01 lógica proposicional

Trabajo Práctico Nº 1
Lógica Proposicional
1) Para describir los diversos restaurantes de la ciudad, denotemos con
p: “la comida es buena” ; con q: “el servicio es bueno” y con
r: “el restaurante es de tres estrellas”.
Escribir simbólicamente las siguientes proposiciones :
a)- La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas
b)-La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas.
c)-La comida es buena y el servicio no.
d)- No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres
estrellas
e)- Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de
tres estrellas.
f)- No es cierto que ser de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen
servicio.

2) Denotemos con p “el clima es agradable” y con q “vamos de día de campo”.

Traducir las siguientes proposiciones al lenguaje coloquial.
a) p ∧ q b) p ⇔ q c) q ⇒ p d) ∼ (p ⇔ q)

3) Construir las tablas de verdad de los siguientes esquemas
proposicionales:
a) (p ∨ q) ⇒ p c) (q ⇒ p) ⇒ ( p ⇒ q) e) (p ∧q) ∨(∼r)
b) p ⇔ (p ∨ q) d) ∼(r ⇒r)

4) Los valores de verdad de las proposiciones p; q; y r; y s son respectivamente
V ; F ; F y V. Obtener los valores de verdad de :
i) [( p ∨ q ) ∨ r] ∧ s ii) r ⇒ (s ∧ p) iii) (p ∨ r) ⇔ (r ∧ ∼ s)

5) Determinar en cada caso si la información que se da es suficiente para conocer
el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. En caso
afirmativo, justificarlo.
i) (p ⇒ q) ⇒ r ; r es V ii) (p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q) ; q es V

6) Determinar, si es posible, el valor de verdad de las siguientes
proposiciones :
a) (p ∨ q) ⇒ q si p ⇒ q es Falso
b) p ∨ (p ⇔ q) si p ⇒ q es Verdad
c) [ (p ∨ q) ∧ ∼ q] ⇒ q si p es Verdad y ∼q es Verdad

7) Simplificar las siguientes proposiciones:
a) ∼ (∼ p ∨ ∼ q) b) ∼ (p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q) c) ∼ (p ⇔ q)

8) Negar los siguientes esquemas proposicionales y obtener expresiones
equivalentes.
i) ∼q ∨ r iii) p ∧ (q ⇒ r)
ii) (p ∧ q) ⇒ r iv) ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q)

9) Determinar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas :
i) ( p ∧ q ) ⇒ r iii) p ∧ [ p ⇔ q ]
ii) [ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ] ⇒ (p ⇒ r) iv) (p ⇒ r) ⇔ (r ⇒ p)

10) Cierto país está habitado por personas que siempre dicen la verdad o
que siempre mienten, y que responderán preguntas solo con “si” o “no”. Un
turista llega a una bifurcación en el camino, una de cuyas ramas conduce a
la Capital y la otra no. No hay un letrero que diga qué camino seguir, pero
hay un nativo, el señor z, parado en la bifurcación. ¿ Qué única pregunta
deberá hacerle el turista para determinar qué camino seguir?.

1 a b 1 c d

PROPOSICION es una expresión de la cual
se puede decir que es verdadera o que es falsa
1 e
“El Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes” es una proposición verdadera
1 f
“Manuel Belgrano compuso el Himno Nacional” es una proposición falsa
2 a b

pero de la expresión: ¿ Vendrás hoy ? no puede decirse que sea verdadera, ni 2 c d
falsa; entonces, ésta no es una proposición.

Vamos a denotar a las proposiciones con las letras minúsculas p, q, r, s, t, u . . .

Entonces :

p : El Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes

q : Manuel Belgrano compuso el Himno Nacional

1 a b
NEGACION 1 c d

Si queremos negar una proposición debemos anteponer
expresiones como
No es cierto que . . .; No sucede que . . .; 1 e 1 f

o insertar convenientemente en la expresión . . . NO . . . . 2 a b 2 c d

así, la proposición
“No es cierto que el Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes”

es equivalente a decir : “El Gral. San Martín NO cruzó la cordillera de los
Andes”
Simbólicamente se antepone a la letra que denota la proposición,

el símbolo ∼ ó - también puede usarse ¬

∼ p : No es cierto que el Gral. San Martín cruzó la cordillera de los Andes

∼ p : El Gral. San Martín NO cruzó la cordillera de los Andes

1 a b
CONECTORES LOGICOS 1 c d

Para vincular las proposiciones vamos a valernos de los
conectores lógicos; ellos son:
1 e 1 f

∧ conjunción 2 a b 2 c d

∨ disyunción
incluyente
∨ disyunción
excluyente
⇒ implicación

⇔ doble
implicación
Mediante el uso de los conectores y símbolos
sintácticos (paréntesis, corchetes, llaves), podemos
vincular dos o mas proposiciones entre sí

Dadas las proposiciones :
P : El jueves es el examen q : El viernes viajo
1 a b

1 c d 1 e 1 f
Podemos escribir las proposiciones compuestas :
2 a b 2 c d

“El jueves es el examen y el viernes viajo” p∧q

“El jueves es el examen o el viernes viajo, o ambas cosas” p∨q

“El jueves es el examen o el viernes viajo, pero no ambas cosas” p∨q

“El jueves es el examen implica que el viernes viajo” o
p⇒q
“Si el jueves es el examen, entonces el viernes viajo”

“El jueves es el examen si y solo si el viernes viajo p⇔q

1) a) En la expresión
“La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas”

Las proposiciones involucradas son
p : La comida es buena q : el servicio es bueno
Proposición
están vinculadas con el conector o ; debe considerarse que al final se
especifica que pueden suceder ambas cosas Negación

Operaciones
el conector que corresponde es DISYUNCION INCLUYENTE ( ∨ )
Ejemplos
La expresión simbólica es : p∨q
1 b) En la expresión
“La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas”

Las proposiciones involucradas son

están vinculadas con el conector o ; debe considerarse que al final se
especifica que no pueden suceder ambas cosas

corresponde el conector de DISYUNCION EXCLUYENTE ( ∨ )
La expresión simbólica es : p∨q o p∆q
1 c-d 1e 1f

1 c) En la expresión “La comida es buena y el servicio no es bueno“

Las proposiciones involucradas son:

pero la proposición “el servicio es bueno” está negada ∼q Proposición

Negación
p y∼q están vinculadas con el operador y
Operaciones
el operador que corresponde ahora es CONJUNCION (∧)
Ejemplos
La expresión simbólica es : p∧∼q

1 d) En la expresión :
No sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres estrellas”

Las proposiciones involucradas son: p : La comida es buena
r : El restaurante es de tres estrellas“
No es negación pero el “que tanto“ es la negación de toda la expresión
en ella, el “como que” sugiere una conjunción (p∧ r)

La expresión simbólica es : ∼ (p ∧ r)

1e 1f

1 e) En la expresión :

Si tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el
restaurante es de tres estrellas. Proposición

Las proposiciones involucradas son : p : La comida es buena Negación
q : El servicio es bueno r : El restaurante es de tres estrellas
Operaciones
El Si . . . . . . . entonces . . . . . . nos hace pensar en la implicación Ejemplos
donde aparecerán involucradas dos proposiciones: la primera
llamada antecedente y la otra llamada consecuente

La forma es : Si (antecedente) entonces (consecuente)
vamos a detectar ahora cual es el antecedente y cual es el consecuente de la implicación.

El antecedente es : Si (tanto la comida como el servicio son buenos) p∧q
El consecuente es : entonces (el restaurante es de tres estrellas) r

La expresión simbólica es : (p∧q)⇒r

1f

1 f) En la expresión :
No es cierto que si el restaurante es de tres estrellas siempre
signifique buena comida y buen servicio.

Las proposiciones involucradas son : p : La comida es buena Proposición
q : El servicio es bueno r : El restaurante es de tres estrellas
Negación
Aparecen aquí tres operaciones
Operaciones
la primera es una negación que afecta a toda la expresión que continúa
Ejemplos
se distingue también una implicación,
aunque no aparezca aquí el clásico “si . . . entonces . . . “

sino “si . . . .siempre significa . . . . “

detectaremos ahora cual es el antecedente y el consecuente de la implicación
el antecedente es la proposición r : el restaurante es de tres estrellas

el consecuente es la conjunción p ∧ q : la comida es buena y el servicio es bueno

La expresión simbólica es : ∼ [ r ⇒ ( p ∧ q) ]

2 a) Si las proposiciones son :
p : “el clima es agradable” q : “vamos de día de campo”

La proposición compuesta p∧q es la conjunción de las
proposiciones p con q Proposición

que en el lenguaje coloquial se expresa : Negación

Operaciones
“el clima es agradable y vamos de día de campo” Ejemplos

2 b) Si las proposiciones son :

La proposición compuesta p⇔q es la doble implicación de las
proposiciones p con q
que en el lenguaje coloquial se expresa :

“el clima es agradable si y solo si vamos de día de campo”

2 c-d

2 c) Si las proposiciones son :

La proposición compuesta q⇒p es la implicación
q implica p Proposición

que en el lenguaje coloquial se expresa : Negación

Operaciones
“ Si vamos de día de campo entonces el clima es agradable” Ejemplos

2 d) Si las proposiciones son :

La proposición compuesta ∼(p ⇔ q) es la negación de la doble implicación
de las proposiciones p con q
que en el lenguaje coloquial se expresa :
“No es cierto que el clima es agradable si y solo si
vamos de día de campo”

3 a-b

Tablas de Verdad 3 c-d

3 e
La primera operación que vamos a tratar es la negación
4 5 i 5 ii
p ∼ p
Si p es verdad , ∼ p es falso V F 6 i-ii 6 iii

Si p es falso , ∼ p es verdad F V

La tabla de verdad de la conjunción de proposiciones se resuelve :

p q p∧q
Verdadera si ambas
V V V
proposiciones son verdaderas
V F F
Falsa si alguna o ambas F V F
proposiciones son falsas F F F

3–4-5

6

La tabla de verdad de la disyunción de proposiciones se resuelve

verdadera a si alguna o p q p∨q
ambas proposiciones son V V V
verdaderas 3 a-b 3 c-d 3 e
V F V
4 5 i 5 ii
falsa si ambas F V V
proposiciones son falsas F F F
6 i-ii 6 iii

La tabla de verdad de la disyunción excluyente
de proposiciones se resuelve

falsa si ambas p q p∨ q
proposiciones tienen el V V F
mismo valor de verdad
V F V
verdadera si las proposiciones F V V
tienen valores de verdad F F F
diferentes
3–4-5

6

La tabla de verdad de la implicación de proposiciones se resuelve

verdadera si ambas p q p⇒ q
proposiciones son verdaderas
V V V
falsa únicamente con
antecedente (p) verdadero V F F 3 a-b 3 c-d 3 e

y consecuente (q) falso F V V 4 5 i 5 ii

si el antecedente es falso, no F F V 6 i-ii 6 iii
importa el consecuente, la
los términos antecedente –
implicación es verdadera
consecuente se usan
exclusivamente en ésta operación

La tabla de verdad de la doble implicación se resuelve :

verdadera si ambas p q p⇔q
proposiciones tienen el mismo V V V
valor de verdad
V F F
falsa las proposiciones F V F
tienen valor de verdad
diferente F F V
3–4-5

6

3 a-b 3 c-d

3 e 4

Las posibles combinaciones de valores 5 i 5 ii
de verdad entre dos proposiciones
6 i-ii 6 iii
siempre se agotan en cuatro
alternativas ; en caso que estén
involucradas mas de dos proposiciones p q r resultado
en una operación lógica, para averiguar
V V V
la cantidad de alternativas posibles,
usaremos la expresión : 2n donde n es V V F
la cantidad de proposiciones.
V F V
V F F
Si tengo que operar las F V V
proposiciones p ; q y
F V F
r, las combinaciones
posibles serán: 23 = 8 F F V
F F F

3–4-5

6

3 a) Para hacer la tabla de
verdad de ( p ∨ q ) ⇒ p p q p ∨ q (p ∨ q) ⇒ p
debemos resolver
primero p ∨ q V V V V
V F V V
considerando la columna Negación - Conjunción
p ∨ q obtenida como F V V F
antecedente y la de q Disyunción Disyunción

como consecuente, F F F V Excluyente

resolvemos la Implicación
Doble Implicación
implicación

p q p ∨ q p ⇔ (p ∨ q)
3 b) Para hacer la tabla de
V V V V
verdad de p ⇔ ( p ∨ q )
debemos resolver primero V F V V
y con p ∨columna
la q F V V F
obtenida buscar el F V
F F
resultado final.

3 c-d 3 e

3 c) para resolver (q ⇒ p) ⇒ ( p ⇒ q) debemos resolver por separado
las implicaciones (q ⇒ p) y ( p ⇒ q) ; y luego buscar el resultado final
hallando una implicación entre esos dos resultados parciales

p q q⇒p p⇒ q (q ⇒ p) ⇒ (p ⇒ q)
Negación - Conjunción

V V V V V Disyunción Disyunción
Excluyente
V F V F F
Implicación
F V F V V Doble Implicación

F F V V V

3 d) Para resolver ∼ ( r ⇒ r ) debemos
resolver primero ( r ⇒ r ) ; cuando r r r r ⇒ r ∼( r ⇒ r )
(antecedente) es verdad, r
V V V F
(consecuente) también es verdad,
idéntica situación cuando r es falso. F F V F
y luego negar ( r ⇒ r )

3 e

3 e) En ( p ∧ q ) ∨ ( ∼ r ) aparecen involucradas tres proposiciones,la
tabla de verdad debe contemplar todas las posibles configuraciones de
valores de verdad entre las tres proposiciones. También ∼ r

p q r ∼ r p ∧ q ( p ∧ q ) ∨ ( ∼
r )
V V V F V V Disyunción Disyunción
Excluyente
V V F V V V
Implicación
V F V F F F Doble Implicación

V F F V F V
F V V F F F
F V F V F V
F F V F F F
F F F V F V

Luego se resuelve ( p ∧ q ) y finalmente ( p ∧ q ) ∨ ( ∼ r )

4) Para resolver este ejercicio podemos confeccionar una tabla de
verdad solamente para los valores asignados a las proposiciones

i) [(p ∨ q) ∨ r] ∧ s se resuelve:

p q r s p ∨ q (p ∨ q) ∨ r [(p ∨ q) ∨ r] ∧ s Negación - Conjunción

Disyunción Disyunción
Excluyente
V F F V V V V
Implicación
Doble Implicación
ii) r ⇒ (s ∧ p) se resuelve:

p r s s ∧ p r ⇒ (s ∧ p)

V F V V V

iii) (p ∨ r) ⇔ (r ∧ ∼ s) se resuelve:

p r s ∼s p ∨ r r ∧ ∼ s (p ∨ r) ⇔ (r ∧ ∼ s)

V F V F V F F

5 i) Para saber el valor de verdad de (p ⇒ q) ⇒ r ; cuando r es V
Debemos considerar que la operación principal es una implicación,
donde el consecuente ( r ) es verdad.

Repasamos la tabla de verdad de la implicación: p q p⇒ Negación - Conjunción

Vemos que la implicación es falsa solo cuando q Disyunción Disyunción
el consecuente es falso y el antecedente V V V
Excluyente

verdadero. Implicación
V F F Doble Implicación
Si nuestro consecuente r es V, no
importa si p ⇒ q es verdad o falso F V V

(p ⇒ q) ⇒ r es verdad
F F V

Otra forma de resolverlo es usando tablas de verdad
Analizamos solamente
p q r p⇒ q (p ⇒ q) ⇒ r
cuando r es verdad
V V V V V
ahora resolvemos como V F V F V
cualquier tabla de verdad
V V V V V
V F V F V
5 ii

