El documento habla sobre los intervalos, que son subconjuntos del conjunto de los números reales. Define intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos y los extremos infinitos, y explica cómo representarlos geométricamente en una recta numérica. También introduce las inecuaciones lineales de una incógnita, y métodos para resolverlas mediante transformaciones equivalentes o aplicando propiedades de signos.

1. Intervalos
En el Capítulo 1, estudiamos algunos subconjuntos del Conjunto de los Números
Reales, entre estos vimos: el Conjunto de los Números Naturales, el Conjunto de los
Números Enteros, el Conjunto de los Números Racionales y el Conjunto de los
Números Irracionales. Estudiaremos a continuación otros subconjuntos del Conjunto de
los Números Reales, a los cuales llamaremos intervalos.
Para esto es conveniente recordar que es posible establecer una correspondencia
biunívoca, entre los puntos de una recta (recta numérica), y el Conjunto de los Números
Reales.Así, para cada número real corresponde un, y sólo un, punto de la recta
numérica, e inversamente cada punto de la recta numérica representa un, y sólo un,
número real.
Definición
Sean y números reales tales que es menor que .Se llama
intervalo abierto de extremos y , al conjunto cuyos elementos son los
números reales que cumplen la condición de que:
Notación:
i.) El intervalo abierto de extremos y lo denotaremos por
ii.) Si y escribimos , por ejemplo, la expresión ,
significa que y .
De esta manera se tiene que:
El intervalo abierto de extremos y lo representamos geométricamente de la manera
siguiente:
Definición

2. Sean y números reales tales que . Se llama intervalo cerrado de
extremos y , al conjunto cuyos elementos son los números reales que
cumplen la condición de que:
Notación:
i.El intervalo cerrado de extremos y lo denotaremos por
ii.Si y escribimos , por ejemplo, la expresión , significa
que y .
De esta manera se tiene que:
El intervalo cerrado de extremos y lo representamos geométricamente de la manera
siguiente:
Observación: Note que en el intervalo abierto de extremos y no se incluyen
extremos, mientras que en el intervalo cerrado se incluyen los extremos.
Definición
Sean y números reales tales que .Se llama intervalo semi-abierto de
extremos y , "abierto" en y "cerrado" en , al conjunto cuyos elementos
son los números reales que cumplen la condición de que:
Este intervalo lo denotaremos por:
Notación:
Si y escribimos

3. De esta manera se tiene que:
Geométricamente el intervalo semi-abierto, de extremos y , "abierto" en y "cerrado"
en , lo representamos de la manera siguiente:
En forma similar se define el intervalo "semi-abierto" de extremos y , "cerrado" en
y "abierto" en , y se denota de la manera siguiente:
Geométricamente este intervalo se representa de la manera siguiente:
Definición
Sea un número real. El conjunto cuyos elementos son los números reales
tales que lo denotaremos por y lo representamos
geométricamente de la manera siguiente:
El símbolo se lee "más infinito" así:
En forma similar:
i. El conjunto cuyos elementos son los números reales tales que , lo denotaremos
por y lo representaremos geométricamente de la manera siguiente:

4. Así:
ii. El conjunto cuyos elementos son los números reales tales que , lo
denotaremos por y lo representaremos geométricamente de la manera siguiente:
Así:
El símbolo se lee "menos infinito"
iii. El conjunto cuyos elementos son los números reales tales que , lo
denotaremos por y lo representaremos geométricamente de la manera
siguiente:
Así:

5. Inecuaciones lineales con una incógnita
Definición
Sean , y constantes reales con . Se llama inecuación lineal o
inecuación de primer grado con una incógnita a toda inecuación que tenga
alguna de las formas siguientes: , ; o
Para resolver algunas inecuaciones lineales usaremos el concepto de inecuaciones
equivalentes. Para esto transformaremos la inecuación dada en otras equivalentes a la
original, hasta obtener una inecuación de alguna de las formas: o
; donde x es la incógnita y c es una constante.
Algunas transformaciones que se pueden usar para obtener inecuaciones equivalentes
entre sí.
1.
Permutación de miembros
Se pueden intercambiar los miembros de una inecuación de acuerdo con las
propiedades siguientes.
Sean y
i.
ii.
iii.
iv.

6. Ejemplo
a.
b.
c.
d.
Sumar una constante k a ambos miembros de la inecuación
Se puede sumar una constante k a ambos miembros de una inecuación de
acuerdo con las propiedades siguientes.
Sean y , constante
i.
ii.
iii.
iv.
Por ejemplo
a.
b.
c.
d.

7. Multiplicar por una constante k positiva ambos miembros de la inecuación
Se puede multiplicar cada miembro de la inecuación por una constante k positiva
de acuerdo con las propiedades siguientes.
Sean y , una constante positiva
i.
ii.
iii.
iv.
Ejemplo
a.
b.
c.
d.
Multiplicar por una constante k negativa ambos miembros de la inecuación.
Se puede multiplicar cada miembro de la inecuación por una constante k
negativa de acuerdo con las propiedades siguientes.
Sean y , una constante negativa
i.

8. ii.
iii.
iv.
Ejemplo
a.
b.
c.
d.
Observación
Para resolver inecuaciones, además de las transformaciones enunciadas e ilustradas
anteriormente, se pueden aplicar propiedades y algoritmos de la adición y de la
multiplicación definidas en (conmutatividad, asociatividad, distributividad, etc.)
Veamos algunos ejemplos los cuales se resuelven usando algunas de las
transformaciones anteriores.
Ejemplo
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones
a.
b.
c.
d.
e.

9. f.
Solución
a.
Por lo que el conjunto solución de es
b.
Por lo que el conjunto solución de es
c.

10. Por lo que el conjunto solución de es
d.
Por lo que el conjunto solución de es
e.

11. Por lo que el conjunto solución de es
f.
Por lo que el conjunto solución de es
Nota
En el proceso de resolución de inecuaciones no es necesario indicar todas las
transformaciones que se realicen, en las inecuaciones que resolveremos en adelante,
omitiremos escribir algunas transformaciones.
Ejemplo
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones
a.

12. b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
Solución
a.
Por lo que el conjunto solución de es
b.

13. Por lo que el conjunto solución de es
c.
Por lo que el conjunto solución de es
d.

14. Por lo que el conjunto solución de es
e.
Por lo que el conjunto solución de es

15. f.
Por lo que el conjunto solución de es
g.
Por lo que el conjunto solución de es
h.

16. Por lo que el conjunto solución de es
i.

17. Por lo que el conjunto solución de es
Ejercicios
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
En los ejemplos anteriores hemos resuelto inecuaciones en la cuales, después de haber
realizado algunas transformaciones obtenemos una desigualdad de alguno de los tipos
, donde es la incógnita y es una constante real. Sin
embargo al resolver inecuaciones, después de realizar ciertas transformaciones podemos
obtener una desigualdad numérica de alguno de los tipos , en
estos casos el conjunto solución de estas inecuaciones se determina de acuerdo con las
siguientes reglas.
Regla 1
Si en el proceso de resolución de una inecuación se obtiene una desigualdad numérica
verdadera, entonces el conjunto solucón de de la inecuación original es el dominio de la
incógnita.
Regla 2
Si en el proceso de resolución de una inecuación se obtiene una desigualdad numérica
falsa, entonces el conjunto solucón de de la inecuación original es el conjunto vacío .
Ejemplo
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones
a.

18. b.
c.
d.
Solución
a.
Como esta desigualdad es verdadera entonces el conjunto solución de
en el dominio de la incógnita, en este caso
b.
Como esta desigualdad es verdadera entonces el conjunto solución de
en el dominio de la incógnita, en este caso
c.

19. Como esta desigualdad es falsa, entonces el conjunto solución de
es
d.
Como esta desigualdad es falsa, entonces el conjunto solución de
es
Ejercicios
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

20. Inecuaciones en las que cada uno de sus miembros es o puede expresarse como un
producto y el otro miembro es cero
Las inecuaciones de este tipo se resuelven aplicando la ley de signos de la
multiplicación definida en el conjunto de los números reales, de acuerdo con las
siguientes propiedades:
Sean ;
1. y o y
2. y o y
Ejemplo
Resuelva la siguiente inecuación:
Solución
Aplicando la propiedad 2 anterior se tiene que:
y o y
i.
Analicemos el caso y
En este caso se tiene que:
y
y
ii.
Analicemos el caso y

21. En este caso se tiene que:
y
y
La solución final será igual a la unión de las soluciones obtenidas en los casos (i)
y (ii)o sea:
Nota:
El procedimiento usado anteriormente para resolver inecuaciones de este tipo es un
poco largo y tedioso, por esta razón es que preferimos resolver este tipo de inecuaciones
por medio de una "tabla de signos", en la cual usaremos dos resultados generales que se
enunciaran posteriormente, pero antes resolveremos algunos ejemplos que son casos
particulares de dichos resultados.
Ejemplo
Para cada uno de los casos siguientes determine el intervalo en donde la expresión dada
es positiva, y el intervalo en donde dicha expresión es negativa.
a.
b.
c.
d.
Solución
a.

22. i.
es positiva si y sólo sí:
o sea:
es positiva si y sólo sí:
ii.
es negativa si y sólo sí:
o sea:
es negativa si y sólo sí:
En forma resumida se tiene:

23. b.
i.
es positiva si y sólo sí:
o sea:
es positiva si y sólo sí:
ii.
es negativa si y sólo sí:
o sea:
es negativa si y sólo sí:
En forma resumida se tiene:

24. c.
i.
es positiva si y sólo sí:
o sea:
es positiva si y sólo sí:
ii.
es negativa si y sólo sí:
o sea:
es negativa si y sólo sí:

25. En forma resumida se tiene:
d.
i.
es positiva si y sólo sí:
o sea:
es positiva si y sólo sí:
ii.
es negativa si y sólo sí:
o sea:
es negativa si y sólo sí:
En forma resumida se tiene:

26. Resultado 1
Si a y b son constantes reales tales que , y x es variable real, entonces se
cumple que:
i.
ii.
En forma resumida podemos expresar este resultado en la "tabla" siguiente:
Resultado 2
Si y son constantes reales tales que , y es variable real, entonces se
cumple que:
i.
ii.

27. En forma resumida podemos expresar este resultado en la"tabla" siguiente:
Ejemplo
Para cada uno de los casos siguientes, use los resultados anteriores para
determinar el intervalo en donde la expresión dada es positiva, y el intervalo en
donde es negativa.
a.
b.
c.
d.
Solución
De acuerdo con los resultados anteriores se tiene:
a.
i.
o sea:
es positivo si y sólo sí
ii.
o sea:
es negativo si y sólo sí

28. En forma resumida se tiene:
b.
i.
o sea:
es positivo si y sólo sí
ii.
o sea:
es negativo si y sólo sí
En forma resumida se tiene:
c.
i.
o sea:
es positivo si y sólo sí
ii.
o sea:

29. es negativo si y sólo sí
En forma resumida se tiene:
d.
i.
o sea:
es positivo si y sólo sí
ii.
o sea:
es negativo si y sólo sí
En forma resumida se tiene:
Ejercicios
Para cada uno de los casos siguientes use los resultados anteriores para
determinar el intervalo en donde la expresión dada es positiva, y el intervalo
donde es negativa.
1.
2.
3.
4.
5.

30. 6.
Ejemplo
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
a ) ch )
b ) d )
c ) e )
Solución
a.)
Por los resultados anteriores podemos determinar los intervalos en los cuales
cada uno de los factores , son positivos o negativos, lo cual se
puede expresar en forma resumida en una tabla como la siguiente:
Los signos correspondientes al producto , se obtienen usando los
signos de los factores y la ley de signos para la multiplicación
definida de , así obtenemos:

31. De esta última tabla puede observarse que el producto es negativo
si y solo si y por lo tanto el conjnto de solución la inecuación
es:
b.)
En forma similar al caso anterior obtenemos la siguiente tabla:
Los signos correspondientes al producto , se obtienen usando los
signos de los factores y la ley de signos para la multiplicación
definida de , así obtenemos:
De esta tabla puede observarse que el producto es positivo si y
solo si y por lo tanto el conjunto solución de la
inecuación es:
o sea:
S =
Nota:
En los ejemplos (a)y (b) anteriores se ha explicado la forma en que se han
construido cada una de las tablas correspondientes y también la forma de

32. determinar el conjunto solución de cada inecuación. En los ejemplos siguientes
omitiremos la explicación en cuanto a la determinación del conjunto solución. El
estudiante deberásaber justificar la construcción de dichas tablas, así como
también el conjunto solución que se da:
c.)
S =
ch.)
S =
d.)
S =

33. e.)
En el ejemplo anterior hemos resuelto inecuaciones en las cuales se involucra
alguno de los signos " " o " ", en el ejemplo siguiente el objetivo es resolver
inecuaciones en las que se involucre alguno de los signos " " o " "
Ejemplo
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
a) ch)
b) d )
c) e)
Solución:
a.)
En forma similar a los ejercicios resueltos en el ejemplo anterior formamos la
siguiente "tabla"
De aquí sabemos que:

34. 1.
2.
Por lo tanto: El conjunto solución de es o sea S =
b.)
Una forma similar a los ejercicios resueltos en el ejemplo anterior formamos la
siguiente "tabla"
De aquí sabemos que:
1.
2. Por lo tanto:
El conjunto solución de es
Nota:
En las inecuaciones que resolveremos a continuación no especificaremos la
forma en que se obtiene el conjunto solución para cada una de ellas, el
estudiante deberá justificar estos resultados.
c.)

35. Observación:
En esta inecuación, es un factor de la expresión , es positivo y no
depende del valor de la variable x.
ch.)
Observación:
En esta inecuación, es un factor de la expresión , es
negativo y no depende del valor de la variable x.
d.)
e.)

36. Ejercicios
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.
3.
5.
7.
9.
11.
2.
4.
6.
8.
10.
12.

37. Inecuaciones cuadráticas
Definición
Sean a, b, c constantes reales tales que . Sea x una variable real.
Llamaremos inecuación cuadrática a toda inecuación en la cual uno de sus
miembros es una expresión de la forma y el otro miembro es
cero.
Son inecuaciones cuadráticas:
a.) c.)
b.) ch.)
Al resolver este tipo de inecuaciones se pueden presentar dos casos.
Caso 1:
Consideremos como caso , aquel en el cual la expresión es factorizable (
). Para resolver estas inecuaciones se debe factorizar la expresión ,
para posteriormente aplicar el procedimiento usado para resolver las inecuaciones de los
ejemplos anteriores (por medio de una ``tabla de signos")
Recuerde que si la expresión es factorizable entonces se cumple que:
Ejemplo
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
a ) b )
c ) d )
e ) f )
g ) h )
Solución:
a.)

38. Para la expresión se tiene:
es factorizable y además:
así:
Resolviendo esta última inecuación se tiene:
Por lo tanto el conjunto solución de es:
, o sea :
b.)

39. Para la expresión se tiene:
es factorizable y además:
así:
Resolviendo esta última inecación se tiene:

40. Por lo tanto el conjunto solución de es:
o sea:
c.)
Para la expresión se tiene:
es factorizable y además:
así:
Resolviendo esta última inecuación se tiene:

41. Por lo que el conjunto solución de es:
o sea:
d.)
Para la expresión se tiene:
es factorizable, además:

42. así:
Resolviendo esta última inecuación se tiene:
Por lo que el conjunto solución de es:
o sea:
e.)
Factorizando por factor común se tiene:
Resolviendo esta inecuación:

43. Por lo que el conjunto solución de es o sea : S =
f.)
Factorizando por factor común se tiene:
Resolviendo esta inecuación:
Por lo que el conjunto solución de es
; o sea :
S =
g.)
Factorizando por formula notable se tiene:
Resolviendo esta inecuación:

44. Por lo que :
h.)
Factorizando por formula notable se tiene:
Resolviendo esta inecuación:
Por lo que :
Caso 2:
Consideremos como Caso 2, aquel en el cual la expresión no es factorizable
( ). Para resolver estas inecuaciones usaremos el siguiente teorema:
Teorema

45. Sean a, b, c, constantes reales y x una variable ral tales que y
, entonces se cumple que:
i. Si entonces
ii. Si entonces
Demostración:
Anteriormente se demostró que:
; con y además si entonces
y por lo tanto:
i.
Si entonces o sea que :
si entonces
ii.
Si entonces o sea que :
si entonces
Ejemplo
Usando el teorema anterior resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
a.) b.)
c.) ch.)
d.) e.)
Solución:
a.)

46. En este caso, para la expresión ; se tiene:
y
como
el conjunto solución de
o sea: S =
b.)
En este caso, para la expresión ; se tiene:
y
como
el conjunto solución de
es o sea: S =
c.)
En este caso, para la expresión ; se tiene:
y

47. como
el conjunto solución de
es o sea: S =
ch.)
En este caso, para la expresión ; se tiene:
y
como
el conjunto solución de
es o sea: S =
d.)
En este caso, para la expresión ; se tiene:
y
como
el conjunto solución de
es o sea: S =

48. e.)
En este caso, para la expresión ; se tiene:
y
como
el conjunto solución de
es o sea: S =
Ejercicio
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.

