1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CENTRO
DEL PERÚ
FACULTAD DE INgENIERíA ELéCTRICA y
ELECTRóNICA
M Á Q U I N A S E L é C T R I C A S I
(061C)
PROFESOR DE LA ASIgNATURA:
1

2. INg. PEDRO RAMIRO MARAVí
gUTARRA
HUANCAyO, AgOSTO DE 2009
MÁQUINAS ELÉCTRICAS I
Introducción. - La Máquina Eléctrica, es un dispositivo que a través de la acción de un
campo magnético convierte energía mecánica en energía eléctrica (generador), o convierte
energía eléctrica en energía mecánica (motor), o convierte energía eléctrica de corriente
alterna de un nivel de voltaje en energía eléctrica de otro nivel de voltaje, a una misma
frecuencia y manteniendo la potencia prácticamente constante (transformador).
Son máquinas limpias, silenciosas, versátiles, compactas, de fácil mantenimiento.
Clasificación de las Máquinas Eléctricas:
a) Máquinas Eléctricas Estáticas; aquellas que para realizar conversión de energía no
requieren del movimiento de una de sus partes como los transformadores,
autotransformadores, conversores e inversores.
b) Máquinas Eléctricas Rotativas; aquellas que poseen rotor como los generadores de
corriente continua (dinamos), motores de corriente continua, generadores síncronos
(alternadores), motores síncronos (generadores de potencia reactiva), generadores
asíncronos, y motores asíncronos.
MATERIALES MAGNETICOS
1. Materiales Ferromagnéticos (Fe, Co, Ni), la imantación que adquieren en los
campos magnéticos es alta; y pueden convertirse en imanes permanentes, conservando
la imantación fuera de los campos donde la obtuvieron, generan líneas de flujo con
facilidad, tienen μr >>1. Por lo que se usan en circuitos magnéticos.
2. Materiales Paramagnéticos (Al, Pt, Mn, Aire) y Diamagnéticos (Ag, Cu, H2O),
la imantación que adquieren es proporcional al campo, siendo débil en el primero y
débil negativo en el segundo, son malos conductores del flujo magnético.
2

3. MATERIALES FERROMAGNETICOS: Los circuitos magnéticos tienen la función
de llevar el flujo magnético por un determinado camino, reduciendo así su dispersión;
por lo que se usa como núcleo magnético, tienen μr >>1 que permite la obtención de
altas densidades de flujo (B) con intensidades de campo (H), pequeños, así:
B = uH ⇒ B ↑= u ↑ .Hpequeña
El más usado es el hierro y sus aleaciones con otros metales, así tenemos:
- Hierro Puro: Tiene propiedades magnéticas excelentes.
- Acero Silicio: Contiene de 0,25 a 5 % de silicio que al recibir tratamiento térmico,
aumenta su permeabilidad y aumenta su resistencia eléctrica que es importante
para disminuir las pérdidas por corrientes parásitas de Foucault, sus derivados son:
Silicio Grado electrical; Acero – Silicio Grado transformador - 72; Acero laminado
en frío; Acero Fundido; Hierro fundido.
PERMEABILIDAD MAGNETICA DEL MATERIAL ( µ ).- Es la facilidad
relativa que presenta un material para que en él se establezca un campo magnético.
PERMEABILIDAD DEL ESPACIO LIBRE (AIRE): µ0 = 4π ×10 Hr m
−7
PERMEABILIDAD RELATIVA DE UN MATERIAL ( µ r ); es la relación entre su
propia permeabilidad y la del espacio libre: μr = μ/μ0; µ = µr .µ0 ; sirve para comparar
la facilidad con que se magnetiza los materiales. Los aceros utilizados en máquinas
tienen μr de 2000 a 6000 y aun más; significa que para una corriente, en una pieza de
acero, se establece un flujo de 2000 a 6000 veces mayor que en una superficie igual a
la del espacio libre (aire). El núcleo de hierro al tener μr >>1 concentra la mayor parte
del flujo magnético, dentro del núcleo en vez de pasar a través del aire circundante.
Lamentablemente los materiales ferromagnéticos no tienen la permeabilidad relativa
constante sino que varía con la densidad de flujo con que trabaja el material, es decir,
luego de alcanzar un valor máximo baja notablemente cuando se llega a la zona de
saturación del núcleo magnético, ya que después de haber alcanzado el flujo de
saturación, el material ya no contribuye con su ferromagnetismo al aumento de
densidad de flujo magnético, en otras palabras el flujo adicional se dispersa en el aire .
Existen aleaciones antimagnéticas o aislantes magnéticos (μr=1.1- 1.4), como el
acero al Mn y el acero al Ni utilizadas como perno de amarre en los núcleos de trafos.
3

