Este documento describe la distribución uniforme continua, la cual asigna la misma probabilidad a todos los valores posibles dentro de un intervalo dado. Explica que la densidad de probabilidad es constante dentro del intervalo y cero fuera de él. Presenta fórmulas para calcular la función de distribución, esperanza y varianza para esta distribución, y resuelve ejemplos numéricos.

1. DISTRIBUCIÓN UNIFORME
CONTINUA
Realizado por: Christian Acuña
Mario Calle
Alexander Pinchao
Natalia Moscoso
Lizeth Yánez
Revisado por: Mónica Mantilla
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

2. Se denomina distribución uniforme continua o
rectangular a aquella distribución que surge al
considerar una variable aleatoria que toma valores
equiprobables en un intervalo finito. Su nombre se debe
al hecho de que la densidad de probabilidad de esta
variable aleatoria es uniforme sobre todo su intervalo
de definición.
La distribución uniforme es aquella que puede tomar
cualquier valor dentro de un intervalo, todos ellos con la
misma probabilidad.
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA

3. Para un intervalo [a, b] la función de densidad está
definida como f(x), su gráfica se muestra adjunto:
𝑓 𝑥 =
1
𝑏 − 𝑎
, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏
0, 𝑠𝑖 𝑥¬∈ 𝑎, 𝑏
A esta variable aleatoria se la denota como X ~ u [a, b].
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA

4. Su función de distribución y su gráfica para un intervalo
[a, b] son iguales a:
𝐹 𝑥 =
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑎
𝑥−𝑎
𝑏−𝑎
, 𝑠𝑖 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
1, 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑏
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA

5. Su esperanza esta dada por:
𝐸 𝑥 =
𝑎 + 𝑏
2
Su varianza está dada por:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 =
𝑏 − 𝑎 2
12
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA

6. La distribución uniforme es la análoga continua de la
distribución uniforme discreta , la cual asignaba igual
probabilidad de aparecimiento a cada resultado de un
experimento . Se la utiliza mucho en problemas de
simulación estadística y en fenómenos que presentan
regularidad de aparecimiento.
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7. En esta distribución no es posible usar variables
discretas, como las dependientes del tiempo (t=1,
t=2,…), porque se origina un error en el redondeo de los
números que no son enteros (t=1.5, t=2.5,…), debido a
que la distribución uniforme discreta evalúa solo en
enteros. Este error queda muy bien corregido utilizando
la distribución uniforme continua en los intervalos que
no son enteros.
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8. EJERCICIOS RESUELTOS
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA

9. 1. Un reloj de manecillas se detuvo en un punto que no
sabemos. Determine la probabilidad de que se haya
detenido en los primeros 25 minutos luego de señalar la
hora en punto.
Intervalo: [0-60]
f(x) =
P(x) = P(0 ≤ x ≤ 25)= =
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Solución

10. 2. Una llamada telefónica llego a un conmutador en
un tiempo, al azar, dentro de un periodo de un
minuto. el conmutador estuvo ocupado durante 15
segundos en ese minuto. calcule la probabilidad de
que la llamada haya llegado mientras el conmutador
no estuvo ocupado.
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11. t = X [0 ; 1] min
[0;0 ,25] min
A = el conmutador no está ocupado
B= el conmutador está ocupado
Pr(A) = 1 - Pr(B)
Pr(B) =
Pr(B) = 0,25 - 0
Pr(A) = 1 - 0,25 = 0,75
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Solución

12. 3. En una práctica de presión aérea se deja caer una
bomba a lo largo de una línea de un kilometro de
longitud. El blanco se encuentra en el punto medio de
la línea. El blanco se destruirá si la bomba cae a una
distancia menor que 75m del centro. Calcule la
probabilidad de que el blanco se destruya si la bomba
cae al azar a lo largo de la línea.
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13. Solución
[0;1] Km
Blanco [0 ; 0,5] Km
Destrucción [X < 0,075] Km
Pr(0<x<0,075) =
= 0,15
1km
0.5km
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14. 4. El volumen de precipitaciones estimado para el
próximo año en la ciudad de Sevilla va a oscilar entre
400 y 500 litros por metro cuadrado. Calcular la
función de distribución y la precipitación media
esperada:
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15. 𝑓 𝑥 =
1
500 − 400
= 0,01
Es decir, que el volumen de precipitaciones esté entre 400 y
401 litros tiene un 1% de probabilidades; que esté entre 401
y 402 litros, otro 1%, etc. La función de distribución es:
F 𝑥 =
𝑥−400
500−400
=
𝑥−400
100
𝐸 𝑥 =
400 + 500
2
= 450
Es decir, la precipitación media estimada en Sevilla para el
próximo año es de 450 litros por metro cuadrado
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Solución