5 ii) Para saber el valor de verdad de
(p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q) cuando q es V

Debemos considerar que la operación principal es una doble implicación,
donde las expresiones involucradas son (p ∨ q) y (∼ p ∧ ∼ q)

si q es V cualquier disyunción donde esté q, será verdad, Disyunción Disyunción
luego (p ∨ q) es V Excluyente

al ser q “V” ; ∼ q es F cualquier conjunción donde esté ∼ q , será falso, Implicación
Doble Implicación
luego (∼ p ∧ ∼ q) es F
Las expresiones (p ∨ q) y (∼ p ∧ ∼ q) tienen diferentes valores de verdad
luego : (p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q) es falso
Otra forma de resolverlo es usando tablas de verdad

Analizamos solamente
cuando q es verdad p q ∼p ∼q p ∨ q ∼ p ∧ ∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p ∧ ∼ q)
y p puede ser V V q F F
V V F
verdad ó falso V V F
F V F F

6 i) p⇒q es Falso solamente cuando p es V y q es F
En (p ∨ q) ⇒ q ; si p es V (p ∨ q) es V
nos queda una implicación de antecedente verdadero y consecuente falso
Disyunción Disyunción
Excluyente
entonces (p ∨ q) ⇒ q es falso
Implicación
6 ii) si p ⇒ q es Verdad puede pasar que: p sea V y q sea V Doble Implicación

Para hallar p ∨ (p ⇔ q) confeccionamos tabla de p sea F y q sea V
verdad con las tres las alternativas posibles p sea F y q sea F

p q (p ⇔ q) p ∨ (p ⇔ q)
Los valores de
V V V V verdad no son los
mismos para todas
F V F F
las situaciones
F F V V

entonces no es posible determinar el valor de verdad
con los datos proporcionados
6 iii

6 iii) sabiendo que p es Verdad y ∼q es Verdad para hallar
[ (p ∨ q) ∧ ∼ q] ⇒ q hacemos tabla de verdad para esos valores

p q ∼ q p ∨ q (p ∨ q) ∧ ∼ q [ (p ∨ q) ∧ ∼ q] ⇒ q Disyunción Disyunción
Excluyente

V F V V V F Implicación
Doble Implicación

sabiendo que ∼ q es verdad hallamos p ∨ q luego hacemos (p ∨ q) ∧ ∼ q

finalmente resolvemos [ (p ∨ q) ∧ ∼ q] ⇒ q

Resulta [ (p ∨ q) ∧ ∼ q] ⇒ q Falso

Para simplificar proposiciones apelaremos frecuentemente a :
las Leyes de De Morgan

“La negación de una disyunción de proposiciones es equivalente a la 7 a-b 7 c
conjunción de la negación de cada una de las proposiciones”
8 i-ii 8 iii

Simbólicamente ∼ ( p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q 8 iv

Podemos verificar la equivalencia con una tabla de verdad de la doble implicación

p q ∼ ∼ q p ∨ q ∼ (p ∨ q) ∼ p ∧ ∼ q ∼ ( p ∨ q) ⇔ ∼ p ∧ ∼ q
p
V V F F V F F V
V F F V V F F V
F V V F V F F V
F F V V F V V V

Si la doble implicación de las dos expresiones
resulta verdad en cualquier caso, las
expresiones son equivalentes

“La negación de una conjunción de proposiciones es equivalente
a la disyunción de la negación de cada una de las proposiciones”

Simbólicamente ∼ ( p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ q 7 a-b 7 c

8 i-ii
8 iii 8 iv

p q ∼ ∼ q p ∧ q ∼ (p ∧ q) ∼ p ∨ ∼ q ∼ (p ∧ q) ⇔ ∼ p ∨ ∼ q
p
V V F F V F F V
V F F V F V V V
F V V F F V V V
F F V V F V V V