4. 2. CARACTERISTICAS DE LOS MATERIALES MAGNETICOS
 Curva de Saturación o de Magnetización; llamada también curva B – H.
 El Lazo Histéresis; Muestra la relación instantánea entre la densidad de Flujo (B)
y la intensidad (H) en un ciclo completo de operación.
Curva de Saturación o de Magnetización.- Es una característica principal de los
materiales magnéticos, resulta de graficar la ecuación: B = uH , donde µ es considerada
constante (o lineal) sólo en la zona “no saturada”. La curva B − H se obtiene aplicando una
corriente continua (I) a la bobina arrollada en el núcleo, comenzando con 0 amperios y
luego aumentando lentamente hasta la corriente máxima permisible; observándose que a
medida que se aumenta la corriente en la bobina (NI), aumentará la intensidad de campo H
y a cada valor de H le corresponde un valor de B; graficando B – H, tenemos:
4

5. La pendiente de la curva B − H , es por definición la permeabilidad (µ) del núcleo, pues:
∆B
tgα = = µ , es decir, si a cada valor de H le corresponde un valor de B, entonces la
∆H
B
permeabilidad será: µ = . La curva muestra que la permeabilidad es grande y
H
relativamente constante en la región no saturada y luego decrece gradualmente hasta un
valor muy pequeño (en a – b – c) cuando el núcleo está muy saturado.
Como φ = B. A y NI = H .lm se observa que, para un núcleo dado, la intensidad
magnetizante H es proporcional a la fuerza magnetomotriz
(NI) y que la densidad de flujo (B) es proporcional al flujo
( φ ). Por lo tanto la relación de φ vs NI tiene la misma
forma que la curva B − H .
Se observa que al comienzo, un pequeño incremento en la
f.m.m. produce un gran crecimiento del flujo resultante:
tramo o-a; después de un cierto punto, incrementos adicionales de f.m.m. producen
crecimientos relativamente pequeños en el flujo: tramo a-b; finalmente un aumento en la
f.m.m. no produce ningún cambio de flujo: tramo b-c; la región en la cual la curva se hace
horizontal se llama región de saturación y se dice que el hierro está saturado. Al contrario
la región o-a, donde el flujo cambia rápidamente se llama
región no saturada, se dice que el hierro no está saturado. La
zona de transición entre la zona saturada y la zona no
saturada es a-b, y se llama el codo de la curva.
Otra curva característica de los ferromagnéticos es la curva
µ − H , la que con las curvas B − H y φ − NI permiten
realizar cálculos y diseñar los núcleos de las máquinas eléctricas.
Estas curvas han sido obtenidas en base a un conjunto de pruebas experimentadas. Se
exponen en el siguiente orden:
Curva Nº 1: B − H en escala semilogarítmica: Bm →
Klineas H → A −V
pu lg 2 y m pu lg .
Curva Nº 2: B − H en escala simétrica: Bm →
Klineas
y Hm → A −V
pu lg 2 pu lg
aplicable en método gráfico.
5

6. Curva Nº 3: B − H en escala simétrica: Bm → Wb m2 y Hm → A −V
m aplicable en
método gráfico.
Curva Nº 4: B − H en escala semilogarítmica para acero laminado M-19 Bm → Wb m2 y
Hm → A −V
m
Curva Nº 5: B − H en escala simétrica: Bm → Gauss y H m → A − V cm
Curva Nº 6a: B − H y µ − H en escala semilogarítmica para acero H23 – 0.35 mm
(0,014 pulg). Facilita cálculo de valores pequeños: Bm → Wb m 2 y H → A − V m
Curva Nº 6b: B − H y µ − H en escala simétrica para acero H23 – 0.35 mm (0,014
pulg). Facilita cálculo de problemas con valores iniciales: Bm → Wb m 2 y H → A − V m
Curva Nº 7a: B − H y µ − H en escala logarítmica para acero H23 – 0.50 mm (0,020
pulg). Facilita cálculo de valores pequeños: Bm → Wb m2 y H → A − V m
Curva Nº 7b: B − H y µ − H en escala simétrica para acero H23 – 0.50 mm (0,020
pulg). Facilita el empleo del método gráfico, usando la recta de pendiente modificada:
Bm → Wb H → A −V
m2 y m
Unidades Empleadas en electromagnetismo:
MAGNITUD SIMBOLO UNIDAD UNIDAD UNIDAD
cgs MKS SISTEMA INGLES
Intensidad de H oersted Ampere − vuelta Ampere − vuelta
campo m pu lg ada
Densidad de flujo B gauss Weber kilolineas
m2 pu lg ada 2
Flujo Magnético φ max well Weber kilolinea
Fuerza Fmm=NI Gilbert Ampere − vuelta Ampere − vuelta
6

