Este documento presenta conceptos matemáticos relacionados con las proporciones y las reglas de tres. Explica qué son las razones aritméticas y geométricas, las proporciones directas e inversas, y cómo aplicar las reglas de tres simples y compuestas para resolver problemas de proporcionalidad. También introduce el concepto de reparto proporcional y cómo dividir cantidades en partes proporcionales a índices dados.

2.  María tiene 12 soles y Manuel 8 soles
¿ en cuanto excede el dinero de María a los de Manuel?
 Alex tiene 120 canicas y los quiere repartir a sus cuatro hermano
¿Cuántos canicas recibe cada hermano?
¿ qué operación matemático has aplicado para dar tu respuesta?

4. RAZONES Y PROPORCIONES
Se llama «razón» a la comparación de dos cantidades.
Esta comparación se puede hacer mediante una DIFERENCIA ( resta ), en tal
Caso se llama «razón aritmética» o mediante una DIVISIÓN, en tal caso se llama
«razón geométrica»
La razón aritmética ( R.A ) a – b = d
La razón geométrica ( R.G )
a
k
b

Donde :
a : antecedente
b : consecuente
Sean las R.A:
a – b = k
C- d = k
a – b = c - d Se lee: «a es b como c es d»

5. Se llama proporción a la igualdad de dos razones, siendo la característica
principal, que esta dos razones son iguales.
Sea las R.G:
a
k
b
c
k
d


a c
b d
 Se lee: «a es a b como c es a d»

6. Ejercicio de aplicación:
1. Halla la razón aritmética (por diferencia), entre los siguientes objetos, e interpreta
el resultado.
a) 120 niños y 42 niñas.
………………………………………………………………………………………………………
b) 82 pelotas y 72 libros
………………………………………………………………………………………………………
…
a) 58 mandarinas y 36 melocotones.
..................................................................................................................

7. 2. Halla la razón geométrica e interpreta entre:
a) 20 niños y 42 niñas
…......................................................................................................
b) 18 pelotas y 72 libros
……………………………………………………………………………………………………………
c) 27 plátanos y 36 naranjas
……………………………………………………………………………………………………………
d) 25 perros y 125 gatos
……………………………………………………………………………………………………………

8. a) en una bolsa con bolas blancas y negras, la razón de
bolas blancas a negras es de 2 a 7.
b) en cierto examen, la razón entre aprobados y desaprobados.
es de 4 a 3
3. Representa mediante una razón:
Desarrollo a :
a : n° de bolas blancas.
b : n° de bolas negras.
Quiere decir que por 2 bolas blancas hay 7 negra.
Desarrollo b :
a : n° aprobados
d : n° de desaprobados.
2
7
a
b

4
3
a
d
 Quiere decir que por 4 aprobados hay 3 desaprobados.

9. 3. en cierto examen la
razón entre aprobados y
desaprobados es de 4 a 3.
Si desaprobaron
81 alumnos,
¿cuantos aprobaron?
Desarrollo:
4
3
a
d

4
3 81
x

4.81
3
x 
x = 108
Desaprobaron 108 alumnos
4. Si 3 entradas de cine cuestan 21 euros,
¿Cuánto costaran 5 entradas iguales?
Respuesta : 35
5.En un salón de clase hay 38 alumnos, de
de los cuales 24 son varones. Halla la
razón aritmética y geométrica entre el
número varones y de mujeres.
Respuesta: 12 /7
5. En un establo hay 80 vacas y 20 ovejas.
Halla la razón aritmética y geométrica
entre:
a) Número de vacas y de número de
ovejas
Respuesta: 40 y 3

10. b) Numero total de animales y número de vacas.
respuesta: 20 y 4/5
c) Número total de animales y número de ovejas.
Respuesta: 60 y 4

11. 5. Completa la tabla y haya la razón de proporcionalidad directa de cada una.
a) N° de
objeto
s
1 2 5 8 9 13
costo 15 30
b) N° de cajas 1 2 3 5 7 9
N° de
tarros de
leche
48
c)
HORA 20 17 15 12 10 5 1
SUELDO 300

13. PROPORCIONES
Es la igualdad de dos razones equivalentes de la misma clase y puede ser:
I.PROPORCIÓN ARITMÉTICA ( P. A )
Es la igualdad de dos razone aritméticas.
Ejemplo:
20 – 13 = 32 - 25
En general: a – b = c - d
Donde : a , c
b , d
antecedente
Consecuente.
Término medio
Término extremo

14. PROPIEDAD FUNDAMENTAL:
La suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios.
a + d = b + c
II. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA. ( P. G )
Es la igualdad de dos razones geométricas del mismo valor.
Ejemplo:
18 15
24 20

a c
b d

Donde : a y b son los antecedentes
b y d son los consecuentes.
Además : a y d son los extremos
c y d los medios .

15. PROPIEDAD FUNDAMENTAL:
El producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios.
a . d = b. c
CLASES DE PROPORCIÓN:
1.Proporción aritmética discreta: se denomina discreta o discontinua cuando sus
términos medios son diferentes.
PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA
20 – 16 = 18 - 14
Diferentes
En general : a – b = c - d
Donde: d 4° diferencial de a, b y c
4 7
12 21
 7 y 12 son diferentes.
En general:
a c
b d

Donde: d es la 4° diferencial de a,b,y c

16. PROPORCIÓN ARITMÉTICA CONTÍNUA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA CONTÍNUA
40 – 32 = 32 - 24
Iguales
En general:
a – b = b - c
Donde :
C : la 3° diferencia o aritmética
de a, b
b : media diferencial o aritmética
de a y b.
2
a c
b


12 6
6 3
 Los medios son iguales
En general:
a b
b c

Donde :
C: la 3° proporcional o geométrica
de a y b.
b : la media proporcional o geométrica
de a y c.
.b a c

18. MAGNITUD
Es una propiedad de la física que puede ser medida comparado con otra de la
misma naturaleza tomada como unidad. El resultado de la medición se denomina
cantidad o valor de la magnitud.
MAGNITUDES UNIDAD DE MEDIDA CANTIDADES
LONGITUD metro 4m, 56 cm
MASA Kilogramo 10kg, 2gr
TIEMPO segundos 5seg; 2 horas
PROPORCIONALIDAD ENTRE DOS MAGNITUDES:
1.Magnitudes directamente proporcionales
Ejemplo:
En una imprenta, el costo por cada millar de impresión es de diez nuevos soles
a) ¿ cuál será el costo por 6 millares?

19. b) Grafica en un plano cartesiano.
c) ¿Los valores de los dominios y rangos son proporcionales?
MILLARES 1 2 3 4 5 6
PRECIO 10 20 30 40 50 60
1 2 3 4 5 6
10 20 30 40 50 60
    

20. millar
costo
10
20
30
40
50
60
1 2 3 4 5 60

21. Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales si al aumentar o disminuir
los valores de una de ellas los valores correspondiente de la otra aumentan o
disminuyen en la misma proporción.
La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean directamente
proporcionales es que el cociente entre sus valores correspondientes sea constante.
( )
( )
valor A
K
valor B

VALORES CORRESPONDIENTES
Magnitud A
a1 a2 a3
…….
an
Magnitud B
b1 b2 b3 …… bn
Se cumple: 31 2
1 2 3
... n
n
a aa a
b b b b
  

22. 2.Magnitud inversamente proporcional
Ejemplo:
Para pintar un salón de clase un pintor se demora 360 minuto.
a)¿ que tiempo se demorará en pintar el salón si hay 5 pintores?
b) Grafica en un plano cartesiano
c) ¿existirá la proporcionalidad entre sus valores?
Desarrollo:
N° DE
PINTORES
1 2 3 4 5
TIEMPO 360 180 120 90 72

23. 1.360 = 2.180 = 3.120 = 4. 90 = 5. 72 =360
tiempo
pintores
72 90 180120 3600
1
2
3
4
5

24. Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si al aumentar o disminuir los
valores de la magnitud A, los valores correspondiente de B disminuyen o aumentan en
proporción inversa.
La condición necesaria y suficiente para que dos magnitudes sean inversamente
proporcionales es que el producto de sus valores correspondientes sea una constante.
Valor de ( A ) . Valor de ( B ) = K (constante )
VALORES CORRESPONDIENTES
Magnitud A
a1 a2 a3
…….
an
Magnitud B
b1 b2 b3 …… bn
Se cumple:
1 1 2 2 3 3. ... n na b a b a b a b K   

26. CONCEPTO
Es una de las aplicaciones mas usuales de la proporcionalidad. Consiste en calcular
el valor desconocido de una magnitud relacionado dos o mas magnitudes
proporcionales.
1.Regla de tres simpe directa:
Para abrir una zanja de 100m de largo se requiere 6 obreros.¿ Cuantos obreros se
requiere para abrir otra zanja de 350m en el mismo tiempo?
Desarrollo:
Obra en
metro
100 200 300 350
N° de
obrero
6 12 18 21
Aplicando la regla de tres:
Magnitud
directa.