7 a-b
Otra equivalencia que nos conviene considerar es: 7 c
“La implicación es equivalente a la negación del
antecedente disyunción el consecuente”
8 i-ii 8 iii
Simbólicamente p ⇒ q ≡ ∼ p ∨ q
8 iv

p q ∼ p p ⇒ q ∼ p ∨ (p ⇒ q) ⇔ ∼p ∨ q
q
V V F V V V
V F F F F V
F V V V V V
F F V V V V


Otra equivalencia que nos conviene considerar es:
“La doble implicación es equivalente a la conjunción
de las implicaciones recíprocas”
7 a-b 7 c
Simbólicamente p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) 8 i-ii 8 iii 8 iv


p q p⇒q q⇒p (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p⇔ (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒
p) q p)]
V V V V V V V
V F F V F F V
F V V F F F V
F F V V V V V

7 a) ∼ (∼ p ∨ ∼ q) ≡ ∼ (∼ p) ∧ ∼ (∼ q) ≡ p ∧ q

La negación de una disyunción (en este caso las proposiciones
de proposiciones de la disyunción son ∼ p ; ∼ q )

es equivalente a la conjunción de la negación de ∼ p y de ∼ q
Pero la negación de la negación de una proposición es la afirmación

Así el resultado final es p ∧ q

7 b) ∼(p ∨ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q) ≡ (∼ p ∧ ∼ q) ∨ (∼ p ∧ ∼ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q

la negación afecta solamente al primer paréntesis y el resto de la operación se escribe igual

eliminamos una de las expresiones (∼ p ∧ ∼ q) pues las dos son idénticas
(propiedad de idempotencia)

Así el resultado final es ∼ p ∧ ∼ q

7 c

7 c) ∼ (p ⇔ q) tenemos la negación de una doble implicación

recuerde que la doble implicación equivale a la
conjunción de las implicaciones recíprocas
≡ ∼ [ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)]

≡ ∼ (p ⇒ q) ∨ ∼ (q ⇒ Ley de De Morgan
p)
la implicación equivale a la disyunción de la
negación del antecedente con el consecuente ≡ ∼[(∼ p) ∨ q] ∨ ∼ [(∼ q ∨ p)]

por De Morgan ≡ [∼(∼ p) ∧ ∼ q] ∨ [∼(∼ q) ∧ ∼ p] ( p ∧ ∼ q) ∨ ( q ∧ ∼ p)
≡

8) Para negar cualquier expresión, escribimos la expresión que
queremos negar
8 i) La encerramos entre paréntesis, ∼ ( ∼ q ∨ r )

y anteponiendo el signo de negación, negamos todo lo que está
comprendido en el paréntesis.
viene ahora la tarea de transformar la expresión obtenida
buscando una expresión equivalente (leyes de De Morgan)

∼ ( ∼ q ∨ ≡ ∼ (∼ q)∧ ∼ r ≡ q∧ ∼ r
r )
8 ii) Para negar ∼ [ (p ∧ q) ⇒ r ]

La encerramos entre corchetes, y anteponiendo el signo de negación, negamos
todo lo que está comprendido en el corchete
∼ [ (p ∧ q) ⇒ r ] ≡ ∼ [ ∼ (p ∧ q) ∨ r ] ≡ ∼[∼(p∧ q)]∧ ∼
r
≡ (p∧ q)∧ ∼ ≡ p∧ q∧ ∼ r
r
buscando una expresión equivalente
8 iii 8 iv

8 iii) escribimos la expresión que queremos negar

La encerramos entre corchetes, ∼ [ p ∧ (q ⇒ r) ]
y anteponiendo el signo de negación, negamos
todo lo que está comprendido en el corchete

∼ [ p ∧ (q ⇒ r ) ] ≡ ∼ p ∨ ∼ (q ⇒ r) ≡ ∼ p ∨ ∼ [ (∼ q ) ∨ r ]

≡ ∼ p ∨ [∼ (∼ q ) ∧ ∼ r ] ≡ ∼ p ∨ ( q ∧ ∼ r )

buscando una expresión equivalente

aplicamos ley de De Morgan La implicación es la disyunción de la
negación del antecedente con el
consecuente

