Este documento describe varios métodos de interpolación polinómica, incluyendo interpolación polinómica de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange y Hermite. Estos métodos construyen polinomios que pasan a través de puntos de datos conocidos para aproximar funciones desconocidas. Los métodos de interpolación polinómica tienen aplicaciones en la solución numérica de ecuaciones diferenciales.

1. Polinomios
Interpolantes
Isaac Moreno
20.652.646

2. El Problema De La
Interpolación
 Muchas veces, de una función sólo conocemos un conjunto de
valores. Esto puede suceder, por ejemplo, porque son los
resultados de un experimento gobernado por una ley que
desconocemos. Si queremos calcular el valor de la función para
una abscisa diferente de las conocidas, debemos utilizar otra
función que la aproxime y, naturalmente, el valor que
obtengamos será una aproximación del valor real. También
puede suceder que sepamos la expresión analítica de la función,
pero sea lo suficientemente complicada como para calcular
aproximaciones a los valores de la función a partir de otros ya
conocidos.
Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una
de las más utilizadas es la interpolación, que consiste en
construir una función que pase por los valores conocidos
(llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de la función
primitiva. Si se utilizan polinomios como funciones de
aproximación, hablamos de interpolación polinómica.
Si la abscisa para la que queremos encontrar un valor
aproximado de la función se encuentra fuera del mayor intervalo
definido por las abscisas de los polos, se dice que estamos
haciendo extrapolación.

3. Tabla De Diferencias
 Dados los valores de una función desconocida correspondiente
a dichos valores de x, ¿cuál es el comportamiento de la
función?; el propósito es determinar dicho comportamiento, con
las muestras de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un
polinomio que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi,
f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función se
comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión.
Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los
mismos puntos que la función desconocida se puede establecer
un sistema de ecuaciones, pero este proceso es un poco
engorroso; resulta conveniente arreglar los datos en una tabla
con los valores de x en forma ascendente. Además de las
columnas para x y para f(x) se deberán tabular las diferencias de
los valores funcionales. Cada una de las columnas de la
derecha de f(x), se estima o determina calculando las
diferencias entre los valores de la columna a su izquierda.

4. La siguiente tabla es una tabla típica de diferencias
x f(x) D f(x) D 2f(x) D 3f(x)
0.0 0.00
0.203
0.2 0.203 0.017
0.220 0.024
0.4 0.423 0.041

5. Polinomio Interpolante de Newton-
Gregory
 Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un
polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece.
Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un
conjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula del Polinomio
Interpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).
 Fórmula de Avance
 Fórmula de Retroceso
La fórmula usa la notación, que es el número de combinaciones
de s cosas tomadas de n a la vez, lo que lleva a razones
factoriales. Donde s viene dada por: x es el valor a interpolar el
polinomio obtenido; Xo viene a ser el punto de partida para
seleccionar los valores , que serán seleccionados de la tabla de
diferencias, formando una fila diagonal hacia abajo en el caso de la
fórmula de avance; en caso de la fórmula de retroceso los valores
forman una fila diagonal hacia arriba y a la derecha. Y ha viene a
ser la longitud o distancia entre los valores de xi

6. Polinomio Interpolante de
Gauss
 Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del
Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las
trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la
fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y
retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir
los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en
forma de zig-zag.
En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en
forma de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia
arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de
avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando
primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así
sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de avance y
retroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.

7. Interpolación De Hermite
 Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico
en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos .
La función Hn(x) queda determinada en forma única por estas
condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas
lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la
interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de
los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones.

8. Interpolación Usando Splines
 Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos
hasta ahora tienen la desventaja de que su segunda derivada no
es continua en los puntos de interpolación. Se ha observado que
en aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de detectar
discontinuidades en la segundas derivadas de una función,
haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no luscan
uniformes. Esto motiva el uso de los splines que son funciones
s(x) continuas por pedazos con las siguientes propiedades:
1. s(x) es polinomio cúbico en .
2. existen y son continuas en .
3. s(x) interpola a la función f en los datos .
4. s(x) es continua en el intervalo.
Si escribimos , entonces tenemos un total de 4n desconocidas.
Las condiciones 2) y 4) nos dan 3(n-1) ecuaciones mientras que
de 3) obtenemos n+1 para un total de 4n-3(n-1)-(n+1)=2 grados
de libertad. Estos grados de libertad se fijan imponiendo
condiciones de frontera adicionales en s(x).
Defina . Como s(x) es cúbico en , entonces s"(x) es lineal

9. Polinomio Interpolante De
Lagrange
 Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que
pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este
Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de
Lagrange.
Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del
espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no
se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene
que determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza
la interpolación, se propone el siguiente grado, se vuelve a
interpolar y se compara con algún criterio de convergencia, si se
cumple terminamos si no, se repite el procedimiento.

10. Diferencias Divididas Y La fórmula
General De Newton
 La diferencia dividida de Newton para la Interpolación de
Polinomios está entre los modelos más populares y útiles. Para
un polinomio de grado n se requiere de n + 1 puntos. Se usan
estos datos para determinar los coeficientes para las diferencias
divididas. Partiendo de una tabla de diferencias divididas. Para
aplicar el Polinomio de Interpolación por diferencias divididas de
Newton, no es necesario que los datos tabulados sean
necesariamente equiespaciados o que los valores deban estar
ordenados en forma ascendente. El valor que aporta el
polinomio de Newton está sujeto a un error

11. Aplicación De Los Métodos Numéricos
De Interpolación En La Resolución De
Problemas.
 Para datos tabulados en forma equiespaciada o no esquiespaciada, a
través de una serie de técnicas que antes de la llegada de las
computadoras tenían gran utilidad para la interpolación, sin embargo,
con fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite,
Newton, etc., son compatibles con computadoras y debido a las
muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías;
dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones
diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano (la ecuación
de Laplace, la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger, etc.).
Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares
del problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores
para un operador diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles
de esta discusión. Sólo diremos que los polinomios de Hermite son un
caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas
soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función
de peso. En el caso de familias de polinomios ortogonales, existen
relaciones de recurrencia que vinculan cada polinomio con los de
grados inmediatamente anterior y posterior, y típicamente poseen una
función generatriz, así_ como operadores de subida y de bajada. En los
capítulos siguientes encontraremos nuevas familias de polinomios
ortogonales. Todos ellos provienen de sendos problemas de Sturm-
Liouville, y por tanto no será extraño encontrar las mismas