1. Clase:
Razones, Proporciones y
Proporcionalidad

2. APRENDIZAJES ESPERADOS
• Aplicar las propiedades de razones y proporciones.
• Reconocer y distinguir entre una proporción directa
y una proporción inversa.
• Resolver problemas de planteo aplicando el
concepto de proporción compuesta.

3. Contenidos
1. Razones y Proporciones
1.1 Definiciones: razón y proporción
1.2 Teorema fundamental de la proporciones
1.3 Serie de Razones
1.4 Proporcionalidad directa
1.5 Proporcionalidad inversa
1.6 Proporcionalidad compuesta.

4. 1. Razones y proporciones
1.1 Definiciones
• Razón: Es la comparación entre dos cantidades cualesquiera.
Su notación es:
a ó a:b
b
y se lee: “a es a b”
a : antecedente, b : consecuente
Nota: Es importante el orden de nombramiento en una razón.

5. Ejemplo:
La razón entre “población” y “superficie”, se conoce como
Densidad Poblacional.
Por ejemplo, la población de la ciudad de Concepción es de
179.450 habitantes, distribuidos en una superficie de 18.051
km2.
(Según los datos entregados por el Instituto Nacional de Estadística).
Por lo tanto:
179.450
Densidad Poblacional = = 9,94…
18.051
En
cada Km2 viven aproximadamente 10 personas.

6. • Proporción: Es la igualdad de dos razones:
a c
= ó a:b=c:d
b d
y se lee: “ a es a b como c es a d ”
Además, a y d : extremos
c y b : medios
Ejemplo:
3 15
=
4 20

7. 1.2 Teorema fundamental de las proporciones
El producto de los medios es igual al producto de los extremos.
a c
= ⇔ ad = bc
b d
a:b=c:d ⇔ ad = bc
Ejemplo 1:
5 25
=
4 20
Es una proporción ya que 5∙20 = 4∙25 = 100

8. Ejemplo 2:
La razón entre el número de dulces que tiene Agustín y el número
de dulces que tiene su hermano es 2 : 3.
Si Agustín tiene 12 dulces, ¿cuántos dulces tiene su hermano?
Solución:
Si x es el número de dulces del hermano, entonces:
Dulces de Agustín 2
=
x 3
12 2
=
x 3
36 = 2x
18 = x
Por lo tanto, su hermano tiene 18 dulces.

9. 1.3 Serie de razones
Es la igualdad de 2 o más razones.
a c e k: valor de la razón o
= = = ……… = k
b d f constante de
proporcionalidad
ó k ∈ IR
a : c: e: … = b : d: f : …
Ejemplo 1:
1 2 3 4 5
= = = = = ……… = 0,5 (Valor de la razón)
2 4 6 8 10

10. Ejemplo 2:
Si a:b:c =3:5:6 , determinar a, b y c.
a + b + c = 42
Solución: Si a : b : c = 3 : 5 : 6, entonces:
a b c (Constante de
= = =k
proporcionalidad)
3 5 6
Luego: a = 3k, b = 5k y c = 6k
Como a + b + c = 42, entonces: 3k + 5k + 6k = 42
14k = 42
k = 42
14
k=3
Por lo tanto:
a = 9, b = 15 y c = 18

12. 1.4 Proporcionalidad directa
Dos variables son directamente proporcionales, si al
aumentar (disminuir) una de ellas, la otra también
aumenta (disminuye), en la misma proporción.
y
y es directamente proporcional a x si = k, k: constante
x
Ejemplo:
La siguiente tabla representa la relación entre el número
de fotocopias y su costo en pesos:
N° de fotocopias $ (y) K=y
(x) x
1 20 20
2 40 20
3 60 20
4… 80… 20…

13. Gráficamente:
El gráfico de una proporción directa es una recta con
pendiente positiva.

14. 1.5 Proporcionalidad inversa
Dos variables son inversamente proporcionales, si al
aumentar una de ellas, la otra disminuye (y viceversa) en
la misma proporción.
y es inversamente proporcional a x si y∙x= k, k: constante
Ejemplo:
Para construir una piscina en 20 días se requiere de 4
obreros. Entonces se puede inferir que para demorar 10 días
se requieren 8 obreros, y para demorar 5 días se requieren
16 obreros, y así sucesivamente.
Si tabulamos: N° de obreros Días (y) k = y∙x
(x)
4 20 80
8 10 80
16 5 80
40… 2… 80…

15. Gráficamente:
El gráfico de una proporción inversa es una hipérbola.

16. 1.6 Proporcionalidad compuesta
Es aquella en que intervienen más de dos variables
inversamente proporcionales y/o directamente
proporcionales.
Ejemplo:
Si 5 pasteleros producen en 7 días 400 tortas, ¿cuántas
tortas pueden producir 14 pasteleros en 9 días?
Solución:
Un método práctico es el siguiente:
1° Se ordenan los datos dejando la incógnita (tortas), en el
centro:
N° pasteleros N° tortas Días
5 400 7
14 x 9

17. 2° Se analiza el tipo de proporcionalidad de cada variable con
la incógnita, esto es:
N° pasteleros N° tortas Días
5 400 7
14 x 9
• N° de Pasteleros y N° de tortas son directamente proporcionales, ya
que, mientras más pasteleros mayor es la cantidad de pasteles
producidos.
• Días y N° de tortas son directamente proporcionales, ya que,
mientras más días, mayor es la cantidad de pasteles producidos.
Entonces: 5 ∙ x ∙ 7 = 14 ∙ 400 ∙ 9
x = 14 ∙ 400 ∙ 9
5∙7
x = 1.440
Por lo tanto, 14 pasteleros en 9 días, pueden producir 1.440 tortas.