1. ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE
1
LAS MATEMÁTICAS CON COMPRENSIÓN
T HOMAS CARPENTER Y RICHARD LEHRER 2
UNIVERSITY OF WISCONSIN-MADISON
Para preparar ciudadanos letrados matemáticamente para el siglo veintiuno, se requiere reestruc-
turar las clases de modo que las matemáticas se puedan aprender con comprensión. Enseñar para
la comprensión no es una nueva meta de la enseñanza: los esfuerzos de reforma de las matemáti-
cas escolares desde comienzos del siglo veinte se han enfocado en cómo crear ambientes de apren-
dizaje para que los estudiantes puedan aprender con comprensión. En los primeros movimientos
de reforma, las nociones sobre comprensión fueron a menudo derivadas de las formas en que los
matemáticos comprendían y enseñaban las matemáticas. Lo que en la actualidad es diferente es la
disponibilidad de una emergente base de investigación sobre enseñanza y aprendizaje que puede
ser usada para decidir qué significa aprender con comprensión y enseñar para la comprensión.
Esta base de investigación describe cómo los estudiantes por sí mismos construyen significado
para los conceptos y procedimientos matemáticos y cómo las clases apoyan ese aprendizaje.
¿POR QUÉ COMPRENSIÓN ?
Quizás la característica más importante del aprendizaje con comprensión es que dicho aprendizaje
es generativo. Cuando los estudiantes adquieren conocimiento con comprensión, ellos pueden
aplicar ese conocimiento para aprender nuevos tópicos y para resolver problemas nuevos y no
familiares. Cuando los estudiantes no comprenden, ellos perciben los varios tópicos de manera
aislada. No pueden aplicar sus habilidades para resolver problemas que no hayan sido tratados de
manera explícita por la enseñanza y tampoco pueden extender su conocimiento a nuevos tópicos.
En este tiempo en que la tecnología cambia muy rápidamente no es posible anticipar todas las
habilidades que necesitarán los estudiantes a lo largo de su vida ni todos los problemas que
encontrarán. Se requiere preparar a los estudiantes para que estén en capacidad de aprender habi-
lidades y conocimiento de manera continuada y de adaptar su conocimiento para resolver nuevos
problemas. A menos que los estudiantes aprendan con comprensión, cualquier conocimiento que
adquieran resulta de poca utilidad fuera del ámbito del colegio.
¿QUÉ ES COMPRENSIÓN ?
La comprensión no es un fenómeno de todo o nada. Virtualmente, todas las ideas o procedimien-
tos complejos se pueden comprender en un número de niveles y de maneras diferentes. Por tanto,
es más apropiado pensar que la comprensión emerge y se desarrolla y no suponer que se com-
1. Traducción realizada por Patricia Inés Perry, del original Carpenter, T. y Lehrer, R. (1999). Teaching and
learning mathematics with understanding. En E. Fennema y T. Romberg (Eds.), Mathematics classrooms that
promote understanding (pp. 19-32). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Inc. Puesto que esta traduc-
ción no ha sido publicado, cualquier referencia debe aludir al original y no a la traducción.
2. Los autores contribuyeron por igual en la producción de este artículo.
T RABAJO PREPARADO POR P ATRICIA I NÉS PERRY
15/9/05 • P ÁGINA 1 DE 13

2. prende o no un tópico, una idea o un proceso dados. En consecuencia, caracterizamos la compren-
sión en términos de la actividad mental que contribuye a su desarrollo y no como un atributo
estático del conocimiento de un individuo.
CÓMO SE DESARROLLA COMPRENSIÓN
Proponemos cinco formas de actividad mental de la cual emerge la comprensión: (a) construir
relaciones, (b) extender y aplicar el conocimiento matemático, (c) reflexionar sobre las experien-
cias, (d) articular lo que uno sabe, y (e) apropiarse del conocimiento matemático. Aunque estas
varias formas de actividad mental están altamente relacionadas, para efectos de claridad, discuti-
remos sobre ellas de manera separada.
CONSTRUIR RELACIONES
Las cosas toman significado a partir de las formas en que se relacionan con otras cosas. La gente
construye significado para una nueva idea o procedimiento relacionándolos a ideas o procesos
que comprenden ya. Los niños comienzan a construir relaciones matemáticas mucho antes de
ingresar a la escuela, y estas primeras formas de conocimiento se pueden usar como una base para
expandir posteriormente su comprensión de las matemáticas. Se puede dar significado a los con-
ceptos, operaciones y símbolos matemáticos formales que constituyen la base del currículo mate-
mático escolar mediante el establecimiento de relaciones de éstos con las intuiciones e ideas
iniciales. Por ejemplo, los niños de kinder y de primer grado resuelven de manera intuitiva una
variedad de problemas que involucran unión, separación, o comparación de cantidades represen-
tando el problema sobre colecciones de objetos. Se pueden usar extensiones de estas primeras for-
mas de estrategias de resolución de problemas como una base para desarrollar los conceptos
matemáticos de adición, sustracción, multiplicación, y división (véase Carpenter et al., Capítulo 4
en este volumen).
A menos que la enseñanza ayude a los niños a construir sobre su conocimiento informal y rela-
cione las matemáticas que aprenden en la escuela con dicho conocimiento, ellos tenderán a desa-
rrollar dos sistemas separados de conocimiento matemático: uno que usan en la escuela y otro que
usan fuera de ella. Por ejemplo, con frecuencia se ve que a los niños no les incomoda obtener un
resultado cuando hacen el cálculo por escrito y otro diferente cuando resuelven el mismo problema
usando contadores u otro material concreto. No ven que las respuestas que obtienen con procedi-
mientos que aprenden en la escuela tienen que ser las mismas que obtienen cuando resuelven los
problemas usando formas a las que ellos dan sentido.
EXTENDER Y APLICAR CONOCIMIENTO MATEMÁTICO
No es suficiente, sin embargo, pensar en el desarrollo de la comprensión como la sola agregación
de nuevos conceptos y procesos al conocimiento ya existente. A la larga, el desarrollo de la com-
prensión involucra más que sólo conectar nuevo conocimiento con el conocimiento previo; tam-
bién involucra la creación de ricas estructuras de conocimiento integrado. Esta estructuración del
conocimiento es una de las características que hace generativo al aprendizaje con comprensión.
Cuando el conocimiento es altamente estructurado, el nuevo conocimiento se puede relacionar
con e incorporar en redes de conocimiento existentes en vez de conectarse elemento a elemento.
Cuando los estudiantes ven una serie de relaciones críticas entre conceptos y procedimientos, tien-
den a reconocer cómo su conocimiento existente debe ser relacionado con situaciones nuevas. El
2

3. conocimiento estructurado es menos susceptible de olvidarse. Cuando el conocimiento es alta-
mente estructurado, hay múltiples caminos para recuperarlo en tanto que es más difícil recordar
fragmentos aislados de información.
Aunque el desarrollo de estructura es un distintivo del aprendizaje con comprensión, la natura-
leza de tal estructura es también un punto crítico porque no todas las relaciones son fructíferas des-
de el punto de vista matemático. El aprendizaje con comprensión involucra el desarrollo de
relaciones que reflejen principios matemáticos importantes. Los ejemplos que se presentan en los
capítulos siguientes ilustran cómo la adición y la sustracción de números de varios dígitos están re-
lacionadas con conceptos básicos del valor posicional, las fracciones están relacionadas con el con-
cepto de división, el conocimiento sobre graficación se extiende a formas más generales de
representación e interpretación de información, y las ideas informales sobre el espacio se pueden
desarrollar en estructuras formales de la geometría.
Una de las características que definen el aprendizaje con comprensión es que el conocimiento se
aprende de maneras que clarifican cómo éste puede ser usado. Sin embargo, con frecuencia se ha
aceptado que los conceptos y habilidades básicos requieren ser aprendidos antes de introducir las
aplicaciones. Este es un supuesto errado: los niños usan su conocimiento adquirido de manera in-
tuitiva para resolver problemas mucho antes de que se les haya enseñado las habilidades básicas.
Hemos llegado a comprender que las aplicaciones proporcionan un contexto para desarrollar
habilidades, de tal manera que en la enseñanza para la comprensión, desde el inicio, las habilidades
están vinculadas a la aplicación. Por ejemplo, en los proyectos descritos en Carpenter et al. (Capí-
tulo 4 en este volumen), los niños comienzan a resolver problemas que involucran unión, separa-
ción y comparación antes de haber aprendido sobre adición y sustracción. Las operaciones de
adición y sustracción son presentadas como formas de representar estas situaciones problema. En
el episodio de clase descrito en Lehrer, Jacobson, Kemeny y Strom (Capítulo 5 en este volumen), el
lenguaje natural de los niños sobre la forma, se transforma eventualmente en proposiciones mate-
máticas y definiciones.
REFLEXIONAR SOBRE LAS EXPERIENCIAS
La reflexión involucra el examen consciente de las propias acciones y pensamientos. La aplicación
rutinaria de habilidades requiere poca reflexión: uno simplemente sigue un conjunto de procedi-
mientos familiares. La reflexión, sin embargo, juega un papel importante al resolver problemas no
familiares. La resolución de problemas a menudo involucra examinar de manera consciente la
relación entre lo que uno sabe y las condiciones de una situación problema. Los estudiantes tienen
una mejor oportunidad de adquirir esta habilidad si la reflexión hace parte de su proceso de
adquisición de conocimiento.
Ser reflexivo en el propio aprendizaje significa que conscientemente se examina el conocimiento
que se está adquiriendo y, en particular, la forma como éste está relacionado tanto con lo que se sabe
como con cualquier otro conocimiento que se está adquiriendo. Pero el aprendizaje no sólo ocurre
con la agregación de nuevos conceptos o habilidades: también ocurre a través de la reorganización
de lo que uno ya sabe. Reflexionar sobre lo que se sabe y cómo se sabe puede conducir a esta clase
de reorganización.
Nuestra noción de que la comprensión tiene una naturaleza emergente se manifiesta en la ma-
nera en que los estudiantes desarrollan habilidades para reflexionar sobre su conocimiento. Inicial-
3

4. mente los estudiantes tienen una habilidad limitada para reflexionar sobre su pensamiento. Una
característica del desarrollo de la comprensión en los estudiantes es que son cada vez más capaces
de reflexionar sobre su propio pensamiento.
