Matemáticas empresariales

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES
Primer semestre 2023
Carrera Contador Auditor (jornada vespertina)

Profesor Nicolás Sánchez Quezada
Contador Auditor Contador Público – Universidad Diego Portales
Profesor Educación Media Mención Matemáticas
Contacto: nicolas.sanchezq@mail.udp.cl
Horario de Clases:
Lunes 20:15 – 21:35
Miércoles 20:15 – 21:35
Sábado (ayudantía) 10:00 – 11:20

DESCRIPCIÓN DEL CURSO
Se abordarán contenidos matemáticos necesarios para entender y
desarrollar conceptos que se necesitan para desempeñarse
exitosamente en la carrera.
Se profundizarán y analizarán recursos fundamentales de los
sistemas numéricos, entregando competencias para reconocer
procedimientos y conceptos formales de situaciones prácticas reales,
logrando así representar la temática matemática y aplicarlas en los
conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial.

DESCRIPCIÓN DEL CURSO
Uno de los pilares de esta asignatura es lograr aplicar modelos en la
resolución de situaciones contextualizadas en su área, incentivando
el auto aprendizaje y la colaboración en grupos de trabajo.
Este curso tributa al perfil de egreso en lo relativo a analizar y
sistematizar información relevante que contribuya a la toma de
decisiones.

RESULTADOS DE APRENDIZAJE
Objetivo principal de aprendizaje entrega al estudiante las
herramientas fundamentales de la simbología del lenguaje de
conjuntos, de los sistemas numéricos y su orden, los cuales serán
necesarios para la correcta comprensión, cómo la aplicación de
conceptos pertenecientes a asignaturas del áreas administrativa y
económica que forman parte del plan curricular de la carrera
Contador Auditor.

CONTENIDOS
Unidad I: Conjuntos
Unidad II: Álgebra en los números reales
Unidad III: Álgebra Finita en R
Unidad IV: Funciones reales
Unidad V: Límites y derivada de funciones, continuidad

Evaluaciones/Calificaciones.
Primera Prueba Solemne 35%
Segunda Prueba Solemne 35%
Controles (5 controles mínimos) 30%
Nota Presentación a Examen 100%
Nota Presentación a Examen 70%
Examen 30%
Nota Final 100%

Evaluaciones/Calificaciones.
Semana Tema
25 de marzo Control U1
10 de abril Control U2
15 de mayo Control U3
29 de mayo Control U4
12 de junio Control U5
Posterior a cada control
Retroalimentación
Ayudantía
Jueves 27 de abril Solemne

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Clase 1
1.1 Introducción a la lógica simbólica.
1.2 Conectores lógicos .
1.3 Tablas de verdad.

UNIDAD 1: CONJUNTOS
1.1 Introducción a la lógica simbólica.
1.2 Conectores lógicos

UNIDAD 1: CONJUNTOS
La lógica proposicional está construida a partir de proposiciones,
que pueden ser verdaderas o falsas (pero no ambas).
Las siguientes son proposiciones:
Estamos en Santiago
1 +1 = 2
Sin embargo, observe que las siguientes no son proposiciones,
¿Estamos en Santiago?
x+1=2

UNIDAD 1: CONJUNTOS
- Proposiciones
Denotaremos las proposiciones por letras minúsculas
p, q, r, s...
- Valor de verdad
Cada proposición tiene un valor de verdad asignado, que puede ser V
(si la proposición es verdadera) o F (si la proposición es falsa).

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Una oración se construye a partir de las proposiciones p, q, r, ...
usando además cuatro símbolos nuevos:
∨, ∧, ∼,→,↔.
- Dada una proposición p, la oración ∼ p denota que p es falso.
Se llama la negación de p.
- Dadas proposiciones p y q, la oración p ∨ q denota que p o q, y
se llama la disyunción de p y q.
- Dadas proposiciones p y q, la oración p ∧ q denota que p y q, y
se llama la conjunción de p y q.
- Dadas las proposiciones p y q, la oración p → q denota que si p
entonces q, y se llama la implicación de p y q.
- Dadas las proposiciones p y q, la oración p ↔ q denota que p si
solo si q, y se llama la doble implicación.

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Veamos qué tal:
Dado que:
p: Iré al cine q: Iré a jugar play Station
r: El número 2 es par s: Está lloviendo
Determinar lenguaje simbólico para las siguientes afirmaciones:
a) No iré a jugar al cine
∼ p
b) Iré a jugar play Station
q
c) El número 2 no es par
∼ r
d) Es falso que no está lloviendo
∼ ∼ s
que sería lo mismo que s

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Veamos qué tal:
Observe la siguiente oración compuesta por proposiciones:
"La lluvia caerá¡ el miércoles o jueves, si cae el miércoles, entonces
saldré el viernes"
Denotando las siguientes proposiciones:
p:
q:
r:

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Veamos qué tal:
saldré el viernes"
p: La lluvia caerá¡ el miércoles
q:
r:

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Veamos qué tal:
saldré el viernes"
q: La lluvia caerá¡ el jueves
r:

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Veamos qué tal:
saldré el viernes"
r: Saldré el viernes.

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Veamos qué tal:
saldré el viernes"
r: Saldré el viernes.
¿Cuál de las siguientes expresiones representan la oración anterior?
a) ∼ p → q ∨ r
b) (p ∨ q) → r
c) (p ∨ q) ∧ (p → r)
d) (p∨ ∼ q) → r

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Próxima clase, Tabla de Verdad

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Recordar
- Proposiciones
Denotaremos las proposiciones por letras minúsculas
p, q, r, s …
- Símbolos
Que usaremos para construir frases en conjunto con las preposiciones
∼ (negación): ∼ p denota que p es falso
∨ (disyunción): p ∨ q denota que p o q o
∧ (conjunción): p ∧ q denota que p y q y
→ (implicación): p → q denota que si p entonces q entonces
↔ (doble implicación): p ↔ q denota que p si solo si q si y solo si

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Veamos qué tal
Simboliza las siguientes proposiciones:
a. No vi la película, pero leí la novela
b. Ni vi la película ni leí la novela
c. No es cierto que viese la película y leyese la novela
d. Llueve y o bien nieva o sopla el viento:

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Veamos qué tal
Simboliza las siguientes proposiciones:
a. No vi la película, pero leí la novela
∼ p ˄ q
b. Ni vi la película ni leí la novela
∼ p ˄ ∼ q
c. No es cierto que viese la película y leyese la novela
∼ (p ˄ q)
d. Llueve y o bien nieva o sopla el viento:
p ˄ (q ˅ r)

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Veamos qué tal
Formaliza las siguientes proposiciones:
Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy
como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico.
p: los elefantes vuelan. q: los elefantes tocan el acordeón.
r: estar loco. s: internar en un psiquiátrico
b) Los planetas reflejan luz si y sólo si las estrellas la emiten y los planetas
giran alrededor de ellas
p: Las estrellas emiten luz. q: Los planetas reflejan la luz.
r: Los planetas giran alrededor de las estrellas

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Veamos qué tal
Formaliza las siguientes proposiciones:
Si me gano el Kino o me gano el Loto, entonces dejo de trabajar y me voy a
recorrer el mundo
p: me gano el Kino q: me gano el Loto
r: dejo de trabajar s: me voy a recorrer el mundo
( p ˅ q ) → ( r ˄ s)
b) Los planetas reflejan luz si y sólo si las estrellas la emiten y los planetas
giran alrededor de ellas
p: Las estrellas emiten luz. q: Los planetas reflejan la luz.
r: Los planetas giran alrededor de las estrellas
q ↔ (p ∧ r)

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Clase 2
1 Tabla de Verdad

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Tabla de Verdad
Dependiendo de los valores de verdad de p y q, podemos obtener el
valor de verdad de una oración que use los conectores lógicos antes
mencionados.

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Tabla de Verdad
Preposiciones:
p: haré el trabajo q: haré el trabajo a tiempo
“Haré el trabajo y lo haré a tiempo”
(p ∧ q)

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Tabla de Verdad
Preposiciones:
“Haré el trabajo y lo haré a tiempo”
(p ∧ q)
p q (p ∧ q)
V V V
V F F
F V F
F F F

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Tabla de Verdad
Preposiciones:
“Haré el trabajo o lo haré a tiempo”
(p ˅ q)
p q (p ∧ q) (p ˅ q)
V V V
V F F
F V F
F F F

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Tabla de Verdad
Preposiciones:
“Haré el trabajo o lo haré a tiempo”
(p ˅ q)
p q (p ∧ q) (p ˅ q)
V V V V
V F F V
F V F V
F F F F

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Tabla de Verdad
Preposiciones:
p: rindes al 100% q: te daré un aumento
“Si rindes al 100%, entonces te daré un aumento”
(p → q)
p q (p ∧ q) (p ˅ q) (p → q)
V V V V V
V F F V F
F V F V V
F F F F V

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Tabla de Verdad
Preposiciones:
p: rindes al 100% q: te daré un aumento
“Si y solo si rindes al 100%,te daré un aumento”
(q ↔ p)
p q (p ∧ q) (p ˅ q) (p → q) (q ↔ p)
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Veamos qué tal
(p ˄ ∼ q)
p q ∼ q (p ∧ ∼ q)
V V
V F
F V
F F

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Veamos qué tal
(p ˄ ∼ q)
p q ∼ q (p ∧ ∼ q)
V V F
V F V
F V F
F F V

UNIDAD 1: CONJUNTOS
Veamos qué tal
(p ˄ ∼ q)

UNIDAD 1.1: TEORÍA DE CONJUNTOS
1.1 Definiciones y operaciones

Conjunto
Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando todos
los elementos de los que consta entre llaves:
A={1,2,3,4,5}
o implícita, dando una o varias características que determinen si un
elemento dado está o no en el conjunto…
A={números naturales del 1 al 5}

Conjunto ¿conoces algunos?

