1. MARAVILLOSOS
PROBLEMAS DE
MATEMÁTICAS
Libro 13
http://matemelga.wordpress.com/

2. Dada la sucesión definida por a1 = 5 y an+1 = an + 3n, calcula
SOLUCIÓN
Según el enunciado,
= 5
= + 3 × 1
= + 3 × 2
= + 3 × 3
…
…
= + 3 × 98
= + 3 × 99
Sumando todas las igualdades miembro a miembro obtenemos
+ + ⋯ + + = 5 + + 3 × 1 + + 3 × 2 + ⋯ + + 3 × 98 + + 3 × 99 ⇒
⇒ + + ⋯ + + = + + ⋯ + + + 5 + 3 × 1 + 3 × 2 + ⋯ + 3 × 98 + 3 × 99 ⇒
⇒ = 5 + 3 × 1 + 3 × 2 + ⋯ + 3 × 98 + 3 × 99 = 5 + 3 × 1 + 2 + ⋯ + 98 + 99 ⇒
é" #$ $
%" &" #ó$ "# é #(
)*********************+ = 5 + 3 ×
1 + 99 × 99
2
= 5 + 3 × 4950 =
14855

3. Un grupo de personas están formando un círculo. María es la cuarta a la izquierda de Pedro,
y la séptima a la derecha de Pedro.
¿Cuántas personas hay en el círculo?
SOLUCIÓN
Teniendo en cuenta que hay 3 personas desde Pedro a María, contando hacia la izquierda, y 6 personas de
María a Pedro en el mismo sentido (igual que en sentido contrario como nos indica el enunciado), las personas
que hay en el círculo, desde Pedro hasta completarlo en sentido izquierda, son
3 + 1 María + 6 + 1 Pedro =
11 personas

4. Simplifica al máximo la expresión
SOLUCIÓN
3 × 9
243 ,
=
3 × 3
3
=⏞
3 × 3
3
=⏞
× 3
3
⇒
⇒
3 × 9
243 ,
=⏞ 3 =
34
= 81

5. Calcula la superficie de la zona verde.
SOLUCIÓN
Llamamos al radio de la parte circular.
La superficie es Á á + Á = + × = + × m2
Ahora bien, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de hipotenusa igual a 7 m
tenemos que + = 7 ⇒ 2 × = 49 ⇒ = 98, por lo que la superficie buscada es + × =
=
$
+ × × 98 =
$
+
% &'
=
243,157 m2

6. Dada una circunferencia de centro O se trazan cuatro rectas
tangentes a la circunferencia de modo que estas cuatro rectas
determinan el trapecio ABCD, de bases AB y CD y lados no
paralelos BC y DA.
Si AO = 2×√6 cm, BO = 4×√3 cm y CO = 4 cm, calcula las medidas
de los lados y los ángulos del trapecio.
SOLUCIÓN
Señalamos los puntos y longitudes que nos interesan.
Llamamos al radio, en metros, de la circunferencia inscrita al
trapecio que se construye con las tangentes sucesivas a ella.
Por construcción, al ser los lados del trapecio tangentes a la
circunferencia, los segmentos que unen sus vértices con el centro
de la circunferencia son bisectrices de los ángulos del trapecio, y
nombramos = 2 , = 2 , = 2 .
Los ángulos del trapecio suman 360°: 90° + 2 + 2 + 90° = 360° ⇒ 2 + 2 = 180° ⇒ + = 90°
por lo que = 90° − ⇒ sen = cos
Además, de los triángulos rectángulos ./ y ./ se deduce, respectivamente, que sen =
2
3×√6
y
sen =
2
3
⇒ sen7
+ sen7
= 8
2
3×√6
9
7
+ 8
2
3
9
7
= sen7
+ cos7
= 1 ⇒ 8
2
3×√6
9
7
+ 8
2
3
9
7
= 1 ⇒
2:
3;
+
2:
<=
= 1 ⇒
⇒
2:
3;
+
2:
<=
= 1 ⇒
32:
3;
= 1 ⇒ 7
= 12 ⇒ = √12 = 2 × √3 cm
Como, en el triángulo rectángulo . se verifica que sen =
2
7×√=
⇒ sen =
7×√6
7×√=
⇒ sen = @
6
=
=
<
√7
⇒
⇒ = 45° ⇒ = 2 = 90°. En el trapecio E se deduce, inmediatamente, que EF = 180° − ⇒ EF = 90°
También, sen =
2
3×√6
=
7×√6
3×√6
⇒ sen =
<
7
⇒ = 30° ⇒ = 2 = 60° y = 90° − = 90° − 30° = 60° ⇒
⇒ = 2 = 120°
Según todos los triángulos rectángulos que se muestran (y los que no), se deduce que
= + = . × cos + . × cos = 2 × √6 × cos 45° + 4 × √3 × cos 30° =
7×√=
√7
+
3×√6
:
7
⇒
⇒ = 2 × √3 + 6 cm
NO
PQ
= sen ⇒ =
NO
RST P
=
72
RST =U°
=
7×7×√6
√V
:
= 8 cm
E = + E = . × cos +
2
WXT
YF
:
= 4 × cos 60° +
7×√6
WXT 3Z°
= 4 ×
<
7
+ 2 × √3 ⇒ E = 2 + 2 × √3 cm
NO
[
= sen ⇒ E =
NO
RST [
=
72
RST ]U°
= 4 × √3 cm

7. La solución al problema es:
^A = 90o
; ^B = 60o
; ^C = 120o
; ^D = 90o
AB = 2×√3 + 6 = 9,464 cm
BC = 8 cm
CD = 2×√3 + 2 = 5,464 cm
AD = 4×√3 = 6,928 cm

8. El tapete de una mesa tiene la forma regular de la figura.
¿Qué porcentaje de la superficie del tapete es negro?
SOLUCIÓN
Llamando a la longitud de la diagonal de un cuadradito blanco pequeño, la superficie de cada uno de esos
cuadraditos es
×
= unidades cuadradas usando la fórmula del área del rombo.
La longitud del lado del cuadrado blanco grande es 3 , por lo que su superficie es 3 = 9 unidades
cuadradas.
Por tanto, la superficie total de la parte blanca es 9 + 16 × = 9 + 8 = 17 unidades cuadradas
Por otra parte el lado del tapete mide 5 , por lo que su superficie es 5 = 25 ⇒ 25 − 17 = 8
unidades cuadradas mide la superficie de la parte negra del tapete y el porcentaje pedido es × 100% =
32%