7. Magnetomotriz
Inductancia L abhenrio Henrio Henrio
Factores de conversión:
DADO MULTIPLIQUE POR PARA OBTENER
Kilolineas 1000 Líneas o Maxwells
Kilolineas 1.0 x 10-5 Webers
Weber 1.0 x 105 Kilolíneas
Weber 1.0 x 108 Líneas o Maxwells
Weber 2 1.0 Tesla
m
Weber 2 64.52 kilolineas
m pu lg 2
Weber 2 1.0 x 104 Gauss o Líneas/cm2
m
kilolineas 155.0 Gauss
pu lg 2
kilolineas 0.0155 Weber
pu lg 2 m2
Ampere − vuelta 2.54 x 10-2 Ampere − vuelta
m pu lg
Ampere − vuelta 39.37 Ampere − vuelta
pu lg m
El Ciclo de Histéresis: Al aplicar corriente alterna a los devanados del núcleo, mientras la
corriente crece, el flujo en el núcleo varía según la curva a-b, esta es básicamente la curva
de magnetización; cuando la corriente disminuye, el flujo decrece describiendo la curva b-
c-d, cuando la corriente vuelve a aumentar, varía según la curva d-e-b, generando menores
flujos para corrientes iguales: para un mismo valor de I1 según la trayectoria a-b produce
un flujo φ1 , mientras en la curva d-e-b produce φ1 ´, donde φ1 < φ1 . La trayectoria cerrada
´ '
b-c-d-e-b se denomina ciclo de histéresis o lazo de histéresis.
La variación del flujo en el núcleo según la curva, será a-b-c, no regresa a cero, sino que
queda un campo magnético, cuyo flujo es el segmento a-c, este valor es el flujo residual,
la energía correspondiente es el área de la región “achurada”. Así se produce imanes
permanentes, para lograr que el flujo vuelva a ser cero es necesario aplicar, en sentido
contrario, una de fuerza magnetomotriz llamada fuerza magnetomotriz coercitiva: Fmmc.
7

8. Principio Del Fenómeno De Histéresis.- Dentro del material magnético hay regiones
pequeñas llamadas dominios magnéticos; en cada dominio todos los átomos están
alineados con sus campos magnéticos en la misma dirección, cada dominio actúa como un
pequeño imán permanente. La razón por la que el hierro aparezca sin flujo es que la gran
cantidad de minúsculos dominios están orientados al azar dentro del material.
Al aplicar un campo magnético exterior a esta barra de hierro, los dominios tienden a
orientarse en la dirección de dicho campo, creando el flujo magnético en el hierro, el cual a
su vez hace que nuevos átomos y dominios cambien su orientación incrementando la
intensidad del campo magnético. Este proceso de realimentación positiva hace que el
hierro alcance una permeabilidad mayor que la del aire.
Cuando casi todos los átomos y dominios se hayan alineado con el campo exterior, un
nuevo aumento de la fmm solo podrá causar un incremento en el flujo igual al que se
lograría en el espacio libre; el hierro está saturado con el flujo (región saturada de la curva
de magnetización). La causa de histéresis radica en que, cuando se suspende el campo
magnético exterior no todos los dominios se reorientan al azar nuevamente, sino que se
requiere cierta energía de un campo magnético exterior.
3. PERDIDAS EN EL NUCLEO
Si alimentamos con corriente continua a una bobina con núcleo de hierro, no se produce
calentamiento en el hierro, las únicas pérdidas serán las que se producen en la resistencia
interna de la bobina. Si la corriente de magnetización es alterna, el núcleo se calienta y se
producen unas nuevas pérdidas llamadas “pérdidas en el núcleo”, que son debido a la
variación del campo magnético y flujo magnético. Estas pérdidas son de dos tipos:
-Pérdidas por Histéresis.
8

9. -Pérdidas por corrientes Parásitas o de Foucault.
Pérdidas por Histéresis (Ph).- Es la energía necesaria para lograr la reorientación de los
dominios durante cada ciclo de corriente alterna aplicada al núcleo. Esto se cuantifica en el
flujo residual (o magnetismo remanente) que retiene todo material ferromagnético. El área
encerrada por la curva o lazo de histéresis es proporcional a la energía perdida en un ciclo.
Esta pérdida está dada por la fórmula experimental: Ph = η.vol. f .Bmax
n
…… (1)
Donde: η = coeficiente de STEINMETZ
n = exponente de STEINMETZ
vol = volumen material del núcleo
f = frecuencia de la corriente alterna.
La demostración sería: Fem = e = Nd φ /dt = dλ/dt ....... (2)
λ = N φ es el flujo concatenado; φ es el valor instantáneo del flujo variable con el tiempo.
Si existe una relación lineal entre B − H por ser constante la permeabilidad del material,
λ Nφ
se define λ e i por medio de la inductancia L = = …… (3). La inductancia en
i i
Hl N 2 BA A
función del campo: φ = A × B e i = en (2): L= = N 2µ …… (4)
N Hl l
N2 N2
L= = = N 2P
l R …. (5); La reluctancia R depende de la forma y tamaño del
µA
d
material del núcleo. Como en (3): λ = Li en (2): e= ( Li ) ………. (6)
dt
En los circuitos magnéticos estáticos la inducción es fija, y la ec. (6) se reduce a:
di
e=L ………. (7)
dt
En las máquinas, la inductancia puede ser variable con el tiempo, por lo que la ec. (6) será:
di dL
e=L +i ………. (8)
dt dt
dλ
La potencia en las terminales de la fig. : P = ie = i watt, …. (9)
dt
9