ARTICULAR LO QUE UNO SABE
La habilidad para comunicar o articular las ideas que uno tiene es una meta importante de la edu-
cación, y es también un indicativo (un jalón) de la comprensión. La articulación involucra la comu-
nicación del conocimiento que se tiene, ya sea verbal o por escrito o a través de algún otro medio
como dibujos, diagramas o modelos. La articulación requiere reflexión en cuanto involucra desta-
car las ideas críticas de una actividad de manera que se pueda comunicar la esencia de tal activi-
dad. En el proceso, la actividad se vuelve un objeto de pensamiento. En otras palabras, para
articular nuestras ideas debemos reflexionar sobre ellas con el fin de identificar y describir elemen-
tos cruciales. La articulación requiere reflexión y de hecho la articulación se puede concebir como
una forma pública de reflexión.
Lo mismo que con la reflexión, los estudiantes tienen inicialmente dificultad para articular sus
ideas con respecto a un tópico o tarea que no les es familiar, pero en la lucha para articular sus ideas
especialmente mediante símbolos matemáticos o modelos, los estudiantes desarrollan la habilidad
de reflexionar y articular su pensamiento.
APROPIARSE DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO
La comprensión involucra la construcción del conocimiento por los individuos a través de sus pro-
pias actividades, de manera que hacen una inversión personal en la construcción del conoci-
miento. La percepción que ellos tienen de su conocimiento no se reduce a algo que simplemente
otra persona les cuenta o les explica. Necesitan adoptar una postura según la cual el conocimiento
es evolutivo y provisional. Sin embargo, ellos no verán el conocimiento de esta manera si lo perci-
ben como conocimiento de otra persona, al que simplemente asimilan a través de la atención, la
observación y la práctica.
Esto no quiere decir que los estudiantes no puedan aprender escuchando a los profesores o a
otros estudiantes sino que tienen que adaptar lo que escuchan a sus propios fines, no simplemente
aceptar el razonamiento porque está articulado de manera clara por una figura autoritaria. Tampo-
co significa que la comprensión sea enteramente privada. El desarrollo de la participación personal
de los estudiantes en el aprendizaje con comprensión está ligado a las prácticas de clase en las que
la comunicación y la negociación de significados son facetas importantes.
En este sentido más general, los estudiantes son autores de su propio aprendizaje. Desarrollan
sus propias actitudes con respecto a diferentes formas y prácticas de las matemáticas. Por ejemplo,
algunos estudiantes se fascinan con los números, otros, con el espacio, y otros más, con asuntos re-
lacionados con el azar y la incertidumbre. Los estudiantes que comprenden las matemáticas defi-
nen con frecuencia intereses que guían su actividad. De manera ideal, el aprendizaje se guía por
historias personales de aptitud e interés no simplemente por secuencias curriculares.
Una meta general de la enseñanza es que los estudiantes desarrollen una predisposición a la
comprensión y que se esfuercen en comprender porque la comprensión se vuelve importante para
ellos. Esto quiere decir que los estudiantes se vuelven reflexivos por sí mismos con respecto a las
actividades en las que se comprometen al tiempo que aprenden o resuelven problemas. Ellos desa-
4

5. rrollan relaciones que pueden dar significado a una nueva idea y examinan críticamente su cono-
cimiento existente buscando relaciones nuevas y más productivas. Llegan a considerar el
aprendizaje como resolución de problemas en los que la meta es extender su conocimiento.
¿ES LA COMPRENSIÓN IGUAL PARA TODOS?
Al proponer cinco formas de actividad mental a partir de las cuales emerge la comprensión en
matemáticas no estamos sugiriendo que todos los estudiantes aprendan exactamente de la misma
manera o que la comprensión siempre parezca ser la misma en todos los individuos. Lo que pro-
ponemos es que el desarrollo de la comprensión involucra de algún modo estas formas de activi-
dad mental. Para que una idea se comprenda debe relacionarse con otras ideas pero hay muchas
maneras en que las ideas se pueden relacionar. No estamos sugiriendo que las relaciones deban
formarse de la misma manera o a través de las mismas actividades, solamente que la comprensión
depende de que las ideas se organicen de alguna manera productiva que las haga accesibles para
resolver problemas. La habilidad para extender y aplicar el conocimiento es un distintivo de la
comprensión pero esto no implica que todas las personas extiendan y apliquen su conocimiento
de la misma manera. En el mismo sentido, la reflexión y la articulación pueden asumir formas
variadas pero no podemos concebir el desarrollo de la comprensión sin alguna suerte de reflexión
y articulación. Las historias personales de desarrollo de la comprensión pueden variar. Tal varia-
ción es con frecuencia un catalizador importante del cambio conceptual a medida que los estu-
diantes reconcilian sus propios puntos de vista con los de otros.
