Este documento trata sobre la factorización de expresiones algebraicas. Explica que factorizar es descomponer una expresión en factores. Luego detalla diferentes métodos de factorización como el factor común, la agrupación de términos y la diferencia y suma de cuadrados y cubos perfectos. Finalmente incluye ejemplos para ilustrar cada método.

1. Factorización
José David Ojeda M.

2. Factorización
• Descomponer una expresión numérica en
factores es escribirla como un producto.
Por ejemplo la expresión 9 x 4 es una
descomposición en factores del numero
36.
• Un caso particular de la descomposición
en factores se presente cuando cada
uno de estos factores es primo.
36 = 3 * 3 * 2 * 2
Es una descomposición en factores
primos del numero 36.

3. Factorización
• Factorizar una
expresión
numérica o una
expresión
algebraica es
descomponerla
en factores

4. Casos de
Factorización

5. 1. Factor común

6. 1. Factor común
• Factor común de un binomio: Al
multiplicar un monomio por un binomio se
aplica la propiedad distributiva
• Ahora para expresar el binomio
como el producto de dos factores se
realiza el procedimiento inverso. Este
procedimiento es conocido como factor
común de un binomio.
( )3 2 5 3
1m m m m× + = +
5 3
m m+

7. 1. Factor común
El factor común de un binomio es una
expresión algebraica en la cual
• La parte numérica es el MCD entre las
partes numéricas
• La parte literal esta formada por las
letras que tiene en común los términos
del polinomio con su menor exponente.

8. 1. Factor común
Factorizar las siguientes expresiones:
El factor común es 3x, pues:
• MCD (3,9) = 3
• La letra común entre x y xy es x
Para factorizar el binomio 3x + 9xy se
divide cada termino entre el factor
común:
a) 3 9x xy+

9. 1. Factor común
• De donde
3x + 9xy = 3x(1 + 3y)
Ejercicios: Factorizar
3
1
3
x
x
= +
9
3
3
xy
y
x
= +
2 3
2 3 5
b) 6 5
c) 14 7
m m n
a b c abc
−
− −
2 25 15
d)
4 2
x y xy−

10. 1. Factor común
• Factor común de un polinomio: El
procedimiento para encontrar el factor
común en un polinomio es similar al usado
en el factor común de un binomio.
• Factorizar:
Se halla el MCD entre los
denominadores y los numeradores.
3 2 38 4 2
9 3 6
a b ab b− +

11. 1. Factor común
• MCD (8, 4, 2) = 2 MCD (9, 3, 6) = 3
Fracción común a:
El Factor común en
es:
Se divide cada termino del polinomio
entre el factor común. Así:
8 4 2 2
, es
9 3 6 3
y
3 2 38 4 2
9 3 6
a b ab b− +
2
3
b

12. 1. Factor común
• Entonces:
3 3 3
2
3 2 2
8 2 28 4
9 3 14 3
4 2 12
2
3 3 6
2 2 6 1
6 3 12 2
a b b a a
ab b ab ab
b b b b
÷ = =
− ÷ = − = −
÷ = =

13. 1. Factor común
• Caso especial:
En algunos casos el factor común puede
ser un binomio o en general un polinomio.
Ejemplo:
3 2 3 3 28 4 2 2 4 1
2
9 3 6 3 3 2
a b ab b b a ab b
 
− + = − + ÷
 
2 3
3 ( ) 6 ( ) 12 ( )xm x y m x y m x y− + + + − +

14. 1. Factor común
• La expresión (x + y) es común a los tres
términos del polinomio. Por lo tanto el
factor común es 3m(x + y).
• Se divide cada termino del polinomio
entre el factor común:
2
3
2
3 ( ) 6 ( )
2
3 ( ) 3 ( )
12 ( )
4
3 ( )
xm x y m x y
x m
m x y m x y
m x y
m
m x y
− + +
= − =
+ +
− +
= −
+

15. 1. Factor común
• Los binomios (x + y) se simplifican en las
tres divisiones:
• Entonces:
2 3
3 ( ) 6 ( ) 12 ( )xm x y m x y m x y− + + + − + =
2
2
3 ( )( 2 4 )
3 ( )( 2 4 )
m x y x m m
m x y x m m
+ − + −
= − + − +

16. 1. Factor común
• Ejercicios: Factorizar
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 3 2 2 3
2 2 2
3 4 5 7 3 3
3 3
3 2
a) 3 9 6
b) 14 21 49
c) 13 11 10
3 15 9
d)
35 49 21
e) 7 1 9 1
16 24
f) 4 4
27 63
xy x y x y
a x m a x a x m
am a m am
p q q p q p
w w w
p m p m
+ −
+ −
− + +
+ −
+ − +
+ − +

17. 2. Factor común por
agrupación de
términos

18. 2. Factor común por
agrupación de términos
• En algunos casos en el polinomio que se
busca factorizar no hay un factor común
para todos sus términos, pero al
agruparlos se puede determinar una
expresión común para cada agrupación
• Por ejemplo en el polinomio
am+bm+an+bn, no hay un factor común,
pero si se agrupan los términos es
posible factorizarlo.

19. 2. Factor común por
agrupación de términos
• Ejemplo:
Factorizar
• Se forman dos grupos con el mismo
numero de términos
am bm an bn+ + +
am bm an bn+ + +
( ) ( )am an bm bn= + + +
( ) ( )a m n b m n= + + +
( )( )m n a b= + +
Se busca el factor común
en cada grupo
Se factoriza el binomio común

20. 2. Factor común por
agrupación de términos
• Entonces:
• Ejemplo: Factorizar
• Se forman tres grupos con el mismo numero
de términos. Si al agrupar queda un signo
menos antes del un paréntesis, las expresiones
dentro del paréntesis cambian de signo.
( )( )am bm an bn m n a b+ + + = + +
2 3 4 2 3 2 4 2 2 2 2
3 3a b n a b x n x z a z x a− + − − −

21. 2. Factor común por
agrupación de términos
• Se saca el factor común de cada uno de
los grupos.
• Se factoriza el binomio común
2 3 4 2 3 2 4 2 2 2 2
3 3a b n a b x n x z a z x a− + − − −
2 3 2 3 2 4 4 2 2 2 2
( ) ( ) (3 3 )a b a b x n n x z a z x a= + − + − +
( ) ( ) ( )2 3 2 4 2 2 2
1 1 3 1a b x n x z a x= + − + − +
( ) ( )2 2 3 4 2
1 3x a b n z a= + − −

22. 2. Factor común por
agrupación de términos
• Ejercicios: Factorizar
2
2
3 2 2 2 2
3 2 2 2
a)
b) 2 3 4 6
c) 4 4 4 3 3 3
d) 3 12 3 4
w wz wy zy
x xy x y
w w y wy zw zwy zy
x nx xy xz nz ny
+ + +
− − +
− − − + +
− + + − −

23. 3. Diferencia de
cuadrados perfectos

24. 3. Diferencia de cuadrados
perfectos
• Expresiones como:
son denominadas diferencias de
cuadrados perfectos, pues los términos
que las forman tienen raíz cuadrada
exacta.
2 2 2 2 2 21
, 4 ,
9
a b x y m n− − −

25. 3. Diferencia de cuadrados
perfectos
• Factorizar una diferencia de cuadrados
perfectos es el proceso inverso a
encontrar el producto de la suma por la
diferencia de dos cantidades.
• La diferencia de cuadrados perfectos se
factoriza como el producto de dos
binomios; uno con suma y el otro con resta.
Los términos de estos binomios son raíces
cuadradas de cada uno de los términos de
la diferencia planteada inicialmente

26. 3. Diferencia de cuadrados
perfectos
• Caso genérico
• Ejemplo: Factorizar la siguiente
expresión.
• Se buscan las raíces cuadradas de cada
uno de los términos
( ) ( )2 2
a b a b a b− = + −
2 2 2 4
4 9a b x y−
2 2 2 4 2
4 2 9 3a b ab x y xy= =

27. 3. Diferencia de cuadrados
perfectos
• Se factoriza la expresión
• Ejemplo 2: Factorizar la siguiente
expresión.
• Se buscan las raíces cuadradas de cada
uno de los términos.
( ) ( )2 2
2 3 2 3ab xy ab xy+ −
2 225
16
4
m n−
2 225 5
16 4
4 2
m m n n= =

28. 3. Diferencia de cuadrados
perfectos
• Se factoriza la expresión
• Entonces
5 5
4 4
2 2
m n m n
  
+ − ÷ ÷
  
2 225 5 5
16 4 4
4 2 2
m n m n m n
  
− = + − ÷ ÷
  

29. 3. Diferencia de cuadrados
perfectos
• Ejercicios: Factorizar las siguientes
expresiones
4 2
10 12 10
2 6
a) 16 b) 4 9
1 81
c) 81 d)
49 529
e)
36 25
t w
m n p
w d
− −
− −
−

30. 4. Suma o diferencia
de cubos perfectos

31. 4. Suma o diferencia de cubos
perfectos
• A partir del trabajo con cocientes
notables, se sabe que:
• Como las expresiones anteriores son
cocientes exactos, entonces:
3 3 3 3
2 2 2 2m n m n
m mn n m mn n
m n m n
+ −
= − + = + +
+ −
( ) ( )
( ) ( )
3 3 2 2
3 3 2 2
m n m n m mn n
m n m n m mn n
+ = + − +
− = − + +

32. 4. Suma o diferencia de cubos
perfectos
Por lo anterior: La suma de dos cubos
perfectos se factoriza como el producto
de dos factores
• El primer factor es la suma de las raíces
cubicas
• El segundo factor es el cuadrado de la
primera raíz, menos el producto de las
dos raíces, mas el cuadrado de la
segunda raíz