10. La variación de la energía en un circuito magnético en el intervalo de tiempo t1 a t2 es:
t2 λ2
Wcamp = ∫ Pdt = ∫ id λ ………. (10)
t1 λ1
Hlm
En función del campo: i = λ = Nφ = N ( Am .B) ⇒ d λ = NA.dB
N
B2  Hlm  B2
En (10): Wcamp = ∫   × N . Am dB = ∫B1 Hlm Am dB
B1
 N 
B2
Wcamp = Am .lm ∫ H .dB ……. (11)
B1
donde: vol = Am .lm = volumen del material del núcleo.
H .dB = densidad de la energía magnética en el núcleo.
B2
∴Wcamp = vol ∫ H .dB ………. (12)
B1
Si µ es constante, entonces B = µ H ⇒ H = B µ
B2  B   B 2 − B12 
en (12): Wcamp = vol ∫   dB = vol  2 
B1
µ  2µ 
Si B1 = 0 y haciendo B2=B
10

11. volB 2 vol.B.H
Wcamp = = ………. (13)
2µ 2
Con µ constante (ideal), esta energía (ec.13) queda almacenada en el campo magnético y
es devuelta íntegramente cuando B vuelve a anularse. En los materiales ferromagnéticos
cuyas permeabilidades varían, no devuelven toda la energía almacenada, una parte se
queda en el núcleo bajo forma de calor.
En la figura, la curva descendente representada por la línea
ab. Cuando Hc se reduce a cero, sólo una parte de la energía
absorbida por el campo durante el periodo de crecimiento
es restituida al circuito, (representado por el área abc). El
resto de la energía queda, en parte almacenada en la
energía cinética de los electrones productores del flujo
residual, en parte se disipan en pérdidas debidas al
ordenamiento de sus “dominios” (histéresis) y a las corrientes parásitas y se manifiestan en
forma de calor. La energía total absorbida por el núcleo en el proceso de ascenso y
descenso oab está representada por el área oabo. Si la variación es lenta, o sea con bajas
frecuencias (0<f<200), el efecto de las corrientes parásitas son despreciables y, en
condiciones cíclicas, las pérdidas por histéresis pueden determinarse por el área
comprendida en la curva o lazo de histéresis.
La ec.12 aplicado al ciclo de histéresis: Wh = vol.Ñ .dB joule ….. (14)
∫H
La integral cíclica ÑH .dB
∫ representa el área del ciclo, si el ciclo se repite a una
frecuencia f, entonces se disipará f veces por segundo de energía:
Ph = vol. f .Ñ .dB
∫H Watt (Pérdidas por Histéresis.)…..(15)
11

12. La integral cíclica es complicada, pues dificulta la variación magnética del material; el
estudioso Steinmetz ha hecho experimentos y pruebas del cual se sacó un promedio y
determinó una ecuación empírica que involucra una buena aproximación:
Wh = η Bmax
n
Ergio/unidad de volumen (16)
Y las pérdidas para una frecuencia f y un volumen dado del núcleo Vol; será:
∴ Ph = η .vol. f .Bmax
n
(17)
Para determinar los valores de η y n se pueden proceder de la siguiente manera:
Dividimos a ambos miembros por la f y vol y tomamos logaritmos:
Ph
log = n.log Bmax + log η ⇒ y = nx + a (ecuación de una recta).
vol. f
En papel logarítmico se puede trazar la recta, una vez que se hayan determinado por
mediciones directas varios valores de Ph y Bmax. La pendiente de la recta nos proporcionará
“n” y su intersección con el eje “y” nos dará el valor de “η ”
Pérdidas por Corrientes Parásitas de Foucault (PF).- Cuando se magnetiza un núcleo
ferromagnético con una corriente alterna el flujo que se produce resulta ser también
variable, este flujo variable induce en el núcleo tensiones alternas, de la misma manera que
dφ
hace un devanado sobre él: e=N ………(18)
dt
Como el núcleo es conductor de la corriente eléctrica, esta tensión inducida produce
remolinos de corriente eléctrica (corrientes parásitas) que fluyen dentro del núcleo, cuyo
promedio representamos por I´, esta corriente produce pérdidas RI ´2 , que se disipa en
forma de calor en todo el volumen del núcleo, donde R es la resistencia promedio del
núcleo. Estas son las pérdidas (Eddy Loss) o de Foucault (PF).
La energía perdida a causa de las corrientes parásitas o de Foucault, es proporcional a la
longitud de la trayectoria seguida dentro del núcleo. Por esta razón, cuando el núcleo va a
estar expuesto a flujos alternos, se lamina con varias capas delgadas de espesor “t”. Entre
capa y capa se coloca una resina o barniz aislante para que las trayectorias de las corrientes
parásitas queden limitadas a áreas muy pequeñas, y no puedan circular libremente de una
lámina a otra. Las capas de aislantes deben ser delgadas para reducir las pérdidas por
corrientes parásitas sin disminuir las propiedades magnéticas del núcleo.
12

