Este documento describe los métodos para analizar el lugar geométrico de las raíces (LGR) de un sistema de control en lazo cerrado. Explica cómo trazar el LGR manualmente y con Matlab variando un parámetro. Define el LGR como un método gráfico que dibuja la posición de los polos a medida que varía un parámetro, lo que proporciona información sobre la estabilidad y funcionamiento del sistema. Luego, detalla los pasos para calcular el número, ángulos y puntos de corte de las asíntotas; y los á

1. CAPITULO
ANÁLISIS DEL LUGAR GEOMÉTRICO
DE LAS RAÍCES
3.1 INTRODUCCIÓN
La estabilidad relativa y la respuesta transitoria de un sistema de control en
lazo cerrado están directamente relacionadas con la localización de los polos de
dicha función de transferencia (o las raíces de la función característica) en el
plano complejo, por tal razón es necesario analizar el comportamiento de los
polos del sistema en lazo cerrado a la variación de los parámetros, en otras
palabras, es importante el análisis del Lugar Geométrico de las Raíces del
sistema en lazo cerrado.
Este capitulo estudia la técnica para el trazado del Lugar Geométrico de las
Raíces en forma manual y con ayuda de Matlab.
3.2 DEFINICIÓN DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES
La técnica del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) es un método gráfico para
dibujar la posición de los polos del sistema en el plano complejo a medida que
varia un parámetro, la información que proporciona este método es utilizada
para el análisis de la estabilidad y funcionamiento del sistema.
En la figura 3.1 se muestra un sistema en lazo cerrado, en donde la constante
k es el parámetro que se va a variar para trazar el LGR, la variación de k es
desde cero hasta infinito (0≤ k<∞).
3

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Figura 3.1: Sistema Realimentado.
Un punto del plano s hace parte del LGR de G(s), si cumple con las condiciones
de magnitud y ángulo.
3.2.1 Condición de Magnitud y Ángulo
Dada la ecuación 3.1 o función característica del sistema.
1+ kG(s) = 0 (3.1)
Despejando 3.1
kG(s) = -1
Escrito de otra forma:
1)( =skG (3.2)
∠kG(s) =1800
± n3600
n∈{0, ±1, ±2,...} (3.3)
Las ecuaciones 3.2 y 3.3 se denominan condición de Magnitud y Ángulo
respectivamente, para que un punto del plano s sea parte del LGR de un
sistema debe cumplir con estas dos condiciones.
Ejemplo 3.1
Determinar si el punto s0 = -1+2j hace parte del LGR del sistema en lazo cerrado
representado por la siguiente función de transferencia.
( )( )( )542
1
)( 2
+++
+
=
sss
s
sF
Los polos de F(s) son: 0, -5 y –2 ± 2j.
Los ceros de F(s) son: -1.
Para determinar si s0 hace parte del LGR se debe comprobar la condición de ángulo,
para lo cual se ubican en el plano complejo los polos y ceros del sistema y luego se
determina el aporte angular de estos con respecto al polo so.
Planta
G(s)
+
_
R(s) C(s)
K

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La figura 3.2 muestra este procedimiento.
Figura 3.2: Medición de Fase de F(s).
Para determinar el aporte angular de cada polo y cero del sistema al punto s0,
calculamos los ángulos ψn (aporte angular del cero) y φn, (aporte angular del polo)
así:
∑ ceros - ∑ polos = ángulo de G(s)
Luego,
∠G(s) = ψ1 - (φ1 + φ2 + φ3 +φ4)
∠G(s) = 900 – 116.60 – 00 – 760 – 26.60
∠G(s) = - 129.20
Puesto que la fase de G(s) no es un múltiplo entero de ±1800, se concluye que el
punto s0 no hace parte del LGR de G(s). En otras palabras, el punto s0 no cumple
con la condición de ángulo, por tal motivo no hace parta del LGR.
3.3 TRAZADO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES
La ecuación característica del sistema proporciona información valiosa con
respecto a la respuesta del sistema cuando se determina las raíces de la
ecuación; para trazar el LGR del sistema primero se debe determinar la función
características del sistema.
1+kG(s) = 0
Luego se factoriza G(s),
jw
σ
x
x
x o
so
•
x
φ1
φ2=0
φ3
φ4 ψ1

