2. FUNCIONES
Descripción: Una función es una relación o
correspondencia entre dos magnitudes, de manera que
a cada valor de la primera le corresponde un único
valor de la segunda, que llamamos imagen o
transformado.
A la función se le suele designar por f y a la imagen
por f(x), siendo x la variable independiente:
Variable independiente: la que se fija previamente
Variable dependiente: La que se deduce de la variable
independiente.
4. El matemático Weidman dedujo la base para la construcción de la
torre. Un factor crucial para los cálculos que Eiffel tenía en mente
pasaba por calibrar el efecto de las fuerzas ejercidas por el viento
sobre determinados puntos estructurales de la Torre. Weidman
encontró una solución exacta de la ecuación en forma de una función
exponencial que se ajusta rigurosamente a la forma de la mitad
superior de la torre.
La clave para su solución deriva de dos ecuaciones exponenciales
diferentes interconectadas: una para la mitad superior de la torre, y otra
en la que interviene el factor de sobredimensionamiento de seguridad
de la estructura en su base.
5. Fórmula utilizada y ejercicio:
La función exponencial, es conocida formalmente como
la función real ex, donde e es el número de Euler,
aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de
definición el conjunto de los números reales, y tiene la
particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota
equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de
los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa
del logaritmo natural.
6. La rebanada de Torre a altura x con grosor dx tiene un
peso proporcional a su volumen.
Donde ρ es la densidad de la Torre y g es la aceleración
debida a la gravedad. El brazo del peso es 𝑓0, la mitad
de la anchura de la Torre en la base. La fuerza ejercida
por el viento sobre cada rebanada es proporcional al
área.
7. La condición de Eiffel se puede expresar como una
ecuación integral.
Donde la cantidad adimensional es la presión máxima del
viento, dependiente de la altura, que la Torre puede
soportar sin caerse. El denominador de w(x) es
proporcional al tamaño de la sección eficaz de la base de la
Torre y establece la escala del problema. La variación de
w(x) es debida a que tanto la densidad como la presión del
viento pueden variar con la altura. Si derivamos la ecuación
(1) con respecto a x, encontramos
8. La ecuación (2) con x = 0 muestra que la constante es , y
la ecuación (2) pasa a ser
Podemos usar ahora la fórmula de la ecuación de
segundo grado para hallar f(x). La Torre es más ancha
en la base, por lo que tomamos la solución negativa
9. Que proporciona la forma del borde derecho (negativo)
de la Torre. El borde izquierdo (positivo) es – f(x).
Todo lo que resta es especificar la presión máxima del
viento como una función de la altura. Según su
definición y la anchura real de la Torre, esperamos que
sea del orden de la unidad. La forma más simple da la
ecuación (4) incluye una presión constante del viento,
que reproduce la forma general de la Torre.