13. Las pérdidas por efecto de las corrientes parásitas de Foucault son cuantificadas en la
π 2 f 2t 2 Bmax
2
siguiente fórmula: PF = (19)
6ρ
ρ = resistividad del núcleo de hierro.
f = frecuencia
t = espesor de las láminas
Bmax = densidad máxima del campo magnético
LAS PÉRDIDAS TOTALES EN EL NÚCLEO FERROMAGNÉTICO: En la práctica,
interesa las pérdidas totales en el núcleo para definir los rendimientos de las máquinas.
Estas pérdidas totales serán la suma de las pérdidas por histéresis y por Foucault, o sea:
PT = Ph + PF ………. (20)
π 2 . f 2 .t 2 .Bmax .vol
n
(17) y (19) en (20): PT = η .vol. f .Bmax +
n
.………. (21)
6ρ
Las pérdidas por corrientes parásitas se pueden limitar aumentando la resistividad del
núcleo y laminando el material y de esta manera nos representa un pequeño porcentaje de
pérdidas totales, mientras que las pérdidas por histéresis es más dificultoso limitarlo, es
casi inevitable, por eso generalmente alcanza el 75% de las pérdidas totales.
En la práctica las pérdidas se dan siempre por unidad de peso o sea W/kg y generalmente
se escoge para Bmax el valor de 10 000 Gauss y para frecuencias de 60 y 50 c/s.
SEPARACIÓN DE PÉRDIDAS: Conociendo dos valores de las pérdidas totales de un
núcleo magnético, medidas a diferentes frecuencias pero con la misma densidad de flujo
máximo, es posible deducir sus dos componentes (pérdida por histéresis y pérdidas por
corrientes parásitas Foucault), analítica o gráficamente. Antes deduciremos Bmax ;
13

14. dφ d (φmax senwt )
De: e=N , φ = φmax senwt ; e=N = ( wNφmax ) cos wt
dt dt
Emax = wNφmax = 2π fNφmax ;
Emax 2π fN E
Valor eficaz: E = = φmax ⇒ φmax =
2 2 4.44 Nf
φmax E
y como Bmax = ⇒ Bmax = = cte
An 4.44 fNAn
a) Separación de Pérdidas Analíticamente
π 2 .t 2 .Bmax .vol
2
Ya que: PT = η .Bmax .vol. f +
n
×f2 ……….. (22)
6ρ
Si en esta expresión hacemos variar solamente la frecuencia podemos escribir:
PT = af + bf 2 ……….. (23)
Siendo
Ph = af y PF = bf 2 ……….. (24)
Bastará determinar los valores de a y b para resolver el problema, lo cual se consigue
efectuando dos mediciones a las frecuencias f1 y f2.
b) Separación de Pérdidas Gráficamente
Se puede resolver el problema gráficamente, tomando como ordenadas los valores
PT
f y por abscisas las frecuencias, se ubican según las lecturas efectuadas
(1,2,3….) en el plano cartesiano, uniendo estos puntos tendremos una línea recta.
PT
PT = a. f + b. f 2 ⇒ = a + b. f (es la ecuación de una recta)
f
Los valores de a y b se deducen directamente del gráfico y son:
BB1 CC1 DD1
a = OA y b= = =
f1 f2 f3
14

15. NOTA: Las pérdidas totales se obtienen mediante aparatos especiales, el más conocido
es el aparato de Epstein, las frecuencias lo sabemos mediante el frecuencímetro,
actualmente existen medidores digitales que ahorran los tediosos trabajos tradicionales.
4. CIRCUITOS MAGNETICOS
4.1. GENERALIDADES:
La corriente (NI) o Fmm de la bobina, produce un flujo magnético ( φ ) que recorre la
longitud media cerrada ( lm ) del núcleo; ese recorrido lo hace venciendo la oposición
que le presenta el material del núcleo llamado reluctancia del material Rm.
Es análogo al circuito eléctrico:
Fmm= NI= φ R
φ = NI/R … (1)
Fmm=NI=Fuerza
magnetomotriz del
circuito.
φ = Flujo magnético en el circuito R = reluctancia
del núcleo
NIA
Además sabemos que: φ = BA = µ ……….. (2)
lm
NI
ya que B = µ H y H=
lm
lm
de (2) = (1) tenemos: R= ……….. (3)
µ. A
amperio − vuelta A − V
cuya unidad es: = ; como µ = µr µ0 , entonces:
weber wb
lm
R= ………. (4)
µ r µ0 A
La reluctancia equivalente en serie: Req = R1 + R2 + R3 + R4 + ..... + Rn … (5)
1 1 1 1 1 1
Las reluctancias en paralelo: = + + + + ..... + …. (6)
Req R1 R2 R3 R4 Rn
El inverso de la reluctancia es la permeancia P; es decir P=1/R
1
es el análogo magnético de la conductancia eléctrica G = .
R
15

