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1. TRABAJO Y ENERGÍA
INTRODUCCIÓN
La aplicación de las leyes de Newton a problemas en que intervienen fuerzas variables
requiere de nuevas herramientas de análisis. Estas herramientas consisten en los
conceptos de trabajo y energía cuya aplicación simplifica los problemas ya que no se
requiere como varia la fuerza durante el movimiento
Describiremos las técnicas para tratar sistemas de este tipo con la ayuda de un
desarrollo importante, llamado Teorema del trabajo y la energía.
Comenzaremos describiendo el concepto de trabajo, el cual proporciona un eslabón
entre los conceptos de fuerza y energía mecánica.
Se verá que los conceptos de trabajo y energía se pueden aplicar a la dinámica de un
sistema mecánico sin recurrir a las leyes de Newton. Sin embargo, es importante notar
que los conceptos de trabajo y energía se fundamentan en las leyes de Newton y, por
lo tanto, no requieren ningún principio físico nuevo.
Los conceptos de trabajo y energía se pueden aplicar a una amplia variedad de
fenómenos en los campos del electromagnetismo y la física atómica y nuclear.

2. rΔFw 

ΔxFw //
x
Trabajo realizado por una fuerza constante:
Consideremos un objeto que experimenta un desplazamiento, a lo largo de una
línea recta por la acción de una fuerza constante F, que forma un ángulo  con el
desplazamiento, tal como se indica en la figura
El trabajo realizado por una fuerza constante se define como el producto escalar de la
fuerza por el desplazamiento
En Newton. metro = joule ( N.m = J )
Como la componente de la fuerza paralela al desplazamiento es
podemos expresar el trabajo como:
Entonces se puede decir que el trabajo es igual al producto de la componente de la
fuerza paralela al desplazamiento por la magnitud del desplazamiento.
θ
Fcosθ//F 

3. Sí graficamos F// versus X
El área encerrada representa el trabajo realizado por la componente de la fuerza
paralela al desplazamiento. En toda gráfica, fuerza (solo su componente paralela al
desplazamiento) versus desplazamiento, el área bajo la curva nos da el trabajo
realizado por la fuerza.
Téngase en cuenta que el ángulo que forma la fuerza con el desplazamiento es muy
importante pues:
 Si la fuerza tiene una componente en la misma dirección del desplazamiento, el
trabajo es positivo
La fuerza F realiza un trabajo positivo

4. Si la fuerza es siempre perpendicular al desplazamiento, el trabajo realizado por ella es
cero
F no tiene componente en la dirección del Desplazamiento por lo que su trabajo es
cero. De esta última expresión podemos decir que toda fuerza perpendicular al
desplazamiento efectúa trabajo cero
 si la fuerza tiene una componente en dirección opuesta al desplazamiento, el trabajo
es negativo
La fuerza F realiza un
trabajo negativo
Ejemplo 1:
Si una masa m= 5 Kg realiza un movimiento circular uniforme con una rapidez v=80
m/s. Determine el trabajo realizado por la fuerza centrípeta
En el movimiento circular
la fuerza centrípeta es
siempre perpendicular al
movimiento
Solución: El DCL de la masa nos indica que la fuerza centrípeta es siempre
perpendicular al desplazamiento por lo tanto el trabajo es cero

5. )(xF
Ejemplo 2:
En el sistema mostrado en la
figura, determínese el trabajo
realizado por cada una de las
fuerzas que actúa sobre el
bloque de 80 Kg ( =53º)
El bloque se desliza sobre un plano inclinado 37º con la horizontal
Trabajo realizado por una fuerza variable:
Consideremos un objeto que se esta desplazando a lo largo del eje x, mientras una
fuerza variable actúa sobre ella tal como se indica en la figura.
En el intervalo [xi, xi +x], x es tan pequeño que la fuerza en dicho intervalo se puede
considerar constante e igual a F(xi)

6. W Δw F(x )Δxi i
  
El objeto se desplaza a lo largo del eje x, desde x=x1 hasta x=x2, En este caso no
podemos calcular el trabajo, como en el caso de una fuerza constante, pero podemos
imaginar que el objeto experimenta desplazamientos muy pequeños Δx , entonces la
fuerza, F(x), es aproximadamente constante sobre este intervalo, y para este pequeño
desplazamiento el trabajo será:
el trabajo total será entonces la suma de los trabajos realizados en cada uno de estos
pequeños desplazamientos
esta manera de obtener el trabajo para el caso de una fuerza variable es bastante
tediosa, sobre todo, si el desplazamiento que sufre el objeto es bastante grande, sin
embargo es posible obtener el trabajo de una manera más sencilla si se conoce cual es
la dependencia de la fuerza con la posición
Gráfica de F(x) versus x
Supongamos que la fuerza varía con la posición tal como se indica en la figura
El área sombreada de la figura (entre xi y xi +x) es aproximadamente:
Si pretendemos calcular el área total entre x1 y x2 debemos dividir toda el área entre x1
y x2 en pequeñas áreas como la indicada en la figura y luego sumarlas , esto nos daría;
x)
i
F(x
i
Δw 
Δx)
i
F(x
 Δx)
i
F(xA