8 iv

8 iv) escribimos la expresión que queremos negar

La encerramos entre corchetes, ∼ [ ∼ ( p ∨ q ) ⇔ (∼ r ∧ ∼ ]
q )
y negamos todo lo que está
viene ahora la tarea de transformar la
comprendido en el corchete
expresión obtenida buscando una expresión
equivalente
La doble implicación es la conjunción de las
implicaciones recíprocas La implicación es la disyunción de la
negación del antecedente con el
consecuente
∼ [ ∼ ( p ∨ q) ⇔ (∼ r ∧ ∼ q ) ]
p ⇒ q ≡ ∼ p ∨ q
≡ ∼ { [ ∼ ( p ∨ q) ⇒ (∼ r ∧ ∼ q ) ] ∧ [ (∼ r ∧ ∼ q ) ⇒ ∼ ( p ∨ q) ] }
≡
≡ ∼ { [ ( p ∨ q) ∨ ( ∼ r ∧ ∼ q ) ] ∧ [ ∼ ( ∼ r ∧ ∼ q ) ∨ ∼ ( p ∨ q ) ] }
≡
≡ ∼ [ ( p ∨ q) ∨ ( ∼ r ∧ ∼ q ) ] ∨ ∼ [ ∼ ( ∼ r ∧ ∼ q ) ∨ ∼ ( p ∨ q ) ] ≡
≡ ∼ [ ( p ∨ q) ∨ ∼ ( r ∨ q ) ] ∨ ∼ [ ( r ∨ q ) ∨ ∼ ( p ∨ q ) ]
≡
≡ [ ∼ ( p ∨ q) ∧ ( r ∨ q ) ] ∨ [ ∼ ( r ∨ q) ∧ ( p ∨ q )
]

Tautología o Ley Lógica: es una proposición compuesta, cuyos
Lógica
valores de verdad son siempre verdad, cualquiera sean los
valores de verdad de las proposiciones que la componen

p q p ∨ q p ⇒ p ∨ q
p ⇒ p ∨ q 9 i 9 ii
V V V V
V F V V Es tautología 9 iii-iv

F V V V
F F F V

Si los valores de verdad de la proposición compuesta son falsos,
independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que lo
componen, la proposición es una Contradicción.
p q ∼ p P ⇒ q ∼ (p ⇒ ∼ (p ⇒ q) ∧ ∼
q) p
V V F V F F

V F F F V F

F V V V F F

F F V V F F

9 i) Para determinar si una proposición es ley lógica ó tautología,

en este caso ( p ∧ q ) ⇒ r

se realiza la tabla de verdad p q r p∧q (p∧q)⇒r
correspondiente
V V V V V
si todos los valores de verdad de la V V F V F
columna de los resultados fueran
verdaderos, la proposición sería V F V F V
tautología V F F F V
en la segunda fila aparece F V V F V
un valor de verdad falso
F V F F V
esta proposición que tiene valores de
F F V F V
verdad verdadero y valores de
verdad falso (según sea p y/ó q) es F F F F V
una contingencia

9 ii 9 iii-iv

9 ii) se realiza la tabla de verdad correspondiente

p q r p⇒q q⇒ r (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) p⇒ r [ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ] ⇒ (p ⇒
V V V V Vr)
V V V V F F F V
V V F F V F V V
V F V F V F F V
V F F V V V V V
F V V V F F V V
F V F V V V V V
F F V V V V V V
F F F
toda la columna de resultados es verdad
[ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ] ⇒ (p ⇒ r) es tautología

9 iii-iv

9 iii) si p ∧ [ p ⇔ q ] es tautología
también podemos resolver con tabla de verdad
La doble implicación es verdad cuando ambas proposiciones
tienen el mismo valor de verdad (las dos falsas ó las dos verdad)

La conjunción es falsa si una de las p q p ⇔ q p ∧ [ p ⇔ q ]
proposiciones es falsa (o ambas)
V V V V
esta proposición que tiene valores de
verdad verdadero y valores de V F F F
verdad falso (según sea p y/ó q)
F V F F
p ∧ [ p ⇔ q ] es contingencia F F V F