49. Inecuaciones polimoniales de grado mayor que
Definición
Llamaremos inecuación polinomial de grado mayor que , a toda
inecuaición en la cual uno de sus miembros es un polinomio de grado mayor
que , y el otro miembro es cero.
Ejemplo
Son inecuaciones polinomiales de grado mayor que :
a. b.
c. ch.
Para resolver inecuaciones polinomiales de grado mayor que , frecuentemente es
necesario factorizar el polinomio que es miembro de la ecuación. Una vez factorizado
dicho polinomio se aplicará alguno de los métodos estudiados anteriormente para
resolver inecuaciones.
Ejemplo
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
a. b.
c. ch.
Solución
a.
Debemos tratar de factorizar el polinomio .
Por división sintética se tiene que:
.
Ahora, factorizando por fórmula general se tiene:

50. Por lo que:
Así tenemos que:
Resolviendo ésta última:
Por lo que el conjunto solución de es:
; o sea:
S =
b.
Factoricemos el polinomio ;
por división sintética se tiene que:
.
Ahora para tenemos que:

51. Como entonces NO es factorizable, pero como y
(coeficiente de )por el teorema anterior tenemos que:
O sea , es positivo. .
Así tenemos que:
y podemos resolver esta inecuación de acuerdo con la información anterior así:
Por lo que el conjunto solución de es:
o sea:
S =
c.
Debemos factorizar el polinomio aplicando división sintética
se tiene que:
(*).
y su vez
(**)

52. y para , tenemos:
Como , entonces no es factorizable, pero por el teorema
anterior.
es negativo, .
Así por (*) y (**)
y por lo tanto:
y por la imformación anterior podemos resolver esta inecuación así:
De aquí
S =
ch.
Factorizamos el polinomio ; por factor común:
(*)

53. Factorizando ; por división sintética:
(**);
y factorizando , por fórmula notable:
.
Así de (**) se tiene que:
y por (*) se tiene que:
y por lo tanto:
De aquí:
S=
Ejercicio
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.

54. Además de inecuaciones cuadráticas y de inecuaciones polinomiales de grado mayor
que , podemos resolver algunas otras inecuaciones que son reducibles a inecuaciones
cuadràticas, o bien a inecuaciones polinomiales de grado mayor que , aplicando las
transformaciones estudiadas en este capitulo, y también las propiedades y algoritmos de
las operaciones definidas en .
Ejemplo:
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
a.) b.)
c.) ch.)
Solución:
a.)
De aquí:
S=
b.)
Para se tiene:
y

55. =
=
=
Como , entonces:
Observe que no es factorizable y además es positivo
Por lo tanto el conjunto de solución de la inecuación (*), y por lo tanto de la
inecuación original, es:
S=
ch.)

56. (*)
Factorizando , por agrupación se tiene:
o sea:
volviendo a (*) obtenemos:
Por lo que
S=
Ejercicio
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1.) 2.)
3.) 4.)

57. Inecuaciones en las que uno de sus miembros es un cociente y el otro miembro es
cero
En general estudiaremos en las páginas siguientes los tipos ; ; ;
en donde son polinomios con .
Para resolver este tipo de inecuaciones nos basaremos en las siguientes propiedades.
Propiedades:
Sean , con
1.
2.
3.
4.
De estas propiedades se puede deducir que si son polinomios con
, entonces:
1. Resolver
2. Resolver
3. Resolver
4. Resolver
Por lo anterior es que al resolver inecuaciones en las cuales uno de sus miembros es un
cociente y el otro miembro es cero, usaremos tablas de signos tal y como si hizo para
resolver inecuaciones, en las cuales uno de sus miembros es un producto y el otro es
cero.
Ejemplo
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
a.) b.)

58. c.) ch.)
d.) e.)
Solución:
a.)
En este caso debe cumplirse que sea diferente de cero; pero
.
Por lo anterior, es diferente de cero sí y sólo si es diferente de , o sea
no pertenece al dominio de la incógnita.
La "tabla de signos "correspondiente a esta inecuación se obtiene así:
De aquí se tiene que el cociente es mayor o igual que cero si y sólo sí
.
Por lo que el conjunto solución de es S, donde
S=
Nota:
1. La doble linea vertical en , se utilizó para indicar que no pertenece al
dominio de la incógnita.
2. no se incluye en el conjunto solución, por no pertenecer al dominio de la
incógnita.

