Taller 3

Universidad Técnica de Ambato
Maestría en Docencia Matemática
Probabilidad y Estadística
Deber Nº 3
Nombre del estudiante
Mario Freire
Nombre del profesor
Remigio Chalán, M.Sc.
Paralelo
B

2
3.1.- Clasifique las siguientes variables aleatorias como discretas o
continuas:
X: El número de accidentes automovilísticos por año en Virginia.
Y: El tiempo para jugar 18 hoyos de golf.
M: La cantidad de leche que una vaca particular produce anualmente.
N: El número de huevos que pone mensualmente una gallina.
P: El número de permisos de construcción que se emiten cada mes en
una ciudad.
Q: El peso del grano producido por acre:
X: Variable discreta.
Y: Variables continua.
M: Variable continua.
N: Variable discreta.
P: Variable discreta.
Q: Variable continua.
3.3.- Sea W la variable aleatoria que da el número de caras menos el
número de cruces en tres lanzamientos de una moneda. Liste los
elementos del espacio muestral S para los tres lanzamientos de la
moneda y asigne un valor w de W a cada punto muestral.
Sea
I: cara
J: cruz
Espacio muestral Y
III 3
IIJ 1
IJI 1
IJJ −1
JII 1
JIJ −1
JJI −1
JJJ −3

3
3.5.- Determine el valor de c de modo que cada una de las funciones
siguientes puedan servir como distribución de probabilidad de la
variable aleatoria discreta X.
a.- ˦{˲{ = I{˲$
+ 4{ para ˲ = 0 , 1 , 2 , 3
b.- ˦{˲{ = I $ %
%
para ˲ = 0 , 1 , 2
a.-
˦{˲{
∀
= 1
I{˲$
+ 4{
%
("
= 1
I{{0{$
+ 4{ + I{{1{$
+ 4{ + I{{2{$
+ 4{ + I{{3{$
+ 4{ = 1
I =
1
30
b.-
˦{˲{
∀
= 1
I
2
˲
F
3
3 − ˲
F
$
("
= 1
I
2
0
F
3
3
F + I
2
1
F
3
2
F + I
2
2
F
3
1
F = 1
I =
1
10

4
3.7.- El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que
una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un año es una
variable aleatoria continua X que tiene la función de densidad.
˦{˲{ =
˲ ; 0 < ˲ < 1
2 − ˲; 1 ≤ ˲ < 2
0; en cualquier otro caso
Encuentre la probabilidad de que en un periodo de un año, una familia
utilice su aspiradora.
a.- Menos de 120 horas.
b.- entre 50 y 100 horas.
a.-
˜{I < 1.2{ = ˲ˤ˲
#
"
+ {2 − ˲{ˤ˲
#.$
#
˜{I < 1.2{ =
1
2
˲$
"
#
+ 2˲ −
1
2
˲$
F
#
#.$
˜{I < 1.2{ = 0.68
b.-
˜{0.5 < I < 1{ = ˲ˤ˲
#
".'
˜{0.5 < I < 1{ =
1
2
˲$
".'
#
˜{0.5 < I < 1{ = 0.375

5
3.9.- La proporción de personas que responden a cierta encuesta
enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la
función de densidad.
˦{˲{ = Ӣ
2{˲ + 2{
5
, 0 < ˲ < 1
0, en cualquier otro caso
a.- Muestre que ˜{0 < I < 1{ = 1
b.- Encuentre la probabilidad de que más de ¼ pero menos de ½ de las
personas contactadas respondan a este tipo de encuesta.
a.-
˜{0 < I < 1{ =
2{˲ + 2{
5
ˤ˲
#
"
˜{0 < I < 1{ =
2
5
1
2
˲$
+ 2˲F
"
#
˜{0 < I < 1{ = 1
b.-
˜{
1
4
< I <
1
2
{ =
2{˲ + 2{
5
ˤ˲
#
$
#
&
˜{
1
4
< I <
1
2
{ =
2
5
1
2
˲$
+ 2˲F #
&
#
$
˜{
1
4
< I <
1
2
{ = 0.2375

6
3.11.- Un embarque de siete televisores contiene dos unidades
defectuosas. Un hotel hace una compra al azar de tres de los
televisores. Si x es el número de unidades defectuosas que compra el
hotel, encuentre la distribución de probabilidad de X. Exprese los
resultados de forma gráfica como histograma de probabilidad.
˦{˲{ = ˜{I = ˲{ =
$ '
%
%
Si ˲ = 0
˜{I = 0{ =
$
"
'
%
%
=
2
7
Si ˲ = 1
˜{I = 1{ =
$
#
'
$
%
=
4
7
Si ˲ = 2
˜{I = 2{ =
$
$
'
#
%
=
1
7

7
3.13.- La distribución de probabilidad de X, el número de
imperfecciones por 10 metros de una tela sintética en rollos continuos
de ancho uniforme, está dada por:
˲ 0 1 2 3 4
˦{˲{ 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01
Construya la distribución acumulada de X.
˘{˲{ =
0, ˲ < 0
0.41, 0 ≤ ˲ < 1
0.78, 1 ≤ ˲ < 2
0.94, 2 ≤ ˲ < 3
0.99, 3 ≤ ˲ < 4
1, ˲ ≥ 4
3.15.- Encuentre la distribución acumulada de la variable aleatoria X
que representa el número de unidades defectuosas en el ejercicio 11.
Con el uso de F(x), encuentre:
a.- ˜{I = 1{
b.- ˜{0 < I ≤ 2{
˘{˲{ =
0, ˲ < 0
2
7
, 0 ≤ ˲ < 1
6
7
, 1 ≤ ˲ < 2
1, ˲ ≥ 2
a.-
˜{I ≤ 1{ = ˜{I = 1{ + ˜{I ≤ 0{
˜{I = 1{ = ˜{I ≤ 1{ − ˜{I ≤ 0{
˜{I = 1{ =
6
7
−
2
7
=
4
7

8
b.-
˜{0 < I ≤ 2{ = ˜{I ≤ 2{ − ˜{I ≤ 0{
˜{0 < I ≤ 2{ = 1 −
2
7
˜{0 < I ≤ 2{ =
5
7
3.17.- Una variable aleatoria continua X que puede tomar valores entre
x = 1 y x = 3 tiene una función de densidad dada por f(x) = ½,
a.- Muestre que el área bajo la curva es igual a 1.
b.- Encuentre ˜{2 < I < 2.5{
c.- Encuentre ˜{I ≤ 1.6{
a.-
˜{1 < I < 3{ =
1
2
ˤ˲
%
#
˜{1 < I < 3{ =
1
2
˲
#
%
˜{1 < I < 3{ = 1
b.-
˜{2 < I < 2.5{ =
1
2
ˤ˲
$
$.'
˜{2 < I < 2.5{ =
1
2
˲
$
$.'
˜{2 < I < 2.5{ = 0.25

9
c.-
˜{I ≤ 1.6{ =
1
2
ˤ˲
#.
#
˜{I ≤ 1.6{ =
1
2
˲
#
#.
˜{I ≤ 1.6{ = 0.3
3.19.- Para la función de densidad del ejercicio 17, encuentre F(x).
Utilícela para evaluar ˜{2 < I < 2.5{
˜{I ≤ ˲{ = ˦{ˮ{ˤˮ
˜{I ≤ ˲{ =
1
2
ˤˮ
#
˜{I ≤ ˲{ =
1
2
ˮ
#
˜{I ≤ ˲{ =
1
2
{˲ − 1{
˜{2 < I < 2.5{ = ˜{I < 2.5{ − ˜{I < 2{
˜{2 < I < 2.5{ =
1
2
{2.5 − 1{ −
1
2
{2 − 1{
˜{2 < I < 2.5{ = 0.25

10
3.21.- Considere la función de densidad
˦{˲{ =
˫ ˲, 0 < ˲ < 1
0, ˥J I˯IˬJ˯˩˥J JˮJJ IIJJ
a.- Evalúe k.
b.- Encuentre F(x) y utilícela para evaluar ˜{0.3 < I < 0.6{
a.-
˜{0 < I < 1{ = ˫ ˲ ˤ˲
#
"
= 1
2
3
˫˲
%
$
"
#
= 1
˫ =
3
2
b.-
˘{˲{ = ˜{I ≤ ˲{ = ˦{ˮ{ˤˮ
˜{I ≤ ˲{ =
3
2
ˮˤˮ
"
˜{I ≤ ˲{ = ˮ
%
$
"
˜{I ≤ ˲{ = ˲
%
$

11
˜{0.3 < I < 0.6{ = ˜{I < 0.6{ − ˜{I < 0.3{
˜{0.3 < I < 0.6{ = {0.6{
%
$ − {0.3{
%
$
˜{0.3 < I < 0.6{ = 0.3004
3.23.- Encuentre la distribución acumulada de la variable aleatoria W
del ejercicio 8. Con el uso de F(w) , encuentre
a.- ˜{ˣ > 0{
b.- ˜{−1 < ˣ < 3{
Datos
˜{I{ =
2
3
˜{J{ =
1
3
a.-
˜{ˣ = 3{ = ˜{III{ =
2
3
F
2
3
F
2
3
F =
8
27
˜{ˣ = 1{ = ˜{IIJ{ + ˜{IJI{ + ˜{JII{ = 3
2
3
F
$
1
3
F =
4
9
˜{ˣ = −3{ = ˜{JJJ{ =
1
3
F
1
3
F
1
3
F =
1
27
˜{ˣ = −1{ = ˜{IJJ{ + ˜{JIJ{ + ˜{JJI{ = 3
2
3
F
1
3
F
$
=
2
9

12
˘{˱{ = ˜{ˣ ≤ ˱{ =
0, ˱ < −3
1
27
, −3 ≤ ˱ < −1
7
27
, −1 ≤ ˱ < 1
19
27
, 1 ≤ ˱ < 3
1, ˱ ≥ 3
˜{ˣ > 0{ = 1 − ˜{ˣ ≤ 0{
˜{ˣ > 0{ = 1 −
7
27
=
20
27
b.-
˜{−1 ≤ ˣ < 3{ = ˜{ˣ < 3{ − ˜{ˣ < −1{
˜{−1 ≤ ˣ < 3{ =
19
27
−
1
27
=
2
3
3.25.- Se seleccionan tres monedas sin reemplazo de una caja que
contiene cuatro de diez centavos y dos de cinco centavos. Encuentre la
distribución de probabilidad para el total T de las tres monedas.
Exprese la distribución de probabilidad de forma gráfica como un
histograma de probabilidad.
˜{ˠ = 20{ =
&
#
$
$
%
=
1
5
˜{ˠ = 25{ =
&
$
$
#
%
=
3
5
˜{ˠ = 30{ =
&
%
$
"
%
=
1
5

13
5.1.- Se selecciona un empleado de un equipo de 10 para supervisar
cierto proyecto mediante la selección de una etiqueta al azar de una
caja que contiene 10 etiquetas numeradas del 1 al 10. Encuentre la
fórmula para la distribución de probabilidad de X que representa el
número en la etiqueta que se saca. ¿Cuál es la probabilidad de que el
número que se extrae sea menor que 4?.
Probabilidad uniforme
˦{˲{ =
1
10
; ˲ = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
˜{I < 4{ = ˦{˲{
%
(#
˜{I < 4{ =
1
10
+
1
10
+
1
10
=
3
10
5.3.- Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria X del
ejercicio 1.
=
˲
˫
=
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
10
#"
(#
= 5.5