9. Consideramos los 2019 números naturales n desde 1 hasta 2019.
Determina para cuántos de estos valores de n se verifica que el número n3
+3n
es múltiplo de 5.
SOLUCIÓN
Según el enunciado, el número = + 3 debe acabar en 0 o en 5 para que sea múltiplo de 5.
Las posibilidades son:
• 3 acaba en 3 ⇒ = 1, 5, 9, … = 4 − 3, siendo ∈ , luego
o = 4 − 3 acaba en 2 = 4 − 3 = 10! − 2, siendo ! ∈ ⇒
⇒ = 2! +
"#$%
&
, imposible
o = 4 − 3 acaba en 7
(
= 4 − 3 = 10! − 7, siendo ! ∈ ⇒
⇒ = 2! + 1 +
"#
&
⇒ ! = 2) ⇒ = 10 × 2) − 7 ⇒ = 20) − 7, siendo ) ∈
• 3 acaba en 9 ⇒ = 2, 6, 10, … = 4 − 2, siendo ∈ , luego
o = 4 − 2 acaba en 1
(
= 4 − 2 = 10! − 9, siendo ! ∈ ⇒
⇒ = 2! − 1 +
"#,
&
, imposible
o = 4 − 2 acaba en 6 = 4 − 2 = 10! − 4, siendo ! ∈ ⇒
⇒ = 2! +
"#,"
&
⇒ ! = 2) − 1 ⇒ = 10 × 2) − 1 − 4 ⇒ = 20) − 14, siendo ) ∈
• 3 acaba en 7 ⇒ = 3, 7, 11, … = 4 − 1, siendo ∈ , luego
o = 4 − 1 acaba en 8 = 4 − 1 = 10! − 8, siendo ! ∈ ⇒
⇒ = 2! − 1 +
"#,
&
, imposible
o = 4 − 1 acaba en 3
(
= 4 − 1 = 10! − 3, siendo ! ∈ ⇒
⇒ = 2! +
"#,"
&
⇒ ! = 2) − 1 ⇒ = 10 × 2) − 1 − 3 ⇒ = 20) − 13, siendo ) ∈
• 3 acaba en 1 ⇒ = 4, 8, 12, … = 4 , siendo ∈ , luego
o = 4 acaba en 9
(
= 4 = 10! − 1, siendo ! ∈ ⇒
⇒ = 2! +
"#,%
&
, imposible
o = 4 acaba en 4 = 4 = 10! − 6, siendo ! ∈ ⇒
⇒ = 2! − 1 +
"#,"
&
⇒ ! = 2) − 1 ⇒ = 10 × 2) − 1 − 6 ⇒ = 20) − 16, siendo ) ∈
Los números que cumplen que = + 3 es múltiplo de 5 son
= 20) − 16, 20) − 14, 20) − 13, 20) − 7, siendo ) ∈ , es decir, 4 de cada 20 números.
Y como 2019 = 20 × 100 + 19 habrá, cumpliendo el enunciado,
101 números

10. Calcula la proporción entre la superficie naranja y la superficie azul de la figura
adjunta.
SOLUCIÓN
Se pueden apreciar, en la figura, cuatro tipos de arcos (tres
semicircunferencias y una circunferencia) de los cuales
designamos la medida de sus radios:
• , radio de las semicircunferencias y de diámetros
y
• , radio de la semicircunferencia de diámetro
• = 2 + , radio de la semicircunferencia de
diámetro
• = + , radio de la circunferencia de diámetro
La superficie naranja:
= −
! "
#
− 2 × %
!&'
#
+ ( ) =
*×+# ,-./
#
−
*×+ ,-./
#
− 2 × 0
*× /
1
+ × + + .2 ⇒
⇒ =
*
#
× ++2 + .#
− + + .#
− #. − 2 × + #
+ . ⇒ 4 × + #
+ . − 2 × + #
+ . ⇒
⇒ = +4 − 2. × + #
+ . unidades de superficie.
La superficie azul:
5 6 =
7
#
× "
− 2 × + 87 + 8#. − 9
=
7
#
× "
− 2 × % ( −
!'
#
) − 9
⇒
⇒ 5 6 =
*×+ ,-./
#
− 2 × % × + + . −
*× /
1
) −
*×-/
#
= 4 × + #
+ . − 2 × + #
+ . ⇒
⇒ 5 6 = +4 − 2. × + #
+ . unidades de superficie.
La proporción es
!:;<;:=;
!;>?@
=
+*A#.×B /, -C
+*A#.×+ /, -.
=
1

11. Halla cuántos números enteros positivos de cuatro cifras hay que son múltiplos
de 11 y tienen sus dos últimas cifras iguales a 04.
SOLUCIÓN
Un número es múltiplo de 11 si | + − + | es 0 o múltiplo de 11
Si el número es
• _004 ⇒ 4004 es múltiplo de 11
• _104 ⇒ 5104 es múltiplo de 11
• _204 ⇒ 6204 es múltiplo de 11
• _304 ⇒ 7304 es múltiplo de 11
• _404 ⇒ 8404 es múltiplo de 11
• _504 ⇒ 9504 es múltiplo de 11
• _804 ⇒ 1804 es múltiplo de 11
• _904 ⇒ 2904 es múltiplo de 11
En total hay
8 números

12. Dos corredores se entrenan en una pista circular de 720 m
de longitud.
Corren en direcciones opuestas, cada uno a velocidad
constante.
El primero tarda 4 minutos en completar una vuelta entera y el segundo tarda 5 minutos en hacer lo mismo.
¿Cuántos metros recorre el segundo corredor entre dos cruces consecutivos de ambos?
SOLUCIÓN
Sean los metros que recorre el segundo corredor entre
ambos cruces sucesivos y .
Las velocidades respectivas son, según el enunciado,
= = 180 m/min y = = 144 m/min.
Los recorridos de ambos se realizan en el mismo tiempo, y como = ⇒
!
=
"!
#
Entonces,
!
=
"!
#
×%&
'()
!
=
"!
⇒ 5 = 2880 − 4 ⇒ 9 = 2880 ⇒ =
##
.
=
320 metros

13. La figura muestra un tablero de 4×6 dividido en casillas de 1×1 en el que se ha
dibujado un rectángulo de 3×4 (siguiendo líneas de la cuadrícula) y se ha trazado
una diagonal.
Calcula el área sombreada.
SOLUCIÓN
Marcamos los puntos y vértices que vamos a utilizar.
Los triángulos , son rectángulos y semejantes:
= = ⇒ =
1
=
4
6
De lo anterior, = = ⇒ =
Además, + = 4 ⇒ = 4 − = 4 − =
Siguiendo con la proporción inicial, = ⇒ = ⇒ =
Por lo tanto, la superficie buscada es
×
=
×
=
25/12 = 2,083 unidades de superficie

14. En un trapecio los lados laterales y la base menor tienen la misma
longitud.
Sea α el ángulo agudo entre las diagonales del trapecio y β el ángulo
entre el lado lateral y la base mayor.
Halla la razón entre los ángulos α y β.
SOLUCIÓN
Al ser un trapecio isósceles, los triángulos y son isósceles
y semejantes, ambos con el ángulo desigual en el vértice y de
valor 180° −
Así cada uno de los ángulos restantes valen
° °
= , en
particular el ángulo = ⇒ = , al ser el triángulo
también isósceles, y el ángulo =
Como = en el trapecio isósceles, se verifica que = + = + = = ⇒ + = ⇒
α = β (la razón es 1)

15. Cinco objetos, todos de pesos enteros y distintos, se han pesado en grupos
de 3 de todas las maneras posibles y se obtuvieron los siguientes 10 pesos
en kilogramos:
10, 14, 15, 16, 17, 17, 18, 21, 22, 24
Halla los pesos de los cinco objetos.
SOLUCIÓN
Sean , , , , los pesos, en kilogramos, de los cinco objetos de menor a mayor valor.
La suma de todos los pesos es 10 + 14 + 15 + 16 + 17 + 17 + 18 + 21 + 22 + 24 = 174 kg, en donde
aparece = 6 veces el peso de cada objeto: son 10 pesadas de 3 objetos cada una, 30 pesadas para un total
de 5 objetos.
Por lo tanto, el peso total de los cinco objetos es + + + + = = 29 kg
Es evidente que + + = 10 y que + + = 24 !"""""# + + + + + = 10 + 24 = 34 ⇒
⇒ + + + + + = 34 ⇒ 29 + = 34 ⇒ % = 34 − 29 = ' kg, peso del objeto que ocupa el tercer
lugar.
Por lo tanto, la suma de los pesos de los dos objetos más livianos es + = 10 − = 10 − 5 = 5 kg y la suma
de los pesos de los dos objetos más pesados es + = 24 − = 24 − 5 = 19 kg
Si las dos menores pesadas son 10 y 14 kg, seguramente + + = 14 ⇒ 5 + = 14 ⇒ ( = 14 − 5 = ) kg
Entonces, como + = 19 ⇒ * = 19 − = 19 − 9 = +, kg
A partir de ahí, es evidente que + + = 22 ⇒ - = 22 − − = 22 − 9 − 10 = . kg y + + = 21 ⇒
⇒ / = 21 − − = 21 − 9 − 10 = 0 kg, y todas las cantidades del enunciado se verifican:
+ + = 2 + 3 + 5 = 10
+ + = 2 + 3 + 9 = 14
+ + = 2 + 3 + 10 = 15
+ + = 2 + 5 + 9 = 16
+ + = 2 + 5 + 10 = 17
+ + = 3 + 5 + 9 = 17
+ + = 3 + 5 + 10 = 18
+ + = 2 + 9 + 10 = 21
+ + = 3 + 9 + 10 = 22
+ + = 5 + 9 + 10 = 24
Los pesos de los objetos son
2, 3, 5, 9 y 10 kg

16. Halla el ángulo de un pentágono convexo sabiendo que es la media aritmética de los otros
ángulos del pentágono.
SOLUCIÓN
Sean , , , , los cinco ángulos de un pentágono tales que = ⇒ 4 = + + +
Como la suma de los ángulos es + + + + = 180° × 3 = 540° ⇒ + 4 = 540° ⇒ =
°
=
108o

17. Sea ABC un triángulo rectángulo en C con AB = 120 y AC = 72.
Se considera el punto P de AB tal que 3BP = AB y el punto Q de BC tal
que PQ es perpendicular a AB.
Calcula el área del cuadrilátero APQC.
SOLUCIÓN
Por el teorema de Pitágoras en el triángulo , = − ⇒
⇒ = 120 − 72 = 9216 ⇒ = √9216 = 96
Por otro lado, por construcción, el triángulo es semejante al y,
además, 3 = = 120 ⇒ = = 40
Estableciendo la proporción adecuada, = ⇒ =
×
=
×
⇒
⇒ = 30
Entonces, Á!"# = Á!"# − Á!"# =
×
−
×
=
×
−
×
= 3456 − 600 =
2856 unidades de superficie

18. Desde un vértice de un paralelogramo, de lados 16 cm y 12 cm, se trazan las
perpendiculares a los lados opuestos. El ángulo agudo entre esas
perpendiculares es de 60o
¿Cuál es, en cm2
, el área del paralelogramo?
SOLUCIÓN
Nombrando los vértices y puntos clave de la figura, tenemos que
= = 16 cm, = = 12 cm y = 60°
Como = 90° ⇒ = − = 90° − 60° = 30° y, como
es un triángulo rectángulo, = 90° − = 90° − 30° = 60°
De lo anterior, en el triángulo citado se verifica que sen = ⇒
⇒ sen 60° = ⇒ = 12 × sen 60° = 12 ×
√
= 6 × √3 cm
Entonces, Á !" #$ = × = 16 × 6 × √3 =
96×√3 = 166,28 cm2

19. Una Asociación de Beneficencia recibe donaciones de cinco
empresas, A, B, C, D y E.
La donación de A equivale a la mitad de lo que dieron, en
conjunto, las otras cuatro empresas. La donación de B
equivale a la tercera parte de lo que dieron, en conjunto las
otras cuatro empresas. La donación de C equivale a la cuarta
parte de lo que dieron, en conjunto, las otras cuatro
empresas. La donación de D equivale a la quinta parte de lo
que dieron, en conjunto las otras cuatro empresas.
Halla a qué parte de lo que dieron en conjunto las restantes cuatro empresas equivale la donación realizada
por la empresa E.
SOLUCIÓN
Llamamos , , , , a los valores respectivos de las donaciones de las cinco empresas , , , , a la
Asociación de Beneficencia.
Se busca el valor tal que = , lo que significa que + + + =
Según el enunciado,
= ⇒ 2 = + + + 3 = + + + + ⇒ 3 = + ⇒ =
×
= ⇒ 3 = + + + 4 = + + + + ⇒ 4 = + ⇒ =
×
"
= "
⇒ 4 = + + + 5 = + + + + ⇒ 5 = + ⇒ =
×
$
=
$
⇒ 5 = + + + 6 = + + + + ⇒ 6 = + ⇒ =
×
&
Entonces, como se verifica que + + + = ⇒
×
+
×
"
+
×
$
+
×
&
= ⇒
⇒ 〈 + 1〉 × × * +
"
+
$
+
&
+ =
÷
〈 + 1〉 ×
$-
&.
= ⇒ 57 + 57 = 60 ⇒ 3 = 57 ⇒ =
$-
= 19
Por lo tanto corresponde, como parte del total de las restantes empresas, a la
19ava parte

20. ¿Cuánto vale la suma de todos los números naturales n tales que n2
+ 12 es divisible por n + 4?
SOLUCIÓN
Sea = ∈
Entonces, + 12 = + 4 ⇒ − + 12 − 4 = 0 ⇒ =
±√
∈
De lo anterior, + 16 − 48 = , siendo ∈ ⇒ + 16 − 48 − = 0 ⇒ = −8 + √64 + 48 + (el
signo menos delante de la raíz no tiene sentido al ser ∈ )
Como ∈ ⇒ 64 + 48 + = ⇒ − = 64 + 48 = 112, siendo , ∈
Siguiendo el razonamiento, − = 112 ⇒ + × − = 112 = 2 × 7, número par, por lo que + y
− deben ser pares si , ∈
Las posibilidades son:
• " + = 2#
× 7 = 56
− = 2
& ⇒ '
= 29
= 27
& ⇒ = −8 + √ = −8 + 29 = 21 ⇒ =
±√)
=
± * ∈+
,-. = 24
• " + = 2 × 7 = 28
− = 2 = 4
& ⇒ '
= 16
= 12
& ⇒ = −8 + √ = −8 + 16 = 8 ⇒ =
±√)
=
± ∈+
,-. = 10
• '
+ = 2 × 7 = 14
− = 2#
= 8
& ⇒ '
= 11
= 3
& ⇒ = −8 + √ = −8 + 11 = 3 ⇒ =
#±√)
=
#±# ∈+
,-. = 3
La suma de los tres valores posibles es 24 + 10 + 3 =
37

21. Se tiene un rectángulo de papel. El lado menor del rectángulo mide 6 cm y
la diagonal mide 12 cm.
Se dobla el papel a lo largo de una diagonal y, de este modo, se obtiene un
triángulo en el que se superponen las dos partes y dos triángulos sin
superposiciones.
Calcula el área del triángulo de la superposición.
SOLUCIÓN
Al doblarlo, el triángulo superpuesto es el que está coloreado en rojo y los
dos triángulos rectángulos restantes, iguales, son los coloreados en azul.
La longitud del lado horizontal del rectángulo es, aplicando el teorema de
Pitágoras, √12 − 6 = √144 − 36 = √108 cm
Aplicando ahora el teorema de Pitágoras en uno de los triángulos azules
tenemos que 6 + = √108 − ⇒ 36 + = 108 − 2 × √108 +
De lo anterior, 2 × √108 = 72 ⇒ = ×√
=
√
⇒ = 2 × √3 cm
Entonces, la superficie pedida es
Á =
× !
2
=
√108 − × 6
2
=
6 × √3 − 2 × √3 × 6
2
=
12×√3 = 20,78 cm2

22. En la Escuela de Matemáticas hay 2019 taquillas, numeradas desde 1 hasta 2019.
Un día, el ladrón de números roba el número 7 de todos las taquillas. Al día siguiente, el
Decano de la Escuela decide reponer todas las taquillas afectadas.
¿Cuántas taquillas hay que reponer?
SOLUCIÓN
En la primera centena hay diez taquillas con un número 7 como cifra de unidades y, además, diez con un
número 7 en la cifra de las decenas. Como en ambos conjuntos está el 77 hay, en realidad, 19 taquillas que
hay que reponer.
En el primer millar hay 19 taquillas para reponer en cada centena excepto en la centena de los setecientos,
donde hay 100, por lo que, en total, hay 19 × 9 + 100 = 271 taquillas a reponer.
En el segundo millar habrá las mismas, por lo que del 1 al 2019 estarán las de los dos primeros millares, el
2007 y el 2017 para reponer.
En total, 271 × 2 + 2 =
544 taquillas

23. Sea n = x54y102z un número entero de 8 cifras, donde x, y, z son dígitos.
Se sabe que n es divisible por 8 y que n + 1 es divisible por 3 y por 11.
Halla todos los valores posibles de n.
SOLUCIÓN
Si = 54 102 es múltiplo de 8, sus tres últimas cifras también lo son, por lo que = 4. Además, ≠ 0
= 54 1024 ⇒ + 1 = 54 1025 es múltiplo de 3 ⇒ + 5 + 4 + + 1 + 0 + 2 + 5 ≡ 0 mod 3 ⇒
⇒ 17 + + ≡ 0 mod 3 ⇒ + ≡ 1 mod 3 ⇔ + = 3 + 1, entero
Además, + 1 = 54 1025 es múltiplo de 11 ⇒ + 4 + 1 + 2 − 5 + + 0 + 5 ≡ 0 mod 11 ⇒
⇒ − ≡ 3 mod 11 ⇒ − = 11 + 3, entero
Por lo tanto, siendo , cifras, si − = 11 + 3 ⇒
− =⏞ 3
− =⏞ − 8
!"
# y, de todo lo anterior,
• $
+ = 3 + 1
− = 3
# ⇒ $
2 = 3 + 4
= − 3
# ⇒ %
=
&'
(
+ 2
= − 3
# ⇒ $
= 5; = 2
= 8; = 5
#
• $
+ = 3 + 1
− = −8
# ⇒ = 1; = 9
Los valores de son
n = 55421024
n = 85451024
n = 15491024

24. En la primera parada de un autobús se suben n pasajeros.
En cada una de las dos paradas siguientes, se bajan la mitad de los
pasajeros y sube uno más de los que subieron en la parada
anterior.
Si al llegar a la cuarta parada el número de pasajeros es 2n + 1,
¿cuántos pasajeros han subido en la primera parada?
SOLUCIÓN
PARADA BAJAN SUBEN QUEDAN
1ª 0
2ª
2
+ 1 −
2
+ + 1 =
2
+ + 1 =
3 + 2
2
3ª 3 + 2
4
+ 2 3 + 2
2
−
3 + 2
4
+ + 2 =
3 + 2
4
+ + 2 =
7 + 10
4
Por lo tanto, a la cuarta parada llegan = 2 + 1 pasajeros: = 2 + 1 ⇒ 7 + 10 = 8 + 4 ⇒ =
6 pasajeros

25. Sea ABCD un cuadrilátero tal que los ángulos en B y en D son rectos y
AB = BC = 5 cm.
El punto E del lado AD es tal que el triángulo BCE es equilátero.
Calcula la medida del lado CD.
SOLUCIÓN
Según el enunciado, = = = 5 cm. Además, = 60° ⇒
⇒ = 90° − = 90° − 60° = 30°
Como = = 5 cm el triángulo es isósceles y, por tanto,
= =
°
=
° °
= 75°
Además, + + = 180° ⇒ 75° + 60° + = 180° ⇒
⇒ = 180° − 135° = 45° ⇒ el triángulo rectángulo es isósceles
ya que = 180° − − = 180° − 45° − 90° = 45° =
Por lo tanto = y, aplicando el teorema de Pitágoras en ese triángulo, tenemos que + = ⇒
⇒ + = 5 ⇒ 2 × = 25 ⇒ =
"
⇒ = #
"
=
"
√
=
5×√2/2 = 3,54 cm

26. Las caras del cuboctaedro son triángulos o cuadrados. Cada triángulo está rodeado por 3
cuadrados, y cada cuadrado por 4 triángulos.
Si el poliedro tiene 6 cuadrados, ¿cuántos triángulos tendrá?
SOLUCIÓN
Como cada cuadrado está rodeado por 4 triángulos y hay 6 cuadrados, habrá 6 × 4 = 24 triángulos.
Ahora bien, cada triángulo ‘rodea’ a 3 cuadrados, por lo que el resultado anterior corresponde a los triángulos
contados, cada uno, 3 veces. Esto implica que el número real de triángulos del poliedro es =
8 triángulos

27. La ley pirata establece que, para repartir las monedas de un tesoro,
el capitán debe elegir un grupo de piratas y repartir equitativamente
las monedas entre los piratas elegidos (y al menos una moneda para
cada uno) hasta que no haya suficientes para darle una más a cada
uno. Las monedas sobrantes son la parte del capitán.
Morgan debe repartir un tesoro con menos de 1000 monedas de
oro, y sabe que si elige 99 piratas se quedará con 51 monedas y si
elige 77 piratas le corresponderán sólo 29 monedas.
Determina cuántos piratas debe elegir Morgan para quedarse con la
mayor cantidad de monedas respetando la ley pirata y, para esa
cantidad de piratas, cuántas monedas le corresponden a Morgan.
SOLUCIÓN
Suponemos que es la cantidad de monedas que repartiría Morgan a cada uno de los 99 piratas, e es la
cantidad de monedas que repartiría Morgan a cada uno de los 77 piratas.
Está claro que = 99 + 51 = 77 + 29 es la cantidad de monedas del tesoro, menor que 1000.
Como = 10,1 … ⇒ < 11, y como = 12,9 … ⇒ < 13
Entonces, 99 + 51 = 77 + 29 ⇒ 77 = 99 + 51 − 29 = 99 + 22
÷
7 = 9 + 2 ⇒ = ⇒
⇒ = +
Como , son valores enteros positivos (cantidad de monedas para cada pirata) ⇒ = 6 ⇒ = 8, y el número
total de monedas del tesoro es = 99 × 6 + 51 = 645 monedas
Los piratas que debe seleccionar Morgan son la !"#$%_%'$%#" (
)*+
+ 1, = 323, a quienes dará una moneda a
cada uno, y él se quedará con 645 − 323 = 322 monedas.
En conclusión, debe elegir
323 piratas
para quedarse con
322 monedas

28. Se celebra, en Buenos Aires, un congreso científico al que acuden chilenos,
argentinos y brasileños.
Un octavo de los asistentes son brasileños y tres séptimos de los asistentes
pertenecientes a los dos países de habla hispana son chilenos.
¿Qué fracción de los asistentes son argentinos?
SOLUCIÓN
Llamamos , , a la cantidad respectiva de científicos argentinos, brasileños y chilenos que acuden al congreso,
y = + + al total de asistentes.
Según el enunciado = ⇒ = + y, además,
×
= ⇒ =
×
=
×
=
Entonces, como = + + ⇒ = − + = − + = − = = ⇒ los argentinos son
la mitad de los asistentes

29. Santi debe elegir tres números naturales distintos entre 1 y 20 inclusive de modo
que al multiplicar los tres números se obtenga un múltiplo de 4.
Calcula de cuántas maneras puede elegir Santi sus tres números.
SOLUCIÓN
La cantidad de tríos que pueden elegirse en total son las combinaciones
Los que se pueden elegir para que el producto no sea múltiplo de 4 son:
• Los tríos con todos los números impares : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 son
• Los tríos con dos números impares y uno múltiplo de 2 pero no de 4 : 2, 6, 10, 14, 18 son × 5
Por lo tanto, la cantidad de tríos que pide el problema son − − × 5 = − − × 5 =
=
!
!× !
−
!
!× !
−
!
!× !
× 5 =
× ×
× ×
−
× ×
× ×
−
×
×
× 5 = 1140 − 120 − 225 =
795

30. ABCD es un trapecio tal que AB = 50 y CD = 26.
El punto E del lado AB es tal que el segmento DE divide al trapecio en dos
partes de la misma área.
Calcula la longitud de AE.
SOLUCIÓN
La superficie del trapecio, de altura ℎ, es × ℎ = × ℎ = 38ℎ
unidades cuadradas.
La superficie del triángulo es
×
unidades cuadradas y, como es la mitad
de la superficie del trapecio,
×
= × 38ℎ ⇒ × ℎ = 38ℎ ⇒ =
38 unidades

31. En un tablero cuadriculado de m x n se coloca una ficha en el centro de cada
casilla y una ficha en cada vértice de la cuadrícula hasta que no quede lugar
para más fichas (en la figura se muestra el tablero de 2 x 3 con sus 18 fichas).
Halla las dimensiones m y n del tablero de m x n si se utilizan exactamente
500 fichas dando todas las posibles soluciones.
SOLUCIÓN
Si el tablero es × es evidente que, en el interior de las cuadrículas, habrá × fichas, una por cuadrícula.
Además, se rellenarán los vértices de las + 1 filas y las + 1 columnas que forman las líneas que construyen
el tablero con, exactamente, + 1 × + 1 fichas.
En total habrá + 1 × + 1 + × fichas colocadas.
Entonces, + 1 × + 1 + × = 500 ⇒ + + + 1 + = 500 ⇒ 2 + + + 1 = 500 ⇒
⇒ 2 + = 500 − − 1 ⇒ × 2 + 1 = 499 − ⇒ = , siendo , números naturales.
Los valores de , son permutables (por evidente simetría) en las soluciones y el caso extremo se produce si
= , y 2 + + + 1 = 500 ⇒ 2 + 2 + 1 = 500 ⇒ 2 + 2 − 499 = 0 ⇒ ≅
√
⇒
⇒ ≅
√
= 15,3 por lo que planteamos que ≤ 15 y > 15 para los cálculos.
Probando valores, los únicos admisibles son
• = 1 ⇒ = ×
= = 166
• = 4 ⇒ =
×
=
!
= 55
• = 13 ⇒ =
×
=
"
#
= 18
Por lo tanto, los tableros posibles que pueden cumplir las condiciones tienen de medidas
1×166 y 166×1
4×55 y 55×4
13×18 y 18×13

32. Desde los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero se trazan seis
perpendiculares a los otros dos lados. El área del hexágono resultante es una cierta
fracción del área del triángulo.
¿Cuál es esta fracción?
SOLUCIÓN
Dividimos en triángulo equilátero en cuatro triángulos equiláteros iguales
contorneados con distintos colores.
Cada uno de ellos, salvo el central, lo dividimos en tres triángulos isósceles y
observamos que la proporción azul de cada uno de ellos es de 1/3 (un triángulo
isósceles de los tres está relleno de azul); y la proporción en el triángulo central es 1, al
estar completamente rellenado de azul.
Por lo tanto, la fracción de hexágono en el triángulo es
1
3 +
1
3 +
1
3 + 1
1 + 1 + 1 + 1
=
2
4
=
1/2

33. En el cuadrado ABCD de lado 6, sea M el punto medio del lado AD y N el punto
medio del lado AB.
La diagonal BD corta a CN en K y a CM en L.
Calcula el área del cuadrilátero KLMN.
SOLUCIÓN
Es evidente que el cuadrilátero es un trapecio cuyas bases son y y la
altura es , longitudes que debemos calcular.
Como el ángulo = 45° ⇒ el triángulo es rectángulo isósceles ⇒ = y,
aplicando el teorema de Pitágoras en dicho rectángulo, + = ⇒
2 = 3 ⇒ = ⇒ = = =
×√
⇒ = 2 = 3 × √2 [*]
Aplicamos también el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo para hallar la longitud de la
diagonal: = + ⇒ = 6 + 6 = 2 × 6 ⇒ = 6 × √2
Por lo tanto, = =
$
=
%×√
= 3 × √2, y = − = − = 3 × √2 −
×√
=
×√ [*]
Como los triángulos y son semejantes, establecemos la proporción
'(
)
=
*$
$
⇒
'(
)
=
*$
*$+*
⇒
⇒
'(
×√
=
×√
×√ +
,×√-
-
⇒
'(
×√
=
×√
. ×√ /×0 +
1
-
2
= ,
-
= ⇒ =
× ×√
= 2 × √2
[*]
La superficie del trapecio es
)+'(
× =
×√ + ×√
×
×√
=
3×√ × ×√
=
15/2 = 7,5 unidades cuadradas

34. Cuatro amigos, Tomás, José, Faustino, y Chemari, tienen diferentes estaturas. José es
más bajo que Chemari tantos cm como es más alto que Faustino.
Si José mide 172 cm y el promedio de las estaturas de los cuatro amigos es 173 cm,
¿cuál es la estatura de Tomás?
SOLUCIÓN
Llamamos , , , a las medidas, en centímetros, de las alturas respectivas de Tomás, José, Faustino y Chemari.
Según el enunciado, − = − ⇒ + = 2 = 2 × 172 = 344
Entonces, = 174 ⇒ = = 173 ⇒ 516 + = 4 × 173 = 692 ⇒ = 692 − 516 =
176 cm

35. Un programa de ordenador genera una sucesión de 2019 números, de acuerdo con la siguiente regla: el
primer número es 1 y, a partir de ahí, luego de generar el número x, el siguiente número que genera es igual a
siendo [x] la parte entera de x.
Así, los primeros números de la sucesión son 1; 2; 5/2; 3; ...
Determina cuál es el último número que genera el programa.
SOLUCIÓN
Observemos que los números naturales aparecen en su mismo orden en la sucesión, aunque no consecutivos.
Si el número natural aparece en una posición determinada, el siguiente número que aparece en la sucesión es
+ = + = , cuya parte entera también es , luego el siguiente es + = + = y
así sucesivamente, , , … hasta + = + = = + 1, siguiente natural que
aparece en la sucesión y cuya parte entera ya cambia respecto a los precedentes.
La parte de la sucesión que estamos analizando es, entonces,
… … , ,
+ 1
,
+ 2
, … … ,
+ − 1
, + 1, … …
y siempre hay términos, exactamente, desde hasta + 1 (sin contar este último), ∀ ∈ , a los que vamos
a llamar ‘ciclo’ de .
Es decir, del 1 al 2 hay 1 término, del 2 al 3 hay 2 términos, …
Hasta el término del lugar 2019 habrá 1 + 2 + 3 + ⋯ + ! + " términos, habiendo aparecido como último
número natural con todo su ‘ciclo’ el número ! y luego " términos a continuación del ‘ciclo’ del siguiente
natural.
Sumamos la progresión aritmética y hacemos 1 + 2 + 3 + ⋯ + ! =
# $%×$
= 2019 ⇒ ! + ! − 4038 = 0,
por lo que ! =
√ × + ,
=
√ - .
= 63,05 por lo todos los números naturales hasta el 63 y sus
respectivos ciclos ocupan, en la sucesión, hasta el término 1 + 2 + 3 + ⋯ + 63 =
# - %×-
= 2016, siguiendo
luego " = 2019 − 2016 = 3 términos que son 64;
-
-
;
-
-
El término buscado es
-
-
=
+2,
-
=
2049/32

36. Cuatro niños tienen edades diferentes por debajo de 18 años.
Si el producto de sus edades es 882, ¿cuánto vale su suma?
SOLUCIÓN
Como 882 = 2 × 3 × 7 y las edades son diferentes menores de 18 años, dos de las edades deben ser 7 y
2 × 7 = 14 años luego las otras son 1 y 3 = 9 años.
Por lo tanto, la suma de las edades es 1 + 7 + 9 + 14 =
31

37. Se suman las 102 potencias de 7 desde 70
= 1 hasta 7101
:
Halla el resto de dividir N por 400.
SOLUCIÓN
Curiosamente 7 + 7 + 7 + 7 = 1 + 7 + 49 + 343 = 400, por lo que
= 7 + 7 + 7 + 7 + ⋯ + 7 = 7 + 7 + 7 × 7 + 7 + 7 + 7 + 7 × 7 + 7 + 7 + 7 +
+ ⋯ + 7 × 7 + 7 + 7 + 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + ⋯ + 7 × 400
En resumen, = 7 + 7 + ⋯ + 7 × 400 + 8, por lo que el resto buscado es
8

38. Halla el valor de la suma a + b + n sabiendo se verifica que
SOLUCIÓN
Del primer número de la igualdad se deduce que > 5, al aparecer el dígito 5 en la expresión del número en la
base . Además, 0 ≤ , < y > 0.
Del segundo número de la igualdad se deduce que < 7, pues es un dígito de la expresión del número en la
base 7.
En conclusión, = 6.
La igualdad es 5( = 164( ⇒ × 6 + × 6 + 5 = 1 × 7 + 6 × 7 + 4 ⇒ 36 + 6 + 5 = 49 + 42 + 4 ⇒
⇒ 36 + 6 += 90
÷
6 + = 15
Como y son dígitos, los valores posibles son
• = 1 y = 9, lo que no es válido porque debe ser 0 ≤ , <
• = 2 y = 3
Por lo tanto, + + = 2 + 3 + 6 =
11

39. Dado un triángulo ABC rectángulo en C, con AC/BC = 3, sea O
el punto medio de la hipotenusa AB.
Se traza por O la perpendicular a AB que corta al cateto AC en
P; se traza por P la paralela a AB que corta al cateto BC en Q, y
se traza por Q la perpendicular a AB que corta a AB en R.
Calcula la razón PQ/RQ.
SOLUCIÓN
Llamamos, por comodidad, = , = , = . Según el
enunciado, = = 3 ⇒ = 3 y, por el teorema de Pitágoras
aplicado en el triángulo , = + = + 3 ⇒
⇒ = 10
Llamamos también = = e = = , por lo que la razón que debemos determinar es =
Es evidente que los cuatro triángulos rectángulos que aparecen en la imagen son, por construcción, semejantes
entre sí, por lo que podemos establecer relaciones de semejanza entre ellos:
• Entre :
"
"
= ⇒ #
$
= =
%
&
⇒ =
'
(
• Entre : = ⇒ =
'
⇒ =
'
• Entre :
"
= ⇒ #
$
=
'
⇒ =
'$
De los dos últimos resultados, = = + = '
+
'$ ÷
*+ 1 = '
+
'$
$ ⇒ 1 = '
+
%, $
×. $ ⇒ 1 = '
+
/
.
⇒
⇒ '
= 1 −
/
.
=
1
.
⇒ =
1'
.
Por tanto, la razón pedida es = =
2#
3
#
4
=
1
.
=
8/3