27. Longitud N° de obreros
100 6
350 x
350
6.
100
x  X = 21
E n general:
Magnitud A magnitud B
a1 b1
a2 x
2
1
1
.
a
x b
a


28. 2.Regla de tres simple inversa.
Una cuadrilla de 15 obreros hace una obra en 18 días. ¿ En cuantos días se hará
la misma obra una cuadrilla de 6 obreros?
N° de obreros 15 6
tiempo 18 x
Inversa
15.18 = 6 x X = 45
Aplicando la regla de tres simple inversa:
N° de obreros tiempo
15 18
6 x
15
18.
6
x 
X = 45 días

29. En general: A IP B
Magnitud A magnitud B
a1 b1
a2 x
1
1
2
.
a
x b
a

3.Regla de tres simple compuesta:
1.Se reconoce las magnitudes que interviene en el problema.
2.Se dispone los datos de manera que los valores pertenecientes a una misma
magnitud se ubiquen un una misma columna y expresados en la mismas unidades.

30. 3.En la primera fila ( supuesto ) se colocan los datos y en la segunda fila ( pregunta )
los demás valores incluido la incógnita.
4. La magnitud que contiene la incógnita se compara con cada una de las demás,
indicando en su parte inferior si es directa ( D ) o inversa ( I )proporcional.
5. El valor desconocido o incógnita es igual al valor que se encuentra sobre ella por las
diferentes fracciones que se forman en cada magnitud: en el orden en que están
dispuestos, si es I.P., y en el orden invertido si es D.P.
Ejemplo:
¿qué rendimiento tienen 6 obreros que en 16 días, trabajando 9h/d, hacen
de una obra cuya dificultad es como a 3, si para hacer de la misma obra, de
dificultad como 5, se emplean 8 obreros con 60% de rendimiento durante 12 días a
8h/d ?
3
21m
3
14m
Desarrollo:

31. Rendimiento. N° de obreros N° de días h/d obra dificultad
60% 8 12 8 14 5
X % 6 16 9 21 3
( I ) ( I ) ( I ) ( D ) ( D )
X = 48%
8 12 8 21 3
60% . . . .
6 16 9 14 5
x 

32. En general:
Magnitud A magnitud B magnitud C
a1 b1 c1
X b2 c2
D I
2 1
1
1 2
. .
b c
x a
b c


33. Ejercicios de aplicación.
1. Para pintar un cubo de 5 cm de arista se pagó «n» soles y para pintar otro cubo
de 15 cm de arista se pagó S/. 32 . Halle el valor de n.
Desarrollo:
Trabajo costo
15 cm S/. 32
5 cm n
D.P
5
32.
15
x 
X = 10,70
2. Un grupo de 5 jardineros iban a podar un jardín en 6 horas.
Sólo fueron 3 jardineros. ¿Qué tiempo emplearán en podar el jardín?
.
Desarrollo:
Jardineros horas/trab.
5 6
3 x
I.P
5
6.
3
x  X = 10 horas

34. 3. Dos jardineros pueden sembrar 20 plantas ornamentales en una semana.
¿ Cuántos jardineros serían necesario para sembrar 50 plantas en 5 días?
Desarrollo:
N° de jardineros siembran días
2 20 7
X 50 5
D.P I.P
50 7
2. .
20 5
x  X = 7 personas

36. REPARTO PROPORCIONAL:
Consiste en dividir una cantidad en partes proporcionales a ciertos
números llamados índice de reparto o números proporcionales. El
reparto se puede efectuar en forma directa o inversamente proporcional.
1. REPARTO DIRECTO:
cuando el reparto se hace directamente proporcional a un solo grupo
de índice.
Ejemplo:
Un abuelo reparte 450 soles entre sus nietos de 8, 12 y 16 años de
edad, proporcionalmente a sus edades.
¿Cuánto corresponde a cada uno?

37. Desarrollo:
Sea : a, b y c las cantidades que recibe cada uno
1. El reparto es proporcional a sus edades:
8 12 16
a b c
 
2. Por propiedad de los razones iguales:
450
8 12 16 8 12 16 36
a b c a b c 
   
 

38. Cada nieto recibirá:
450
8 36
a

450
12 36
b

450
16 36
c

a = S/.100
b = S/.150
C = S/. 200

39. 2. REPARTO INVERSO:
cuando el reparto se hace inversamente proporcional a un solo
grupo de índices. Para resolver este problema se considera la
propiedad de magnitudes.
Ejemplo:
Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando
anualmente S/.5900 . Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las
aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto
aporta cada uno?
Sea : a, b y c las cantidades que recibe cada uno
Desarrollo: ( método de las proporciones)
Como estos números deben de ser directamente proporcionales a
20, 24 y 32, el cociente debe ser constante:

40. Luego :
5900
76 20
a
 a = 1552, 63
5900
76 24
b
 b = 1863, 16
5900
76 32
c
 C = 2484, 21
S = 20 + 24 + 32 = 76
Sumamos los números proporcionales