16. El análogo magnético de la conductividad eléctrica σ es la permeabilidad magnética µ :
En resumen:
Tabla de analogía:
CIRCUITOS ELECTRICOS CIRCUITOS MAGNÉTICOS
PARAMETROS UNIDADES PARAMETROS UNIDADES
Amperios (A) φ = NI Weber (Wb)
CORRIENTE: I = E Flujo Magnético R
R
Fuerza Electromotriz: Fem= E Voltios (V) Fuerza Magnetomotriz: Amperio –
Fmm= NI Vueltas (A-V)
Resistencia : R Ohm ( Ω ) Reluctancia:
-
R=ρ l
R= l A−v
A µA Wb
Conductancia: G = 1 R 1
Ω Permeancia: P = 1 R
1 Permeabilidad: µ
Conductividad: σ=
ρ
Resistividad: ρ Reluctividad: ν
Los cálculos de flujo en el núcleo mediante el concepto de circuitos magnéticos, son
aproximaciones. En el mejor de los casos se logra el 5 % de error; esto se debe a:
1) La separación de las láminas por capas delgadas de aislante aumenta la sección del
núcleo.
2) El asumir que todo el flujo esta confinado dentro del núcleo magnético. Esto no es
cierto, siempre una pequeña fracción del flujo se sale del núcleo al aire de alrededor
donde la permeabilidad es baja. Este flujo se denomina “Flujo de Dispersión”.
3) El cálculo de la reluctancia hacemos con una longitud media lm y sección transversal
Am del núcleo, estas suposiciones no incluyen las deformaciones en las esquinas.
4) La permeabilidad de los materiales ferromagnéticos varía según la cantidad del flujo
que ya tengan. Esto introduce una fuente de error en los cálculos.
5) La sección transversal efectiva del aire en el entrehierro es mayor que la del núcleo,
debido al “efecto refrigerante” o “efecto de
bordes” del campo magnético en el entrehierro.
Se compensa en algo estos errores, introduciendo
factores o criterios técnicos siguientes:
16

17. FACTOR DE APILAMIENTO: Al construir con láminas separadas entre si por capas
aislantes un núcleo, se aumenta el área de su sección transversal y por lo tanto su volumen.
El factor de apilamiento o de laminación, se define como el cociente entre el área de la
Am
sección recta de hierro y el área de la sección recta de la pila, fa =
An
donde: Am =Sección transversal neta del material del núcleo
An =Sección transversal real del núcleo, ( An > Am ).
fa, varía de acuerdo al espesor “t” de las láminas, mientras más pequeño sea el espesor,
mayor será la sección del núcleo debido al aumento de las capas aislantes; su valor se halla
comprendido entre 0,95 y 0,90 para espesores de láminas entre 0,63 mm y 0,35 mm,
respectivamente. Para láminas más delgadas entre 0,025 mm y 0,12 mm de espesor, el
factor de apilamiento se halla entre 0,4 y 0,75; luego el área útil sería: Am = f a × An
Sean: a = ancho del núcleo
b = profundidad del núcleo (hierro + aislantes)
bm = profundidad neta del hierro. (bm = n.t).
donde: n = Nº de láminas en el núcleo; y t = espesor de las mismas
Luego: Am = a × bm = a × nt ⇒ Am = a × nt ; An = a × b
Am a × nt
Como: Am = An × f a ⇒ f a = =
An a×b
nt nt
fa = ⇒b=
b fa
nt
An = a × b = a ×
fa
17

18. nt A ×f An × f a
An = a × ⇒n= n a t=
fa a×t a×n
AREA DEL ENTREHIERRO. – La dispersión de líneas se toma en
cuenta, aumentando la sección del entrehierro con respecto a la del
núcleo de acuerdo con la fórmula empírica: Ag = ( a + g ) ( b + g ) a y b
son las dimensiones de los lados de la sección del núcleo; g = longitud
del entrehierro
 nt 
Ag =( a +g )  +g 
 fa 
“También el efecto de borde aumenta con la longitud del entrehierro”.
4.2. METODOS DE SOLUCION PARA PROBLEMAS DE CIRCUITOS
FERROMAGNETICOS: Se presentan los siguientes casos:
CASO 1: CIRCUITO SERIE RECTANGULAR SIN ENTREHIERRO Y
SECCIÓN CONSTANTE, DE UN MISMO
MATERIAL
1a.- Cálculo de la (fmm=NI), dato φ :
φ
1. Se calcula Bm = A
m
2. Con Bm en la curva B – H del material encontramos Hm.
3. Con la ley de circuitación: fmm = NI = H mlm
NI
1b.- Cálculo de φ , dato (fmm=NI): 1. Se calcula H m = ;
lm
2. Con Hm en la curva B-H y encontramos Bm. 3.Luego resulta: φ = Bm Am
CASO 2: CIRCUITO SERIE RECTANGULAR CON
ENTREHIERRO Y SECCIÓN CONSTANTE, DE UN
MISMO MATERIAL.
2a. Cálculo de (fmm=NI), dato φ :
18

