1. UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE-RECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
Integrantes:

2. Enny Vargas 20.672.729
Prof. Domingo Mendez
SAIA B
INTEGRAL DEFINIDA
Notación Sigma
Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que corresponden a una
expresión algebraica y que mediante alguna expresión se puede generalizar en un
tamaño de intervalo específico, incrementándose siempre en una unidad.
La sumatoria se denota mediante la letra griega sigma (å), en cuya parte inferior y
superior se especifica el tamaño del intervalo en que se desarrollará. Estos
números reciben el nombre de índice inferior e índice superior.
Donde "n" es un entero y representa el índice superior. El índice inferior puede
comenzar en cualquier entero y el índice superior siempre será mayor o igual que
el inferior. La expresión que aparece delante del símbolo de sumatoria, siempre
contendrá a la variable, en este caso es "Xk".
El desarrollo de la expresión anterior nos queda:

3. Ejemplo
Propiedades
Las siguientes propiedades de la sumatoria, constituyen teoremas cuya
demostración se puede verificar en cualquiera de las literaturas citadas.
Las propiedades son muy útiles para desarrollar expresiones que nos permiten
calculoar áreas limitadas por curvas planas.
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una
suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la
integral de la función.

4. Suma Superior e inferior
Area bajo la Curva

5. Si
queremos
calcular el área
2
bajo la curva Y = F(x)= X + 1, donde F(x) ³ 0 y continúa en todo el intervalo

6. cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla en una serie de polígonos
(rectángulos), calculamos el área de cada uno de estos rectángulos la suma nos
dará un valor aproximado del área real.
Si observamos la figura 1, el área se dividió en dos rectángulos y al calcular el
área de cada uno de ellos, se incluye una parte del rectángulo que no pertenece al
área buscada, por lo tanto esta es una aproximación.
En la figura 2, el número de rectángulos se ha incrementado hasta 9 y
observamos que la parte que no nos interesa es menor que cuando tomamos 2
rectángulos, lo que nos conduce a concluir que a mayor número de
rectángulos "n" más nos aproximamos al área real.
Podemos finalizar que si el número de rectángulos "n" se hace muy grande,
entonces el área calculada será casi exactamente el área buscada.
La Integral Definida y sus propiedades
Integral Definida
Si a la expresión obtenida para la suma de Riemann le tomamos el límite ya
que k =1, 2, 3, 4, 5,....,..n y existe, es decir podemos definir la integral definida de
F desde a hasta b por donde "a" representa el límite inferior y "b" el límite superior
de la integral.
Observando la definición de los términos de la integral definida, observamos
que F(bk) es la altura del rectángulo que llamamos partición y Dx k es el ancho del
rectángulo de tal manera que su producto no es más que el área del rectángulo y
después de sumar cada una de estas mismas, obtendremos dicha área bajo la
curva, siendo F(x), en el intervalo dado [a, b].

8. Teorema del Valor Medio para Integrales

9. Dada una función "f" contínua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un
valor dentro del mismo, tal que la derivada de la función evaluada en "c",
representa dicho valor promedio, conocido también como valor medio para
integrales.
Veamos algunos ejercicio de aplicación del teorema del valor medio
Teorema del valor medio para la integral definida
La siguiente propiedad de la integral definida sirve de base para demostrar el
Primer Teorema fundamental del cálculo.

10. EJERCICIOS
Teorema Fubdamental del Calculo

11. A grandes rasgos, el Teorema fundamental del Cálculo establece que
el Diferencial y la Integral son inversos, el uno del otro.
Información sobre teorema fundamental del calculo
Teoremas fundamentales del cálculo
Primer teorema fundamental del cálculo:
Segundo teorema fundamental del cálculo:
Sustitución y cambio de Variable
No siempre tendremos una integral que se resuelva directamente aplicando los
teoremas de la integración. Existen expresiones (funciones) que se deben
modificar y expresarlas de otra forma, sin que cambie la expresión integrando,
para poder encontrar su antiderivada.
Los cambios de variable se realizan cuando en el integrando existe una
expresión que resulta de derivar otra parte de ella, éstos se complementan
mediante aplicación de artificios matemáticos. Veamos el siguiente ejemplo:

12. 2
Sea x + 2 = u, entonces du = 2xdx de donde du/2 = xdx y
reemplazando nos queda: