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DISTRIBUCIÓN UNIFORME
CONTINUA
Realizado por: Christian Acuña
Mario Calle
Alexander Pinchao
Natalia Moscoso
Lizeth Yánez
Revisado por: Mónica Mantilla
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
Se denomina distribución uniforme continua o
rectangular a aquella distribución que surge al
considerar una variable aleatoria que toma valores
equiprobables en un intervalo finito. Su nombre se debe
al hecho de que la densidad de probabilidad de esta
variable aleatoria es uniforme sobre todo su intervalo
de definición.
La distribución uniforme es aquella que puede tomar
cualquier valor dentro de un intervalo, todos ellos con la
misma probabilidad.
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
Para un intervalo [a, b] la función de densidad está
definida como f(x), su gráfica se muestra adjunto:
𝑓 𝑥 =
1
𝑏 − 𝑎
, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏
0, 𝑠𝑖 𝑥¬∈ 𝑎, 𝑏
A esta variable aleatoria se la denota como X ~ u [a, b].
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
Su función de distribución y su gráfica para un intervalo
[a, b] son iguales a:
𝐹 𝑥 =
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑎
𝑥−𝑎
𝑏−𝑎
, 𝑠𝑖 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
1, 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑏
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
Su esperanza esta dada por:
𝐸 𝑥 =
𝑎 + 𝑏
2
Su varianza está dada por:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 =
𝑏 − 𝑎 2
12
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
La distribución uniforme es la análoga continua de la
distribución uniforme discreta , la cual asignaba igual
probabilidad de aparecimiento a cada resultado de un
experimento . Se la utiliza mucho en problemas de
simulación estadística y en fenómenos que presentan
regularidad de aparecimiento.
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
En esta distribución no es posible usar variables
discretas, como las dependientes del tiempo (t=1,
t=2,…), porque se origina un error en el redondeo de los
números que no son enteros (t=1.5, t=2.5,…), debido a
que la distribución uniforme discreta evalúa solo en
enteros. Este error queda muy bien corregido utilizando
la distribución uniforme continua en los intervalos que
no son enteros.
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
EJERCICIOS RESUELTOS
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
1. Un reloj de manecillas se detuvo en un punto que no
sabemos. Determine la probabilidad de que se haya
detenido en los primeros 25 minutos luego de señalar la
hora en punto.
Intervalo: [0-60]
f(x) =
P(x) = P(0 ≤ x ≤ 25)= =
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
Solución
2. Una llamada telefónica llego a un conmutador en
un tiempo, al azar, dentro de un periodo de un
minuto. el conmutador estuvo ocupado durante 15
segundos en ese minuto. calcule la probabilidad de
que la llamada haya llegado mientras el conmutador
no estuvo ocupado.
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
t = X [0 ; 1] min
[0;0 ,25] min
A = el conmutador no está ocupado
B= el conmutador está ocupado
Pr(A) = 1 - Pr(B)
Pr(B) =
Pr(B) = 0,25 - 0
Pr(A) = 1 - 0,25 = 0,75
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
Solución
3. En una práctica de presión aérea se deja caer una
bomba a lo largo de una línea de un kilometro de
longitud. El blanco se encuentra en el punto medio de
la línea. El blanco se destruirá si la bomba cae a una
distancia menor que 75m del centro. Calcule la
probabilidad de que el blanco se destruya si la bomba
cae al azar a lo largo de la línea.
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
Solución
[0;1] Km
Blanco [0 ; 0,5] Km
Destrucción [X < 0,075] Km
Pr(0<x<0,075) =
= 0,15
1km
0.5km
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
4. El volumen de precipitaciones estimado para el
próximo año en la ciudad de Sevilla va a oscilar entre
400 y 500 litros por metro cuadrado. Calcular la
función de distribución y la precipitación media
esperada:
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
𝑓 𝑥 =
1
500 − 400
= 0,01
Es decir, que el volumen de precipitaciones esté entre 400 y
401 litros tiene un 1% de probabilidades; que esté entre 401
y 402 litros, otro 1%, etc. La función de distribución es:
F 𝑥 =
𝑥−400
500−400
=
𝑥−400
100
𝐸 𝑥 =
400 + 500
2
= 450
Es decir, la precipitación media estimada en Sevilla para el
próximo año es de 450 litros por metro cuadrado
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
Solución
5. Dos amigos Roberto y Fernando, deben encontrarse
en una parada de bus entre las 9:00 y las 10:00h. Cada
uno esperará un máximo de 10 minutos. ¿Cuál es la
probabilidad de que no se encuentren, si Fernando
llegará a las 9:30 en punto?
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
Tomando a=9:00 y b=10:00, b-a=60 minutos
Ya que Fernando llega 30 minutos después de las 9:00 y esperará
10 minutos más, Roberto no se encontrará con Fernando si llega
entre las 9:00 y 9:20, o si llega después de las 9:40. Entonces la
probabilidad de que no se encuentren será:
y la probabilidad de que se encuentren será:
1
3
Solución
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
Pr 0 ≤ 𝑡 ≤ 20 + Pr 40 ≤ 𝑡 ≤ 60 =
0
20
1
60
𝑑𝑡 +
40
60
1
60
𝑑𝑡 =
1
3
+
1
3
=
2
3
𝑓(𝑡) =
1
60
, 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 60
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
6.- El precio del litro de gasolina durante el próximo
año se estima que puede oscilar entre 140 y 160
ptas.
a) Hallar la función de distribución
b) Hallar el precio medio esperado de la gasolina
para el siguiente año.
Solución:
a) f(x) =
1
160−140
= 0,05
b) E(x) =
140+160
2
= 150 ptas.
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
7.- Se conoce que un autobús pasa cada 10
minutos.
a) Hallar la probabilidad de esperar menos de 2
minutos.
b) El tiempo medio de espera
c) La desviación típica del tiempo de espera
Solución:
Sea X: El tiempo de espera en la parada del
autobús
X~ U (0, 10)
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
• a) f(x) = 1 = 1 si 0< x < 10
0 en el resto
Entonces P(X< 2) = −∞
2
𝑓(𝑥)
= −∞
2 1
10
𝑑𝑥
= 0.2
b) E(X) = 0 + 10 = 5 minutos
2
c) σ =
(𝟏𝟎−𝟎) 𝟐
𝟏𝟐
= 3 minutos
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
8.-Sea X una variable aleatoria continua con
distribución uniforme, con media 1 y varianza
4/3. Calcular P (x<= 0)
Solución:
u=
𝑎+𝑏
2
= 1 (1)
σ2
=
(𝑏−𝑎)2
12
=
4
3
(2)
Despejar b de las 2 ecuaciones
De (2) b= 2-a
De (1) (𝑏 − 𝑎)2
=
4
3
= 16 → b = 4+ a
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
(1) = (2)
2-a = 4- a → a = -1 y b = 3
P(x<=0) = F(x) =
𝑥−𝑎
𝑏−𝑎
=
0+1
3+1
=
1
4
= 0.25
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
EJERCICIOS PROPUESTOS
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
En una escuela primaria se registró el número de
palabras por minuto que leían los estudiantes,
encontrándose que leían un mínimo de 80 palabras y
un máximo de 139. Bajo la suposición de que la
variable aleatoria que describe el número de
palabras leídas está uniformemente distribuida.
a) Halle la probabilidad de que un estudiante,
seleccionado al azar, lea al menos 100 palabras.
b) Determine el número de palabras que se
esperaría lea un estudiante seleccionado al azar.
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
La cantidad diaria de café, en litros, que sirve una
maquina que se localiza en el vestíbulo de un aeropuerto
es una variable aleatoria x que tiene una distribución
continua uniforme con a =7 y b= 10.
Encuentre la probabilidad de que en un día dado la
cantidad de café que sirve esta maquina sea
a) a lo mas 8 litros
b) mas que 7,4 litros pero menos de 9,5 litros
c) al menos 8,5 litros
Se sabe que la cantidad aleatoria demandada
durante un cierto período de tiempo por parte
de una empresa textil tiene distribución
uniforme y no supera la tonelada. Determinar
para dicho período de tiempo:
a) Probabilidad de que la cantidad demandada
no supere los 900 kg.
b) Probabilidad de que la cantidad demandada
esté comprendida entre 800 y 900 kg
c) La demanda esperada
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
Una empresa tiene una función de costes que
viene dada por C = 100,000+2X. En el mercado
vende cada unidad a 5 euros y la demanda X del
citado artículo tiene una distribución uniforme
entre 25000 y 30000 unidades. ¿Cuál será el
beneficio esperado?
DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA

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Distribucion uniforme continua

  • 1. DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA Realizado por: Christian Acuña Mario Calle Alexander Pinchao Natalia Moscoso Lizeth Yánez Revisado por: Mónica Mantilla ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
  • 2. Se denomina distribución uniforme continua o rectangular a aquella distribución que surge al considerar una variable aleatoria que toma valores equiprobables en un intervalo finito. Su nombre se debe al hecho de que la densidad de probabilidad de esta variable aleatoria es uniforme sobre todo su intervalo de definición. La distribución uniforme es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, todos ellos con la misma probabilidad. DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 3. Para un intervalo [a, b] la función de densidad está definida como f(x), su gráfica se muestra adjunto: 𝑓 𝑥 = 1 𝑏 − 𝑎 , 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 0, 𝑠𝑖 𝑥¬∈ 𝑎, 𝑏 A esta variable aleatoria se la denota como X ~ u [a, b]. DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 4. Su función de distribución y su gráfica para un intervalo [a, b] son iguales a: 𝐹 𝑥 = 0, 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑎 𝑥−𝑎 𝑏−𝑎 , 𝑠𝑖 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 1, 𝑠𝑖 𝑥 > 𝑏 DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 5. Su esperanza esta dada por: 𝐸 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 2 Su varianza está dada por: 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑏 − 𝑎 2 12 DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 6. La distribución uniforme es la análoga continua de la distribución uniforme discreta , la cual asignaba igual probabilidad de aparecimiento a cada resultado de un experimento . Se la utiliza mucho en problemas de simulación estadística y en fenómenos que presentan regularidad de aparecimiento. DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 7. En esta distribución no es posible usar variables discretas, como las dependientes del tiempo (t=1, t=2,…), porque se origina un error en el redondeo de los números que no son enteros (t=1.5, t=2.5,…), debido a que la distribución uniforme discreta evalúa solo en enteros. Este error queda muy bien corregido utilizando la distribución uniforme continua en los intervalos que no son enteros. DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 9. 1. Un reloj de manecillas se detuvo en un punto que no sabemos. Determine la probabilidad de que se haya detenido en los primeros 25 minutos luego de señalar la hora en punto. Intervalo: [0-60] f(x) = P(x) = P(0 ≤ x ≤ 25)= = DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA Solución
  • 10. 2. Una llamada telefónica llego a un conmutador en un tiempo, al azar, dentro de un periodo de un minuto. el conmutador estuvo ocupado durante 15 segundos en ese minuto. calcule la probabilidad de que la llamada haya llegado mientras el conmutador no estuvo ocupado. DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 11. t = X [0 ; 1] min [0;0 ,25] min A = el conmutador no está ocupado B= el conmutador está ocupado Pr(A) = 1 - Pr(B) Pr(B) = Pr(B) = 0,25 - 0 Pr(A) = 1 - 0,25 = 0,75 DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA Solución
  • 12. 3. En una práctica de presión aérea se deja caer una bomba a lo largo de una línea de un kilometro de longitud. El blanco se encuentra en el punto medio de la línea. El blanco se destruirá si la bomba cae a una distancia menor que 75m del centro. Calcule la probabilidad de que el blanco se destruya si la bomba cae al azar a lo largo de la línea. DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 13. Solución [0;1] Km Blanco [0 ; 0,5] Km Destrucción [X < 0,075] Km Pr(0<x<0,075) = = 0,15 1km 0.5km DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 14. 4. El volumen de precipitaciones estimado para el próximo año en la ciudad de Sevilla va a oscilar entre 400 y 500 litros por metro cuadrado. Calcular la función de distribución y la precipitación media esperada: DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 15. 𝑓 𝑥 = 1 500 − 400 = 0,01 Es decir, que el volumen de precipitaciones esté entre 400 y 401 litros tiene un 1% de probabilidades; que esté entre 401 y 402 litros, otro 1%, etc. La función de distribución es: F 𝑥 = 𝑥−400 500−400 = 𝑥−400 100 𝐸 𝑥 = 400 + 500 2 = 450 Es decir, la precipitación media estimada en Sevilla para el próximo año es de 450 litros por metro cuadrado DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA Solución