9 iv) (p ⇒ r) ⇔ (r ⇒ p) p r p ⇒ r r ⇒ p (p ⇒ r) ⇔ (r ⇒ p)

La implicación es falsa solo cuando V V V V V
el antecedente es verdadero y el V F F V F
consecuente es falso
F V V F F
esta proposición
tiene valores de F F V V V
verdad verdadero y
valores de verdad (p ⇒ r) ⇔ (r ⇒ p)
falso (según sea p es contingencia
y/ó q)

10) El viajero se encuentra frente a dos
caminos B
A
SI SI ! desea ir a la Capital, y el
! único que puede indicarle el
camino correcto es el Sr. Z

(que parece no estar muy dispuesto)
Contesta las preguntas y si es mentiroso, miente siempre . . .
solo con “si” o con “no” ¿ o siempre dice la verdad . . . ?
y solo una pregunta
Es un buen comienzo diferenciar los caminos, al de la
izquierda llamo camino A y al de la derecha camino B

Supongamos que el camino A es el correcto si el viajero señala el camino A y pregunta:
“Si yo le preguntara si este camino lleva a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?”

Si es de los que dicen la verdad, como Porque si el viajero hiciera la pregunta “¿ este
es el camino correcto responderá . . . es el camino que lleva a la Capital ?” piensa
decir la verdad . . .
SI
SI

frente a la misma pregunta : A
B
Señalando el camino A
“Si yo le preguntara si este camino lleva
a la Capital Ud. ¿ Qué me respondería ?”

Si el Sr. Z es de los que mienten siempre dirá . . . SI

él sabe que el camino señalado es el correcto, pero el viajero no
SI ! NO pregunta por el camino que lleva a la Capital , sino por una
! posible respuesta a la pregunta “¿este es el camino que lleva a la
Capital?” , recién entonces el Sr. Z dirá “no”. Pero tampoco
perderá esta oportunidad de mentir y decir “si” sabiendo que
luego, a la pregunta responderá “no”
si el viajero preguntara (que no puede hacerlo) SI
“¿este es el camino que lleva a la Capital?” , él
piensa mentir . . .

Aunque los dos pensaron cosas diferentes, dijeron idéntica respuesta “SI”
Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso ó de
los que dicen la verdad, responde SI, cuando se
señala el camino correcto

Señalando ahora el camino B
A B
(camino equivocado)
frente a la misma pregunta :

NO
! NO !

Si el Sr. Z es de los que dicen la NO
verdad siempre dirá . . .

porque si el viajero hiciera la pregunta “¿este
es el camino que lleva a la Capital?”, piensa
decir la verdad . . .
NO

Pero si el Sr. Z es mentiroso . . . .

frente a la misma pregunta : A
B
señalando el camino B

dirá . . . NO
Z sabe que el camino señalado es el correcto, pero el viajero no
NO ! SI ! pregunta por el camino que lleva a la Capital , sino por una
posible respuesta a la pregunta “¿este es el camino que lleva a la
Capital?” , recién entonces dirá “si” (para mentir). Pero tampoco
perderá esta oportunidad de mentir y decir que va a responder (la
verdad),que el camino no leva a la Capital””
si el viajero preguntara (que no puede
hacerlo) “¿este es el camino que lleva a la SI
Capital?” , él piensa mentir . . .

Aunque los dos pensaron cosas diferentes, dijeron idéntica respuesta “NO”

Independientemente de si el Sr. Z es mentiroso o de
los que dicen la verdad, responde NO si el camino
señalado no es el correcto

“Si yo le preguntara si
Como la respuesta a la pregunta
este camino lleva a la
Es la misma, independientemente Capital Ud. ¿ Qué me
respondería ?”
que se trate del que dice la verdad . . . o del que miente . . .

Así nuestro viajero, que pudo formular
una sola pregunta que descifra el
enigma, encontró el camino correcto

Y hacia la Capital se
encamina, eso sí, algo
perturbado por el esfuerzo

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