7. xkF


FR
esta ultima expresión es idéntica a la encontrada para el trabajo de una fuerza variable
es decir el área bajo la curva es igual al trabajo realizado por la fuerza variable. El
resorte es un ejemplo de fuerza variable proporcional
TRABAJO REALIZADO POR UN RESORTE
Supóngase que el resorte inicialmente en su posición de equilibrio, es estirado una
distancia x por una fuerza aplicada Fapli , si en esa posición el resorte se encuentra en
equilibrio entonces por la ley de acción y reacción podemos afirmar que la fuerza que
ejerce el resorte es de la misma magnitud pero en sentido opuesto, se puede
comprobar experimentalmente que la magnitud de esta fuerza es proporcional a la
deformación x que a sufrido el resorte desde su posición de equilibrio, es decir:
el signo negativo nos indica que la fuerza apunta siempre hacia la posición de equilibrio
Wx)
i
F(xA  

8. 0FFapli 
xkFapli


Medición experimental de la constante elástica de un resorte
La masa m estira el resorte desde su posición de
equilibrio una distancia x, en esta nueva posición
de equilibrio:
mgkx 
de aquí inmediatamente
obtenemos el valor de la
constante elástica:
x
mg
k 
Conocida la fuerza podemos ahora determinar cual
es el trabajo efectuado por esta fuerza variable en
mover el resorte desde la posición inicial xi hasta la
posición final xf
Supongamos que la fuerza aplicada estira muy
lentamente el resorte tal como se indica en la
figura
El resorte se estira muy lentamente desde x1 hasta x2 por acción de la fuerza aplicada
Fapli, en todo momento , de esta manera en todo momento la fuerza
aplicada es igual a la fuerza ejercida por el resorte
entonces:
entonces el trabajo neto realizado es cero:
0WW Fapli 

9. 2
2
f
kx
2
2
i
kx
W 
Si determinamos cuál es el trabajo realizado por la fuerza aplicada conoceremos cuál
es el trabajo realizado por el resorte.
En la figura se indica como varia la fuerza aplicada con la deformación del resorte. El
área sombreada entonces nos dará el trabajo efectuado en estirar el resorte desde la
posición xi hasta xf
Gráfica de la fuerza aplicada
Fapli versus la posición, el área
sombreada nos da el trabajo
realizado por ella desde xi hasta
xf
y el trabajo realizado por el resorte será:
2
2
i
kx
2
2
f
kx
Wapli 
)
i
x
f
)(x
2
f
kx
i
kx
(trapeciodeláreaWapli 



10. w F Δx
x

2 2v vm f iF ( )
x d 2 2
 
TEOREMADEL TRABAJO Y LAENERGÍACINÉTICA
Consideremos una partícula de masa m moviéndose en la dirección del eje x por acción
de la fuerza resultante Fx , por sencillez supondremos que esta fuerza es constante
realizando la partícula un MRUV, tal como se indica en la figura
¿Cuál será entonces el trabajo realizado por la fuerza resultante?
Como la fuerza resultante es constante y esta en la dirección del desplazamiento el
trabajo será:
Por la segunda ley de newton se puede establecer que:
además como la aceleración es constante, por cinemática:
remplazando la aceleración obtenemos:
Sí reemplazamos esta expresión en la ecuación del trabajo obtendremos:
Vemos pues que para calcular el trabajo no es necesario conocer la fuerza resultante F,
solo es necesario saber cual es la velocidad inicial y final de la partícula.
Al semiproducto de la masa por el cuadrado de su rapidez se le define como la energía
cinética de la partícula.
da22
iv2
fv 
maxF 
2
2
imv
2
2
fmv
W 

11. 2
2mv
kE 
kΔEi)k(Ef)k(EW 
La energía cinética Ek de una partícula de masa m y velocidad v se define como:
es la energía asociada a todo cuerpo en movimiento, la energía cinética es una
cantidad escalar y tiene las mismas unidades que el trabajo (Joules)
La definición de energía cinética nos permite expresar el trabajo de la fuerza resultante
como:
El trabajo realizado por la fuerza resultante es igual al cambio en la energía
cinética de la partícula, a esta importante relación se le conoce como el teorema
del trabajo y la energía cinética
Aún cuando este importante teorema llamado “teorema del trabajo y la energía cinética”
ha sido demostrado suponiendo una fuerza constante en magnitud y dirección, es
valido aun si la fuerza F fuera variable
En general si sobre una partícula
actúan varias fuerzas, siendo F

la
fuerza resultante, tal como se indica
en la figura, entonces el trabajo
realizado por la fuerza desde la
posición inicial a hasta la posición
final es igual al cambio en la energía
cinética de la partícula
mg
F
v
v
N
fk
v2

12. 3)C(W2)C(W1)C(W 
CF

ENERGÍAPOTENCIAL
El concepto de energía cinética, esta asociado con el movimiento de un objeto. Se
encontró que la energía cinética de un objeto puede cambiar únicamente si se realiza
trabajo sobre él, Ahora introduciremos otra forma de energía mecánica, llamada
energía potencial, la cual esta asociada con la posición o la configuración de un objeto.
Se descubrirá que la energía potencial de un sistema se puede pensar como una
energía almacenada en él y que puede convertirse en energía cinética. El concepto de
energía potencial solo se puede aplicar cuando se esta tratando con una clase
especial de fuerzas llamadas “fuerzas conservativas”. Si solo actúan fuerzas
conservativas sobre un sistema, como las de gravitación o las elásticas.
FUERZA CONSERVATIVA
Una fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia
entre los valores iniciales y final de una función que sólo depende de las coordenadas
Características:
 Si el trabajo efectuado por ella sobre una partícula entre dos puntos, es
independiente de la trayectoria:
 El trabajo solo depende de las posiciones inicial y final
 El trabajo efectuado por una fuerza conservativa a través
de una trayectoria cerrada es 0.
 Toda fuerza conservativa tiene asociada a ella una función, llamada
energía potencial EP tal que el trabajo realizado por esta fuerza conservativa es
igual a menos el cambio de su energía potencial

13. mgypE 
 12      mg
f i f iW mg h h mgh mgh
12 1 2 mg
W mgy mgy
ENERGÍAPOTENCIAL GRAVITATORIA
La energía potencial es la energía que tiene todo cuerpo inmerso en el campo
gravitatorio terrestre respecto de un nivel de referencia dado.
Se define la energía potencial gravitacional como:
donde : m: es la masa del cuerpo, g: la aceleración de la gravedad, y: la coordenada
vertical medido desde un nivel de referencia.
Así tenemos que:
 Si la masa se encuentra por
encima del nivel de referencia
su energía potencial será
positiva
 Si la masa se encuentra en el
mismo nivel de referencia su
energía potencial es cero
 Si la masa se encuentra por
debajo del nivel de referencia
su energía potencial será
negativa
Observamos que para mover el cuerpo,
debemos aplicar una fuerza externa al sistema
F sobre el cuerpo, y otra fuerza –F sobre la
tierra. Estas fuerzas son opuestas, por la
tercera ley de Newton. Fijamos nuestro sistema
de referencia en la tierra.
Si consideramos un incremento de altura tal
que podamos considerar al campo gravitatorio
constante, el peso del cuerpo permanecerá
constante en todo el recorrido y será también
constante la fuerza F
El trabajo realizado por la fuerza externa F al
experimentar un desplazamiento d será:

14. P
F
Durante el ascenso la
fuerza F da energía
cinética al cuerpo (realiza
trabajo positivo)
Durante el ascenso el
peso P quita energía
cinética al cuerpo (realiza
trabajo negativo) que se
transforma en Ep.
En el punto superior (v=0)
la energía dada por F se
ha acumulado como Epot.
1
2
P
Durante el descenso el peso
P realiza trabajo positivo
transformando la energía
potencial acumulada en
cinética.
En el punto más bajo
toda la energía potencial
se ha transformado en
cinética.
En el punto superior el cuerpo
tiene Ep.
2
- 0
)
3
Trabajo realizado por el peso:
Supongamos que levantamos un objeto de masa m desde el suelo hasta una altura h.
La fuerza de gravedad o peso realiza trabajo negativo sobre m cuando la partícula se
mueve de 1 hacia 2 restando energía cinética al cuerpo que se transforma en energía
potencial gravitatoria. Si ahora dejamos que la fuerza de gravedad actúe, (trayectoria
de 2 a 1) podemos recuperar toda la energía como energía cinética. La fuerza de
gravedad transforma ahora la energía potencial en energía cinética realizando trabajo
positivo.

15. Ejemplo
A un cuerpo de 500 g, situado en el suelo, se aplica una fuerza constante de 15 N que
actúa verticalmente y hacia arriba. Calcular el tipo de energía y su valor en los
siguientes puntos:
a) En el suelo. b) 2 m del suelo. c) 5 m del suelo.
Solución:
ENERGÍAPOTENCIAL ELÁSTICA
Cuando se calculó el trabajo realizado por un resorte se encontró que éste sólo
dependía de la elongación inicial y final del resorte
2 2kx kx
i fW
2 2
 
a) Ecin = 0 ; Epot = 0.
b) Energía dada por la fuerza F: W F = F . h1 = 15 N . 2 m = 30 J
Epot = m g h = 0,5 kg . 10 m/s2
. 2 m = 10 J
Ek = 20 J
c) Energía dada por la fuerza F: W F = F . h2 = 15 N . 5 m = 75 J
Epot = m g h = 0,5 kg . 10 m/s2
. 5 m = 25 J
Ek = 50 J.
2 m
5 m

16. 2
Pe
kx
E
2

W (E ) (E ) ΔE
Pe i Pe f Pe
   
Se define la energía potencial elástica como
entonces el trabajo realizado por el resorte se puede expresar:
es decir el trabajo realizado por la fuerza elástica es igual a menos el cambio de la
energía potencial elástica
LA ENERGÍA MECÁNICA
El Principio de conservación de la energía indica que la energía no se crea ni se
destruye; sólo se transforma de unas formas en otras. En estas transformaciones, la
energía total permanece constante; es decir, la energía total es la misma antes y
después de cada transformación. En el caso de la energía mecánica se puede concluir
que, en ausencia de rozamientos y sin intervención de ningún trabajo externo, la suma
de las energías cinética y potencial permanece constante. Este fenómeno se conoce
con el nombre de Principio de conservación de la energía mecánica

17. kΔEW 
CNC wWW 
NCW
Si, por ejemplo, un niño desciende por un tobogán, la energía potencial que tenía
cuando estaba arriba se convertirá en energía cinética al descender. En el caso del
patinador de la ilustración siguiente, la energía cinética y la potencial se van
transformando una en otra según se mueve de un lado para otro.
Principio de su conservación
Supóngase que sobre una partícula de masa m actúan varias fuerzas 321 ,, FFF

no
conservativas y una fuerza conservativa CF

,
El trabajo realizado por la fuerza resultante es
igual a la suma de los trabajos efectuados por
cada una de las fuerzas individuales:
si llamamos al trabajo realizado por
todas las fuerzas no conservativas
entonces el trabajo de la fuerza resultante se
puede expresar:
 Por el teorema del trabajo - energía cinética , podemos decir;
C2F2F1F wwwwW 
2F2F1FNC wwwW 

18. PC ΔEw 
pECEE 
NCWΔE
pNCC ΔEWΔE  NCipCFpC W)E(E)E(E 
0WNC 
ctePECEE 
ctePECEE 
pECEE 
 como Fc es conservativa el trabajo realizado será, según la ecuación :
reemplazando obtenemos:
si definimos la energía mecánica del sistema como:
entonces:
El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual al cambio de la
energía mecánica del sistema
¿Que sucede si solo actúan fuerzas conservativas?
En este caso
y
esta importante relación nos indica que en todo momento la energía cinética y potencial
del sistema se mantiene constante y recibe el nombre de: principio de conservación
de la energía mecánica del sistema
El principio de conservación establece que la suma de la energía cinética y potencial se
mantiene constante en todo momento,
En la figura podemos apreciar que hay una transformación de energía cinética en
energía potencial y de energía potencial en energía cinética durante todo el
movimiento, conservándose la energía mecánica.
NCpC W)EΔ(E 

19. tiempo
totaltrabajo
P 
POTENCIA
Se define como el trabajo efectuado en la unidad de tiempo o la rapidez con la cual se
efectúa el trabajo
Potencia media:
Es el trabajo total efectuado entre el tiempo total empleado
Potencia instantánea:
Determinemos el trabajo W realizado por una fuerza F en un intervalo de tiempo muy
pequeño t:
si el intervalo de tiempo lo hacemos tender a cero obtendremos entonces la potencia
instantánea
Como en ese pequeño intervalo de tiempo el bloque se logra desplazar r, el trabajo
realizado será:
esto nos permite expresar la potencia instantánea de la siguiente manera:
Ordenando adecuadamente:
el segundo termino de esta ultima expresión es justamente la velocidad instantánea
es decir:
La potencia instantánea desarrollada por una fuerza F es igual al producto de la
fuerza por la velocidad instantánea
W]
s
J
[,watt
segundo
joule

Δt
Δw
P 
Δt
ΔW
limP 0Δt
rΔFΔW


Δt
rΔF
0Δtlim
Δt
ΔW
0ΔtlimP



Δt
rΔ
limFP 0Δt


vFP