- Definición
Un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma
como un objeto.
Para denotar los conjuntos, los nombraremos utilizando letras
mayúsculas:
A; B; C; D; E; F …
y los elementos que están en los conjuntos, los denotaremos por
letras minúsculas:
a; b; c; d; e; f …

Utilizaremos la notación
x ∈ A : x es un elemento en A
para decir que un elemento pertenece a un conjunto. Así mismo, se
puede utilizar la notación
x ∉ A : x no es un elemento en A

Existen dos conjuntos importantes, que definiremos a continuación.
- ∅: llamado conjunto vacío, tiene la particularidad de no poseer
ningún elemento
- U: llamado conjunto universo, el cual dependiendo del contexto
que se está hablando, es el conjunto que contiene todos los
elementos

Definición
Igualdad y subconjunto: Dados dos conjuntos A, B, definimos la
inclusión de la forma siguiente:
A ⊆ B ≡ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B)
En otras palabras, estamos diciendo que A es un subconjunto de B
equivale a “para todo x, (si) x pertenece a A, entonces x pertenece a
B. Además, diremos que dos conjuntos son iguales si poseen los
mismos elementos, es decir:
A = B ≡ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B)
Note que, por propiedades de lógica, la igualdad también se puede
definir de la forma
A = B ≡ A ⊆ B ∧ B ⊆ A.

Definición
Conjunto Potencia: Conjunto formado por todos los subconjuntos del
conjunto dado
dado el conjunto:
A = {1, 2, 3}
el conjunto potencia es:
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}}
El conjunto potencia de A también se denomina "conjunto de las partes" de
A y se denota por P(A), donde 𝟐𝑨
es la cantidad de elementos que tiene el
conjunto potencia ( |A| es la cantidad de elementos de A, más adelante
definiremos un concepto para esto).

Definición
Intersección (∩): Dados dos conjuntos A,B ⊆ U tal que
(∀x)(x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B)
Se tiene que la intersección es el conjunto de todos los elementos que tienen
en común A y B.

Definición
Unión (∪): Dados dos conjuntos A,B ⊆ U tal que
(∀x)(x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B)
Se tiene que la unión es el conjunto de todos los elementos que están en A o
en B.

Veamos qué tal
Grafique los siguientes conjuntos
1) Dados dos conjuntos A y B que no tienen elementos en común
(disjuntos) si:
A∩B = ∅

Veamos qué tal
2) Dados dos conjuntos A y B, se define la diferencia A∖B como el
conjunto formado por los elementos de A que no están en B.
A∖B = {x∣ x∈A ∧ x ∉ B}

Veamos qué tal
3) La diferencia simétrica A△B de dos conjuntos A y B se define como
A△B = (A∖B)∪(B∖A) = (A∪B)∖(A∩B)

1.1.1 Propiedades de unión e intersección.
1.1.2 Complemento y diferencia.
1.1.3 Cardinalidad

Las siguientes son propiedades que se derivan directamente de la definición
de intersección y unión.
- Conmutativa
1) A ∩ B = B ∩ A
2) A ∪ B = B ∪ A
- Asociativa
1) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
2) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Las siguientes son propiedades que se derivan directamente de la definición
de intersección y unión.
- Distributiva
1) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
2) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
- Idempotencia
1) A ∩ A = A
2) A ∪ A = A
3) A ∩ U = A
4) A ∪ U = U
5) A ∩ ∅ = ∅
6) A ∪ ∅ = A

Ejemplo de la propiedad distributiva
A ∩ (B ∪ C)
≡ (∀x)(x ∈ A) ∧ (x ∈ (B ∪ C))
≡ (∀x)(x ∈ A) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)
≡ (∀x)(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C)
≡ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

- Complemento
Dado un conjunto A ⊆ U, definiremos el conjunto 𝑨𝒄
de la forma
(∀x)(x ∈ 𝑨𝒄
⇔ x ∉ A)
Llamado “complemento de A" y corresponde al conjunto conformado por
todos aquellos elementos que no están en A. De forma gráfica sería

- Diferencia
Ahora definiremos la operación diferencia, la cual dados dos conjuntos
A, B ⊆ U se denota por A − B de manera
(∀x)(x ∈ A − B ⇔ x ∈ A ∧ x ∉ B)
En otras palabras, es el conjunto conformado por los elementos que están en
A pero que no están en B. De manera gráfica se tiene

- Propiedad del complemento
1) A ∩ 𝑨𝒄
= ∅
2) A ∪ 𝑨𝒄
= U
3) (A ∩ B)𝒄
= 𝑨𝒄
∪ 𝑩𝒄
4) (A ∪ B)𝒄
= 𝑨𝒄
∩ 𝑩𝒄
Ejemplo
Sean A, B ⊆ U, probar que A ⊆ B ⇒ 𝑩𝒄
⊆ 𝑨𝒄

Demuestre usando propiedades de conjuntos que

Cardinalidad
Sea A ⊆ U un conjunto, llamaremos cardinal de A, representado por
n(A) al número de elementos que tiene A. El cardinal siempre es un número
perteneciente al conjunto N ∪ {0} ∪ {∞}
Propiedades
Sean A, B, C ⊆ U conjuntos cualquiera, se tiene
1) n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
2) n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)
3) n(A) = n(U) − n(𝑨𝒄
)
4) n(∅) = 0

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