La notación sigma permite representar sumas de muchos sumandos o incluso sumas infinitas. Se escribe como la suma desde un límite inferior m hasta un límite superior n de una variable índice i. Dividiendo un área en polígonos rectangulares y tomando el límite cuando el número de polígonos es infinito, se define la integral definida como la suma de las áreas de los polígonos. El teorema fundamental del cálculo establece que la derivada de la integral de una función es igual a la función, y viceversa.

1. NOTACIÓN SIGMA
República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermín Toro
Decanato de Ingeniería
Alumno:
Pedro de la Rosa
CI: 24.386.434
Prof. Domingo Mendez
Cabudare -Edo. Lara

2. La integral definida
Notación sigma
El operando matemático que nos permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos
sumandos está expresado con la letra griega sigma Σ(sigma mayúscula, que corresponde a nuestra S
de "suma" ). La notación sigma es de la siguiente manera:
Esto se lee: Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i.
La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La
variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe
cumplirse que:
Si queremos expresar la suma de los cinco primeros números naturales podemos hacerlo de esta forma:

3. Propiedades
Las propiedades constituyen teoremas cuya demostración se puede verificar en cualquiera de las literaturas
citadas.
Las propiedades son muy útiles para desarrollar expresiones que nos permiten calcular áreas limitadas por
curvas planas.

4. Suma Superior e inferior
Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y continúa en todo el intervalo
cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el
área de cada uno de estos rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del área real.
Si el área se divide en dos rectángulos y al calcular el área de cada uno de ellos, se incluye una parte del
rectángulo que no pertenece al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación.
Si el rectángulo se ha incrementado hasta 9 y observamos que la parte que no nos interesa es menor que
cuando tomamos 2 rectángulos, lo que nos conduce a concluir que a mayor número de rectángulos "n"
más nos aproximamos al área real.
Podemos finalizar que si el número de rectángulos "n" se hace muy grande, entonces el área calculada será
casi exactamente el área buscada.

5. Integral definida
Si a la expresión obtenida para la suma de Riemann le tomamos el límite ya que k =1, 2, 3, 4, 5,....,..n y
existe, es decir podemos definir la integral definida de F desde a hasta b por donde "a" representa el límite
inferior y "b" el límite superior de la integral.
La integral definida se representa por ∫ es el signo de integración a límite inferior de la integración b límite
superior de la integración f(x) es el integrando o función a integrar dx es diferencial de x, e indica cuál es
la variable de la función que se integra.
Propiedades:
El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

6. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos
integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales
La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

7. Teorema del Valor Medio
Dada una función "f(x)" continua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un valor dentro del mismo,
tal que la derivada de la función evaluada en "c", representa dicho valor promedio, conocido también
como valor medio para integrales.
Para una función continua f(x) en el cerrado [a, b], existe un valor z en dicho intervalo, tal que

8. Teorema fundamental de calculo
El teorema fundamental del calculo consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una
función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la
derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas
denominada análisis matemático o calculo
Primer teorema fundamental de calculo
Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a , b] y sea la función F definida por:
, para toda x pertenece [a , b];entonces:
F es una anti derivada de f en [ a, b], esto es
Segundo teorema fundamental de calculo
Sea f una función continua en un intervalo cerrado [ a, b] y F es una anti derivada de f e [ a, b], entonces

9. Sustitución y cambio de Variable
Los cambios de variable se realizan cuando en el integrando existe una expresión que resulta de derivar otra
parte de ella, éstos se complementan mediante aplicación de artificios matemáticos
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo
que se obtenga una integral más sencilla.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2: