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UNIDAD
TEMA 1
Matemática relacional y matemática
instrumental
La preocupación más importante de los maestros es que nuestros estudiantes aprendan, y
así cada uno “enseña” de acuerdo a sus concepciones y experiencias propias respecto a su
propio aprendizaje de la matemática.
Todos estamos de acuerdo en que deben enseñarse conceptos, pues son la base de un
constructo matemático, pero cómo deben ser aprendidos estos conceptos es la pregunta que
más nos preocupa.
En esta unidad reflexionaremos sobre las características de una enseñanza de las matemáticas
que sea eficaz para el logro del aprendizaje significativo de los alumnos.
Originalmente el problema empírico del aprendizaje estaba dado en una concepción
clásica de la enseñanza por parte de los pedagogos, empero en el transcurso de la historia
reciente y más precisamente con el desarrollo de la Psicología Cognitiva se ha diseminado
esta responsabilidad y se han tratado de establecer métodos y modelos de aprendizaje y
enseñanza en todo el mundo.
Antes de 1978, los investigadores identificaban la comprensión con el conocimiento. La
comprensión se equiparó con el desarrollo de las conexiones en el contexto de la realización
de operaciones algorítmicas y la resolución de problemas (Brownell, 1945).
Figura 1. Concepción de la matemática de 1940 a 1970
Concepción de la enseñanza de la matemática
Se aprende
matemática cuando
se tiene la capacidad
de actuar, sentir o
pensar de manera
inteligente respecto a
una situación.
El aprendizaje está
influido por los
métodos empleados
por parte del maestro.
Es inferida por la
observación de
las acciones y las
verbalizaciones.
La comprensión se daba como
un elemento complementario a la
resolución de problemas.
La comprensión es un
conocimiento asociado con reglas
matemáticas.
Distingue cuatro niveles de
comprensión de un problema:
1. Mecánica o memorística.
2. Inductivo, de los simple a lo
complejo.
3. Racional, la aceptación de la
prueba de la regla.
4. Intuitiva, o la convicción
personal como una verdad
más allá de cualquier duda.
La matemática se
aprende de manera
relacional.
Construyendo
conceptos básicos a
manera de andamiaje.
A través de ejemplos
físicos en todas
las edades del
aprendizaje.
Brownell y Sims
en la década de 1940
George Polya
en la década de 1960
Richard Skemp
en la década de 1970
manifestaban manifestaban manifestaban

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3.1 Los objetos de comprensión y competencia
Como se puede concluir de lo anterior, antes de 1976, los investigadores identificaban la
comprensión con el conocimiento. La comprensión se equiparó con el desarrollo de las
conexiones en el contexto de la realización de operaciones algorítmicas y la resolución de
problemas (Brownell, 1945).
Para lograr la comprensión y la competencia matemática, tenemos que responder a dos
cuestiones básicas:
¿Qué comprender? ¿Cuáles son los conocimientos matemáticos que queremos
que nuestros alumnos lleguen a dominar? La respuesta a estas preguntas es el eje
descriptivo, que indicará los aspectos o componentes de los objetos a comprender.
¿Cómo lograr la comprensión y la competencia por parte de nuestros alumnos? La
respuesta a esta pregunta es el eje procesual que indicará las fases o momentos
necesarios para el logro tanto de la “buena” comprensión como de la “buena”
competencia.
3.2 Nociones de competencia y comprensión
Competencia y comprensión se complementan mutuamente.
La competencia atiende al componente práctico, poniendo en juego conocimientos de
tipo procedimental.
La comprensión atiende al componente teórico del conocimiento y, por tanto, requiere
de un conocimiento conceptual.
3.2 La contribución de Skemp
En 1978, Skemp propuso una distinción entre matemática instrumental y matemática
relacional, basándose en el tipo de concepción que cada una refleja; distinguió la comprensión
del conocimiento y enfatizó las categorías de la comprensión matemática. En particular clasificó
la comprensión relacional como saber qué hacer y porqué se debe hacer, y la comprensión
instrumental como tener reglas sin una razón.
Skemp sostiene que las matemáticas son un sistema de conceptos que se organizan en
niveles más altos de abstracción y que para comprender estos conceptos matemáticos los
niños deben integrarlos a sus propias estructuras.
Para el estudiante medio, afirma el psicólogo, el aprendizaje de las matemáticas es muy
dependiente de una buena enseñanza. Cada cosa que se aprende depende en cierto grado
de conocer algo ya, siendo la organización del conocimiento existente más efectiva para
resolver nuevos problemas y adquirir nuevo conocimiento.
Afirmaciones
deSkemp
No es posible asimilar conceptos de orden más elevado que aquellos que una
persona ya tiene a menos que sean comunicados por medio de ejemplos.
Al trabajar con niños pequeños los profesores deben facilitar ejemplos físicos
(concretos) para que los alumnos los usen al formar conceptos matemáticos.