DIMENSIONES CRUCIALES DE LAS CLASES QUE PROMUEVEN LA
COMPRENSIÓN
¿Qué significado tiene todo esto para la enseñanza? Esencialmente, para que tenga lugar el apren-
dizaje con comprensión sobre una base amplia, las clases deben proporcionar a los estudiantes
oportunidades para: (a) desarrollar relaciones apropiadas, (b) extender y aplicar su conocimiento
matemático, (c) reflexionar sobre sus propias experiencias matemáticas, (d) articular lo que saben,
y (e) apropiarse del conocimiento matemático. Para organizar una clase que haga posible que los
estudiantes se comprometan en estas actividades (discutidas previamente), se deben considerar
por lo menos tres dimensiones de la enseñanza: (a) tareas o actividades en las que los estudiantes
se comprometen y los problemas que deben resolver; (b) herramientas que representan ideas
matemáticas y situaciones problema; y (c) prácticas normativas que son los estándares que regu-
lan la actividad matemática acordadas por los estudiantes y el profesor.
TAREAS
Con frecuencia, las lecciones de matemáticas se planean y describen en términos de las tareas que
deben realizar los estudiantes. Las tareas pueden variar desde ejercicios simples de mecanización
hasta tareas de resolución de problemas complejos en contextos ricos. Casi cualquier tarea puede
promover la comprensión. No son las tareas en sí mismas las que determinan si los estudiantes
aprenden con comprensión. Las tareas que plantean mayores retos se pueden diseñar como ejerci-
cios en los que los estudiantes simplemente sigan rutinas y las tareas que exigen habilidades com-
putacionales básicas se pueden diseñar de manera que favorezcan la comprensión de conceptos
matemáticos fundamentales. Para que la comprensión se desarrolle sobre una base amplia, las
tareas propuestas a los estudiantes deben tener el propósito de favorecer la comprensión y no sim-
5

6. plemente el de completar la tarea. (En Carpenter et al., Capítulo 4 en este volumen, se presenta un
ejemplo que ilustra cómo el aprender a usar números de varios dígitos dentro de un contexto de
actividades computacionales llega a ser una tarea a través de la que crece la comprensión de los
estudiantes sobre el valor posicional).
HERRAMIENTAS
Las herramientas se usan para representar ideas matemáticas y situaciones problema. Incluyen
cosas tales como lápiz y papel, materiales concretos, calculadoras y computadores, y símbolos. Los
problemas se resuelven mediante la manipulación de estas herramientas de maneras que siguen
ciertas reglas o principios (véase Lajoie, Capítulo 7 en este volumen, sobre herramientas para la
visualización y representación de información). Los algoritmos computacionales, por ejemplo,
involucran la manipulación de símbolos para realizar varios cálculos aritméticos. Estas mismas
operaciones se pueden realizar representando los números con contadores o bloques de base diez
y combinando, agrupando, o separando los contadores o bloques de maneras apropiadas. Las
conexiones con formas representacionales que tienen un significado intuitivo para los estudiantes
pueden ayudarles mucho a dar significado a procedimientos simbólicos. En Carpenter et al. y
Sowder y Philipp (Capítulos 4 y 6 en este volumen), ejemplos que involucran adición y sustrac-
ción de números enteros y división de números fraccionarios, ilustran cómo se pueden desarrollar
tales conexiones.
Las representaciones y los procedimientos matemáticos estandarizados involucran símbolos y
operaciones sobre tales símbolos que han sido adoptados a través de siglos y que han sido construi-
dos con propósitos de eficacia y precisión. Las conexiones entre símbolos y procedimientos simbó-
licos y los conceptos matemáticos subyacentes que ellos representan no siempre son evidentes. En
consecuencia, practicar procedimientos formales que involucran símbolos abstractos ayuda poco a
los estudiantes a conectar los símbolos o los procedimientos a algo que les daría significado. Una
de las formas de resolver este dilema es que los estudiantes vinculen los pasos cruciales en proce-
dimientos que tienen símbolos abstractos con representaciones que les son significativas (véase Ka-
put, Capítulo 8 en este volumen).
Las representaciones pueden ser presentadas por el profesor o construidas por los estudiantes.
Lehrer et al. (Capítulo 5 en este volumen) describe episodios de clase en los que los estudiantes in-
ventaron representaciones para cantidades, formas, mediciones, y mediciones a gran escala. Cada
forma de representación proporcionó oportunidades para desarrollar conocimiento matemático
nuevo. Como se señala en Romberg y Kaput (Capítulo 1 en este volumen) la manipulación de re-
presentaciones formales guiada sintácticamente es una meta importante de la enseñanza y, si que-
remos estudiantes que comprendan las representaciones que usan, deberíamos animarlos para que
reflexionen de manera explícita sobre las características de tales representaciones útiles para la
comprensión y la comunicación sobre ideas matemáticas y para la resolución de problemas.
PRÁCTICAS NORMATIVAS (NORMAS)
Las normas en una clase particular determinan cómo se espera que los estudiantes y el profesor
actúen o respondan a una situación particular. Las prácticas normativas forman la base para la
manera en que se usan las tareas y las herramientas para el aprendizaje, y gobiernan la naturaleza
de los argumentos que estudiantes y profesores usan para justificar conjeturas y conclusiones
6

7. matemáticas. Estas normas se pueden manifestar a través de expectativas abiertas o a través de
mensajes más sutiles que permean los ambientes de clase.
Aunque la selección de tareas y herramientas apropiadas pueden facilitar el desarrollo de la
comprensión, las prácticas normativas de una clase determinan si se usarán para ese propósito. En
clases que promueven la comprensión, las normas indican que las tareas se consideran como pro-
blemas para resolver, no como ejercicios para realizar usando procedimientos específicos. El apren-
dizaje se ve como resolución de problemas y no como ejercitación y práctica. Los estudiantes
aplican el conocimiento que tienen para generar conocimiento nuevo y no para asimilar hechos y
procedimientos. Las herramientas no se usan de una manera específica para obtener respuestas, se
perciben como medios para resolver problemas con comprensión y como una manera de comunicar
estrategias de resolución de problemas. Las clases son comunidades de discurso en las que todos
los estudiantes discuten estrategias alternativas o maneras diferentes de ver ideas matemáticas im-
portantes tales como qué es un triángulo (véase Lehrer et al. y Sowder y Philipp, Capítulo 5 y 6 en
este volumen). Los estudiantes esperan que sus compañeros y el profesor requieran explicaciones
de por qué sus conjeturas y conclusiones tienen sentido y de por qué un procedimiento que han
usado es válido para resolver el problema dado. De esta manera, las matemáticas se convierten en
un lenguaje para el pensamiento más que simplemente una colección de maneras de obtener res-
puestas.
ESTRUCTURAR Y APLICAR CONOCIMIENTO
Para que los estudiantes aprendan con comprensión deben tener oportunidades de relacionar lo
que están aprendiendo con el conocimiento que tienen de maneras que sustenten la extensión y la
aplicación de ese conocimiento. En clases en las que los estudiantes aprenden con comprensión
hay una serie de formas en las que la enseñanza puede proporcionarles las oportunidades para
que estructuren su conocimiento. Por ejemplo, específicamente se debe pedir a los estudiantes que
identifiquen relaciones importantes. Se debe esperar de los estudiantes que especifiquen vínculos
explícitos entre procedimientos simbólicos y manipulaciones de los materiales físicos, como ocu-
rre en las clases de Enseñanza Basada Conceptualmente, descritas en Carpenter et al. (Capítulo 4 en
este volumen). Las relaciones también deber obtenerse de maneras menos directas como cuando
los estudiantes comparan y contrastan estrategias alternativas que han generado para resolver un
problema como ocurre en las clases de la Enseñanza Guiada Cognitivamente descritas en el mismo
capítulo.
Una meta importante y consuetudinaria de la enseñanza debe ser proporcionar oportunidades
para que los estudiantes desarrollen conocimiento estructurado. No se espera que los estudiantes
desarrollen estructura de conocimiento crucial practicando procedimientos. Observar una demos-
tración, escuchar una explicación de cómo se relacionan las cosas, o incluso involucrarse en unas
pocas tareas asignadas por el profesor no es suficiente. Los estudiantes requieren tiempo para de-
sarrollar estructuras de conocimiento y la enseñanza debería ofrecerles oportunidades amplias de
desarrollar relaciones a través de las tareas en las que ellos participan.
La selección y la secuenciación de las tareas y herramientas es crucial. No deben seleccionarse
de manera exclusiva con base en la estructura matemática. Debemos tener en cuenta el pensamien-
to de los niños, su conocimiento con respecto a una situación y la manera en que se desarrolla típi-
camente su pensamiento. Una hipótesis tácita que subyace a una buena parte del currículo
7

8. tradicional de las matemáticas ha sido que la resolución de problemas involucra la aplicación de
habilidades y en consecuencia que las habilidades deben aprenderse antes de que los estudiantes
puedan embarcarse de una manera eficiente en la resolución de problemas. Los ejemplos incluidos
en los capítulos que siguen documentan que este no es el caso. En estos ejemplos, la resolución de
problemas y el aprendizaje de conceptos y habilidades básicos están integrados; de hecho, los pro-
blemas y las aplicaciones proporcionan el contexto para aprender conceptos y habilidades matemá-
ticas fundamentales.
Como se observó antes hay un considerable cuerpo de investigación que documenta que los ni-
ños adquieren una gran cantidad de conocimiento informal de las matemáticas y comienzan a de-
sarrollar habilidades de resolución de problemas por fuera de la escuela. Los conceptos formales y
las habilidades del currículo de las matemáticas deben relacionarse con estos conceptos informales
y habilidades en resolución de problemas pues de otro modo, los estudiantes no verán cómo las ma-
temáticas que aprenden en la escuela se relacionan con la resolución de los problemas del mundo.
Además, este conocimiento informal puede proporcionar un fundamento sólido para dar significa-
do a los símbolos matemáticos abstractos, a los conceptos y a las habilidades que los estudiantes
aprenden en la escuela.
Las tareas y las herramientas deben seleccionarse de tal manera que la enseñanza de las mate-
máticas se construya sobre el conocimiento informal de los alumnos y que los problemas y aplica-
ciones, lo mismo que los conceptos y habilidades matemáticos relacionados estén conectados desde
el principio.
REFLEXIÓN Y ARTICULACIÓN
Una de las formas primordiales en que ocurre el aprendizaje con comprensión es a través de la
reflexión. En un principio, generalmente los estudiantes usan herramientas concretas como imple-
mentos para resolver una tarea dada. A medida que los estudiantes reflexionan sobre el uso de las
herramientas, las manipulaciones de los materiales físicos se abstraen. En un momento dado los
estudiantes ya no tienen que manipular realmente las herramientas físicas propiamente dichas;
pueden pensar directamente sobre representaciones simbólicas más abstractas de las herramientas
(véanse Carpenter et al. y Lehrer et al., Capítulos 4 y 5 en este volumen). El proceso es recursivo.
Las representaciones más abstractas llegan a ser en sí mismas objetos de reflexión, lo que conduce
a una consciencia de los conceptos matemáticos subyacentes que las herramientas y las abstraccio-
nes simbólicas de las herramientas encarnan (incorporan). A medida que los conceptos y los prin-
cipios encarnados en una herramienta dada se convierte en objeto de reflexión, emergen
principios matemáticos de un nivel más elevado, y así sucesivamente. Por ejemplo, los estudiantes
comienzan a resolver problemas de adición y sustracción modelando las acciones de unir y sepa-
rar con el uso de contadores. Reflexionando sobre sus procedimientos y el conocimiento que
emerge relativo a las agrupaciones de diez elementos, llegan a usar de manera más eficiente proce-
dimientos que involucran el uso de alguna suerte de material estructurado en grupos de diez
como por ejemplo los bloques de base diez. A medida que los estudiantes describen y reflexionan
sobre las soluciones usando materiales agrupados en decenas, se hacen cada vez menos depen-
dientes de los materiales de base diez en sí mismos; comienzan a usar representaciones abstractas
de los materiales de base diez (véase Carpenter et al., Capítulo 4 en este volumen). A medida que
los alumnos comparan diferentes estrategias abstractas y reflexionan sobre estas diferencias,
8

9. comienzan a ver que ciertos procedimientos son más ventajosos que otros, y comienzan a ver de
manera explícita de qué manera propiedades como la conmutatividad y la asociatividad están
involucradas en sus procedimientos.
IMPULSAR LA REFLEXIÓN
La pregunta es: ¿De qué manera impulsamos este tipo de reflexión? Es difícil proporcionar linea-
mientos explícitos para impulsar la reflexión, pero un factor crucial es que los profesores reconoz-
can y valoren la reflexión. Cuando este es el caso, los profesores establecen normas de clase que
apoyan la reflexión. En las descripciones de clase que siguen, una norma específica que juega un
papel importante en el apoyo a la reflexión es la expectativa de que los estudiantes articulen su
pensamiento. Plantear a los estudiantes preguntas tales como por qué funciona la solución que
han dado, por qué una solución dada es similar a otra, cómo decidieron resolver el problema como
lo hicieron, no sólo ayuda a desarrollar la habilidad de los estudiantes para articular su pensa-
miento sino que los impulsa a reflexionar.
En este punto debemos distinguir entre los tipos de reflexión, ambos igualmente importantes:
(a) la reflexión de parte de los estudiantes sobre lo que están haciendo y por qué, a medida que rea-
lizan las tareas; y (b) la reflexión sobre las tareas y sus soluciones después de haberlas terminado.
La discusión sobre estrategias alternativas que los estudiantes han usado para resolver un proble-
ma dado involucra reflexión sobre una tarea después de terminada. Las preguntas exploratorias
que el profesor puede formular en este punto abordan este tipo de reflexión.
Sin embargo, discutir estrategias alternativas aborda más que el asunto de la reflexión sobre ta-
reas que se han completado. Cuando los estudiantes saben que se espera que ellos expliquen sus
respuestas, es más probable que ellos reflexionen sobre una tarea a medida que la desarrollan. La
reflexión sobre una tarea mientras se realiza también puede impulsarse directamente pidiendo a los
estudiantes que articulen lo que están haciendo durante el proceso de resolución de un problema.
Una posibilidad es que el profesor hable con los estudiantes mientras la resolución del problema y
les pida que expliquen los supuestos y por qué están siguiendo la estrategia que han escogido. Pre-
guntas tales como “¿Qué estás haciendo?, ¿Por qué estás haciendo eso? y ¿Cómo eso te ayudará a
resolver el problema?” impulsan la reflexión. Hacer tales preguntas de manera regular a los estu-
diantes, les ayuda a internalizarlas de manera que ellos mismos se hagan las mismas preguntas
cuando piensan sobre una tarea dada.
Otra forma de impulsar la reflexión sobre las tareas mientras se realizan es pedir a los estudian-
tes que trabajen en pequeños grupos cooperativos. Cuando los estudiantes están realmente solucio-
nando un problema juntos, cada quien tiene que articular sus supuestos, conjeturas y planes para
los otros. Sin embargo, para que este tipo de reflexión y de articulación ocurra, las normas de clase
deben establecer que esta suerte de interacción corresponde a lo que significa un trabajo cooperati-
vo de grupo.
UNA BASE PARA LA ARTICULACIÓN
Para que la articulación sea significativa para todos los participantes en una clase debe haber una
base común para la comunicación. La selección de herramientas apropiadas puede cumplir este
papel, pero los profesores deben asegurarse de que todos hacen una interpretación consistente de
las herramientas y de su uso. Los materiales concretos pueden proporcionar referentes comunes
para la discusión, pero los estudiantes no siempre dan los mismos significados que los adultos
9

10. conocedores del asunto dan a las manipulaciones de los materiales concretos. Es importante que
las discusiones incluyan oportunidades para que los estudiantes articulen cómo están pensando
acerca de las herramientas y cómo las están usando. (Duda en la traducción)
Las notaciones (e.g., aquellas desarrolladas para representar cantidad, gráficas de dos dimensio-
nes, etc.) pueden proporcionar una base común para la discusión, y pueden ayudar a los estudian-
tes a clarificar su pensamiento. Por tanto, las notaciones juegan un papel dual, primero, como una
ventana (para profesores y otras personas) hacia la evolución del pensamiento del estudiante y, se-
gundo, como una herramienta para el pensamiento. Las notaciones son registros que comunican
sobre el pensamiento. Sistemas notacionales apropiados permiten a los estudiantes articular su
pensamiento de maneras muy precisas, y la precisión exigida por el sistema notacional puede hacer
que los estudiantes agucen su pensamiento para que pueda ser articulado.
NORMAS DE CLASE
Una norma que subyace a la enseñanza para la comprensión es que los estudiantes aplican el
conocimiento previo en la generación de conocimiento nuevo. Ni el profesor ni los estudiantes
perciben el aprendizaje como asimilación y práctica. El aprendizaje se considera como resolución
de problemas y, se espera que los estudiantes trabajen activamente para relacionar conceptos y
procedimientos nuevos con su conocimiento previo.
Una norma de clase específica que sustenta esta concepción de aprendizaje es que regularmente
los estudiantes discuten estrategias alternativas (que han generado para resolver un problema da-
do) con el profesor, con otros estudiantes, y en el contexto de la discusión de todo el grupo de estu-
diantes. No es suficiente tener una respuesta para una pregunta; se espera que los estudiantes sean
capaces de articular la estrategia que usaron para resolver el problema y explicar por qué funciona.
Esto significa discutir cómo la solución está relacionada con los parámetros del problema y cómo
los procedimientos usados en la solución están relacionados con conceptos matemáticos subyacen-
tes o alguna representación externa que ha establecido significado.
Al discutir estrategias alternativas, los estudiantes no sólo explican sus propias soluciones y su
propio pensamiento, sino que también discuten cómo las estrategias usadas por diferentes alumnos
se parecen o diferencian entre ellas. En otras palabras, los alumnos consideran las conexiones entre
soluciones alternativas. Esta es una de las maneras importantes en que se hacen explícitas las rela-
ciones. A medida que los estudiantes reportan y discuten soluciones que representan niveles dife-
rentes de abstracción y comprensión, tienen la oportunidad de vincular estrategias más abstractas
con estrategias más básicas. Por ejemplo, cuando algunos estudiantes resuelven un problema usan-
do material concreto y otros estudiantes lo resuelven con representaciones simbólicas, la discusión
de la relación entre las dos estrategias dirige la atención a las conexiones que da significado a los
procedimientos simbólicos abstractos (véase lo relativo a la interacción de clase, al inicio del Capí-
tulo 4 en este volumen).
APROPIARSE DEL CONOCIMIENTO
Junto con la reflexión y la articulación, las normas de clase juegan un papel central en ayudar a los
estudiantes a desarrollar un sentido personal de ser dueños de su conocimiento. De nuevo, es difí-
cil especificar lineamientos pero es crucial que los profesores valoren en alto grado el involucra-
miento individual y la autonomía de los estudiantes. Todos los estudiantes deben tener
10

11. oportunidad de discutir sus ideas y las ideas de cada estudiante deben ser consideradas de
manera seria por los demás miembros de la clase. La meta primordial de la clase debe ser el desa-
rrollo de la comprensión.
La reflexión es inherentemente personal, e impulsar la reflexión es crucial para ayudar a los es-
tudiantes a desarrollar un sentido de ser dueños de su conocimiento. Los estudiantes necesitan que
se les dé algún control sobre las tareas en las que se comprometen y las herramientas que usan para
resolverlas de manera que consideren tener control sobre su propio aprendizaje.
L OS PROFESORES Y LA COMPRENSIÓN
Inherente a buena parte de la discusión anterior está el supuesto de que la comprensión es una
meta no sólo para los alumnos sino también para los profesores. La comprensión juega un papel
crucial en la solución de cualquier problema complejo, y ciertamente la enseñanza involucra la
solución de problemas complejos. Nuestra concepción de la comprensión del profesor está basada
en los mismos principios que la comprensión del estudiante.
Nos enfocamos en dos componentes de la comprensión de los estudiantes y las relaciones entre
ellos: (a) la comprensión de las matemáticas y (b) la comprensión del pensamiento de los estudian-
tes. Para proporcionar la clase de enseñanza que se vislumbra en este libro, los profesores necesitan
comprender las matemáticas que están enseñando y necesitan comprender el pensamiento de sus
propios estudiantes. Las matemáticas que deben enseñarse y las tareas y herramientas para usar en
la enseñanza pueden ser especificadas por un programa instruccional, pero sin la requerida com-
prensión de las matemáticas y de los estudiantes, los profesores se limitarán a la presentación ruti-
naria de ideas (de alguien más) que no han sido escritas ni adaptadas explícitamente para sus
propios estudiantes. En pocas palabras, la enseñanza de tales profesores estará dominada por guio-
nes curriculares y no estarán en capacidad de establecer las normas de clase necesarias para que
tenga lugar el aprendizaje con comprensión. No estarán en capacidad de involucrar a los estudian-
tes en una discusión productiva de estrategias alternativas porque no comprenderán las respuestas
de los estudiantes; tampoco serán capaces de reconocer la comprensión de los estudiantes cuando
ella ocurra.
