2. REFERENCIAS
• “The Chaos Hypertextbook”, Glenn Elert
http://hypertextbook.com/chaos/
• “Writing the History of Dynamical Systems
and Chaos…”, D. Aubin y A. Dalmedico
Historia Mathematica 29 (2002), 273-339

3. ¿QUE ES EL CAOS?
1. Ejemplos de sistemas dinámicos caóticos.
- Modelo de Lorenz. (dimensión 3)
- Modelo de Hénon (dimensión 2). Fractales.
- La ecuación logística de May (dimensión 1)
2. Recapitulando. ¿Que es el caos?
- Propiedades de un sistema caótico.
- Regularidades en un sistema caótico.
3. Un poco de historia.
- Las matemáticas de Poincaré y Smale.
- Interdisciplinaridad: Lorenz, Ruelle, May, Yorke...
4. Teoría del Caos, ¿revolución científica?.

4. Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
Problema real
(física, biología, meteorología...)
Modelo Matemático
(Ecuaciones diferenciales)
Solución Matemática
¿Explica la realidad?

5. Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
Frío
Atmósfera Lámina rectangular
Calor

6. Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.
Frío
Atmósfera Lámina rectangular
Calor
x´(t)= 10(y-x)
Modelo matemático
y´(t)=28x-y-xz Ecuaciones diferenciales
(no lineales).
z´(t)=xy-8x/3

8. Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz.

9. Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz
Condición Inicial
(x0, y0, z0)
Regla
(x1, y1, z1)
Regla
(x2, y2, z2)
...
ITERACION

10. Primer ejemplo. El Atractor de Lorenz
Condición Inicial segundo temperatura segundo temperatura
1 -14.052872
(x0, y0, z0) 1 -
2 2.757209 2 -
Regla 3 -7.552990 3 -
4 6.621076 4 -
5 -8.084304 5 -
(x1, y1, z1) 6 -9.952578 6 -9.952000
7 -5.981163 7 -6.120309
Regla 8 -13.023813 8 -12.646284
9 0.041168 9 -0.724073
10 9.314363 10 11.848833
(x2, y2, z2) 11 4.558919 11 -1.204758
... 12 7.375924 12 6.826824
13 -14.856846 13 13.773982
14 -0.246566 14 1.474239
ITERACION

12. Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon.
Problema real Condición Inicial
(biología, mecánica celeste...) (x0, y0)
Regla
Modelo Matemático
(Iteración) (x1, y1)
Regla
Solución Matemática
(x2, y2)
...
¿Explica la realidad? ITERACION

13. Segundo Ejemplo. El Atractor de Hénon.
(x0, y0)
Regla
(x1, y1)
Regla
(x2, y2)
...
(x,y)
(1/3y, 1+x-7y/5)

14. Otros ejemplos.
Atractor de Ikeda
(Optica)
z=(x,y)
a + b z exp i[k - p/(1 + |z|2)]
a,b,k,p parámetros

15. Otros ejemplos. Fractales
Conjunto de Juliá
z
z2+c
c=-0,2-0,7i

16. Otros ejemplos. Fractales
Conjunto de Juliá
z
(z3+c)/(dz)
c=0,001
d=0,95-0,31225i

17. Otros ejemplos. Fractales
Conjunto de Juliá
z
(z5+c)/z3
c=0,001

18. Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS
Método creado por M.F. Barnsley en 1985 basado en la iteración de varias
funciones de la forma

19. Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS
Brocoli IFS
F

20. Otros ejemplos. Fractales del sistema IFS
Helecho de Barnsley
Función 1 Función 2 Función 3 Función 4
a 0 0,2 -0,15 0,75
b 0 -0,26 0,28 0,04
c 0 0,23 0,26 -0,04
d 0,16 0,22 0,24 0,85
e 0 0 0 0
f 0 1,6 0,44 1,6

21. Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May.
Problema real Condición Inicial
(física, química,biología...) x0
Regla
Modelo Matemático
(Iteración) x1
Regla
Solución Matemática
x2
...
¿Explica la realidad? ITERACION

22. Tercer Ejemplo. La ecuación logística de May.
An = número de animales en el año n
An+1= c An c=tasa de crecimiento
M= población máxima admitida
An+1= c An (M-An) se normaliza y...
xn+1= c xn (1-xn) Ecuación logística
x c x (1-x) ITERACION

23. Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Bifurcaciones.

24. Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades
Mitchell J. Feigenbaum
1944-

25. Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades
cn = valor crítico en que se
produce la bifurcación n
Mitchell J. Feigenbaum
1944-

26. Tercer Ejemplo. La ecuación logística. Regularidades
cn = valor crítico en que se
produce la bifurcación n
cn-cn-1
4,669201...
cn+1-cn
¡La constante es la misma para
Mitchell J. Feigenbaum muchos más tipos de iteraciones!
1944-

27. Recapitulando...
Propiedades de un sistema caótico
- Modelo matemático: ecuaciones
diferenciales (no lineales) o iteración
- La solución es muy sensible a las condiciones
iniciales (efecto mariposa). No hay predicción.
- El atractor es un fractal.
- Reglas dinámicas simples pueden dar lugar a
resultados complejos.

28. Recapitulando...
Regularidades (orden) de un sistema caótico
- La solución al modelo acaba convergiendo
al atractor.
- Autosemejanza en atractores. Dimensión.
- Constante de Feigenbaum,exponente de Lyapunov...
- Teoría de los sistemas dinámicos (geometría,
topología…)

29. Un poco de historia
- Estudió el problema de
los tres cuerpos.
- Noción de bifurcación.
- Métodos de geometría y
topología.
- Creador de la Teoría de
Henri Poincaré los Sistemas Dinámicos.
1854-1912

30. Un poco de historia
“Puede ocurrir que pequeñas
diferencias en las condiciones
iniciales produzcan grandes
diferencias al final… la
predicción resulta imposible”.
Henri Poincaré
1854-1912

31. Un poco de historia
- En los años 60, “introduce los
métodos, herramientas, objetivos y
visión global de la Teoría de los
Sistemas Dinámicos”.
- Demuestra (teóricamente) la
existencia de sistemas estables con
dinámica muy compleja.
Pero los resultados, ¡se
Stephen Smale quedan dentro de las
1940-
matemáticas!
Medalla Fields, 1966

32. Un poco de historia
- 1963. Modelo atmosférico y atractor.
- 1967. Can the flap of a butterfly’s wings
in Brazil stir up a tornado inTexas?
- Uso de ordenadores para resolver
ecuaciones y “ver” soluciones.
- Modelos de fenómenos impredecibles.
Atractor de E. - Modelos simples de fenómenos
Lorenz complejos.
(metereólogo)

33. Un poco de historia
Los años 70: Creciente uso de los ordenadores.
- 1971. Artículo de Ruelle “On the nature of turbulence”.
- Introduce concepto de “atractor extraño”.
- Presenta las ecuaciones de Navier-
v´(t)=fr(v), r>0
Stokes en forma 1-dimensional:
- Primer acercamiento entre disciplinas:
matemáticas e hidrodinámica

34. Un poco de historia
- 1973. Robert May, biólogo. La ecuación logística.
- 1975. Li y Yorke, “Period three implies chaos”.
Primer uso de la palabra “caos”.
- 1975. B. Mandelbrot. Manifiesto teórico sobre los
fractales.
- 1977. El símbolo: El congreso “Bifurcation
theory and Applications in Scientific Disciplines”
- 1978. La constante de M. Feigenbaum.

35. Teoría del Caos, ¿revolución científica?
1 - Novedad y profundidad de los conceptos
2 - Sustitución de modelos
3 - El papel de los ordenadores
4 - ¿Existe la “ciencia del caos”?