33. 4. Suma o diferencia de cubos
perfectos
• Ejemplo: Factorizar
• Se buscan las raíces cubicas de cada
termino
• Se factoriza
3 6 9
27 8x y x+
3 3 6 9 2 33
27 3 8 2x x y x y x= =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
222 3 2 3 2 3
3 2 3 3 2 2x x x x x x x y x + − +
  

34. 4. Suma o diferencia de cubos
perfectos
• Se resuelven las operaciones indicadas:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
222 3 2 3 2 3
3 2 3 3 2 2x x x x x x x x x + − +
  
( ) ( )2 3 2 4 2 6 4
3 2 9 6 4x x x x x y x y= + − +

35. 4. Suma o diferencia de cubos
perfectos
La diferencia de dos cubos perfectos se
factoriza como el producto de dos
factores
• El primer factor es la diferencia de las
raíces cubicas
• El segundo factor es el cuadrado de la
primera raíz, mas el producto de las dos
raíces, mas el cuadrado de la segunda
raíz

36. 4. Suma o diferencia de cubos
perfectos
• Ejemplo: Factorizar
• Se buscan las raíces cubicas de cada
término
6 121
64
27
m n−
36 2 12 43
1 1
64 4
27 3
m m n n= =

37. 4. Suma o diferencia de cubos
perfectos
• Se factoriza y se resuelven las
operaciones indicadas
• Entonces
( ) ( )
2
2
2 4 2 2 4 41 1 1
4 4 4
3 3 3
m n m m n n
      
= − + +  ÷  ÷  ÷
       
6 12 2 4 4 2 4 81 1 1 4
64 4 16
27 3 9 3
m n m n m m n n
  
− = − + + ÷ ÷
  

38. 4. Suma o diferencia de cubos
perfectos
• Ejercicios: Factorizar las siguientes
expresiones
3 3 12
3 6 12 9 3 3
3 9
) 1 b) 1 c) 64
125
d) 512 e)
8
1
f) 27
3
a w x a
x y z t p q
m b
+ − −
− +
−

39. 5. Suma o diferencia
de potencias iguales

40. 5. Suma o diferencia potencias
iguales
• Antes de plantear una regla general para
factorizar expresiones de la forma
, es necesario recordar
algunas conclusiones con respecto a los
cocientes de la forma
n n
x a±
n n
x a
x a
±
±

41. 5. Suma o diferencia potencias
iguales
es divisible entre , si y solo si n es impar.
nunca es divisible entre .
es divisible entre para todo valor de n
(par
n n
n n
n n
n n
n n
n n
x a
x a x a
x a
x a
x a x a
x a
x a
x a x a
x a
+
+ +
+
+
+ −
−
−
− −
−
o impar).
es divisible entre si y solo si n es par.
n n
n nx a
x a x a
x a
−
− +
+

42. 5. Suma o diferencia potencias
iguales
• Las expresiones de la forma
se pueden factorizar, teniendo en
cuenta las conclusiones anteriores y la
siguiente regla.
• Si es divisible entre se
puede expresar como el producto de dos
factores. Así:
El primer factor es de la forma
n n
x a±
n n
x a± x a±
x a±

43. 5. Suma o diferencia potencias
iguales
• El segundo factor es un polinomio de n
términos con las siguientes
características
– El primer termino es y el ultimo es
– Los otros términos son productos de x y a
en donde los exponentes de x disminuyen de
uno en uno a partir del primer termino y los
exponentes de a aumentan a partir del
segundo termino.
1
xn− 1
an−

44. 5. Suma o diferencia potencias
iguales
– Si es un factor de , los
signos del segundo factor son todos
positivos.
– Si es un factor de los
signos del segundo factor se escriben
alternados.
Ejemplo: Factorizar
x a− n n
x a±
x a+ n n
x a±
5 5
m n+

45. 5. Suma o diferencia potencias
iguales
• Se tienen en cuenta las condicionas
anteriores no es divisible entre
. Así que solo es divisibles
entre
• Por lo tanto
5 5
m n+
m n− 5 5
m n+
m n+
( ) ( )5 5 4 3 2 2 3 4
m n m n m m n m n mn n+ = + − + − +

46. 5. Suma o diferencia potencias
iguales
• Ejemplo 2: Factorizar
• es divisible entre y
por lo tanto la expresión se puede
factorizar de dos formas
8 8
a b−
8 8
a b− a b− a b+
( ) ( )
( ) ( )
8 8 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
8 8 7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
a b a b a a b a b a b a b a b ab b
a b a b a a b a b a b a b a b ab b
− = − + + + + + + +
− = + − + − + − + −

47. 5. Suma o diferencia potencias
iguales
• Ejercicios: Factorizar
5 7 7
4 8 10 5
a) 1 b)
1 1
c) d) 243
16 32
w w x
w t p q
+ +
− −