Cap 7 mas 180-204

Cuaderno de Actividades: Física I

7) Movimiento Armónico
Simple

Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 180


7) Movimiento Armónico

Aquel movimiento que es posible describir con función armónica.

Movimiento ← Armónico: sen, cos

Movimiento periódico complejo → admite soluciones armónicas.

Teorema de Founier: Usando serie de senos o cosenos para
descripción de movimiento periódicos complejos.

7.1) Descripción del movimiento armónico simple, MAS.

i) Descripción Cinemática del MAS
  
r , v, a :τ

Fenomenología del MAS

µ=0

PE


x≡-A 0 x≡+A x

Movimiento oscilatorio y periódico en torno a la PE (x ≡0), la oscilación esta
confinada para –A ≤ x ≤ A,

¿Cómo debería ser x (t) ≡?

→ x ( t ) ≡ A sen { wt + }
δ



Donde,

w: Frecuencia de oscilación natural del sistema.

w = w{k,m}

A, δ: Dependen de las condiciones iniciales del sistema.

c.i.:{x (0) ∧ v (0)}

dx
Para la velocidad, v≡ ≡ Aω cos { ωt + δ }
dt

→ v ( t ) ≡ Aw cos { wt + }
δ

dv
Para la aceleración, a = ≡ − Aw 2 sen { wt + δ }
dt

→ a ( t ) ≡−Aw2 sen { wt + }
δ

Estas ecuaciones también se pueden obtener mediante uso del movimiento
circular uniforme (MCU).

La proyección del MCU en el eje de las ys o en el de las xs, estaría reportando
un comportamiento cinemático idéntico al MAS.

ii) Descripción Dinámica del MAS

La fuerza que caracteriza al MAS es una RESTAURADORA que depende de
la posición, esto es,

F ( x ) =−cx
, c: depende del sistema

F(x)
• x
-A 0 x A



Si se analiza cualquier sistema y la fuerza que lo gobierna es de esta forma →
MAS.

F = FR = Fs → FRes = FR → 2da ley, FR ≡ ma

a≡√ → v≡√ →x≡√

FR ≡ F = -k x ≡ m 
x

m  +kx ≡ 0
x

k
x
 + x≡ 0
m

k
 + w2x ≡ 0,
x = w2
m

k
→ x ( t ) ≡ A sen { wt + }
δ ←w=
m

2π 1
W: frecuencia angular → T ( periodo) = → ν ( frecuencia lineal ) = → ω = 2πν
w T

A,δ: c.i.

X: Posición
→ Elongación

A: Amplitud

δ: Desfasaje



7.2) Casos especiales de MAS

i) Sistema m-k

1)
1)

PE
m
k µ =0

PE
2) k
d

m PE’

PE
3)
PE’
k

o
m
d o’
α

Siempre el MAS se observará de la PE (caso 1) y de las PE’ (2,3) con
w2 = k/m. Se puede vincular información entre sistemas coordenados de Os en
PE ∧ PE’, donde la conexión será d, la cual se obtiene del equilibrio de m.
Las Ec del MAS, tal como se han escrito, deben tener su cero en PE’ (2,3).



ii) Sistema l–g

O O
g
t
g θ
l
wt θ

PE w n
PE
θ: describe la posición

wt ≡ w senθ

→ FRes ≡ wt ≡ -mg senθ

θ: pequeño→ senθ ∼θ

→ F ≡ -mgθ, FRes ≡ - cx

FR,t ≡ mat


− mg θ = m lθ

 g
θ + θ ≡ 0 ← w2 =
g
l l

g  k
 
→ θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ; θm ≡ Aθ, w ≡   . δ : desfasaje
l  m
 

Ahora, si la descripción ha de darse en los s, usando s ≡ lθ,

→ s( t) ≡ sm sen { wt + δ } ; sm ≡ As = lθ m , w ≡ g
l



iii) Péndulo Físico

Es un CR pendular,

CR
0

0 r
C

θ
PE

PE w


w produce un τ restaurador que debe llevar al CR a la PE,

τ ≡ - r w senθ, w ≡ mg

θ: pequeño → τ = - r w θ ← Senθ ∼ θ

⇒ −rwθ ≡ Iθ ← O: punto fijo, r=d (distancia CM-O),


  dmg  dmg
⇒θ + θ = 0 , w =
2

 I  I

→θ (t) ≡ θm sen {wt + δ}

dmg 2π I
w≡ →T = → T = 2π
I w dmg



iv) Péndulo de Torsión

A

0 0

P θ
P

PE PE

Debido a la torsión en la varilla vertical (según el eje del disco) se producirá un
torque restaurador proporcional a θ (para pequeños θs) de tal forma que:

τrestaurador ≡ τ ≡ - kθ
↑

k: constante de torsión (de la varilla)

Analogía: k ≡ k (resorte) {FRes = - kx}

τ ≡ τ Re s ≡ −kθ

τ ext ,Re s = τ ≡ Iα ← O: punto fijo.