  • 16. 5. Dos amigos Roberto y Fernando, deben encontrarse en una parada de bus entre las 9:00 y las 10:00h. Cada uno esperará un máximo de 10 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que no se encuentren, si Fernando llegará a las 9:30 en punto? DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 17. Tomando a=9:00 y b=10:00, b-a=60 minutos Ya que Fernando llega 30 minutos después de las 9:00 y esperará 10 minutos más, Roberto no se encontrará con Fernando si llega entre las 9:00 y 9:20, o si llega después de las 9:40. Entonces la probabilidad de que no se encuentren será: y la probabilidad de que se encuentren será: 1 3 Solución DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA Pr 0 ≤ 𝑡 ≤ 20 + Pr 40 ≤ 𝑡 ≤ 60 = 0 20 1 60 𝑑𝑡 + 40 60 1 60 𝑑𝑡 = 1 3 + 1 3 = 2 3 𝑓(𝑡) = 1 60 , 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 60 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
  • 18. 6.- El precio del litro de gasolina durante el próximo año se estima que puede oscilar entre 140 y 160 ptas. a) Hallar la función de distribución b) Hallar el precio medio esperado de la gasolina para el siguiente año. Solución: a) f(x) = 1 160−140 = 0,05 b) E(x) = 140+160 2 = 150 ptas. DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 19. 7.- Se conoce que un autobús pasa cada 10 minutos. a) Hallar la probabilidad de esperar menos de 2 minutos. b) El tiempo medio de espera c) La desviación típica del tiempo de espera Solución: Sea X: El tiempo de espera en la parada del autobús X~ U (0, 10) DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 20. • a) f(x) = 1 = 1 si 0< x < 10 0 en el resto Entonces P(X< 2) = −∞ 2 𝑓(𝑥) = −∞ 2 1 10 𝑑𝑥 = 0.2 b) E(X) = 0 + 10 = 5 minutos 2 c) σ = (𝟏𝟎−𝟎) 𝟐 𝟏𝟐 = 3 minutos DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 21. 8.-Sea X una variable aleatoria continua con distribución uniforme, con media 1 y varianza 4/3. Calcular P (x<= 0) Solución: u= 𝑎+𝑏 2 = 1 (1) σ2 = (𝑏−𝑎)2 12 = 4 3 (2) Despejar b de las 2 ecuaciones De (2) b= 2-a De (1) (𝑏 − 𝑎)2 = 4 3 = 16 → b = 4+ a DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 22. (1) = (2) 2-a = 4- a → a = -1 y b = 3 P(x<=0) = F(x) = 𝑥−𝑎 𝑏−𝑎 = 0+1 3+1 = 1 4 = 0.25 DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 24. En una escuela primaria se registró el número de palabras por minuto que leían los estudiantes, encontrándose que leían un mínimo de 80 palabras y un máximo de 139. Bajo la suposición de que la variable aleatoria que describe el número de palabras leídas está uniformemente distribuida. a) Halle la probabilidad de que un estudiante, seleccionado al azar, lea al menos 100 palabras. b) Determine el número de palabras que se esperaría lea un estudiante seleccionado al azar. DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 25. La cantidad diaria de café, en litros, que sirve una maquina que se localiza en el vestíbulo de un aeropuerto es una variable aleatoria x que tiene una distribución continua uniforme con a =7 y b= 10. Encuentre la probabilidad de que en un día dado la cantidad de café que sirve esta maquina sea a) a lo mas 8 litros b) mas que 7,4 litros pero menos de 9,5 litros c) al menos 8,5 litros
  • 26. Se sabe que la cantidad aleatoria demandada durante un cierto período de tiempo por parte de una empresa textil tiene distribución uniforme y no supera la tonelada. Determinar para dicho período de tiempo: a) Probabilidad de que la cantidad demandada no supere los 900 kg. b) Probabilidad de que la cantidad demandada esté comprendida entre 800 y 900 kg c) La demanda esperada DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA
  • 27. Una empresa tiene una función de costes que viene dada por C = 100,000+2X. En el mercado vende cada unidad a 5 euros y la demanda X del citado artículo tiene una distribución uniforme entre 25000 y 30000 unidades. ¿Cuál será el beneficio esperado? DISTRIBUCION UNIFORME CONTINUA