Hacia el concepto de límite

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Hacia el concepto de límite

  1. 1. Fabián Antonio Arias AmayaProfesor TCUniversidad Tecnológica de BolívarCartagena, septiembre 30 de 2010<br />
  2. 2. Hacia el concepto de Límite<br />
  3. 3. Preliminares<br />Valor absoluto de un número real<br />Definición. Sea un número real. Llamamos valor absoluto de al número real dado por<br />
  4. 4. ObservaciónEl valor absoluto de un número es el mismo número si éste es no negativo, o el inverso aditivo si el número es negativo, por consiguiente, el valor absoluto siempre es no negativo. Esto se escribe así <br />
  5. 5. Ejemplo<br />El valor absoluto de -1/2 es ½, y el ½ también es ½. El valor absoluto de 0 es 0. Esto es, <br />
  6. 6. Distancia entre dos números<br /> Llamamos distancia entre dos números reales<br /> e a la distancia entre los puntos que <br /> ellos representan en la recta real. Esta distancia está dada por el valor absoluto de la diferencia entre dichos números, es decir,<br />
  7. 7. Comentarios<br />La distancia entre dos puntos nos permite resolver algunos problemas. Entre estos están:<br />Determinar cuán distante está un punto de otro.<br />Decidir cuál número dentro de un conjunto dado, está más próximo a un número dado.<br />Determinar si un número dado está o no dentro de un intervalo dado.<br />
  8. 8. Vecindad de un número real<br />Definición. Dados un número real y un real positivo . Llamamos vecindad con centro en y radio , al conjunto<br />
  9. 9. Observación<br />Según la definición tenemos que:<br />Por tanto,<br />
  10. 10. Lo anterior nos indica que una vecindad abierta no es más que un intervalo abierto con el mismo centro y radio.<br /> Ejemplos:<br /> a. La vecindad B(-1;1/2) se corresponde con<br /> el intervalo (-3/2, -1/2).<br /> b. El intervalo (1,3) corresponde a la vecindad<br /> B(2;1).<br /> c. El elemento ¼ pertenece a la vecindad<br /> B(1/2;1/2) porque la distancia entre 1/4 y<br /> ½ es ¼, la cual es menor que ½. <br />
  11. 11. Definición de Límite<br />Definición. Sean c un número real dado y f una<br /> función definida en un intervalo de la forma (c-r, c+r) para algún r>o. Decimos que un número real L, si existe es un límite de f(x) cuando x tiende a c, si para cualquier vecindad<br />B(L; ϵ) de L, existe una vecindad B(c;δ) tal que para todo x en el dominio de f se cumple<br />
  12. 12. Esto es equivalente a la siguiente implicación<br />Teorema. Si una función f tiene límite L en x=c. entonces este límite es único. En tal caso escribimos<br />

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