Comprender matemáticas para la enseñanza involucra más que comprender las matemáticas
que se enseñan en los cursos universitarios de contenido matemático. Conlleva comprender cómo
se reflejan las matemáticas en las metas de enseñanza y en diferentes prácticas de enseñanza. El co-
nocimiento de las matemáticas también debe estar vinculado al conocimiento sobre el pensamiento
de los estudiantes para que el profesor tenga concepciones de trayectorias típicas del aprendizaje
de los estudiantes y pueda usar tal conocimiento para reconocer hitos de la comprensión en indivi-
duos.
Los profesores necesitan reflexionar sobre sus prácticas y sobre las maneras de estructurar los
ambientes de clase para que éstos apoyen el aprendizaje con comprensión en sus clases. Necesitan
reconocer que su propio conocimiento de las matemáticas y del pensamiento de los estudiantes no
es estático, de la misma manera que no lo es la comprensión de ningún estudiante.
Los profesores deben responsabilizarse de su propio aprendizaje continuado sobre las matemá-
ticas y los estudiantes. Las normas de clase y las prácticas de enseñanza deben diseñarse para pro-
mover no sólo el aprendizaje con comprensión de los estudiantes sino también el conocimiento del
profesor sobre las matemáticas y el pensamiento de los estudiantes. Las tareas y las herramientas
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12. se deben seleccionar para proveer una ventana al pensamiento de los estudiantes de tal manera que
el profesor no sólo pueda proporcionar enseñanza más apropiada a estudiantes específicos sino que
también pueda construir mejores modelos para comprender el pensamiento de los estudiantes en
general.
CONCLUSIÓN
Para estudiantes y profesores, el desarrollo de la comprensión es un proceso en curso y continuo
que debe impregnar todo cuanto ocurra en la clase de matemáticas. Durante muchos años ha
habido un debate sobre si un individuo debe aprender habilidades con comprensión desde el ini-
cio o si primero debe adquirir un cierto nivel de destreza en la habilidad y luego desarrollar una
comprensión de por qué las habilidades funcionan como lo hacen. Una gran cantidad de evidencia
sustenta la importancia del aprendizaje con comprensión desde el comienzo. Cuando los estu-
diantes aprenden habilidades sin comprensión, la aplicación memorística de las habilidades con
frecuencia interfiere con los siguientes intentos de los estudiantes por desarrollar comprensión.
Cuando los estudiantes aprenden habilidades en relación con el desarrollo de una comprensión,
sin embargo, no sólo se desarrolla la comprensión, sino que también se facilita la destreza de las
habilidades.
Si hemos aprendido algo a través de nuestros estudios, eso es que el desarrollo de la compren-
sión toma tiempo y requiere esfuerzo de parte de profesores y estudiantes. Aprender con compren-
sión ocurrirá sobre una amplia base sólo cuando se convierta en el foco de la enseñanza, cuando se
dé tiempo a los estudiantes para que desarrollen relaciones y aprendan a usar su conocimiento,
cuando los estudiantes reflexionen sobre su propio y articulen sus propias ideas, y cuando los es-
tudiantes se apropien del conocimiento matemático.
No tenemos prescripciones precisas sobre cómo organizar las clases con el propósito de lograr
estas metas. En este capítulo hemos proporcionado algunos asuntos y componentes para conside-
rar cuando se piensa sobre la enseñanza, pero en últimas la responsabilidad con respecto al apren-
dizaje con comprensión recae sobre el profesor y los estudiantes. Los profesores deben llegar a
comprender lo que significa para sus estudiantes aprender con comprensión y deben apreciar y va-
lorar el aprendizaje con comprensión. Al igual que sus profesores, los estudiantes deben llegar a
valorar la comprensión y a hacer de ella la meta de su aprendizaje. Es decir, la meta última de la
enseñanza.
En los capítulos posteriores proporcionamos ejemplos de enseñanza que proveen oportunidad
para el desarrollo de la comprensión como la hemos caracterizado. Hay una serie de semejanzas
entre los ejemplos pero no estamos sugiriendo que la comprensión sólo ocurra en clases similares
a las que describimos. Sin embargo, sostenemos que para que el aprendizaje con comprensión ocu-
rra, la enseñanza debe proporcionar a los estudiantes la oportunidad de desarrollar relaciones pro-
ductivas, extender y aplicar su conocimiento, reflexionar sobre sus experiencias, articular lo que
saben, y apropiarse del conocimiento.
P ARA LECTURA POSTERIOR
Anderson, J. (1990). Cognitive psychology and its implications. Cambridge, MA: Harvard University
Press.
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13. Hiebert, J., Carpenter, T., Fennema, E., Fuson, K., Human, P., Murray, H., Olivier, A. y Wearne, D.
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