59. b.)
En este caso debe cumplirse que sea diferente de cero; pero
.
Por lo que es diferente de cero sí y sólo si es diferente de -1, o sea -1 no
pertenece al dominio de la incógnita y por lo tanto tampoco pertenece al
conjunto solución de la inecuación.
La "tabla de signos "correspondiente a esta inecuación se obtiene así:
De aquí se tiene que el cociente es menor que cero si y sólo sí
.
Por lo que el conjunto solución de es S, donde
S=
Nota:
1. La doble linea vertical en -1, se utilizó para indicar que -1 no pertenece al
dominio de la incógnita.
Las inecuaciones siguientes serán resueltas en una forma más resumida,
omitiremos la explicación correspondiente a cada uno de los pasos involucrados,
el estudiante debe saber justificar cada uno de dichos pasos.
c.)
Debe cumplirse que ,o sea , por lo que 4 no pertenece al dominio
de la incógnita.

60. De aquí se tiene que:
S =
ch.)
Debe cumplirse que , o sea , por lo que
y no pertenecen al dominio de la incóginita.
De aquí se tiene que:
S=
d.)
Debe cumplirse que , o sea , por lo que y no
pertenecen al dominio de la incógnita.

61. De aquí se tiene que:
S=
e.)
Debe cumplirse que , o sea , por lo que y
no pertenecen al dominio de la incógnita.
De aquí se tiene que:
S=
Ejercicio
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1. 6.
2. 7.

62. 3. 8.
4. 9.
5.
Ejemplo
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
a. b.
c. ch.
d. e.
Solución:
a.
En este caso 4 no pertenece al dominio de la incógita ; además debemos
factorizar (si es posible)el numerador.
Aplicando fórmula general se tiene que;
Por lo que:
Resolviendo esta última inecuación se tiene:

63. Por lo que el conjunto solución de: es S, donde:
S=
b.
En este caso 1 y 2 no pertenece al dominio de la incógita ; además
debemos factorizar el numerador (si es posible).
Por fórmula notable se tiene que;
Por lo que:
Resolviendo esta última inecuación se tiene:

64. Por lo que el conjunto solución de: es S, donde:
S=
c.
En este caso debemos factorizar el denominador si es posible. Por factor común
se tiene que: el numerador.
Aplicando fórmula general se tiene que: y de aquí, como el
denominador debe ser diferente de cero entonces debe cumplirse que:
Así se tiene:
Resolviendo esta última inecuación se tiene:

65. Por lo que el conjunto solución de: es S, donde:
S=
ch.
En este caso debemos factorizar el denominador, si es posible pero para
, se tiene:
y
Como , entonces no es factorizable en , además como
entonces , es positivo , por lo tanto, la tabla de
signos correspondiente a:
es:
Por lo que el conjunto solución de: es S, donde:
S=
d.

66. En este caso -4 no pertenece al dominio de la incógnita,además debemos
factorizar el numerador, si es posible.
Por factor común se tiene:
(*)
Aplicando fórmula general a se tiene:
Volviendo a (*) se tenemos:
Así:
Resolviendo esta inecuación se tiene:
Por lo que el conjunto solución de: es S, donde:
S=
e.
En este caso -1 no pertenece al dominio de la incógnita, además debemos
factorizar el numerador, si es posible.

67. Por factor común se tiene:
(*)
Aplicando formula general a , se tiene:
y
Como y , entonces es positivo y además no es
factorizable por lo que la factorización completa de es la indicada en (*)
Así:
Resolviendo este inecuación se tiene:
Por lo que
S=
Ejercicio
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
1. 2.
3. 4.

68. 5. 6.
7. 8.
Aplicando las transformaciones estudiadas en este capitulo, y además los algoritmos
estudiados para realizar operaciones con fracciones racionales (capítulo III), podemos
resolver inecuaciones que se pueden reducir a una inecuación, en la cual uno de sus
miembros es un cociente y el otro miembro es cero, como se ilustra en los ejemplos
anteriores.
Ejemplo
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones:
a.) b.)
c.) ch.)
d.) e.)
f.) g.)
Solución:
Nota: En la solución de estas inecuaciones omitiremos la justificación de cada paso,
dicha justificación debe ser brindada por el estudiante.
a.)
De aquí se tiene que:
S =
b.)

69. De aquí se tiene que:
S =
c.)
De aquí se tiene que:

70. S =

71. Inecuaciones en las que uno de sus miembros es un cociente y el otro miembro es
cero (continuación).
d.
De aquí se tiene que:
S =
e.

72. De aquí se tiene que:
S =

73. f.
De aquí se tiene que:
S =

74. g.

75. De aquí se tiene que:
Observe que es importante la restricción a pesar de que el factor
correspondiente fue simplificado.
h.

76. De aquí se tiene que:
Ejercicios
Resuelva cada una de las siguientes inecuaciones.
1.
2.
3.

77. 4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.