19. φ φ
1. Se calcula: Bm = A y para el entrehierro Bg = A , donde Ag = ( a + g ) ( b + g ) . 2.
m g
Bg
Con Bm entramos a la curva B-H y encontramos Hm. Determinamos H g = µo
3. Luego: fmm = NI = ∑ Hl = H m lm + H g × g
2b. Cálculo de φ , dato (fmm=NI): Existen dos métodos:
METODO DEL TANTEO; consiste en el siguiente proceso:
1. Asumir un flujo φ1 cualquiera razonable.
φ1 φ1
2. Determinar: Bm = Am y Bg = Ag .
3. Con Bm en la curva B-H del material obtenemos Hm.
Con Bg en la recta B-H del entrehierro (aire) obtenemos Hg. También se puede aplicar:
Bg
Hg =
µo ; µo = 4π ×10−7
4. Calculamos: ( NI )1 = ∑ Hl = H m lm + Hg × g
5. Si la fmm1=(NI)1 calculado se aproxima en 3% como
máximo, el flujo φ1 asumido será correcto, en caso
contrario seguiremos probando, asumiendo el nuevo flujo φ2 , así: Si: (NI)1< (NI)dato, se
asume φ2 > φ1 y se repiten los cálculos 2º ,3º y 4º
Si (NI)1> (NI)dato, se asume φ2 < φ1 y se repiten los cálculos 2º , 3º y 4º.
METODO GRAFICO; Empleo de la recta de pendiente modificada:
Ecuación circuital: ( NI )1 = H mlm + Hg × g ……… (1)
φm = φg ; ...........Bm Am = Bg Ag
H g = Am Bm / µ0 Ag ……… (2)
( Am g )
(2) en (1): NI = H mlm + xBm , (ecuac. de la recta) ….(3)
( µ0 Ag )
NI dato ( NI ) dato × µ0 × Ag
1. Calcular: x = ;e y=
lm Bm = 0 g × Am H m =0
19

20. 2. Con “x” e “y” calculado se traza la recta xy lo
cual interesará a la curva B-H (escala
simétrica) en el punto “M” la cual
corresponde las características del material y
obtenemos: Bm y Hm.
3. φ = Bm × Am
CASO 3: CIRCUITO SERIE RECTANGULAR CON O SIN ENTREHIERRO
DE SECCION CTE, PERO CON VARIOS MATERIALES.
Se calcula las densidades para cada material:
3a. Cálculo de la (fmm=NI), dato el flujo φ : Se procede tal como en 2b.
φ
Para material 1: Bm1 = Am  Hm1
φ
Para material 2: Bm 2 = Am  Hm2
φ
Para material 3: Bm 3 = A  Hm3
m
φ
Para el entrehierro: Bg = A 
g
Bg
Hg =
µ0
Finalmente: NI = ∑ H .l = H mlm + H m 2lm 2 + H m 3lm 3 + H g g
3b.Cálculo de φ , dato (NI): Se aplica el método del tanteo:
φ1 φ1
1º) Bm1 = = Bm 2 y Bg = Ag ; φ1 es el primer valor asumido del flujo
Am
Bg
2º) Cálculo de las intensidades: H m1 y H m 2 en las curvas B-H y H g = µ0 .
3º) Obtener ( NI )1 = ∑ Hl = H m1lm1 + H m 2lm 2 + H g g ; y comparar con (NI)dato, tal
como en 2b, hasta que: ( NI )i ≅ ( NI ) dato , hasta en 3% de aproximación
como máximo, siendo i= 1, 2, 3 …. n. que indica el Nº de tanteos.
CASO4: CIRCUITO SERIE
RECTANGULAR CON O SIN
ENTREHIERRO DE SECCIÓN
VARIABLE
20

21. 4a. Cálculo de NI, dato φ :
1º) Determinar: Bm1 = φ Bm 2 = φ Bg = φ
Am1 ; Am 2 ; y Ag
2º) Calcular en la curva de materiales los Hm
Con Bm1  H m1
→
curva
B−H
Con Bm 2  H m 2
→
curva
B−H
Bg
y para el entrehierro H g = ; o en la recta del aire.
µ0
3º) Calcular NI = ∑ Hl = H m1lm1 + H m 2lm 2 + H g g
4b. Cálculo de φ , dato NI:
Aplicamos el método del tanteo como en 2b y 3b con la diferencia de que:
φ1 φ1 Bg =
φ1
Bm1 = Bm 2 =
Am1 , Am 2 y Ag
φ1 es el primer valor asumido del flujo
CASO 5: CIRCUITOS RECTANGULARES
PARALELO Y SERIE-PARALELO CON O SIN
ENTREHIERRO
Se aplica Kirchoff: Ley de nodos: ∑ φ = 0 y Ley de
mallas: NI = ∑ Hl ;
en nodo “m”: φ A + φC = φB ; en malla manm:
N A I A = H AlmA + H B lmB + H g g ; en malla mbnm: N C I C = H C lmC + H mB lmB + H g g ; en malla
ambna: N A I A − N C I C = H mAlmA − H mC lmC .
No existe métodos generales; de acuerdo a la configuración del circuito y a los datos, se
elige el método del tanteo o el método gráfico.
REACTOR CON NUCLEO DE HIERRO
Es un bobinado con núcleo ferromagnético que al ser recorrida por una corriente alterna
genera altas inductancias con dimensiones reducidas, XL = wL.
21

22. Cuando se le energiza con una tensión V aparece en sus bornes una tensión autoinducida
“e”: v = rie + e ; “r” es la resistencia del cobre de la bobina y “e” es la tensión inducida:
dλ dφ dφ
e= =N , “r” es pequeña y se puede despreciar, entonces: v = e = N ; Si la
dt dt dt
energía eléctrica es sinusoidal, el flujo ( φ ) producido lo es también, entonces:
φ = φmax sen ( ωt ) ; El valor eficaz de la tensión sinusoidal es:
Emax N ωφmax N (2π f )θ max
E= = = = 4.44 Nf φmax ; E = 4.44 Nf φmax Siendo
2 2 2
Bmax = φmax A ⇒ φmax = Bmax . A ; resulta: E = 4.44 N . f . A.Bmax
Corriente de Excitación: Es la corriente “ie” absorbida por el reactor bajo una tensión v
sinusoidal: Esta corriente de excitación pierde su forma sinusoidal debido a la
característica no lineal del material ferromagnético:
“ie” se descompone una parte en la que realiza la excitación real, en la creación del campo
magnético y la otra parte genera pérdidas en el núcleo en forma de calor por efecto de las
corrientes parásitas y el fenómeno de la histéresis: ie = im + ir , donde: im =componente
magnetizante e ir =componente de pérdidas.
22

23. ie : Es del 3 al 10 % del valor nominal en reactores y transformadores, tiene alta
reactancia respecto a las pequeñas resistencias de pérdidas, justifica considerar ie como
sinusoide y representarla por un fasor, a partir de sus valores eficaces: I e = I m + I r ;
cuando al reactor se aplica una tensión eficaz ( E ):
W fe
I r , componente de pérdidas en el núcleo y está en fase E ; Ir = W fe = pérdidas en el
E
hierro en watts; E=voltaje eficaz aplicado en bornes.
I m , componente de magnetización, cuyo valor eficaz es el valor eficaz de todos los
armónicos, menos la componente de pérdidas, por lo que está en cuadratura con E , o sea
retrazada 90º respecto de E . Entonces: I e = I r2 + I m
2
Las pérdidas en el hierro es: WF 2 = E.I r = E.I e cos θ
La componente de pérdidas es pequeña en comparación con la componente de
magnetización y en algún momento alterna:
CIRCUITO EQUIVALENTE DEL REACTOR
1. Parámetros eléctricos de excitación V e Ie .
2. La resistencia interna de la bobina R
3. La componente de pérdidas Ir y la
componente de magnetización Im tal que
cumplan I e = I r + I m .
23

24. De donde se deduce los valores fasoriales:
V = E + RI e ; Ie = Ir + Im ; Ir = g E ; I m = − jbE ; g disipa las pérdidas en
WFe
el hierro: g = . La conductancia “g” y la susceptancia “b” de magnetización
E2
constituyen la admitancia de excitación: y = g − jb ; siendo datos I e y E la admitancia
2
Ie I 
es: y= y = g +b
2 2
b= y − g =  e  − g2
2 2
E E
CURVAS CARACTERISTICAS DE LOS REACTORES: Hay tres aspectos: la
producción de flujo, las pérdidas de
dicha producción de flujo y la reactancia
neta resultante.
Curvas para determinar los parámetros:
1. Curva de Magnetización eficaz
para el Flujo Senoidal: Permite
calcular “Hm” eficaz, conociendo:
E ; y por la ley de
Bmax =
4, 44 NfA
circuitación, calculamos la corriente
H m .l
de magnetización Im: N .I m = H m .l ; Im =
N
2. Curva de Pérdidas en el Núcleo: Permite calcular las pérdidas en Watts libra ó
Watts kilolineas
Kg conociendo Bmax en pu lg 2 o gauss.
24

25. 3.
Las curvas de potencia Reactiva: Es la gráfica de Voltio Amperio reactivos (Q) vs
Bmax, conociendo Bmax se determina Q, luego la corriente de magnetización Im:
Q
Como Q = E.I m ⇒ Im =
E
Procedimiento Para Construir La Curva: Partimos de que E = 4, 44 N . f . A.Bmax y
H ml
Im = ; entonces: Q = E × I m = 4, 44 f .l. A( Bmax .H m )
N
El peso del núcleo, considerando γ como el peso específico, será:
Q 4, 44. f ( Bmax .H m ) VAR VAR
Wn = γ .l. A , luego = en:
Peso γ Libra ó Kg
Bmax
Además H m = , o sea Hm está en función de Bmax, entonces Q/peso dependerá de
µ
2
Q 4, 44( Bmax )
Bmax y la frecuencia “f”. Veamos: =
Peso γ ×µ
25

26. 26