Cátedra Alfonso Reyes - CIDHEM




 Una invitación a la
Matemática Recreativa
       Mat. Renato Galicia Brito
           ...
A fin de cuentas…

¿A quién se le ocurrió todo
lo que aparece en mi libro
de matemáticas?
Evariste Galois (1811-1832)
Augustin Louis Cauchy
                            1789 - 1857




Siméon Denis Poisson
     1781 - 1840
Una ecuación irreducible de grado primo
es resoluble por radicales si y solo si
todas sus raíces son funciones racionales
...
Srinivasa Aiyangar Ramanujan
          1887 - 1920
Legislando el valor de π
   (la ley 246 del año de 1897)
Pi: Proyecto de ley en 1897
                                           Indiana State Capitol
En el estado de Indiana, haci...
¿En verdad puede no ser
aburrida la matemática?
Henry Ernest Dudeney
     (1857-1930)
Samuel Loyd
 (1841-1911)
Yakov Isidorovich Perelman
        (1882-1942)




                     http://www.librosmaravillosos.com/
Júlio César de Mello Souza
      “Malba Tahan”
       (1895-1974)
Martin Gardner
  (n. 1914)
La diversión es uno
de los campos de la
matemática aplicada.
        William F. White
Jugando con los números
Los números se pelearon




Sobre el diagrama
adjunto, colocar los
números del 1 al 8 de
tal manera que dos
números consec...
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El juego de los cuatro cuatros
Aparece por vez primera a finales de 1881 en la revista londinen-
se “An illusrated magazin...
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                                                      4 = 4(4 − 4) + 4
        44             44
   1=              ...
Enriqueciendo el juego de los cuatro cuatros

           Existen 64 formas de escribir
             64 usando cuatro cuatr...
Una peculiaridad del número 19:

     4 + 4 − 0.4              5 + 5 − 0.5
19 =                     19 =
         0.4     ...
153 peces
Juan 21:11 “Subió Simón Pedro y trajo la red a
tierra, llena de grandes peces, ciento cincuenta y
tres: y siendo...
153 peces
                       “Tratados sobre el
                   Evangelio según San Juan”



                 10 ma...
153 peces
  Sólo existen cuatro números que son
  iguales a la suma de los cubos de sus
  dígitos, y 153 es el menor de el...
153 peces
     Phill Kohn, descubrió otra propiedad del 153:
• Consideramos cualquier entero que sea múltiplo de 3.
• Se s...
153 peces
        (sometiendo a prueba el método de Kohn)

                                               x3
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Raíz Cúbica “extra-fácil”

Extraer la raíz cúbica de un número cualquiera es la cosa
más sencilla del mundo: Basta con sum...
Los números de Dudeney
Un número de Dudeney es un
cubo perfecto, con la propiedad
adicional de que la suma de sus
dígitos ...
3+123                 3+103
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                         Wells p. 77




1 + 7 + 2 +...
Tómese un número de cuatro cifras
        6174                     (no todas iguales). Por ejemplo, 3251.
constante de Kap...
Lo Shu 洛書
  2800 a.n.e.



                                                        Fu Hsi


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Sator: sembrador
Arepo: nombre propio
Tenet: sostener
Opera: trabajo, esfuerzo
Rotas: ruedas, arado


“El gran sembrador s...
Cuadrado Mágico
de Alberto Durero




  Melencolia I, 1514
Grabado, 239 x 189 mm
Kupferstichkabinett, Staatliche
    Kunst...
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    5 10 11 8
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1. La suma de cada renglón, columna o diagonal...
3

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             ...
El método de Bachet en un cuadrado de 5 × 5 casillas


                  5

             4         10

        3         9...
Un método de construcción para cuadrados de 4n × 4n casillas
 1.   Colocar los números en el orden natural.
      Subdivid...
Los Cuadrados Mágicos
       de Benjamín Franklin
Franklin jugó con la
construcción de
cuadrados mágicos
entre 1736 y 1737...
Poligrafías de las piezas de ajedrez
Euler y el recorrido del caballo

                      18 35 64 13 60 37 22 11

                      63 14 17 36 21 12 5...
http://www.borderschess.org/KnightTour.htm
Evitando tres en raya
(fichas sobre el tablero de ajedrez)



                       Dos jugadores colocan fichas
        ...
Evitando tres en raya
ejemplo de una configuración con un número
  máximo de fichas sobre un tablero de 8×8
Evitando tres en raya


Por definición, el juego nunca puede alcanzar
los 2n+1 movimientos, así que…


Existe una estrateg...
Este bicho se pasea por un paralelepípedo
y se quiere desplazar del vértice A al vértice B

                         1. ¿C...
BC = 30 cm
                         AC = 40 cm




  ∠BCA = 90º
⇒ AB = AC + CB
     2     2         2


⇒ AB = 40 + 30
   ...
¿Cuánto mide el ángulo entre las
dos diagonales sobre este cubo?
¿Cuánto mide el ángulo entre las
dos diagonales sobre este cubo?
                                   Si completamos con el
...
Con lo aprendido en el ejemplo anterior…
¿Cuánto mide el ∠PQR?
P, Q y R son los puntos medios de las aristas indicadas.


...
R
    Q




P
                Q                 R

                         60,0 °
                60,0 °




            P
¿Ensamble imposible?
¿Ensamble imposible?
      (Solución)
¿Qué caja pesa más?

• Ambas cajas tienen las mismas dimensiones.
• El material de las esferas es homogéneo.
• El diámetro...
Tapón Múltiple I
Tapón Múltiple I
    (Solución)
Tapón Múltiple II
Tapón Múltiple II
    (Solución)
Tapón Múltiple III
Tapón Múltiple III
     (Solución)
Hexaflexágonos
         Emplear una cinta larga de papel con bordes paralelos.
         Trazar una serie de 19 triángulos ...
4-8-12                     3-7-11




B            A             B            1-5-9




                  3-7-11




     ...
¡Parece Fácil!

Probar mediante geometría elemental (sin trigonometría) que

                    ∠A + ∠B = ∠C
Hacen falta trazos adicionales…


    ∠B = ∠D
(por ser homólogos en
triángulos semejantes)


 ∠A + ∠D = ∠C
 (correspondien...
Según Mª Luz Callejo, los juegos de estrategia favorecen:
1.   Trabajo en grupo.
2.   Comunicación de ideas.
3.   Capacida...
Gómez Chacón propone
                     esta metodología general:
1. Familiarizarse con el juego.
2. Exploración inicial...
Existe bastante literatura sobre resolución de problemas. En función del ámbito más o
  menos profundo o del nivel de espe...
Algunas recomendaciones para navegar

http://www.librosmaravillosos.com/

http://descartes.cnice.mecd.es/matemagicas/index...
La siguiente anécdota ocurrió en la ocupación de Francia por los alemanes,
                         durante la Segunda Gue...
Bibliografía de Matemáticas Recreativas

          Autor               Año                           Título               ...
Bibliografía de Matemáticas Recreativas

        Autor              Año                                 Título            ...
Bibliografía de Matemáticas Recreativas

     Gardner, Martin       1978              Festival Magico-Matemático          ...
Bibliografía de Matemáticas Recreativas

  Hardy, Haworth & Love         -                         Points of departure 2  ...
Bibliografía de Matemáticas Recreativas

        Pedoe, Dan              1958                    The gentle art of mathema...
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   El número de la bestia
     DUX CLERI              LUDOVICUS
Capitán de los clérigos   Vicario de la corte
   D = 5...
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            El número de la bestia

  ROMIITH                     ROMITI
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En el libro Tercero (9ª parte, capítulo 19) de “La Guerra y la Paz”
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             El número de la bestia         I     73
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Matemática Recreativa (Ver. 5) - Presentación del Taller brindado por el Prof. Renato Galicia Brito durante el 3º Congreso Provincial de Educación desarrollado los días 18, 19 y 20 de Julio de 2007 en la ciudad de Trelew, Chubut bajo la temática "Calidad Educativa: Un Proceso de Construcción Conjunta."