16. 5. Dos amigos Roberto y Fernando, deben encontrarse
en una parada de bus entre las 9:00 y las 10:00h. Cada
uno esperará un máximo de 10 minutos. ¿Cuál es la
probabilidad de que no se encuentren, si Fernando
llegará a las 9:30 en punto?
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17. Tomando a=9:00 y b=10:00, b-a=60 minutos
Ya que Fernando llega 30 minutos después de las 9:00 y esperará
10 minutos más, Roberto no se encontrará con Fernando si llega
entre las 9:00 y 9:20, o si llega después de las 9:40. Entonces la
probabilidad de que no se encuentren será:
y la probabilidad de que se encuentren será:
1
3
Solución
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
Pr 0 ≤ 𝑡 ≤ 20 + Pr 40 ≤ 𝑡 ≤ 60 =
0
20
1
60
𝑑𝑡 +
40
60
1
60
𝑑𝑡 =
1
3
+
1
3
=
2
3
𝑓(𝑡) =
1
60
, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 60
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜

18. 6.- El precio del litro de gasolina durante el próximo
año se estima que puede oscilar entre 140 y 160
ptas.
a) Hallar la función de distribución
b) Hallar el precio medio esperado de la gasolina
para el siguiente año.
Solución:
a) f(x) =
1
160−140
= 0,05
b) E(x) =
140+160
2
= 150 ptas.
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19. 7.- Se conoce que un autobús pasa cada 10
minutos.
a) Hallar la probabilidad de esperar menos de 2
minutos.
b) El tiempo medio de espera
c) La desviación típica del tiempo de espera
Solución:
Sea X: El tiempo de espera en la parada del
autobús
X~ U (0, 10)
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20. • a) f(x) = 1 = 1 si 0< x < 10
0 en el resto
Entonces P(X< 2) = −∞
2
𝑓(𝑥)
= −∞
2 1
10
𝑑𝑥
= 0.2
b) E(X) = 0 + 10 = 5 minutos
2
c) σ =
(𝟏𝟎−𝟎) 𝟐
𝟏𝟐
= 3 minutos
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21. 8.-Sea X una variable aleatoria continua con
distribución uniforme, con media 1 y varianza
4/3. Calcular P (x<= 0)
Solución:
u=
𝑎+𝑏
2
= 1 (1)
σ2
=
(𝑏−𝑎)2
12
=
4
3
(2)
Despejar b de las 2 ecuaciones
De (2) b= 2-a
De (1) (𝑏 − 𝑎)2
=
4
3
= 16 → b = 4+ a
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22. (1) = (2)
2-a = 4- a → a = -1 y b = 3
P(x<=0) = F(x) =
𝑥−𝑎
𝑏−𝑎
=
0+1
3+1
=
1
4
= 0.25
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23. EJERCICIOS PROPUESTOS
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA

24. En una escuela primaria se registró el número de
palabras por minuto que leían los estudiantes,
encontrándose que leían un mínimo de 80 palabras y
un máximo de 139. Bajo la suposición de que la
variable aleatoria que describe el número de
palabras leídas está uniformemente distribuida.
a) Halle la probabilidad de que un estudiante,
seleccionado al azar, lea al menos 100 palabras.
b) Determine el número de palabras que se
esperaría lea un estudiante seleccionado al azar.
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25. La cantidad diaria de café, en litros, que sirve una
maquina que se localiza en el vestíbulo de un aeropuerto
es una variable aleatoria x que tiene una distribución
continua uniforme con a =7 y b= 10.
Encuentre la probabilidad de que en un día dado la
cantidad de café que sirve esta maquina sea
a) a lo mas 8 litros
b) mas que 7,4 litros pero menos de 9,5 litros
c) al menos 8,5 litros

26. Se sabe que la cantidad aleatoria demandada
durante un cierto período de tiempo por parte
de una empresa textil tiene distribución
uniforme y no supera la tonelada. Determinar
para dicho período de tiempo:
a) Probabilidad de que la cantidad demandada
no supere los 900 kg.
b) Probabilidad de que la cantidad demandada
esté comprendida entre 800 y 900 kg
c) La demanda esperada
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27. Una empresa tiene una función de costes que
viene dada por C = 100,000+2X. En el mercado
vende cada unidad a 5 euros y la demanda X del
citado artículo tiene una distribución uniforme
entre 25000 y 30000 unidades. ¿Cuál será el
beneficio esperado?
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