polinomios interpolantes, tabla de divididas, metodos y ejemplos

1. Instituto universitario politécnico
Santiago Mariño
Extensión Porlamar
REVISTA DIGITAL
Realizado por:
Jessica Parra C.I.:24.696.113

2. POLINOMIOS
INTERPOLANTES
La interpolación polinómica es un método usado para conocer, de un modo
aproximado, los valores que toma cierta función de la cual sólo se conoce su
imagen en un número finito de abscisas. El objetivo será hallar un polinomio que
cumpla lo antes mencionado y que permita hallar aproximaciones de otros valores
desconocidos para la función con una precisión deseable fijada. Por ello, para cada
polinomio interpolador se dispondrá de una fórmula del error de interpolación que
permitirá ajustar la precisión del polinomio. La idea de la interpolación es poder
estimar f(x) para un x arbitrario, a partir de la construcción de una curva o
superficie que une los puntos donde se han realizado las mediciones y cuyo valor si
se conoce. Se asume que el punto arbitrario x se encuentra dentro de los límites
de los puntos de medición, en caso contrario se llamaría extrapolación. En ciertos
casos el usuario conoce el valor de una función f(x) en una serie de puntos 𝑿 𝟏 𝑿 𝟐
… 𝑿 𝒏, pero no se conoce una expresión analítica de f(x) que permita calcular el
valor de la función para un punto arbitrario.

4. TABLA DE DIFERENCIAS
La interpolación se usa para obtener datos
intermedios a partir de una tabla de valores,
construyendo un polinomio que pasa por el conjunto
de datos conocidos, llamados nodos de
interpolación; este polinomio suele expresarse en
términos de la diferencias ∆i f. Para introducir estas
diferencias, consideramos la tabla formada por un
conjunto de valores de una función f(x) en el
conjunto de N puntos equiespaciados {x0, x1, ...,
xN−1} con xi = xi−1 + h. Llamamos fk a f(xk) y
definimos: ∆fk = fk+1 − fk ∆ 2 fk = ∆fk+1 − ∆fk =
(fk+2 − fk+1) − (fk+1 − fk) (1) y en general: ∆ i+i fk =
∆i fk+1 − ∆ i fk.

5. POLINOMIOS
INTERPOLANTES
Interpolación de Lagrange: el polinomio de
Lagrange, llamado así en honor a Joseph-
Louis de Lagrange, es una forma de presentar
el polinomio que interpola un conjunto de
puntos dado. Lagrange publicó este resultado
en 1795, pero lo descubrió Edward Waring en
1779 y fue redescubierto más tarde por
Leonhard Euler en 1783.1 Dado que existe un
único polinomio interpolador para un
determinado conjunto de puntos, resulta algo
engañoso llamar a este polinomio el
polinomio interpolador de Lagrange. Un
nombre más apropiado es interpolación
polinómica en la forma de Lagrange.

6. Interpolación de Hermite: la interpolación de
Hermite, nombrada así en honor a Charles
Hermite, es un método de interpolación de
puntos de datos como una función polinómica.
El polinomio de Hermite generado está
estrechamente relacionado con el polinomio de
Newton, en tanto que ambos se derivan del
cálculo de diferencias divididas.
Consiste en buscar un polinomio por pedazos
𝑯 𝒏 𝒙 que sea cúbico en cada subintervalo
𝒙 𝒊−𝟏 , 𝒙𝒊 , 𝟏 ≤ 𝒊 ≤ 𝒏 y que cumpla 𝒇′ 𝒙 en los
puntos 𝒙𝒊, ⋯ , 𝒙 𝒏 , donde 𝒇 𝒙 es la función que
se quiere interpolar. La función 𝑯 𝒏 𝒙 queda
determinada en forma única por estas
condiciones y su cálculo requiere de la solución
de 𝒏 sistemas lineales de ecuaciones de
tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la
interpolación de Hermite es que requiere de la
disponibilidad de los 𝒇′ 𝒙 , 𝟏 ≤ 𝒊 ≤ 𝒏 lo cual
no es el caso en muchas aplicaciones.

7. Interpolación de Newton-Gregory: Este
actua, cuando la función ha sido tabulada,
se comporta como un polinomio, se le puede
aproximar al polinomio se le parece. Una
forma sencilla de escribir un polinomio que
pasa por un conjunto de puntos
esquiespaciados, es la fórmula del polinomio
interpolante de Newton-Gregory (en avance
y retroceso).