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CPE 07 - Taller

  1. 1. Cátedra Alfonso Reyes - CIDHEM Una invitación a la Matemática Recreativa Mat. Renato Galicia Brito (México)
  2. 2. A fin de cuentas… ¿A quién se le ocurrió todo lo que aparece en mi libro de matemáticas?
  3. 3. Evariste Galois (1811-1832)
  4. 4. Augustin Louis Cauchy 1789 - 1857 Siméon Denis Poisson 1781 - 1840
  5. 5. Una ecuación irreducible de grado primo es resoluble por radicales si y solo si todas sus raíces son funciones racionales de dos cualesquiera de las raíces
  6. 6. Srinivasa Aiyangar Ramanujan 1887 - 1920
  7. 7. Legislando el valor de π (la ley 246 del año de 1897)
  8. 8. Pi: Proyecto de ley en 1897 Indiana State Capitol En el estado de Indiana, hacia el final de la sección 2, de la iniciativa de ley No. 246, podemos leer: “La razón del diámetro a la circunferencia es de cinco cuartos a cuatro” Es decir: π ≡ 3.2
  9. 9. ¿En verdad puede no ser aburrida la matemática?
  10. 10. Henry Ernest Dudeney (1857-1930)
  11. 11. Samuel Loyd (1841-1911)
  12. 12. Yakov Isidorovich Perelman (1882-1942) http://www.librosmaravillosos.com/
  13. 13. Júlio César de Mello Souza “Malba Tahan” (1895-1974)
  14. 14. Martin Gardner (n. 1914)
  15. 15. La diversión es uno de los campos de la matemática aplicada. William F. White
  16. 16. Jugando con los números
  17. 17. Los números se pelearon Sobre el diagrama adjunto, colocar los números del 1 al 8 de tal manera que dos números consecutivos NO sean adyacentes (i.e. que no queden unidos por una línea)
  18. 18. on ar le 7 pe se n) os ució er sol úm ( 1 4 3 n os L 5 6 8 2
  19. 19. El juego de los cuatro cuatros Aparece por vez primera a finales de 1881 en la revista londinen- se “An illusrated magazine of science, plainly worded and exactly described”. Se cuenta que este pasatiempo causó tanto furor, que debió ser prohibido en las oficinas públicas. Expresar tantos números como sea posible, utilizando sólo cuatro cuatros y cualquier símbolo matemático: •Operaciones elementales: +, −, ×, ÷ •Potencias y Raíces:^, √ •Factoriales: n!= 1·2·3··· n(n-1)(n-2) •Dobles Factoriales: 2n!!=2·4·6···(2n-2)·2n •Signos de Agrupación: ( ), { }, [ ], { }, etc. A continuación podemos intentarlo, organizados en equipos de cuatro integrantes, con los números del 1 al 20.
  20. 20. 4= 1= 2= 3= 4 7 = 4+4− 6= 5= 8= 4 9= 11 = 10 = 12 = 15 = 13 = 16 = 4 + 4 + 4 + 4 14 = 18 = 17 = 19 = 20 =
  21. 21. 4+4+4 4 = 4(4 − 4) + 4 44 44 1= 3= 2= + 44 4 44 (4 ⋅ 4) + 4 4+4 44 5= 6 = 4+ 7= −4 8 = 4+4+4−4 4 4 4 44 − 4 44 + 4 4 44 9 = 4+4+ 11 = 10 = 12 = 4+ 4 4 4 4 44 44 13 = +4 15 = +4 16= 4⋅ 4 + 4⋅ 4 14 = 4 + 4 + 4 + 4 4 4 4 4 17 = 4 ⋅ 4 + 18 = 4 ⋅ 4 + 4 − 4 19 = 4!−4 − 20 = 4 ⋅ 4 + 4 + 4 4 4
  22. 22. Enriqueciendo el juego de los cuatro cuatros Existen 64 formas de escribir 64 usando cuatro cuatros Si introducimos la notación: 0. p 4 = 0. 2 = 0.222222L 4! 4 Entonces: 113 = p + 0. 4 0.4 ( 4) = 2 5 5 4 =4 = = 32 0.4 5 Si aceptamos que: 2 4 + 0. 4 0.4 Entonces: 145 = 0.4
  23. 23. Una peculiaridad del número 19: 4 + 4 − 0.4 5 + 5 − 0.5 19 = 19 = 0.4 0.5 23 + 23 − 2.3 ? 19 = é u 2.3 q r o p 0.67 + 0.67 − 0.067 ¿ 19 = 0.067 1 + 1 − 0.1 19 = y así indefinidamente 0.1
  24. 24. 153 peces Juan 21:11 “Subió Simón Pedro y trajo la red a tierra, llena de grandes peces, ciento cincuenta y tres: y siendo tantos, la red no se rompió.” DUCCIO di Buoninsegna (1308-11) Aparición en el lago Tiberias Tempera sobre madera, 36,5 x 47,5 cm Museo dell'Opera del Duomo, Siena
  25. 25. 153 peces “Tratados sobre el Evangelio según San Juan” 10 mandamientos + 7 dones del espíritu 17 1 + 2 + 3 + L + 17 = 153 San Agustín
  26. 26. 153 peces Sólo existen cuatro números que son iguales a la suma de los cubos de sus dígitos, y 153 es el menor de ellos: 153 = 1 + 5 + 3 = 1 + 125 + 27 3 3 3 370 = 3 + 7 + 0 = 27 + 343 + 0 3 3 3 371 = 3 + 7 + 1 = 27 + 343 + 1 3 3 3 407 = 4 + 0 + 7 = 64 + 0 + 343 3 3 3 Adicionalmente: 153 = 1!+2 !+3!+4 !+5!= 1 + 2 + 6 + 24 + 120
  27. 27. 153 peces Phill Kohn, descubrió otra propiedad del 153: • Consideramos cualquier entero que sea múltiplo de 3. • Se suman los cubos de sus dígitos para obtener un segundo número. • Repetimos el procedimiento cuanto sea necesario. • Tras un número finito de pasos, se llega siempre al 153. Ejemplo: 1458 → 1 + 4 + 5 + 8 = 702 3 3 3 3 702 → 7 + 0 + 2 = 351 3 3 3 351 → 3 + 5 + 1 = 153 3 3 3
  28. 28. 153 peces (sometiendo a prueba el método de Kohn) x3 x Es importante partir de un múltiplo 1 1 de 3 (sin importar su magnitud). 2 8 3 27 Recordemos que un múltiplo de 3 se caracteriza por que la suma de 4 64 sus dígitos es múltiplo de 3. 5 125 6 216 Adjuntamos una tabla de 7 343 cubos para facilitar el trabajo a quien no traiga calculadora. 8 512 9 729
  29. 29. Raíz Cúbica “extra-fácil” Extraer la raíz cúbica de un número cualquiera es la cosa más sencilla del mundo: Basta con sumar sus dígitos. Por ejemplo: 512 = 5 + 1 + 2 = 8 e? 3 bl si o 4913 = 4 + 9 + 1 + 3 = 17 3 p rá e ¿S 5832 = 5 + 8 + 3 + 2 = 18 3 17576 = 1 + 7 + 5 + 7 + 6 = 26 3 19683 = 1 + 9 + 6 + 8 + 3 = 27 3
  30. 30. Los números de Dudeney Un número de Dudeney es un cubo perfecto, con la propiedad adicional de que la suma de sus dígitos da como resultado la raíz cúbica del número. En Root Extraction, Henry Dudeney, nos presenta a un profesor jubilado en el asilo de Colney Hatch, quien propone este “método general” para la extracción de la raíz cúbica. Estos números son muy escasos: 1=1x1x1;1=1 512 = 8 x 8 x 8 ; 8 = 5 + 1 + 2 4913 = 17 x 17 x 17 ; 17 = 4 + 9 + 1 + 3 5832 = 18 x 18 x 18 ; 18 = 5 + 8 + 3 + 2 17576 = 26 x 26 x 26 ; 26 = 1 + 7 + 5 + 7 + 6 19683 = 27 x 27 x 27 ; 27 = 1 + 9 + 6 + 8 + 3
  31. 31. 3+123 3+103 1729 = 1 = 9 Wells p. 77 1 + 7 + 2 + 9 = 19 19 · 91 = 1729 Masahiko Fujiwara (n. 1943)
  32. 32. Tómese un número de cuatro cifras 6174 (no todas iguales). Por ejemplo, 3251. constante de Kaprekar Entonces: 1. Se reorganizan sus cifras para formar el máximo y el mínimo números posibles: 5321 y 1235. 2. Restamos ambos números: 5321 − 1235 = 4086. 3. Con el número obtenido, repetimos el proceso cuantas veces sea necesario: 8640 − 0468 = 8172 8721 − 1278 = 7443 7443 − 3447 = 3996 9963 − 3699 = 6264 6462 − 2466 = 4176 Dattathreya Ramachandra Kaprekar 7641 − 1467 = 6174 ¡Lo mismo sucede sin importar cual sea nuestra elección! 8643 − 3468 = 5175 ⇒ 7551 − 1557 = 5994 ⇒ 9954 − 4599 = 5355 ⇒ 5553 − 3555 = 1998 ⇒ 9981 − 1899 = 8082 ⇒ 8820 − 0288 = 8532 ⇒ 8532 − 2358 = 6174 ⇒ 7641 − 1467 = 6174 (máximo 7 iteraciones)
  33. 33. Lo Shu 洛書 2800 a.n.e. Fu Hsi Números Localización Color Elemento 1 Norte Blanco Agua 2 Suroeste Negro Tierra 3 Este Verde puro Madera 4 Sureste Verde claro Madera 5 Central Amarillo Tierra 6 Noroeste Blanco Metal 7 Oeste Rojo Metal 8 Noreste Blanco Tierra 9 Sur Morado Fuego
  34. 34. Sator: sembrador Arepo: nombre propio Tenet: sostener Opera: trabajo, esfuerzo Rotas: ruedas, arado “El gran sembrador sostiene en su mano todo trabajo”
  35. 35. Cuadrado Mágico de Alberto Durero Melencolia I, 1514 Grabado, 239 x 189 mm Kupferstichkabinett, Staatliche Kunsthalle, Karlsruhe
  36. 36. 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 1. La suma de cada renglón, columna o diagonal es 34. 2. La suma de los elementos del cuadrado central interiores 34. 3. No sólo en el cuadrado principal, sino también en los cuatro cuadrados interiores, la suma de los elementos es 34. 4. La suma de los números en las esquinas es 34. 5. La suma de los números simétricos con respecto al centro es 17 (34÷2). 6. Los dos números del centro, en la parte inferior del cuadrado, indican la fecha de la obra de Durero: 1514.
  37. 37. 3 2 6 1 5 9 4 8 7 Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638) 2 7 6 9 5 1 4 3 8
  38. 38. El método de Bachet en un cuadrado de 5 × 5 casillas 5 4 10 3 9 15 3 16 9 22 15 2 8 14 20 20 8 21 14 2 1 7 13 19 25 7 25 13 1 19 6 12 18 24 24 12 5 18 6 11 17 23 11 4 17 10 23 16 22 21
  39. 39. Un método de construcción para cuadrados de 4n × 4n casillas 1. Colocar los números en el orden natural. Subdividir el cuadrado de 8×8 en cuatro subcuadrados de 4 ×4. 2. 3. Trazar las diagonales de cada uno de estos subcuadrados. 4. Desplazar cada número a la casilla simétrica con respecto al origen. 5. Verificar que el cuadrado obtenido tiene constante mágica 260.
