En esta presentación presentamos

1. Fabián Antonio Arias AmayaProfesor TCUniversidad Tecnológica de BolívarCartagena, septiembre 30 de 2010

2. Hacia el concepto de Límite

3. Preliminares Valor absoluto de un número real Definición. Sea un número real. Llamamos valor absoluto de al número real dado por

4. ObservaciónEl valor absoluto de un número es el mismo número si éste es no negativo, o el inverso aditivo si el número es negativo, por consiguiente, el valor absoluto siempre es no negativo. Esto se escribe así

5. Ejemplo El valor absoluto de -1/2 es ½, y el ½ también es ½. El valor absoluto de 0 es 0. Esto es,

6. Distancia entre dos números Llamamos distancia entre dos números reales e a la distancia entre los puntos que ellos representan en la recta real. Esta distancia está dada por el valor absoluto de la diferencia entre dichos números, es decir,

7. Comentarios La distancia entre dos puntos nos permite resolver algunos problemas. Entre estos están: Determinar cuán distante está un punto de otro. Decidir cuál número dentro de un conjunto dado, está más próximo a un número dado. Determinar si un número dado está o no dentro de un intervalo dado.

8. Vecindad de un número real Definición. Dados un número real y un real positivo . Llamamos vecindad con centro en y radio , al conjunto

9. Observación Según la definición tenemos que: Por tanto,

10. Lo anterior nos indica que una vecindad abierta no es más que un intervalo abierto con el mismo centro y radio. Ejemplos: a. La vecindad B(-1;1/2) se corresponde con el intervalo (-3/2, -1/2). b. El intervalo (1,3) corresponde a la vecindad B(2;1). c. El elemento ¼ pertenece a la vecindad B(1/2;1/2) porque la distancia entre 1/4 y ½ es ¼, la cual es menor que ½.

11. Definición de Límite Definición. Sean c un número real dado y f una función definida en un intervalo de la forma (c-r, c+r) para algún r>o. Decimos que un número real L, si existe es un límite de f(x) cuando x tiende a c, si para cualquier vecindad B(L; ϵ) de L, existe una vecindad B(c;δ) tal que para todo x en el dominio de f se cumple

12. Esto es equivalente a la siguiente implicación Teorema. Si una función f tiene límite L en x=c. entonces este límite es único. En tal caso escribimos