2. En el subcampo matemático del análisis
numérico, se denomina interpolación a la
obtención de nuevos puntos partiendo del
conocimiento de un conjunto discreto de
puntos.
La línea azul representa la interpolación lineal en los puntos rojos
3. La interpolación se usa para obtener datos
intermedios, a través de una tabla de
valores, construyendo un polinomio que pasa
por el conjunto de datos conocidos, llamados
nodos de interpolación; este polinomio suele
expresarse en términos de las diferencias.
4. Cuando la función ha sido tabulada, se
comporta como un polinomio, se suele
aproximar al polinomio que se le parece.
Una forma sencilla de escribir un polinomio
que pasa por un conjunto de puntos
equiespaciados, es la fórmula del polinomio
interpolante en avance y retroceso.
5. Sea una variable discreta de elementos y
sea otra variable discreta de elementos los
cuales corresponden, por parejas, a la
imagen u ordenada y abcisa de los datos que
se quieran interpolar, respectivamente, tales
que:
6. El método anterior es muy algorítmico y
resulta sumamente cómodo en determinados
casos, sobre todo cuando se quiere calcular
un polinomio interpolador de grado elevado.
El polinomio de grado resultante tendrá la
forma:
7. Sean x0; x1; . . . ; xn; (n+1) puntos distintos
de R: Sean w0; w1; . . . ; wn; (n + 1) valores
reales arbitrarios. Entonces existe un único
polinomio P(x) de grado ≤ n tal que
P(xi) = wi; Vi = 0; 1; : : : ; n
8. Sea X0 є R: Sean w0; w1; . . . ; wn; (n+ 1)
valores reales arbitrarios. Entonces existe un
único polinomio P(x) de grado ≤ n tal que
P(i(X0) = wi; Vi = 0; 1; . . . ; n:
Para demostrarlo basta tomar en el Teorema
1:
L = Pn(R); N = n + 1
Fi: p є Pn(R) Fi(p) = p(i(X0) є R; i = 0; . . . ;
n
Al polinomio P(x) se le llama polinomio de
interpolación de Taylor de grado n en el
punto X0
9. Sean x0; x1; : : : ; xn; (n+1) puntos distintos
de R: Sean
w0; w1; : : : ; w2n+1; (2n + 2) valores reales
arbitrarios.
Entonces existe un único polinómio P(x) de
grado 2n + 1 tal que
P(xi) = wi; Vi = 0; 1; . . . ; n;
P0(xi-(n+1)) = wi; Vi = n + 1; . . . ; 2n + 1