  40. 40. Los Cuadrados Mágicos de Benjamín Franklin Franklin jugó con la construcción de cuadrados mágicos entre 1736 y 1737 mientras ejercía sus tareas políticas en Pennsylvania. Estos dos cuadrados de orden ocho se reproducen en las páginas 394 y 395 del volumen 3 de sus obras completas. Ninguno de estos cuadrados es hiper-mágico, como en el caso de Euler, pero el esquema lógico con el que fueron creados por Franklin, se revela si los coloreamos adecuadamente. La constante mágica es 260.
  41. 41. Poligrafías de las piezas de ajedrez
  42. 42. Euler y el recorrido del caballo 18 35 64 13 60 37 22 11 63 14 17 36 21 12 59 38 16 19 34 61 40 57 10 23 33 62 15 20 9 24 39 58 50 3 32 45 56 41 26 7 31 46 49 4 25 8 55 42 Leonhard Euler (1707-1783) 48 51 2 29 44 53 6 27 1 30 47 52 5 28 43 54 Cuadrado Hipermágico (k = 260)
  43. 43. http://www.borderschess.org/KnightTour.htm
  44. 44. Evitando tres en raya (fichas sobre el tablero de ajedrez) Dos jugadores colocan fichas por turno sobre un tablero de n×n. Pierde el que coloque por primera vez una ficha alineada con otras dos. Los participantes deberán: 1. Determinar el número máximo de movimientos. 2. Proponer una estrategia ganadora.
  45. 45. Evitando tres en raya ejemplo de una configuración con un número máximo de fichas sobre un tablero de 8×8
  46. 46. Evitando tres en raya Por definición, el juego nunca puede alcanzar los 2n+1 movimientos, así que… Existe una estrategia ganadora (para el segundo jugador): Limitar las posibilidades del contrincante, tirando de tal modo que se completen siempre dos fichas sobre un renglón, columna o diagonal cuidándose, a la vez, de no poner tres en raya.
  47. 47. Este bicho se pasea por un paralelepípedo y se quiere desplazar del vértice A al vértice B 1. ¿Cómo podemos sugerirle el camino más corto? 2. ¿Podemos probar que el camino propuesto es, efectivamente, el más corto? 3. Si las medidas están dadas en centímetros, ¿qué longitud tiene este camino?
  48. 48. BC = 30 cm AC = 40 cm ∠BCA = 90º ⇒ AB = AC + CB 2 2 2 ⇒ AB = 40 + 30 2 2 ∴ AB = 50 cm
  49. 49. ¿Cuánto mide el ángulo entre las dos diagonales sobre este cubo?
  50. 50. ¿Cuánto mide el ángulo entre las dos diagonales sobre este cubo? Si completamos con el trazo adecuado… … es fácil convencerse de que mide 60 grados.
  51. 51. Con lo aprendido en el ejemplo anterior… ¿Cuánto mide el ∠PQR? P, Q y R son los puntos medios de las aristas indicadas. R Q P
  52. 52. R Q P Q R 60,0 ° 60,0 ° P
  53. 53. ¿Ensamble imposible?
  54. 54. ¿Ensamble imposible? (Solución)
  55. 55. ¿Qué caja pesa más? • Ambas cajas tienen las mismas dimensiones. • El material de las esferas es homogéneo. • El diámetro de cada esfera es igual a la longitud de la arista del cubo (o sub-cubo) que la contiene.
  56. 56. Tapón Múltiple I
  57. 57. Tapón Múltiple I (Solución)
  58. 58. Tapón Múltiple II
  59. 59. Tapón Múltiple II (Solución)
  60. 60. Tapón Múltiple III
  61. 61. Tapón Múltiple III (Solución)
  62. 62. Hexaflexágonos Emplear una cinta larga de papel con bordes paralelos. Trazar una serie de 19 triángulos equiláteros adyacentes. Etiquetar con números y letras precisamente como se indica. Doblar Δ1 sobre Δ1, Δ2 sobre Δ2, etc. Pegar cuando coincidan las caras marcadas con . Colorear y disfrutar. 12 1 2 4 5 6 8 9 10 1 2 4 5 6 8 9 10 12 3 A B 7 A B 11 A B B 3 A B 7 A B 11 A
  63. 63. 4-8-12 3-7-11 B A B 1-5-9 3-7-11 A 2-6-10
  64. 64. ¡Parece Fácil! Probar mediante geometría elemental (sin trigonometría) que ∠A + ∠B = ∠C
  65. 65. Hacen falta trazos adicionales… ∠B = ∠D (por ser homólogos en triángulos semejantes) ∠A + ∠D = ∠C (correspondientes) ∴ ∠A + ∠B = ∠C
  66. 66. Según Mª Luz Callejo, los juegos de estrategia favorecen: 1. Trabajo en grupo. 2. Comunicación de ideas. 3. Capacidad de interrogarse nuevas situaciones. 4. Contraste de observaciones y conjeturas. 5. Registro del proceso de resolución por parte de los jugadores. 6. Revisión y reflexión sobre el proceso de resolución. Como metodología, propone cinco fases: 1. Orientación del trabajo. 2. Trabajo en grupo. 3. Confrontación de ideas. 4. Puesta en común . 5. Aplicación. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/taller.htm