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( )
( )
01
1
1
=
+
+
+
∏
∏
=
=
n
j
j
m
i
i
ps
zs
k
Despejando
( ) ( ) 0
11
=+++ ∏∏ ==
m
i
i
n
j
j zskps (3.4)
Luego se ubica en el plano complejo los polos y ceros de la ecuación 3.4.
recuerde que los polos se representan por una x y los ceros con una o.
Para dibujar el LGR, sé varia k entre cero e infinito. De la ecuación 3.4 se
puede deducir que:
Sí k=0 entonces las raíces de la ecuación característica son los polos de G(s).
Sí K⇒ ∞ entonces las raíces de la ecuación característica son los ceros de G(s).
Por lo tanto el LGR inicia en los polos de G(s) y termina en los ceros de G(s) a
medida que aumenta k de cero a infinito.
Otra característica importante a tener en cuenta del LGR es que este gráfico es
simétrico con respecto al eje real, ya que las raíces complejas de un polinomio
deben aparecer en parejas (raíces complejas conjugadas).
El número de segmentos que componen el LGR de un sistema es igual al
número de polos en lazo abierto del proceso, ya que en sistemas dinámicos el
número de polos es mayor que el número de ceros.
N = np - nz (3.5)
Donde N es el número de segmentos del LGR que terminan en polos en el
infinito, nz el número de ceros del sistema y np el número de polos. N también
determina el número de asíntotas del LGR.
Como el número de polos es mayor que el de ceros, entonces en el gráfico del
LGR del sistema habrá segmentos que terminen en ceros en infinito, y dichos
segmentos tomaran la dirección que indiquen las asíntotas, el calculo de dichas
asíntotas se muestra a continuación.
3.3.1 Calculo de número, Ángulos y Puntos de Corte de Asíntotas
Una vez ubicados los polos y ceros del sistema en el plano complejo y haber
determinado el número de segmentos que compone el LGR, el siguiente paso

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es el de calcular y dibujar las asíntotas, recuerde que los segmentos del LGR
del sistema inician en los polos y terminan en los ceros siguiendo las asíntotas.
El punto del cual parten las asíntotas esta determinado por:
zp
n
j
m
i ij
zp nn
zp
nn
cerospolos
−
−
=
−
−
=
∑ ∑∑∑ = =1 1
σ (3.6)
El ángulo de cada asíntota con respecto al eje real del plano complejo esta
determinado por:
( ) 0
180
12
zp nn
q
−
+
=φ q= 0, 1, 2, ..., (np- nz -1) (3.7)
El valor de q varia de acuerdo al número de asíntotas del LGR (número de
segmentos del LGR), por ejemplo si el número de asíntotas del LGR es 3, q
tomará los valores de 0, 1 y 2.
Ejemplo 3.2
Siguiendo el análisis del LGR del ejemplo 3.1, calcular el número de asíntotas, el
ángulo de cada una, el punto de partida, luego de los cálculos dibujar en el plano
complejo las asíntotas.
( )( )( ) ssss
s
sss
s
sF
40289
1
542
1
)( 2342
+++
+
=
+++
+
=
El número de asíntotas es:
np - nz = 4 - 1= 3
Los ángulos de cada asíntota son:
Para q =0
( ) 000
1 60180
3
1
180
12
==
−
+
=
zp nn
q
φ
Para q =1
( ) 00
2 180180
12
=
−
+
=
zp nn
q
φ
Para q =2
( ) 00
3 300180
12
=
−
+
=
zp nn
q
φ

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El punto de partida de las asíntotas es:
( ) ( ) 66.2
3
10222251 1
−=
−−−+−−−−
=
−
−
=
∑ ∑= = jj
nn
zp
zp
n
j
m
i ij
σ
Una vez obtenido el punto de partida y la pendiente de las asíntotas se dibujan en el
plano complejo.
Figura 3.3: Asíntotas de F(s).
3.3.2 Calculo del Punto de Ruptura del Lugar Geométrico de las Raíces
Para determinar el punto de salida del LGR del eje real, se requiere despejar k
de la ecuación características del sistema, como lo indica la ecuación 3.8.
P(s) = k (3.8)
Para encontrar el punto de ruptura del LGR, se encuentra el máximo de P(s), lo
se logra derivando P(s) con respecto a s e igualar a cero.
( ) 0==
ds
sdP
ds
dk
(3.9)
La ecuación 3.9 es el método analítico de encontrar el punto de ruptura del
LGR, como resultada se obtendrá una función de solo un orden menor que el
orden del sistema, las raíces de esta función deben ser analizar para
determinar cual es el o los puntos de ruptura del LGR, este análisis se realiza
por medio de la condición de fase, para determinar cuales de las raíces de la
ecuación 3.9 hace parte del LGR.
Ejemplo 3.3
Teniendo en cuenta la figura 3.1, determinar el punto de ruptura del LGR.
jw
σ-2.6
1800 600
-600

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G(s) = 1/(s+3)(s+5)
Entonces
( )( )
0
53
1 =
++
+
ss
k
⇒ P(s) = -(s+3)(s+5)
Aplicando la ecuación 3.9
082
)(
=−−= s
ds
sdP
⇒ s = -4
Luego el punto de ruptura del LGR es (-4,0) del plano complejo.
3.3.3 Calculo del Punto de Corte del Lugar Geométrico de las Raíces
con el Eje Imaginario
Si el LGR de un sistema de control esta en el semiplano derecho del plano s,
indica que el sistema es inestable, lo cual se verifico con el criterio de Routh-
Hurwitz. Si se calcula el arreglo de Routh-Hurwitz con k como el parámetro
variable del sistema se puede determinar los valores de k para que el LGR
pase del semiplano izquierdo al derecho del plano complejo, una ves hallado k,
es fácil encontrar el valor de la frecuencia para la cual el sistema presenta sus
polos sobre el eje imaginario.
Ejemplo 3.4
Dada la siguiente función de característica, determinar el punto por el cual el LGR
corta el eje imaginario.
( )[ ] 0
164
1 2
=
++
+
ss
k
donde k > 0
la función característica del sistema es
s3 + 8s2 + 32s + k = 0
Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz

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42
0
0
8
256
8
321
0
1
2
3
ks
k
s
ks
s
−
Del arreglo de Routh-Hurwitz se puede observar que puede haber un cambio de
signo si k > 256, si k = 256, entonces los polos del sistema de control están ubicados
sobre el eje imaginario.
Para determinar la frecuencia a la que ocurre este corte con el eje imaginario, se hace
el análisis de la segunda fila del arreglo (s2)
8s2 + k = 0 = 8(jw)2 + 256 como s = jw
-8w2 + 256 = 0 ⇒ w = 656.532 ±= rad/seg
Lo que quiere decir que el LGR corta al eje imaginario en ± j 5.656.
3.3.4 Ángulos de Salida (Polos) y llegada (Ceros)
Sabemos que el LGR inicia en los polos y termina en los ceros del sistema en
lazo abierto, para poder determinar con precisión la dirección de cada
segmento del LGR es necesario calcular el ángulo de salida y llegada en cada
polo y cero. Este calculo se realiza aplicando la condición de ángulo, la cual es
aplicada para cada polo y cero del sistema en lazo abierto.
En la figura 3.4 se muestra como se calcula el ángulo de salida de un
segmento del LGR.
Figura 3.4: Calculo de Ángulo de Salida.
jw
σ
x
x
x
φ2
φ1
φ3

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Para encontrar el ángulo de salida en el polo –1 + 2j se toma una vecindad
muy pequeña alrededor del polo, a la cual se le aplicará la condición de ángulo
así:
1800
= φ1+ φ2 + φ3 (3.10)
De 3.10 despejamos el ángulo φ3,
φ3 =1800
- φ1 - φ2
El resultado indica el ángulo por el cual debe salir el segmento del LGR
correspondiente al polo.
Este proceso se aplica a cada polo y cero del sistema en lazo abierto.
3.3.5 Trazado del Lugar Geométrico de las Raíces
Para el trazado de LGR, se retoman paso a paso los anteriores ítems, a
continuación se realizará un ejemplo del trazado del LGR.
Ejemplo 3.5
Dado el sistema de la figura 3.4, dibuje el LGR, determinando las asíntotas, punto
de ruptura y corte con el eje imaginario.
Figura3.4: Sistema Realimentado
i) Marcar los polos y ceros en el plano s.
Figura 3.5: Ubicación de Polos y Ceros.
S+1
S2
+
_
R(s) C(s)
K
o x
-1 σ
jw

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ii) Calcular número, ángulo y puntos de corte de las asíntotas.
N = 2 – 1 = 1
Luego se tiene una asíntota, el ángulo con respecto al eje real es:
( ) 00
180180
12
=
−
+
=
zp nn
q
f para q = 0
No es necesario calcular puntos de corte ya que solo hay una asíntota.
iii) Calcular el punto de ruptura.
La función características es:
0
)1(
1 2
=
+
+
s
sk
⇒
1
)(
2
+
−=
s
s
sP
Luego se determina el máximo de P(s)
( ) ( )
( )
0
1
12
2
2
=
+
−+
−=
s
sss
ds
sdP
Los valores de s para que se cumpla la anterior ecuación son: s = 0 y s = -2. Como el
sistema tiene dos polos en cero es lógico pensar que s = 0 es un punto de ruptura,
para saber si s = -2 es otro punto de ruptura es necesario aplicar la condición de
ángulo en este punto, de la figura 3.5
∠G(s) = ψ1 - φ1 = 1800 - 1800 - 1800 = - 1800
Como cumple la condición de ángulo s = -2 es punto de ruptura del LGR.
iv) Corte con el eje imaginario.
Para este punto se utiliza el criterio de Routh-Hurwitz, para lo cual se requiere la
función característica del sistema, la cual es:
s2
+ ks + k = 0
Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz

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45
0
0
1
0
1
2
ks
ks
ks
Para que el LGR corte el eje imaginario k debe ser igual a cero.
v) Los ángulos de salida y de llagada se calculan para polos y ceros complejos
conjugados.
vi) Para el trazado del LGR, se analizan los datos anteriormente obtenidos y se
trazan los segmentos del LGR. La figura 36 muestra el LGR.
Figura 3.6: LGR de G(s) = (s+1)/s2
.
3.4 TRAZADO DEL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES CON MATLAB
A continuación se presenta el programa en Matlab para dibujar el LGR. El
sistema el cual se le va a trazar el LGR es:
( )
ssss
s
sF
40289
1
234
+++
+
=
Los polos de F(s) son: s = 0, s = -5 y s = -2 ± j2.
Los ceros de F(s) son: s = -1.
% Definición de la
% Función de Transferencia
Num=[1 1]
Den=[1 9 28 40 0];
F=tf(Num,Den);
% Graficación del LGR
rlocus(F)
o x
-1-2
σ
jw

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Figura 3.6: Lugar Geométrico de las Raíces.
Como ejercicio el lector puede verificar por medio de Matlab el LGR del
ejercicio 3.5.