14
$
=
{˲ − {$
˫
=
#"
(#
8.25
5.5.- De acuerdo con la Chemical Engineering Progress (noviembre de
1990), aproximadamente 30% de todas las fallas de operación de
tuberías en plantas químicas son ocasionadas por errores del
operador.
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que de las siguientes 20 fallas al menos
10 se debas a error del operador?.
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que no más de cuatro de 20 fallas se
deban al error del operador?.
c.- Suponga, para una planta particular, que de la muestra aleatoria de
20 de tales fallas exactamente cinco sean errores de operación.
¿Considera que la cifra de 30% anterior se aplique a esta planta?.
Comente.
Probabilidad binomial
a.-
I{˲; J; J{ = Ә
J
˲
әJ {1 − J{
I{˲; 20; 0.30{ =
20
˲
F {0.30{ {0.70{$"
˜{I ≥ 10{ = 1 − ˜{I < 10{
˜{I ≥ 10{ = 1 − I{˲; 20; 0.30{
("
˜{I ≥ 10{ = 1 − 0.9520 = 0.048

15
b.-
˜{I ≤ 4{ = I{˲; 20; 0.30{
&
("
˜{I ≤ 4{ = 0.2375
c.-
˜{I = 5{ = I{5; 20; 0.30{ = 0.1789
Dada que esta probabilidad no es tan pequeña (aproximadamente del 18%),
por lo que la cifra del 30% aplicada a la planta sería aceptada.
5.7.- Un prominente médico afirma que 70% de las personas con cáncer
de pulmón son fumadores empedernidos. Si su aseveración es
correcta.
a.- Encuentre la probabilidad de que de 10 de tales pacientes admitidos
recientemente en un hospital, menos de la mitad sean fumadores
empedernidos.
b.- Encuentre la probabilidad de que de 20 de tales pacientes que
recientemente hayan ingresado a un hospital, menos de la mitad sean
fumadores empedernidos.
a.-
I{˲; J; J{ = Ә
J
˲
әJ {1 − J{
I{˲; 10; 0.70{ =
10
˲
F {0.70{ {0.30{#"

16
˜{I < 5{ = I{˲; 10; 0.70{
&
("
˜{I < 5{ = 0.0474
b.-
I{˲; J; J{ = Ә
J
˲
әJ {1 − J{
I{˲; 20; 0.70{ =
20
˲
F {0.70{ {0.30{$"
˜{I < 10{ = I{˲; 20; 0.70{
("
˜{I < 10{ = 0.0171
5.9.- Al probar cierta clase de neumático para camión en un terreno
escabroso, se encuentra que 25% de los camiones no completaban la
prueba sin ponchaduras. De los siguientes 15 camiones probados,
encuentre la probabilidad de que
a.- De tres a seis tengan ponchaduras.
b.- Menos de cuatro tengan ponchaduras.
c.- Más de cinco tengan ponchaduras.
a.-
I{˲; J; J{ = Ә
J
˲
әJ {1 − J{
I{˲; 15; 0.25{ =
15
˲
F {0.25{ {0.75{#'

17
˜{3 ≤ I ≤ 6{ = ˜{I ≤ 6{ − ˜{I < 3{
˜{3 ≤ I ≤ 6{ = I{˲; 15; 0.25{ − I{˲; 15; 0.25{
$
("("
˜{3 ≤ I ≤ 6{ = 0.7073
b.-
˜{I < 4{ = I{˲; 15; 0.25{
%
("
˜{I < 4{ = 0.4613
c.-
˜{I > 5{ = 1 − ˜{I ≤ 5{
˜{I > 5{ = 1 − I{˲; 15; 0.25{
'
("
˜{I > 5{ = 0.1484
5.11.- La probabilidad de que un paciente se recupere de una delicada
operación de corazón es 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que
exactamente cinco de los siguientes siete pacientes intervenidos
sobrevivan?.
I{˲; J; J{ = Ә
J
˲
әJ {1 − J{
I{˲; 7; 0.9{ =
7
˲
F {0.9{ {0.1{

18
˜{I = 5{ = I{5; 7; 0.9{
˜{I = 5{ = 0.1240
5.13.- Un estudio examinó las actitudes nacionales acerca de los
antidepresivos. El estudio reveló que aproximadamente 70% cree que
los “antidepresivos en realidad no curan nada, solo encubren el
problema real”, de acuerdo con este estudio, ¿cuál es la probabilidad
de que al menos tres de las siguientes cinco personas seleccionadas al
azar sean de esta opinión?.
I{˲; J; J{ = Ә
J
˲
әJ {1 − J{
I{˲; 5; 0.7{ =
5
˲
F {0.7{ {0.3{'
˜{I ≥ 3{ = 1 − ˜{I < 3{
˜{I ≥ 3{ = 1 − I{˲; 5; 0.7{
$
("
˜{I ≥ 3{ = 0.8369
5.15.- Se sabe que 40% de los ratones inoculados con un suero quedan
protegidos de cierta enfermedad. Si se inoculan cinco ratones,
encuentre la probabilidad de que
a.- Ninguno contraiga la enfermedad.
b.- Menos de dos contraigan la enfermedad.
c.- Más de tres contraigan la enfermedad.

19
a.-
I{˲; J; J{ = Ә
J
˲
әJ {1 − J{
I{˲; 5; 0.4{ =
5
˲
F {0.4{ {0.6{'
˜{I = 0{ = I{0; 5; 0.4{
˜{I = 0{ = 0.0778
b.-
˜{I < 2{ = I{˲; 5; 0.4{
#
("
˜{I < 2{ = 0.3370
c.-
˜{I > 3{ = 1 − ˜{I ≤ 3{
˜{I > 3{ = 1 − I{˲; 5; 0.4{
%
("
˜{I > 3{ = 0.0870

20
5.17.- Si X representa el número de personas del ejercicio 13 que creen
que los antidepresivos no curan sino que solo encubren el problema
real, encuentre la media y la varianza de X cuando se seleccionan al
azar cinco personas y después utilice el teorema de Chebyshev para
interpretar el intervalo ± 2
= JJ = {5{{0.7{ = 3.5
$
= JJ{1 − J{ = {5{{0.7{{0.3{ = 1.05
= $ = 1.025
Teorema de Chebyshev
˜{ − ˫ < I < + ˫ { ≥ 1 −
1
˫$
Para ˫ = 2
˜ 3.5 − {2{{1.025{ < I < 3.5 + {2{{1.025{ ≥ 1 −
1
2$
˜{1.45 < I < 5.55{ ≥ 0.75
5.19.- Un estudiante que maneja hacia su escuela encuentra un
semáforo. Este semáforo permanece verde por 35 segundos, ámbar
cinco segundos y rojo 60 segundos. Suponga que el estudiante va a la
escuela toda la semana entre 8:00 y 8:30. Sea X1 el número de veces
que encuentra una luz verde, X2 el número de veces que encuentra una
luz ámbar y X3 el número de veces que encuentra una luz roja.
Encuentre la distribución de X1, X2 y X3.

21
Probabilidad multinomial
˦{˲#, ˲$, ˲%{ =
J
˲#, ˲$, ˲%
F J# J$ J%
˦{˲#, ˲$, ˲%{ =
J
˲#, ˲$, ˲%
F {0.35{ {0.05{ {0.60{
5.21.- La superficie de un tablero circular para dardos tiene un pequeño
círculo central llamado ojo de buey y 20 regiones en forma de
rebanada de pastel numeradas del 1 al 20. Cada una de las regiones en
forma de rebanada de pastel está dividida en tres partes de modo que
una persona que lanza un dardo que cae en un número específico
obtiene un puntaje igual al valor del número, el doble del número o el
triple de este, según en cuál de las tres partes cae el dardo. Si una
persona atina al ojo de buey con probabilidad 0.01, atina un doble con
probabilidad 0.10, un triple con probabilidad de 0.05 y no le atina al
tablero con probabilidad de 0.02, ¿cuál es la probabilidad de que siete
lanzamientos tengan como resultado ningún centro, ningún triple, un
doble dos veces y una falla completa.
Probabilidad multinomial
˦{˲#, ˲$, ˲%, ˲&, ˲'{ =
J
˲#, ˲$, ˲%, ˲&, ˲'
F J# J$ J% J&
J'