  67. 67. Gómez Chacón propone esta metodología general: 1. Familiarizarse con el juego. 2. Exploración inicial: buscar varias estrategias de resolución. 3. Llevar a cabo la estrategia: selección de posiciones ganadoras, examinar la validez de nuevas conjeturas... 4. Reflexionar sobre el proceso seguido. Luis Ferrero aporta algunas sugerencias didácticas para la práctica de juegos: 1. Graduar la dificultad del juego en función de los alumnos a los que va dirigido. 2. Sobre un mismo material de juego se pueden idear juegos distintos modificando adecuadamente las normas. 3. Cuando dominen un juego hay que animarles a que lo adapten a su gusto variando alguna norma. 4. Cuando la estrategia ganadora resulte difícil, es aconsejable que ensayen casos más simples. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/taller.htm
  68. 68. Existe bastante literatura sobre resolución de problemas. En función del ámbito más o menos profundo o del nivel de especificación encontraremos esquemas que se centran en pocos criterios señalados de forma general (Polya, Bransford y Stein,...), o que detallan más las diversas estrategias ( Fernández, Schoenfeld,...). Mª Luz Callejo resalta las siguientes capacidades en resolu- ción de problemas, que son estimuladas por los juegos: 1. Establecer analogías entre problemas. 2. Empezar por el final. 3. Resolver primero un problema más sencillo. 4. Hacer una representación gráfica. Fernando Corbalán resalta los siguientes: 1. Empezar por el final. 2. Experimentar y extraer pautas. 3. Sacar partido de la simetría. 4. Utilizar modelos adecuados de expresión (verbales, gráficos, algebraicos, numéricos). 5. Resolver problemas análogos. 6. Empezar por resolver un problema más sencillo. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/taller.htm
  69. 69. Algunas recomendaciones para navegar http://www.librosmaravillosos.com/ http://descartes.cnice.mecd.es/matemagicas/index.htm http://mathworld.wolfram.com/KnightsTour.html http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/taller/taller.htm http://johnrausch.com/SlidingBlockPuzzles/
  70. 70. La siguiente anécdota ocurrió en la ocupación de Francia por los alemanes, durante la Segunda Guerra Mundial. Cuatro personas subían en el ascensor de un hotel. Uno de los ocupantes era un oficial alemán, de uniforme; otro, un civil francés, enrolado en la Resistencia. La tercera ocupante era una atractiva joven, y la cuarta, una dama de edad. Ninguno conocía a los demás. Hubo de pronto un corte de energía. El ascensor se detuvo, las luces se fueron, y todo quedó en profunda oscuridad. Se oyó el chasquido de un beso, seguido por el restallar de un bofetón. Un instante después volvieron las luces. El oficial lucía un enorme chichón junto a un ojo. La señora mayor pensó: “¡Bien merecido lo tiene!, menos mal que las jóvenes de hoy saben hacerse respetar”. La joven pensó: “¡Vaya gustos raros que tienen estos alemanes!, en lugar de besarme a mí ha debido besar a esta señora mayor o a este joven tan atractivo. ¡No me lo explico!”. El alemán pensó: “¿Pero qué ha pasado?, ¡Yo no he hecho nada!, quizás el francés ha querido abusar de la joven y ésta me ha pegado por error” Sólo el francés conocía exactamente lo ocurrido. ¿Sabrías deducirlo?
  71. 71. Bibliografía de Matemáticas Recreativas Autor Año Título Editorial Ciudad 1994 De la má de multifin aprende organització ACV Barcelona Alem, Jean Pierre 1984 Juegos de ingenio y entretenimiento matemático Gedisa ed. Barcelona Alem, Jean Pierre 1984 Nuevos Juegos de ingenio y entretenimiento matemático Gedisa ed. Barcelona Alsina, A.; Fortuny, J.M. - La Matemática I el medi ambient a Catalunya Generalitat de Catalunya Barcelona Alsina, Claudi 1998 Contar bien para vivir mejor Rubes Barcelona Argüelles Rodríguez, J. A. 1994 Matemática recreativa y otros juegos de ingenio Alcal ed. Madrid Assoc. Prof. Mat. Portugal 1995 Investigaçoes Matemáticas na Sala de Aula - Lisboa Balbuena C. & de la Coba G 1991 La Matemática Recreativa vista por los alumnos Proyecto Sur Tenerife Balbuena C. & de la Coba G 2003 Geometría de los calados canarios Cajacanarias S/C Tnfe. Balbuena Castellano, Luis 1999 Naciones y banderas Proyecto Sur Granada Balbuena, Cutillas & Coba 2000 Palillos, aceitunas y refrescos matemáticos Rubes Barcelona Barnette, David 1983 Map coloring, Polyhedra and the four-color problem Math. Assoc of America USA Beeney et al 1982 Geometric images ATM UK Bell, Rooke & Wigley - Creative geometry Shell Centre UK Bell, Rooke & Wigley 1978 Journey into Maths: Teacher´s Guide 1 Thomson Londres Bell,E.Love,D.Rooke,M.Swan - Geometry Shell Centre UK Bolt, Brian 1988 Actividades matemáticas Labor Barcelona Brandreth, Gyles 1999 Juegos con números Gedisa Barcelona Bunch, Bryan H. 1997 Matemática insólita, paradojas y paralogismos Reverté México Callejo, Mª Luz 1994 Un club Matemático para la diversidad Narcea Madrid
