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Finalmente, la superposición de los planos de impedancia y de admitancia, se denomina plano
de Immitancias, y es el que se muestra a continuación:
Observaciones adicionales
El coeficiente de reflexión del voltaje y la impedancia de entrada a la línea normalizada en el
mismo punto de la línea, están relacionados por la carta de Smith. En el fondo de la carta de
Smith, hay un conjunto de varias escalas, una de las cuales está denominada "Reflection coeff.
Vol" (Coeficiente de reflexión del voltaje). Si se mide la longitud del vector, trazado siempre
desde el origen, se puede utilizar esta escala para conocer la magnitud del coeficiente de
reflexión del voltaje.
En la parte exterior de la carta hay tres escalas concéntricas. La finalidad de ellas, es
determinar en “grados” o “longitudes de onda” la distancia desde la carga o desde el generador.
El propósito de las escalas exterior e intermedia es determinar en grados o en longitudes de
onda la distancia en la línea desde el extremo del generador y desde la carga respectivamente,
mientras que la escala interna, es en realidad un transportador (en grados), que permite obtener
directamente   y la distancia desde la carga o el generador.
Puesto que una distancia de  / 2 en la línea, corresponde a un desplazamiento de 360º en el
diagrama, la distancia  en la línea corresponde a un desplazamiento de 720º en el diagrama.
De esta manera, es posible ignorar las escalas externas y utilizar únicamente el transportador
(escala interna) para todos los cálculos de   y distancia.

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Precisión de la carta de SMITH
La escala angular en el borde tiene divisiones de 1/500 de una longitud de onda (0.72 grados) y
la escala del coeficiente de reflexión se puede leer a una precisión de 0.02. Con lo que se
demuestra que es absolutamente suficiente para la mayoría de los propósitos. Por ejemplo, si
la longitud de onda en cable coaxial en 1 GHz es 20 centímetros, la carta de SMITH localiza la
posición a lo largo del cable a 20/500 centímetro o 0.4 milímetros. Cualquier persona que ha
manejado cable en el 1 GHz conoce perfectamente que no puede ser cortado jamás a esa
precisión. Sin embargo, si se requiere más precisión, una sección agrandada de la carta se
puede hacer fácilmente con una fotocopia de la misma.
Ventajas Principales de la CARTA de SMITH
Es una representación gráfica directa, en el plano complejo, del coeficiente de reflexión.
Es una superficie de Reimann, en que es cíclico en números de mitad-de-longitudes de onda a lo
largo de la línea. Pues el patrón derecho de la onda repite cada media longitud de onda, lo cual
es enteramente apropiado. Adicionalmente, el número de medias longitudes de onda se puede
representar por el número de la bobina.
Puede ser utilizada como calculadora de la impedancia o de la entrada, simplemente dándole
vuelta con 180 grados.
El interior de la región circular gamma de la unidad representa el caso pasivo de la reflexión, que
es lo más frecuente posible como región de interés.
La transformación a lo largo de la línea da lugar a un cambio del ángulo, y no al módulo o al radio
de gamma. Así, los diagramas se pueden hacer de manera sencilla y rápida.
Muchas de las características más avanzadas de la microonda: niveles de ruido, estabilidad, etc.,
se pueden controlar y optimizar mediante la utilización de la Carta de Smith.
El "punto en el infinito" representa el límite del aumento muy grande de la reflexión, y así que por
lo tanto nunca necesite ser considerado para los circuitos prácticos.
La Carta de Smith permite obtener a partir de una lectura directa la Razón de Onda Estacionaria
(ROE – SWR).
CONCLUSIONES
La carta de Smith es una relación gráfica entre la impedancia de entrada normalizada y el
coeficiente de reflexión del voltaje en el mismo punto de la línea y utilizando la carta, se pueden
evitar los laboriosos cálculos con números complejos para conocer la impedancia de entrada a la
línea o el coeficiente de reflexión.
Por lo que son de mucha utilidad en el acoplamiento de las líneas de transmisión y en el cálculo
del inverso de un número complejo.