˦{0,0,2,1,4{ =
7
0,0,2,1,4
F {0.01{{0.05{{0.10{${0.02{#{0.82{
˦{0,0,2,1,4{ = 0.0095

22
5.29.- Si se reparten siete cartas de una baraja ordinaria de 52 cartas,
¿Cuál es la probabilidad de que
a.- Exactamente dos de ellas sean mayores?.
b.- Al menos una de ellas sea una reina?.
Probabilidad hipergeométrica
a.-
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; ˚, J, ˫{ =
˜{I = 2{ = ℎ{2; 52,7,12{ =
#$
$

'
'$ = 0.3246
b.-
˜{I ≥ 1{ = 1 − ˜{I 1{
˜{I ≥ 1{ = 1 − ℎ{˲; 52,7,4{

(
˜{I ≥ 1{ = 1 −

'$ = 0.4496
5.31.- El dueño de una casa planta seis bulbos seleccionados al azar de
una caja que contiene 5 bulbos de tulipán y cuatro de narciso. ¿Cuál es
la probabilidad de que plante dos bulbos de narciso y cuatro de
tulipán?.

23
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; ˚, J, ˫{ =
˜{I = 2{ = ℎ{2; 9,6,4{ =

$
'

= 0.3571
5.33.- Se selecciona al azar un comité de tres personas a partir de
cuatro doctores y dos enfermeras. Escriba una fórmula para la
distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que representa
el número de doctores en el comité. Encuentre ˜{2 ≤ I ≤ 3{
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; ˚, J, ˫{ =
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; 6,3,4{ =
$
%
%
˜{2 ≤ I ≤ 3{ = ˜{I ≤ 3{ − ˜{I 2{
˜{2 ≤ I ≤ 3{ = ℎ{˲; 6,3,4{
%
(#
− ℎ{˲; 6,3,4{
#
(#
˜{2 ≤ I ≤ 3{ = 0.8

24
5.35.- Una compañía está interesada en evaluar su procedimiento de
inspección actual en embarques de 50 artículos idénticos. El
procedimiento en tomar una muestra de cinco y pasar el embarque si
no se encuentran más de dos defectuosos. ¿Qué proporción del 20% de
embarques defectuosos se aceptará?.
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; ˚, J, ˫{ =
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; 50,5,10{ =
#
'
'
'
˜{I ≤ 2{ = ℎ{˲; 50,5,10{
$
(
˜{I ≤ 2{ = 0.9517
5.37.- Suponga que la compañía fabricante del ejercicio 5.36 decide
cambiar se esquema de aceptación. Bajo el nuevo esquema un
inspector toma un artículo al azar, lo inspecciona y después lo
reemplaza en la caja; un segundo inspector hace lo mismo. Finalmente,
un tercer inspector lleva a cabo el mismo procedimiento. La caja no se
embarca si cualquiera de los tres encuentra un defectuoso. Responda
el ejercicio 5.36 bajo este nuevo plan.
I{˲; J; J{ = Ә
J
˲
әJ {1 − J{
I ˲; 3;
3
25
F =
3
˲
F
3
25
F
22
25
F
%

25
a.-
˜{I = 0{ = I 0; 3;
3
25
F
˜{I = 0{ = 0.6815
b.-
˜{1 ≤ I ≤ 3{ = ˜{I ≤ 3{ − ˜{I 1{
˜{1 ≤ I ≤ 3{ = I 0; 3;
1
25
F
%
(#
˜{1 ≤ I ≤ 3{ = 0.1153
5.39.- Si a una persona se le reparten varias veces 13 cartas de una
baraja ordinaria de 52 cartas, ¿cuántas cartas de corazones por mano
puede esperar?. ¿Entre cuáles dos valores esperaría que cayera el
número de corazones al menos 75% de las veces?.
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; ˚, J, ˫{ =
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; 52,13,13{ =
#% %
#%
'$
#%
=
J˫
˚
=
{13{{13{
52
= 3.25
$
=
J˫
˚
F
˚ − J
˚ − 1
F 1 −
˫
˚
F
$
=
{13{{13{
52
{39{
51
1 −
13
52
F = 1.863

26
= $ = 1.365
Teorema de Chebyshev
Tenemos que al menos el 75% del número de corazones caerá en el
intervalo entre
± 2 = 3.25 ± 2{1.365{ = 3.25 ± 2.73
5.41.- Una ciudad vecina considera una petición de anexión de 1200
residencias contra una subdivisión del condado. Si los ocupantes de la
mitad de las residencias objetan la anexión, ¿cuál es la probabilidad de
que en una muestra aleatoria de 10 al menos tres estén a favor de la
petición de anexión?.
Distribución hipergeométrica
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; ˚, J, ˫{ =
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; 1200,10,600{ =

#
#$
#
˜{I ≥ 3{ = 1 − ˜{I 3{
˜{I ≥ 3{ = 1 − ℎ{˲; 1200,10,600{
$
(
˜{I ≥ 3{ = 0.9460

27
5.43.- Una encuesta a nivel nacional de la Universidad de Michigan a
17000 estudiantes de último año revela que casi el 70% desaprueba el
consumo diario de marihuana. Si se seleccionan al azar 18 de estos
estudiantes y se les pide su opinión, ¿cuál es la probabilidad de que
más de nueve pero menos de 14 desaprueben el consumo de
marihuana?.
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; ˚, J, ˫{ =
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; 17000,18,11900{ =
## '#
#
#
#
˜{9 I 14{ = ˜{I 14{ − ˜{I ≤ 9{
˜{9 I 14{ = ℎ{˲; 17000,18,11900{
#%
(
− ℎ{˲; 17000,18,11900{
(
˜{9 I 14{ = 0.6079
5.45.- Un club de estudiantes extranjeros tiene como miembros a dos
canadienses, tres japoneses, cinco italianos y dos alemanes. Si se
selecciona al azar un comité de cuatro, encuentre la probabilidad de
que
a.- Todas las nacionalidades estén representadas.
b.- Todas las nacionalidades estén representadas excepto los italianos.

28
Probabilidad hipergeométrica multivariante
a.-
ℎ{˲#, ˲$, ˲%, ˲{ =
Ә ә Ә ә Ә ә Ә

ә
˜ = ℎ{1,1,1,1{ =
$
#
%
#
'
#
$
#
#$

=
4
33
b.-
ℎ{˲#, ˲$, ˲%, ˲{ =
Ә ә Ә ә Ә ә Ә

ә
˜ =
$
#
%
#
'

$
$
#$

+
$
#
%
$
'

$
#
#$

+
$
$
%
#
'

$
#
#$

=
8
165
5.47.- Estudios de población de biología y el ambiente a menudo
etiquetan y sueltan a sujetos a fin de estimar el tamaño y el grado de
ciertas características en la población. Se capturan diez animales de
cierta población que se piensa extinta (o cerca de la extinción), se
etiquetan y se liberan en cierta región. Después de un periodo se
selecciona en la región una muestra aleatoria de 15 animales del tipo.
¿Cuál es la probabilidad de que cinco de estos seleccionados sean
animales etiquetados si hay 25 animales de este tipo en la región?.
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; ˚, J, ˫{ =
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; 25,5,10{ =
# #'
#'
$'
#'
˜{I = 5{ = ℎ{5; 25,5,10{ =
#
'
#'
#
$'
#'
= 0.2315

29
5.49.- Una fuerza de tarea gubernamental sospecha que algunas
fábricas violan los reglamentos contra la contaminación ambiental con
respecto a la descarga de cierto tipo de producto. Veinte empresas
están bajo sospecha pero no todas se pueden inspeccionar. Suponga
que tres de las empresas violan los reglamentos.
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que la inspección de cinco empresas no
encuentre ninguna violación?.
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que el plan anterior encuentre dos que
violan el reglamento?.
a.-
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; ˚, J, ˫{ =
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; 20,5,3{ =
% #
'
$
'
˜{I = 0{ = ℎ{0; 20,5,3{ =
%

#
'
$
'
= 0.3991
b.-
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; ˚, J, ˫{ =
˜{I = ˲{ = ℎ{˲; 20,5,3{ =
% #
'
$
'
˜{I = 2{ = ℎ{2; 20,5,3{ =
%
$
#
%
$
'
= 0.1316

30
5.51.- La probabilidad de que una persona que vive en una cierta
ciudad, tenga un perro se estima en 0.3. Encuentre la probabilidad de
que la décima persona entrevistada al azar en esta ciudad sea la quinta
que tiene un perro.
Distribución binomial negativa
I∗{˲; ˫, J{ =
˲ − 1
˫ − 1
F J {1 − J{
I∗{10; 5,0.3{ =
9
4
F {0.3{'{0.7{'
= 0.0515
5.53.- El estudio de un inventario determina que, en promedio, las
demandas en un artículo particular en un almacén se realizan cinco
veces al día. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día se pida este
artículo
a.- Más de cinco veces?.
b.- Ninguna vez?.
a.-
Distribución de Poisson
J{˲; ˮ{ =
˥

{ ˮ{
˲!
J{˲; 5{ =
˥ '
5
˲!
˜{I 5{ = 1 − ˜{I ≤ 5{
˜{I 5{ = 1 − J{˲; 5{
'
(
˜{I 5{ = 0.3840

31
b.-
˜{I = 0{ = J{0; 5{
˜{I = 0{ = 0.0067
5.55.- Tres personas lanzan una moneda y el disparejo paga los cafés.
Si todas las monedas tienen el mismo resultado, se lanzan de nuevo.
Encuentre la probabilidad de que se necesiten menos de cuatro
lanzamientos.
Distribución geométrica
˧{˲; J{ = J{1 − J{ #
˧{˲; 0.75{ = 0.75{0.25{ #
˜{I 4{ = ˧{˲; 0.75{
%
(#
˜{I 4{ =
63
64
5.57.- La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el
examen escrito para una licencia de piloto privado es 0.7. Encuentre la
probabilidad de que el estudiante apruebe el examen.
a.- en el tercer intento.
b.- antes del cuarto intento.

32
a.-
˧{˲; J{ = J{1 − J{ #
˜{I = 3{ = ˧{3; 0.7{ = 0.7{0.3{% #
˜{I = 3{ = ˧{3; 0.7{ = 0.063
a.-
˧{˲; J{ = J{1 − J{ #
˜{I = ˲{ = ˧{˲; 0.7{ = 0.7{0.3{ #
˜{I 4{ = ˧{˲; 0.7{
%
(#
= 0.973
5.59.- Una secretaria comete dos errores por página, en promedio,
¿Cuál es la probabilidad de que en la siguiente página
a.- Cuatro o más errores?.
b.- Ningún error?.
Distribución de Poisson
a.-
J{˲; ˮ{ =
˥

{ ˮ{
˲!
J{˲; 2{ =
˥ $
2
˲!
˜{I ≥ 4{ = 1 − ˜{I 4{
˜{I ≥ 4{ = 1 − J{˲; 2{
%
(
= 0.1429

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