Tema de métodos numéricos explicación concreta de la formula

1. UNIDAD IV: INTERPOLACIÓN Y
APROXIMACIÓN POLINOMIAL
4.1. INTERPOLACIÓN LINEAL
FRANCISCO JAVIER RUBIO
DAVID GONZALES
ALBERTO A. NAVARRETE
ADRIAN APOLINAR PACHECO
FERNANDO GARCÍA
JOSÉ MANUEL SANDOVAL
SERGIO PAZ

2. INTRODUCCIÓN
• La interpolación lineal es una caso particular de la
interpolación general de Newton.
• Con el polinomio de interpolación de Newton se logra
aproximar un valor de la función f(x) en un valor
desconocido de x. El caso particular, para que una
interpolación sea lineal es en el que se utiliza un polinomio
de interpolación de grado 1, y se denota de la siguiente
manera:

3. ¿QUÉ ES EN REALIDAD?
• La interpolación es un método numérico (y gráfico) que
permite encontrar datos desconocidos entre o en medio
de otros datos ya conocidos. El tipo de interpolación
difiere según la naturaleza de los datos tratados.

4. • Para entender la interpolación lineal, debemos reconsiderar la
“función lineal”, así como sus propiedades. Su gráfica general
se presenta a continuación.

5. • Dada la función lineal f: R -> R, tal que y=f(x)=mx+b, podemos
observar que siempre se tiene que f(0)=b, por lo tanto, la
gráfica de f corta al eje y en el punto (0, b). Por esta razón el
parámetro b se conoce usualmente como y – intersección de la
recta que representa la gráfica de la función.
• Por otra parte, si consideramos dos puntos (𝑥1, 𝑦1) y (𝑥2, 𝑦2), con
𝑥1 ≠ 𝑥2, en la gráfica de la función f, tenemos que:

6. • Lo que hemos verificado es que en cualquier intervalo del
dominio, la razón de cambio de la función f es igual a la
constante m. Gráficamente podemos ver que esta razón
de cambio es una medida de la inclinación de la recta
que representa la gráfica de f. Por este motivo, el
parámetro m recibe el nombre de pendiente de la
gráfica de la función.

7. • La propiedad de “razón de cambio constante” de la función
lineal, permite utilizarla con toda seguridad para “interpolar”
datos desconocidos a partir de otros datos conocidos (siempre y
cuando se relacionen linealmente). Volvamos a la figura de la
recta.

8. • Como inicio axiomático, daremos por sentado que todos los
datos se relacionan linealmente. Ahora, digamos que conocemos
a: 𝑥1, 𝑥2, 𝑦1, 𝑦2 y también a 𝑦3 que se encuentra en algún
lugar entre 𝑦1 e 𝑦2. Y queremos encontrar un dato que se
encuentra entre 𝑥1 y 𝑥2. Valiéndonos del hecho de que tienen
igual pendiente y que sus razones de cambio son las mismas y
constantes. Podemos escribir una ecuación que las relacione, así:

9. • Reacomodando la ecuación nos da:
• Luego:
• Después:

10. • Por último multiplicamos por –1 (menos uno) a ambos lados de
la igualdad y reacomodamos un poco:
• La anterior es una fórmula de interpolación lineal para hallar a
𝑥3, conociendo el resto de los puntos.

11. • Pongámosle valores a la ecuación anterior, así podremos verificar que
𝑥3 tenga un valor entre 𝑥1 y 𝑥2:
• Sustituimos cada subíndice y evaluamos en la fórmula de interpolación:
• Valor que efectivamente se encuentra entre 2 y 7.

12. Para que nos sirve la interpolación
lineal?
 En ocasiones te encontrarás que tienes una serie de
datos tabulados, en los que se presenta la relación
entre dos variables (x, y) y para las cuales
necesitas conocer el valor de y, para un
determinado valor de x que precisamente no
aparece en la tabla en cuestión, pero que si está
dentro del rango de valores de referencia:

14. • 1. tenemos que seleccionar los pares de valores (x0=2,
y0=3) y (x1=4, y1=6).
Con esto, podremos aplicar la fórmula de Interpolación Lineal: