5. Es la igualdad de dos razones:
b
a
d
=
c
ó a : b = c : d
y se lee: “ a es a b como c es a d ”
Además, a y d : extremos
c y b : medios
Ejemplo:
4
3
20
=
15
Proporciones
6. El producto de los medios es igual al producto de los extremos.
b
a
d
=
c
ad = bc
ad = bc
a : b = c : d
Ejemplo:
4
5
20
=
25
Es una proporción ya que 5∙20 = 4∙25 = 100
Teorema fundamental de las
proporciones
7. Ejemplo 2:
La razón entre el número de Chocolates que tiene Vicente y el número de Chocolates
que tiene su hermano es 3 : 5.
Si Vicente tiene 18 chocolates, ¿cuántos chocolates tiene su hermano?
Solución:
Si x es el número de chocolates del hermano, entonces:
Chocolates de Vicente
x 5
=
3
x
18
5
=
3
3x
=
90
x
=
30
Por lo tanto, su hermano tiene 30 chocolates.
8. Es la igualdad de 2 o más razones.
b
a
=
d
c
=
f
e
= ……… = k
2
1
=
4
2
=
6
3
= ……… = 0,5
=
8
4
=
10
5
ó
a : c: e: … = b : d: f : …
Ejemplo 1:
k: valor de la razón o
constante de
proporcionalidad
k IR
(Constante de
Proporcionalidad)
Serie de Razones
9. Ejemplo 2:
a : b : c = 3 : 5 : 6
a + b + c = 42
Si , determinar a, b y c.
Solución: a : b : c = 3 : 5 : 6, entonces:
Si
=
5
b
=
6
c
= k
3
a
Luego: a = 3k, b = 5k y c = 6k
Como a + b + c = 42, entonces: 3k + 5k + 6k = 42
14k = 42
k = 42
14
k = 3
Por lo tanto: a = 9, b = 15 y c = 18
(Constante de
proporcionalidad)
10. Es la igualdad de 2 o más razones.
b
a
=
d
c
=
f
e
= ……… = k
2
1
=
4
2
=
6
3
= ……… = 0,5
=
8
4
=
10
5
ó
a : c: e: … = b : d: f : …
Ejemplo 1:
k: valor de la razón o
constante de
proporcionalidad
k IR
(Constante de
Proporcionalidad)
REPARTOS PROPORCIONALES
11. Dos variables son directamente proporcionales, si al aumentar (disminuir) una de
ellas, la otra también aumenta (disminuye), en la misma proporción.
y es directamente proporcional a x si
x
y
= k, k: constante
Ejemplo:
Un automóvil recorre aproximadamente 120 km en 2 hrs a una velocidad constante, ¿Cuántos
km recorre en 7 horas?
Para desarrollar cualquier tipo de proporción es recomendable seguir tres pasos:
1° definir las variables : distancia (km) y tiempo (hrs)
2° analizar la proporción: si la distancia aumenta, ¿el tiempo aumenta o disminuye? En
este caso, el tiempo también aumenta, por lo que se trata de una proporción directa.
km hrs
3° Completar la proporción y resolver
Proporcionalidad Directa
12. km hrs
120 2
x 7
𝑥 =
120×7
2
= 420
El auto recorre 420 km en 7 horas
Como es una proporción directa,
multiplico cruzado y
divido por el que está sólo
13. Dos variables son inversamente proporcionales, si al aumentar una de ellas, la
otra disminuye (y viceversa) en la misma proporción.
y es inversamente proporcional a x si y∙x= k, k: constante
Ejemplo:
Dos grúas mueven 50 contenedores en 1 hora y media. ¿Cuántas grúas se necesitan para mover
los 50 contenedores en media hora?
Para desarrollar cualquier tipo de proporción es recomendable seguir tres pasos:
1° definir las variables : Grúas y tiempo (hrs)
2° analizar la proporción: si el tiempo aumenta, ¿se necesitan más o menos grúas?. En
este caso, para trabajar más rápido se necesitan más vehículos, por lo que se trata de
una proporción inversa.
hrs Grúas
3° Completar la proporción y resolver
Proporcionalidad Inversa
14. hrs grúas
1,5 2
1 x
Al ser una proporción inversa, invertimos el orden de la segunda parte de la proporción
antes de desarrollarla
hrs grúas
1,5 x
1 2
𝑥 =
2×1,5
1
= 3
Se necesitan 3 grúas para hacer el mismo trabajo en menos tiempo.
15. Pasteleros tortas días
5 400 7
14 x 9
Para plantear la ecuación, seguimos el camino marcado por las flechas
𝑥 =
14×400×9
5×7
= 1440
Por lo tanto 14 pasteleros pueden producir 1440 tortas en 9 días
Nota:
Si alguna de las proporciones resulta ser inversa, en vez de cruzar las flechas se
mantienen horizontales, y se sigue el camino definido por las flechas.
16. Porcentajes
• Un porcentaje es una razón cuyo denominador en 100
• Es una comparación en relación a 100 unidades
• Se utiliza el símbolo %
• Se puede interpretar el porcentaje como una proporción directa
Ejemplo:
En un colegio el 5% de los alumnos tiene beca, si los alumno becados son 50,
¿cuántos alumnos tiene el colegio?
Procedemos a desarrollar como un ejercicio de proporcionalidad, en el que
siempre tendremos las mismas variables (número y porcentaje) y siempre será
directa. Se sabe que 50 alumnos corresponden al 5%, se necesita saber el total de
alumnos, lo que corresponde al 100%:
alumnos %
50 5
x 100
𝑥 =
100×50
5
= 1000
El colegio tiene 1000 alumnos
17. Porcentajes
Ejemplo:
En una fábrica en la que trabajan 120 operarios, 18 de ellos presentaron licencias médicas
en el primer semestre. ¿Qué porcentaje de los operarios presentó licencia médica
operarios %
120 100
18 x
𝑥 =
100×18
120
=15%
El 15% de los operarios presentó licencia médica
21. Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores
iguales.
a·a·a·a·a = a5
Ejemplo: La potencia de base 3 y exponente 5 es:
35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243
BASE
EXPONENTE
EXPONENTE
BASE
Potencias
22. Propiedades de potencias
Propiedades
de
Potencias
Producto de potencias igual base 𝑎𝑚
⋅ 𝑎𝑛
= 𝑎𝑚+𝑛
32 ⋅ 33 = 32+3 = 35
Cuociente de potencias igual base
54
51 = 54−1
= 53
Potencia de una potencia 𝑎𝑚 𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛
33 5
= 33⋅5
= 315
Potencia de un producto
Potencia de un cuociente
𝑎𝑚
: 𝑎𝑛
=
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑛−𝑚
𝑎 ⋅ 𝑏 𝑚
= 𝑎𝑚
⋅ 𝑏𝑚
𝑎: 𝑏 𝑚
=
𝑎
𝑏
𝑚
=
𝑎𝑚
𝑏𝑚
15 4
= 5 ⋅ 3 4
= 54
⋅ 34
7: 2 3 =
7
2
3
=
73
23
24. Los ejemplos anteriores permite ver que es necesario definir las potencias de
exponente negativo (que ya no consisten en multiplicar un número por sí mismo) de
manera que además sigan cumpliendo las propiedades que ya conocemos.
Las potencias de exponente entero se definen así:
► an = a . a . a . ... . a, para n natural y mayor que 1.
► a1 = a
► a0 = 1
► a–n = para n natural y n > 0
1
an
26. Raíces
En general llamamos raíz n-ésima de un número dado al número que elevado
a n nos da el primero.
radical radicando
Índice
Arriba hemos visto ejemplos de radicales de índice 2 (cuadráticos) y de índice 3
(cúbicos). Observa que, en el caso de los cuadráticos, el índice no se escribe.
b = a bn = a
n
n
a
Se escribe
27. Propiedades de las Raíces
Propiedad
• Producto de radicales
• Cuociente de radicales
• Potencia de un radical
• Raíz de una raíz
Ejemplo
•
•
•
•
Enunciado
• Para multiplicar raíces del
mismo índice se deja el
mismo índice y se
multiplican los radicandos.
• Para dividir raíces del
mismo índice se deja el
mismo índice y se dividen
los radicandos.
• Para elevar una raíz a una
potencia se eleva el
radicando a dicha
potencia.
• Para hallar la raíz de otra
raíz se multiplican los
índices de ambas
𝑛
𝑎 ⋅
𝑛
𝑏 =
𝑛
𝑎𝑏
𝑛
𝑎:
𝑛
𝑏 =
𝑛 𝑎
𝑏
𝑛
𝑎 𝑚 =
𝑛
𝑎𝑚 = 𝑎
𝑚
𝑛
𝑛 𝑚
𝑎 = 𝑛𝑚
𝑎
7
12 ⋅
7
4 =
7
12 ⋅ 4 =
7
48
7
12:
7
4 =
7 12
4
=
7
3
5
6
11
=
5
611 = 6
11
5
3 5
2 =
3⋅5
2 =
15
2