  72. 72. Bibliografía de Matemáticas Recreativas Autor Año Título Editorial Ciudad Camous, Henri 1995 Problemas y juegos con la matemática Gedisa ed. Barcelona Carcavilla & Fernández 1994 Aventuras topológicas Rubes Barcelona Centre, Bell & Swan 1984 Problems with Patterns and Numbers Univers. Nottingham Nottingham (UK) Corbalán, Fernando 1994 Juegos Matemáticos para secundaria y bachillerato Síntesis Madrid D. Lingard 1980 Mathematical investigations in the classroom ATM UK D.Hale,P.Wells (editors) 1972 Turning the tables ATM UK Davis, Morton D. 1979 Teoría de juegos Alianza Ed. Madrid De Guzmán, Miguel 1997 Aventuras Matemáticas, una ventana hacia el caos y otros episodios. Pirámide Madrid De Guzmán, Miguel 1986 Aventuras matemáticas Labor Barcelona De Guzmán, Miguel 1976 Mirar y ver Alhambra Madrid Deulofeu, Jordi 2003 Gimnasia mental Mtnz. Roca Barcelona Easterday, Kenneth E. 1981 Activities for junior high school and middle school mathematics Nat. Council Teach. Math. Virginia Falletta, Nicholas 1986 Paradojas y juegos Gedisa Barcelona Fielker, David S. 1986 Usando las calculadoras con niños de 10 años Generalitat Valenciana Valencia Filipiak, Anthony S. 1978 Mathematical Puzzles (and other brain twisters) Bell publishing company Nueva York Fox Dunn, Angela 1983 Second book of Mathematical Bafflers Dover publications, inc. Nueva York Frabetti,Carlo 2002 El libro del genio matemático Mtnz. Roca Barcelona Frohlichstein, Jack 1967 Mathematics fun, games and puzzles Dover New York
  73. 73. Bibliografía de Matemáticas Recreativas Gardner, Martin 1978 Festival Magico-Matemático Alianza ed. Madrid Gardner, Martin 1979 Circo Matemático Alianza ed. Madrid Gardner, Martin 1983 Carnaval Matemático Alianza Ed. Madrid Gardner, Martin 1983 Paradojas, Paradojas que hacen pensar Labor Barcelona Gardner, Martin 1985 Máquinas y diagramas lógicos Alianza ed. Madrid Gardner, Martin 1987 Rosquillas anudadas y otras amenidades matemáticas Labor Barcelona Gardner, Martin 1990 La nueva era Alianza de bolsillo Madrid Gardner, Martin 2000 Juegos y enigmas de otros mundos Gedisa Barcelona Gardner, Martin 2000 Los mágicos números del Doctor Matrix Gedisa Barcelona Gardner, Martin 2002 Damas, parábolas y más mistificaciones matemáticas Gedisa Barcelona Gardner, Martin 2002 Huevos, nudos y otras mistificaciones matemáticas Gedisa Barcelona Gardner, Martín 1981 ¡AJÁ! Labor Barcelona Garfunkel, Solomon 1998 Las matemáticas en la vida cotidiana Addison- Wesley Madrid Gaulin, Claude 1980 Explorations Géométriques I Univ. Laval Quebec, Canadá Graham, L.A. 1955 Ingenious mathematical problems and methods Dover New York Gutierrez, Santiago 1996 La Matemáticas en los sellos de correos SM Madrid Guzmán Ozamiz, Miguel de 1984 Cuentos con cuentas Labor Barcelona Guzmán Ozamiz, Miguel de 2002 La experiencia de descubrir en geometría Nivola Madrid H.J. Jabobs 1982 Mathematics. A human endeavor (I) Freeman and company New York H.J. Jabobs 1982 Mathematics. A human endeavor (II) Freeman and company New York H.J. Jabobs 1982 Mathematics. A human endeavor (III) Freeman and company New York
  74. 74. Bibliografía de Matemáticas Recreativas Hardy, Haworth & Love - Points of departure 2 ATM UK Hardy, Haworth, et al - Points of departure 1 ATM UK Honsberger, Ross 1994 El Ingenio en la Matemáticas DLS-Euler, editores Madrid Hunter, J.A.H. 1983 Entertaining mathematical teasers & how solver them. Dover New York IREM - APMEP 1989 Horizons Matemàtics La Villette Paris IREM - APMEP 1989 Mosaico Matemático La Villette Paris Jakubovic, José 1990 Vivendo a matemática, par ou ímpar Editora Scipione Sâo Paulo Lahoz, Primitivo 1928 Curiosidades matemáticas Imprenta artística Sáez Madrid Lovitt, Charles; Clark, Doug 1992 Activity Bank Vol. 1 - Australia Lovitt, Charles; Clark, Doug 1992 Activity Bank Vol.2 - Australia M. Walter - Geometry ATM UK Mala, Matthias 2000 Juegos de ingenio III Víctor Barcelona Maletsky, Hirsch & Christian 1993 Activities from the Mathematics Teachers Nat. Council Teach. Math. Reston, Va USA Mitchell, Merle 1993 Mathematical History: Activities, Puzzles, Stories, and Games Nat. Council Teach. Math. Reston, Va USA Mora, J. A. y Rodrigo, J. 1993 :2Puntos (cuadernos para el Aula de Matemáticas) Proyecto Sur Granada Mora, J. A. y Rodrigo, J. 1993 :2Puntos (cuadernos para el Aula de Matemáticas) Proyecto Sur Granada Nelson, Roger B. 2001 Demostraciones sin palabras Proyecto Sur Granada Juegos matemáticos. Rompecabezasde Niederman, Derrick 2003 Víctor Barcelona cifras y números para agudizar el ingenio Norman, L.C. 2000 El país de las mates para expertos Nivola Madrid Norman, L.C. 2000 El país de las mates para novatos Nivola Madrid Packel, Edward 1981 The mathematics of games and gambling Math. Associat. US Washington
  75. 75. Bibliografía de Matemáticas Recreativas Pedoe, Dan 1958 The gentle art of mathematics Dover New York Perelman, Yakov 2000 Matemáticas recreativas Mtnez. Roca Barcelona Phillips, Hubert 1961 My best puzzles in mathemtics Dover New York Ranucci, Ernest R. 1988 Imaginative ideas for the teachers of Mathematics grades K-12 Nat. Council Teach. Math. Reston, Va, USA Rodríguez Vidal, R. 1983 Diversiones Matemáticas Reverté Barcelona Russell, Ken y Carter, Philip 1994 Juegos de ingenio, rompecabezas de figuras geométricas Víctor Londres Sem. Mat. Nervión - Sevilla 1992 El laboratorio de Matemáticas - Sevilla Smullyan, Raymond 1995 Juegos por siempre misteriosos Gedisa ed. Barcelona Smullyan, Raymond 2001 El enigma de Scherezade Gedisa Barcelona Soret los Santos, I. 2003 Matemágicas Esic Madrid Steinhous, Hugo 1964 One Hundred problems in elementary mathematics Dover New York Stewart, Ian 2000 Ingeniosos encuentros entre juegos y matemática Gedisa Barcelona Sundara Row, T. 1966 Geometric exercises in paper folding Dover New York Vagam Pérez y otros 1986 Las matemáticas en el ábaco NAU Valencia VanCleave, Janice 2002 Matemáticas para niños y jóvenes Limusa.wiley México Venttsel, E. S. 1973 Introducción a la teoría de los juegos Limusa Wiley México Verdes, Paulus 1990 Desenhos da África Scipione Sao Paulo Vives, Pablo 2003 Juegos de ingenio Mtnz. Roca Barcelona Wells, P. 1971 Sticks - Nottingham Willis, Norman D. 2003 Juegos de ingenio VII, rompecabezas de cifras, letras y geometría Víctor Barcelona Word, Larry E. 1987 Estrategias de pensamiento Labor Barcelona
  76. 76. 666 El número de la bestia DUX CLERI LUDOVICUS Capitán de los clérigos Vicario de la corte D = 500 L = 50 U= 5 U= 5 X = 10 D = 500 O= 0 V= 5 C = 100 I= 1 L = 50 C = 100 E= 0 U= 5 R= 0 S= 0 I= 1 -------------------- -------------------- 666 666
  77. 77. 666 El número de la bestia ROMIITH ROMITI Reino Romano Hombre Romano R = 200 resh R = 200 resh O= 6 waw (vav) O= 6 waw (vav) M = 40 mem M = 40 mem I= 10 yod I = 10 yod I= 10 yod T = 400 taw TH = 400 taw I = 10 yod 666 666
  78. 78. 666 E L 50 E 0 El número de la bestia L 50 L 50 E L 50 N E 0 A N 0 A G 0 L 50 O 0 B U 5 A L 50 D 0 V 5 O W 10 X 10 H 0 I 1 Ellen Gould White D 500 T 0 (1827-1915) E E 0 Solía llamarse a sí misma I 1 666 La voz de Dios 666
  79. 79. 666 El número de la bestia En el libro Tercero (9ª parte, capítulo 19) de “La Guerra y la Paz” de León Tolstoi, se cita el Apocalipsis (13:18), donde dice: “Aquí está la sabiduría. El que tenga inteligencia que cuente el nombre de la bestia porque es un nombre de hombre y su número es seiscientos sesenta y seis.” 1 2 3 4 5 a b c d e L'empereur Napoleon = 666 6 7 8 9 10 f g h i k 20 30 40 50 60 l m n o p Quarante-deux = 666 70 80 90 100 110 q r s t u 120 130 140 150 160 v w x y z
  80. 80. 666 B 66 El número de la bestia I 73 L 76 H 107 L 76 I 108 En código ASCII G 71 T 119 A 65 L 111 T 84 E 104 E 69 R 117 S 83 a=100 b=101 666 c=102, etc. III 3 666 Hexakosioihexekontahexafobia

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