τ ≡ τ Re s ≡ −kθ ≡ Iθ

 k
; I ≡ Iξ = var illa , 0 : punto fijo
disco
→ θ + θ ≡0
I

k I
→θ(t) ≡ θm sen{wt + δ} ←w= , T = 2π
I k



7.3) Energía en el MAS

i) Energía Cinética, Ek

1
m : Ek = m v2
2

Si x(t) ≡ A sen {wt + δ}

v(t) ≡ x (t) ≡ Aw cos{wt + δ}


1
Ek = mA2 w2 cos 2 { wt +δ}
2

ii) Energía Potencial (Elástica), Ep,el

1 2
E p ,el ≡ kx ; x : posición ≡ deformación , 0 ≡ PE
2

1 2
E p ,el ≡ kA sen 2 { wt + δ}
2

iii) Energía Mecánica, EM

EM ≡ Ek + Ep ≡ cte ∀ sistemas MAS,

1 1
EM ≡ mA2 w2 cos 2 { wt + δ } + kA2 sen 2 { wt + δ } ←mw2 = k
2 2

1 2
Em ≡ kA ← En particular sistema m–k
2



Gráficos:

i) Ek

Ek

1 2
kA
2

0 T t

1 2
kA Ek
2

-A 0 +A x

ii) Ep

Ep

¿?

0 Tt
Ep

¿?

x
0



Observaciones:

En los casos de sistemas m – k donde se tenga una contribución gravitacional,
la EM deberá considerarse,

EM ≡ Ek + Ep,el +Ep,g ← PE

EM ≡ Ek + Ep,el ← PE’

7.4) Oscilaciones amortiguadas

Se considerara medios de amortiguación modelables mediante la velocidad,
esto es la, fuerza opositora al movimiento, (f), proporcional a la velocidad. Esto
se corresponde con muchos sistemas físicos conocidos que involucran fluidos
como aire, agua, aceites, etc.

f: fuerza de fricción

f ≡ a + bv + cv2 + …

≡ f (v)

0

x

Ahora, para describir el sistema planteamos la 2° ley,

FR ≡ −kx − bv ≡ mx
{ { 
resorte medio

k b
→  +
x x+ x ≡0
 ← MAA
m m



Comparaciones: {  + w x ≡ 0} ← MAS
2
x

k
m – k : w=
m

δ
l – g : w=
l

mgd
PF : w =
I

k
PT : w =
I

1) Caso de interés: wb < wr

b
− t
x ( t ) ≡ Ae 2m
cos { wt + φ} Movimiento amortiguado oscilatorio (MAA)

A ≡ A(0) ≡ amplitud inicial

2
k  b 
w≡ −   : Frecuencia de oscilación
m  2m 

La ecuación se interpreta como una parte oscilatoria y una modulación de la
oscilación dada por el factor exponencial.

k b
wr ≡ → w del resorte, wb ≡ → “w” del medio
m 2m



X
b
− t
A
e 2m

0 t

2) Caso cuando wb ≡ wr, Movimiento críticamente amortiguado,

x

t

3) Cuando wb > wr, se produce un Movimiento sobreamortiguado,

x

t



S6P5) Un oscilador armónico simple amortiguado tiene λ = 0,11 kg/s, k =
180 N/m y m = 0,310 kg,
a) ¿Es un movimiento sobreamortiguado o de amortiguamiento débil?
b) Determinar el valor λ para el movimiento amortiguado débil.
c) Escriba la ecuación de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitud
de 0,5 m.

SOLUCION:

λ = 0, 11 kg/s (=b) MAA
k = 180 N/m
m= 0, 31 kg

Oscilador armónico amortiguado

Wb < w0 ≡ wk

Oscilador críticamente amortiguado

Wb ≡ w0

Oscilador sobreamortiguado

Wb > w0

2
−
b
t k  b 
→ x ( t ) = Ae 2m
cos ( ω t + φ ) en donde ω = − 
m  2m 

b
a) → wb =
2m

b≡λ 0,11
→ wb = wλ ≡ =
2m 2 × 0,31

b≡λ 0,11 k 180
→ wb = wλ ≡ = ∼ 0,18 ; → wk = w0 = = = 24,1
2m 2 × 0,31 m 0,31

→ wb < w0 ≡ wk :MAA

b k
b) → wb = w0 → ≡ ;b ≡ ?
2m m

→ b ≡ λ ≡ 2 km ≡ 2 180 × 0,31 ∼ 2 55,8 ∼15



b
− t
c) x ( t ) ≡ Ae 2m
cos { wt + φ}

x(0) = 0,5
0,11

{ }
− t
x ( t ) ≡ 0,5 e 2×0,31
cos 581 − 0, 03 t

X
b
− t
A
e 2m

0 t



S6P35) Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. En
t = 0 el resorte se extiende 0,05 m y se suelta. Halle:

a) El desplazamiento en función del tiempo.
b) La velocidad cuando x = +A/2.
c) La aceleración cuando x = + A/2.
d) ¿Cuál es la fuerza sobre el bloque cuando t = π/15 s?

SOLUCIÓN:

k = 200  k 200
w = = = 10
m=2  m 2

 x ( 0 ) = +0, 05 m

c.i. 
 v ( 0) = 0


a) x(t) = A sen (wt + φ)→ x(0) = A sen (w(0) + φ)=Asen(φ)=+0,05

v(t) = Aw cos (wt + φ)→ v(0) = Aw cos (w(0) + φ)= Aw cos (φ)= 0

De la última Ec φ = π/2 {la v (-) para t ∼ 0} → A=0,05

→ x(t) = 0,05 sen (10t + π/2)

→ v(t) = 0,5 cos (10t + π/2)

Observen la consistencia de tomar φ(=δ)= π/2: satisface las ci y lo
que ocurre en el problema “cerca” de 0, tanto para x como para v.
¿Que ocurre si tomamos φ(=δ)= 3π/2?

b) Recordando la relación v-x

2 2
x  v 
  +  =1
 A   Aw 
2 2
 0,5 A   v 
  +  =1
 A   Aw 

2
 v  3 3 3
 = 4 →v =± 4 →v=− 4 {m→ x }
−
→
 0,5 

c) Recordando la relación a-x



a = − w2 x
 0, 05 
a = −102   → a = −2,5{ m → x −}
 2 

d) FR= FRES ≡ -kx= -k A sen (wt + φ)= -(200)(0,05) sen (10t + π/2)=?

π 2π 2π π
t= ←T = = = → F (+)! veamos
15 w w 5

FR (t=π/15) = -10 sen (10{π/15} + π/2) ∼ (-10) (-0, 5) = +5

S6P52) Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia
angular de 2,00 rad/s. El resorte esta suspendido del techo de la caja
de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador)
conforme la caja desciende a una velocidad constante de 1,50 m/s. La
caja se detiene repentinamente, a) ¿Con que amplitud oscila la
partícula?, b) ¿Cual es la ecuación de movimiento para la partícula?
(Elija la dirección hacia arriba como positiva).

SOLUCIÓN:

t =0 X

g
k
Nos
v(0)
m

v(0) x(0)=0 v(0)

proporcionan directamente la
w ≡ 2, las condiciones
iniciales son,

t ≡ 0 : x(0) ≡ 0 ∧ v (0) ≡ −1,5

Asumiendo las ecuaciones del MAS para x(t) y v(t),



x ( t ) ≡ A sen { wt + δ }
v ( t ) ≡ Aw cos { wt + δ }

a) De estas ecuaciones se puede obtener la ecuación para la A, en particular
para t=0,

 v ( 0) 
2

{ x ( 0) }
2
A≡ + 
 w 

2
 −1,5 
{ 0}
2
Reemplazando datos, A ≡ +  ≡ 0,75
 2 

A ≡ 0,75

b) La ecuación para x. Analizando las ecuaciones para x(t) y v(t),

x ( t ) ≡ 0,75 sen { 2t + δ }
v ( t ) ≡ 1,5 cos { 2t + δ }

Para t=0 y vecindades,

x ( 0 ) ≡ 0,75 sen { 2 ( 0 ) + δ } ≡ 0,75 sen { δ }
v ( t ) ≡ 1,5 cos { 2 ( 0 ) + δ } ≡ 1,5 cos { δ }

Para satisfacer x(0)=0, δ ≡ 0 , π , el valor correcto es δ ≡ π , con lo cual las
ecuaciones quedan,

x ( t ) ≡ 0,75 sen { 2t + π } ≡ −0,75 sen { 2t}
v ( t ) ≡ 1,5 cos { 2t + π } ≡ −1,5 cos { 2t}



S6P4) En el sistema mostrado en la figura
Obtenga la expresión de la energía mecánica para
todo instante de tiempo t. g
k
Si: X = A cos (w0 t + φ)
g: aceleración de la gravedad
+
X=0 m
-

SOLUCION:

En PE ′ : mg ≡ kd
PE
0 Desde 0: x ≡ d + x '
d
PE’ FR ≡ mg − kx ≡ mg − k { d + x '}
0’ x

x’ ≡ mg − kd − kx ≡ 0 − kx ' ≡ −kx ' ≡ mx ≡ mx '
 

X, X’ k
→ '+
x x' ≡ 0
m

Esta ecuación nos dice que desde 0’ se observara MAS de frecuencia

k
w≡ . Ahora, debido a que la fuerza resultante es FR ≡ −kx ' , cuando se
m
escriba la EM desde 0’ solo se considerara Epe, ello se deduce debido a que,

como la FR ≡ −kx ' , es una fuerza elástica conservativa, solo tendrá asociada
una energía potencial elástica, por lo tanto,

EM ≡ EK + E pe



S6P32)

Una placa P hace un movimiento armónico simple
horizontal sobre una superficie sin fricción con una
frecuencia ν = 1,5 Hz. Un bloque descansa sobre la
placa, como se muestra en la figura adjunta y el
coeficiente de fricción estático entre el bloque y la placa
es µs = 0,6 ¿Cuál es la máxima amplitud de oscilación
que puede tener el sistema sin que resbale el bloque
sobre la placa?
µs
B
SOLUCIÓN: k
P
a
m
Fres
M

0

FRES , MAX
( M + m ) : aMAX4244A ≡
, MAS ≡ ω
2
→ FRES , MAX ≡ ( M + m ) ω 2 A
14 3 ( M + m)

FR FRES,MAX − f S F FRES,MAX − µ S mg
M : aM ≡ ≡ → aM , MAX ≡ R ≡
M M M M

a DCL (M):
fS,M ≡ µs mg

FRES
FR ≡ FRES -µs mg

De las ecuaciones anteriores,

FRES − µS mg kAMAX − µ S mg
← k =ω( M + m )
2
→ ω 2 AMAX ≡ ≡
M M

→ ω 2 AMAX M ≡ ω 2 ( M + m ) AMAX − µ s mg

µs g 0,6 x10 6
→ µs m g ≡ ω 2 m AMAX → AMAX ≡ ≡ 2 → AMAX ≡
ω 2
( 2π x1,5 ) 9π 2



Observación: La antepenúltima ecuación sugiere solo comparar la aceleración
máxima del MAS, del sistema (M+m), con la aceleración estática máxima de m.
Discutir esto partiendo del cumplimiento del movimiento inminente de M
respecto de m, siendo ésta un SRNI! (ℒ 3107090730)

S6P6)

En la figura mostrada halle la frecuencia angular w0
del MAS resultante, para pequeños desplazamientos
x del centro de masa, si el disco homogéneo rueda k
sin deslizar, considere, M≡ masa del disco, R
R ≡ radio del disco y k ≡ constante del resorte.
M

SOLUCIÓN: t
M
k
x pequeño → MAS , w0 = ? 0 FR
x = s = Rθ P
0 o’

P // CM : τ = I α
’

3
MR 2
2
644 744 8
1   3
τ = − ( kx ) R =  MR 2 + MR 2 θ = MR 2θ = −k [ Rθ ] R

2  2

 2k 2k
→θ + θ ≡ 0 ⇒ w0 =
3M 3M



S6P33) Un cilindro de peso W y radio r está suspendido por
una cuerda que le da vuelta en la forma que se
indica en la figura adjunta. Un extremo de la cuerda
está unido directamente a un soporte rígido mientras
que el otro extremo está unido a un resorte de
constante de elasticidad k. Si el cilindro se gira un
ángulo θ y se suelta, determine la frecuencia natural
del sistema. k

SOLUCION: r

α) De la dinamica rotacional,
θ

P τ O : kxr − Tr ≡ − I Oα
x
P
Por la “rodadura”: x ≡ rθ
0 O
mr 2 
T kx kr 2θ − Tr ≡ − θ ...1 ← W ≡ mg
2

x O’ De la dinámica traslacional,
X θ w
P’
P FR ≡ −T − kx + W ≡ m ( )
x


Usando nuevamente la rodadura, −T − krθ + W ≡ mrθ


xr : −Tr − kr 2θ + Wr ≡ mr 2θ ...2

3 
De 1 y 2, −2krθ + W ≡ mrθ ...3
2


Haciendo, µ ≡ −2krθ + W → µ ≡ −2krθ


3  µ 
 4k 4kg
→µ ≡ mr ×−  → µ + 3m µ ≡ 0 → w ≡ 3W

2  2k r 

β ) 0′ { 0′ // 0}

3  
τ 0' : ( kx ) ( 2r ) − W ( r ) ≡ −  mr 2 θ 1)
2 

De la rodadura: x ≡ rθ 2)



3 2 
2) → 1): 2kr θ − W r ≡ − mr θ
2
3)
2

 3 µ
 4k
Sea µ ≡ 2krθ − W → µ ≡ 2krθ → µ ≡ − m r ×
 →µ+
 µ ≡0
2 2k r 3m

4kg
w≡
3W


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