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AfirmacionesdeSkemp
Las experiencias sensoras y motoras deben preceder al trabajo con papel y
lápiz en el estudio de ideas fundamentales.
En el aprendizaje de conceptos de orden más alto todavía se debe utilizar
ejemplos; el uso de ejemplos concretos no se limita a la edad de los
estudiantes sino al nivel de dificultad que presenta el concepto en sí mismo.
Las definiciones solas son inadecuadas para asegurar la comprensión. Los
ejemplos usados en el aprendizaje de conceptos de orden superior son
conceptos de orden inferior ya asimilados por los estudiantes que sirven de
andamiaje a los nuevos conceptos.
Para que los estudiantes avancen en el estudio de las matemáticas deben
tener disponibles mentalmente los conceptos que contribuyen a cada nivel
de aprendizaje.
Figura 2. Contribuciones de Richard Skemp al aprendizaje de la matemática
3.3 Comprensión instrumental y relacional
a. La comprensión instrumental implica la aplicación de múltiples reglas en lugar de unos
pocos principios de aplicación general, y por tanto puede fallar en cuanto la tarea pedida no
se ajuste exactamente al patrón estándar. El conocimiento instrumental de la matemática es el
conocimiento de un conjunto de "planes preestablecidos" para desarrollar tareas matemáticas.
Lacaracterísticadeestos"planes"esqueprescribenprocedimientospasoapasoaserseguidos
en el desarrollo de una tarea dada, en la cual cada paso determina el siguiente.
b. El conocimiento relacional de la matemática, en contraste, está caracterizado por la
posesión de estructuras conceptuales que permiten a quien las posee construir diferentes
planes para desarrollar una tarea asignada. En el aprendizaje relacional los medios se
independizan de los fines a partir del aprendizaje de principios inclusores adecuados para
usarse en una multitud de situaciones o tareas. El autor considera que la diferencia entre
estas dos concepciones sobre la comprensión y el conocimiento matemático está en la
raíz de muchas de las dificultades que se han experimentado en la educación matemática.
En 1979, esta clasificación del conocimiento evolucionó e incluyó la comprensión lógica
que se define como la organización de acuerdo con una prueba formal. Posteriormente, en
1982, se incorpora la categoría simbólica que se define como una conexión de simbolismo
y notación para las ideas asociadas.
Así estas cuatro categorías de comprensión –relacional, instrumental, lógica y simbólica–
se subdividen cada una en subcategorías reflexivas e intuitivas.
Además, las categorías de la comprensión relacional e instrumental generaron una
variedad de descripciones diversas como:
a. De procedimiento y de concepto
b. Concreta y simbólica
c. Intuitiva y formal

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Ventajas y desventajas de la comprensión instrumental
Ventajas Desventajas
Permite un recuerdo fácil.
Promueve recompensas
tangibles e inmediatas.
Proporciona un acceso rápido
a las respuestas.
No aumenta la disponibilidad de conceptos.
Entorpece el posterior aprendizaje.
Falla y se olvida con facilidad.
Evita que se formen estructuras mentales
para asimilar las matemáticas.
Ventajas y desventajas de la comprensión
relacional
Ventajas Desventajas
Son más adaptables a
nuevas tareas.
Las matemáticas relacionales
son más fáciles de recordar.
Proporciona vías para una
transferencia más eficiente.
Facilita la extracción de
información desde la
memoria.
Logra que la comprensión
sea una meta por sí misma.
Promueve la evolución de la
comprensión.
Son más difíciles de
aprender.
Cuadro 1. Ventajas y desventajas de la comprensión instrumental según R. Skemp
Cuadro 2. Ventajas y desventajas de la comprensión relacional según R. Skemp
3.4 Ventajas y desventajas de los tipos de comprensión
de las matemáticas
Skemp explica que la comprensión instrumental y la relacional son necesarias para el
aprendizaje; sin embargo, ambas presentan ventajas y desventajas como las siguientes:
Skemp admite que las manipulaciones rutinarias son necesarias en las matemáticas, pero dice que
tal actividad debe distinguirse de las manipulaciones mecánicas.
En las manipulaciones rutinarias los niños pueden en cualquier momento pararse y dar significado
a su trabajo, mientras que en las mecánicas los estudiantes se introducen de lleno en tareas pero
no podrían dar significado a su trabajo incluso si lo deseasen.
Vemos,portanto,queaunqueacortoplazoyenuncontextolimitadolasmatemáticasinstrumentales
pueden estar justificadas, no pueden estarlo a largo plazo y en el proceso educativo.

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Al poder dar la respuesta
correcta rápidamente el
alumno puede obtener un
sentimiento de éxito.
Notas satisfactorias y
evaluaciones “logradas” al
evaluar solo lo aprendido
de memoria.
Debido a que se requieren
menos conocimientos,
permite proporcionar
la respuesta correcta
de manera más rápida
y fiable que la que se
consigue mediante un
pensamiento relacional.
El teorema de Pitágoras
se define como
c2
= a2
+ b2
. (Aunque no se
sepa para qué es útil este
conocimiento).
Es difícil entender
relacionalmente la
multiplicación de dos
números negativos, o la
división de fracciones,
mientras que reglas como
“Menos por menos, más”
y “para dividir por una
fracción, multiplicas en
cruz” se recuerdan con
facilidad.
Son usualmente más
fáciles de aprender.
Razones por las que los maestros prefieren enseñar matemática instrumental
Si se puede reconocer con facilidad que el aporte de Skemp es acertado, ¿por qué en la
práctica se observa que muchos maestros prefieren aún enseñar la matemática de manera
instrumental?
Figura 3. Razones por las que los maestros prefieren enseñar matemática instrumental
3.5 La comprensión relacional
El conocimiento lógico-matemático hunde sus raíces en la capacidad del ser humano para
establecer relaciones entre los objetos o situaciones a partir de la actividad que ejerce sobre
los mismos y, muy especialmente, en su capacidad para abstraer y tomar en consideración
dichas relaciones en detrimento de otras igualmente presentes.
Por ejemplo, en las frases “A es más grande que B”, “A mide tres centímetros más que B”, “B
mide tres centímetros menos que A", etc., no expresamos una propiedad de los objetos A y B
en sí mismos, sino la relación existente entre una propiedad -el tamaño- que comparten ambos
objetos y que precisamente es el resultado de la actividad de compararlos en lo que concierne
a esta propiedad en detrimento de otras muchas posibles (color forma, masa, densidad
volumen, etc.). Las relaciones “más grande que”, “más pequeño que”, “tres centímetros más
que”, “tres centímetros menos que”, etc., son pues verdaderas construcciones mentales y no
una simple lectura de las propiedades de los objetos. Incluso la referencia a los objetos A y B
como grande y pequeño supone una actividad de comparación con elementos más difusos,
como pueden ser objetos similares con los que se ha tenido alguna experiencia anterior. Este
sencillo ejemplo muestra hasta qué punto el conocimiento matemático implica la construcción
de relaciones elaboradas a partir de la actividad sobre los objetos.
Las matemáticas son pues más constructivas que deductivas, desde la perspectiva de
su elaboración y adquisición. Si desligamos el conocimiento matemático de la actividad
constructiva que está en su origen, corremos el peligro de caer en puro formalismo. Perderemos
toda su potencialidad como instrumento de representación, explicación y predicción. Otra
implicación curricular de la naturaleza relacional de las matemáticas es la existencia de

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estrategias o procedimientos generales que pueden utilizarse en campos distintos y con
propósitos diferentes. Por ejemplo, numerar, contar, ordenar, clasificar, simbolizar, inferir,
etc., son herramientas igualmente útiles en geometría y en estadística. Para que los alumnos
puedan percibir esta similitud de estrategias y procedimientos y su utilidad desde ópticas
distintas, es necesario dedicarles una atención especial seleccionando cuidadosamente los
contenidos de la enseñanza.
3.6 Importancia del aporte de Skemp
La formación de los conceptos es imprescindible para la comprensión del aprendizaje de las
matemáticas, ya que son de carácter abstracto. Es importante que se construya el constructo
del conocimiento a partir de la racionalidad; es decir, que aunque no se vea algo de forma
tangible sino solo su representación, se puede comprender el concepto y conocerlo, analizarlo
e interactuar con él a través de otros conceptos. Este proceso, a pesar de tener su origen en
la experiencia concreta exterior, genera y crea una compresión mucho más compleja, es decir,
el andamiaje del conocimiento matemático.
Esta es, sin duda, la valiosa contribución de la teoría de Skemp a la enseñanza aprendizaje
de las matemáticas ya que refleja el interés por el significado, la importancia del aprendizaje
de conceptos y la defensa de un método para aprender conceptos que enfatice el estudio de
ejemplos por los estudiantes antes que el aprendizaje de memoria, vacío y sin referentes de su
entorno, que hacen que la matemática esté separada del mundo que rodea a los estudiantes,
que lo hace difícil, monótono y estresante.