40. Marta quiere usar una contraseña de siete cifras bastante peculiar: las cifras de la
contraseña deben aparecer tantas veces como indica su valor y las cifras que son
iguales deben siempre aparecer consecutivamente. Por ejemplo, 4444333 ó 1666666.
¿Cuántas posibles contraseñas puede elegir?
SOLUCIÓN
La clave está en la descomposición de 7 en sumas de cifras diferentes:
• 7 = 1 + 2 + 4, que da lugar a contraseñas que tengan los tres módulos 1, 22 y 4444 ordenados de
todas formas posibles: = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 contraseñas.
(1224444,1444422,2214444,2244441, 4444122, 4444221)
• 7 = 1 + 6, que da lugar a contraseñas que tengan los dos módulos 1 y 666666 ordenados de todas
formas posibles: = 2! = 2 × 1 = 2 contraseñas.
(1666666, 6666661)
• 7 = 2 + 5, que da lugar a contraseñas que tengan los dos módulos 22 y 55555 ordenados de todas
formas posibles: = 2! = 2 × 1 = 2 contraseñas.
(2255555, 5555522)
• 7 = 3 + 4, que da lugar a contraseñas que tengan los dos módulos 333 y 4444 ordenados de todas
formas posibles: = 2! = 2 × 1 = 2 contraseñas.
(3334444, 4444333)
• 7 = 7, que da lugar a una contraseña con el único módulo 7777777: 1 contraseña.
(7777777)
La cantidad total de contraseñas es 6 + 2 + 2 + 2 + 1 =
13

41. De una bolsa con 7 kilogramos de arroz se debe separar
exactamente 1 kilogramo de arroz.
Para ello se dispone de una balanza de dos platos y una pesa de
600 gramos.
Indica una manera hacerlo realizando 3 pesadas teniendo en
cuenta que la balanza de dos platos sólo permite afirmar que,
cuando se equilibra, los objetos colocados en ambos platos pesan lo mismo.
SOLUCIÓN
Sabemos que 7 kg = 7000 g
En primer lugar se pesa todo el arroz distribuyendo sobre los dos platos de manera que en uno haya 3800 g y en
el otro 7000 − 3800 = 3200 g y la pesa de 600 g, equilibrando así la balanza.
Los 3200 g medidos se distribuyen entre los dos platos con 1600 g en cada uno equilibrando la balanza.
Por fin, se colocan 1600 g medidos en un plato y se equilibra esta poniendo en el otro plato la pesa de 600 g y
1000 g = kg de arroz, quedando así medido.

42. Sumamos las medidas de los ángulos de un polígono convexo, pero se nos olvida uno y
obtenemos como resultado 2019o
.
¿Cuánto mide el ángulo olvidado?
SOLUCIÓN
Se sabe que todo polígono convexo de lados se descompone en − 2 triángulos, por lo que la suma de todos
sus ángulos es − 2 × 180° = 180° × − 360°.
Si llamamos al ángulo olvidado, se cumple que 180 − 360 = 2019 + ⇒ = ⇒ = 13 +
El polígono es convexo y es un número natural, luego 0 < < 180° ⇒ 39° + = 180° ⇒ = 180° − 39° =
141o

43. Halla todos los enteros no negativos a y b tales que
SOLUCIÓN
Una solución trivial es = , = pues 3 × 2 + 1 = 3 × 1 + 1 = 3 + 1 = 4 = 2
Para calcular otras soluciones suponemos que , ≠ 0
3 × 2 + 1 = ⇒ 3 × 2 = − 1 = + 1 × − 1 , valor par, por lo que los números − 1 y + 1 son
pares ⇒ es impar
Suponemos, entonces, dos casos:
1)
+ 1 = 3 × 2
− 1 = 2
ª ª
!!" 2 = 3 × 2 + 2 ⇒ = 3 × 2 + 2 , número impar ⇒ # − 1 = 0 ⇒
⇒ # = 1 ⇒ $ + 1 = 3 × 2 = 6 ⇒ = 5
− 1 = 2
⇒ 5 − 1 = 2 ⇒ 2 = 4 = 2 ⇒ − 1 = 2 ⇒ = 3
Solución: = ', = ( pues 3 × 2)
+ 1 = 3 × 8 + 1 = 24 + 1 = 25 = 5
2)
+ 1 = 2
− 1 = 3 × 2
ª ª
!!" 2 = 2 + 3 × 2 ⇒ = 2 + 3 × 2 , impar ⇒ − # − 1 = 0 ⇒
⇒ = # + 1 ⇒ $
+ 1 = 2
− 1 = 3 × 2 = 6 ⇒ = 7
⇒ 7 + 1 = 2 ⇒ 2 = 8 = 2)
⇒ # = 3 ⇒ = 4
Solución: = ,, = - pues 3 × 2.
+ 1 = 3 × 16 + 1 = 48 + 1 = 49 = 7
Las soluciones son:
a = 0, b = 2
a = 3, b = 5
a = 4, b = 7

44. Sean A y B son puntos de la circunferencia de centro M, como se ve en
la figura, y PB tangente a la circunferencia en B.
Las distancias PA y MB son valores enteros y PB = PA + 6.
¿Cuántos valores posibles hay para MB?
SOLUCIÓN
Llamamos = y = = , radio de la circunferencia.
Aplicando el teorema de Pîtágoras en el triángulo rectángulo
tenemos que
= + ⇒ + = + 6 + ⇒
⇒ + = + 6 + ⇒ + 2 + = + 12 + 36 + ⇒
⇒ 2 = 12 + 36 ⇒ = 6 + 18 ⇒ − 6 = 18 ⇒ =
Como y son cantidades enteras, las posibilidades son
• = 7 ⇒ = 18
• = 8 ⇒ = 9
• = 9 ⇒ = 6
• = 12 ⇒ = 3
• = 15 ⇒ = 2
• = 24 ⇒ = 1
Por lo tanto, para = hay
6 valores posibles

45. Halla cuántos enteros positivos, de tres o más dígitos, existen tales que cada par de
dígitos consecutivos sea un número de dos dígitos que es cuadrado perfecto.
[Por ejemplo, 164 es un número de la lista, porque 16=4
2
y 64=8
2
, pero 1645 no está en la lista porque 45
no es un cuadrado perfecto y 381 no está en la lista porque 38 no es un cuadrado perfecto]
SOLUCIÓN
Si revisamos todos los números con secuencias máximas cumpliendo lo que se indica en el enunciado, los únicos
son 1649, 3649, 649, 81649, que dan lugar a los siguientes números:
• 1649 → 164 y 1649
• 3649 → 364 y 3649
• 649 → 649
• 81649 → 816, 8164 y 81649
En total,
8 números

46. Una función verifica que
Calcula el valor de f (2)
SOLUCIÓN
Para = 0 ⇒ 2 × 0 + 1 + 3 = 4 × 0 + 6 × 0 + 2 × 1 ⇒ 1 + 3 = 2 × 1 ⇒ 1 = 3
Por tanto, 2 + 3 = 1 + 1 + 3 = 2 × + 1 + 3 = 4 × + 6 × + 2 × 1 = 1 + 3 + 2 × 3 ⇒
⇒ 2 = 1 + 3 + 2 × 3 − 3 =
7

47. Sea el conjunto de los 17 primeros enteros positivos.
Elige dos números de este conjunto tales que la multiplicación de esos dos números sea igual a
la suma de los restantes 15 números.
SOLUCIÓN
La suma de todos los números es, pues forman una progresión aritmética,
×
= 9 × 17 = 153
Los números que elijamos y deben ser tales que 153 − − = × ⇒ × + = 153 − ⇒
⇒ × + 1 = 153 − ⇒ =
Debe ser 1 ≤ , ≤ 17 y, teniendo en cuenta los factores cuyo producto da lugar a la suma total, se deberá
cumplir que 9 ≤ + 1 ⇒ ≥ 8
Por tanto, si
• = 8 ⇒ = = , que no es entero
• = 9 ⇒ = = , que no es entero
• = 10 ⇒ = = = 13
Los números elegidos son soluciones son:
10 y 13

48. La figura representa 10 islas y 15 puentes.
¿Cuál es el menor número de puentes que debemos cerrar para que no sea
posible ir de A a B a través de puentes?
SOLUCIÓN
3 puentes

49. Un rectángulo se divide en 9 rectángulos más pequeños mediante paralelas
a sus lados, y en 5 de esos rectángulos pequeños se indica el perímetro.
Calcula el perímetro del rectángulo inicial.
SOLUCIÓN
Analizamos los perímetros que nos dan relacionándolos con el perímetro
que buscamos.
Nombramos, como se ve en la imagen al margen, los lados de los
rectángulos.
El perímetro pedido es = 2 × + + + 2 × + + =
= 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 − 2 + 2 =
= 11 + 20 + 11 + 12 − 8 =
46

50. Tenemos 2700 fichas, 1430 de ellas son rojas y el resto azules.
Comenzamos a formar un “cuadrado” por la esquina superior izquierda, empezando
por una ficha roja, y colocando alternativamente fichas rojas y azules en cada fila y en
cada columna, como se indica en la figura.
Una vez que hayamos formado de esta manera el mayor cuadrado posible, ¿cuántas
fichas quedan de cada color?
SOLUCIÓN
Hay 2700 − 1430 = 1270 fichas azules.
Como √2700 = 51,96 …, el mayor cuadrado que podría construirse sería de 51 × 51 = 2601 fichas
comenzando y acabando por ficha roja: habría 1300 fichas azules y 1301 rojas, por lo que se necesitarían más
fichas azules de las que hay.
Con las 1270 fichas azules puede construirse un cuadrado (junto con las rojas) de 1250 + 1250 = 2500 fichas
como más grande, con lado de √2500 = 50 fichas.
Por tanto, sobrarán 1430 − 1250 = 180 fichas rojas y 1270 − 1250 = 20 fichas azules.
180 rojas y 20 azules

51. En la pantalla un ordenador hay, inicialmente, un rectángulo de 21 milímetros
de ancho y 33 milímetros de alto.
Cada vez que se aprieta la tecla “+” el ancho aumenta 2 milímetros y el alto
aumenta 1 milímetro.
Determina cuántas veces hay que apretar la tecla “+” para que el área del
rectángulo de la pantalla sea 25 veces el área del rectángulo inicial.
SOLUCIÓN
Si son las veces que hay que apretar, el enunciado dice que 21 + 2 × 33 + = 25 × 21 × 33 ⇒
⇒ 693 + 2 + 21 + 66 = 17325 ⇒ 2 + 87 − 16632 = 0 ⇒ =
±√ × ×
×
=
±√
⇒
⇒ =
± " #$ % &%$
'((((((((() = = =
72 veces

52. Un tren, con 18 vagones, transporta 700 pasajeros y hay siempre 199 pasajeros exactamante entre todos los
que ocupan 5 vagones adyacentes.
¿Cuántos pasajeros ocupan, en total, los dos vagones centrales?
SOLUCIÓN
Las formas posibles de que sean válidas las propuestas del enunciado son las que consideran que el número de
pasajeros en cada uno de los 18 vagones del tren conforma una de las tres siguientes configuraciones:
− − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − −
En todos los casos, el número de pasajeros de cinco vagones adyacentes cualesquiera es 4 + = 199
Además, según el enunciado, 14 + 4 = 700 ⇒
4 + = 199
14 + 4 = 700
× ª ª
2 = 4 × 199 − 700 = 96 ⇒
⇒ = = 48, y el total de pasajeros de los dos vagones centrales es, en todos los casos, 2 = 2 × 48 =
96 pasajeros
Otras posibilidades son las distribuciones
− − − − − − − − − − − − − − − − −
− − − − − − − − − − − − − − − − −
que dan lugar al sistema
4 + = 199
15 + 3 = 700
ª × ª
3 = 700 − 3 × 199 = 103 ⇒ = , que no indica
número de pasajeros porque no es un número natural y esto no da lugar a ningún resultado válido.

53. Sea ABC un triángulo rectángulo en A con AB = 16 y AC = 18.
Una recta paralela a AB corta al lado AC en P y al lado BC en Q de modo que el
área del trapecio ABQP es 63.
Calcula la longitud del segmento PQ.
SOLUCIÓN
Sean = y = . La superficie del trapecio es
×
=
×
= 63
Además, como los triángulos rectángulos y son semejantes, establecemos
la razón de semejanza = ⇒ = ⇒ = ⇒ 144 − 8 = 9 ⇒
⇒ 8 = 144 − 9 ⇒ =
##
Entonces,
×
= 63 ⇒ + 16 × = 126 ⇒ + 16 ×
##
= 126 ⇒ 2304 − 9 = 1008 ⇒
⇒ 9 = 2304 − 1008 = 1296 ⇒ = = 144 ⇒ = = √144 =
12 unidades lineales

54. Alberto piensa que mentir de vez en cuando es divertido y de cada tres frases seguidas
que dice, una es falsa.
Está pensando en un número de dos cifras, y le dice a su colega:
- “Una de sus cifras es dos”
- “Es mayor que 50”
- “Es un número par”
- “Es menor que 30”
- “Es divisible por 3”
- “Una de sus cifras es 7”
¿Cuál es la suma de las cifras del número en que está pensando Alberto?
SOLUCIÓN
Suponemos que el número es .
Como las frases 2 y 4 son contradictorias, una debe ser cierta y la otra falsa por lo que tomando las frases
2 − 3 − 4, la frase 3 debe ser cierta: es par ⇒ es 0 o cifra par.
Supongamos que última frase es cierta = 7 ⇒ = 7 ⇒ la frase 4 es falsa ⇒ la frase 1 es
falsa y las frases 2 y 5 son ciertas.
O sea, las frases son falsa-cierta-cierta-falsa-cierta-cierta.
Por ser la frase 5 cierta el número es 72 o 78 pero, como la frase 1 es falsa, el número es = 78 ⇒ 7 + 8 =
15

55. Sabiendo que una de las cinco sumas que se muestran, y que indican los pesos totales, es errónea
determina cuál es la expresión equivocada y halla los pesos de cada uno de los tres objetos.
SOLUCIÓN
Sean , , los pesos respectivos, en gramos, del disquete, del casete y del disco.
Las expresiones a que da lugar la imagen son:
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
3 + 2 = 1100
2 + 2 = 800
+ 3 + 3 = 1400
4 + 2 = 1300
+ 5 = 1000
Suponiendo ciertas las dos primeras tendremos
3 + 2 = 1100
2 + 2 = 800
ª ª = 300
=
!! "
= 100
Aplicando estos resultados a las tres siguientes obtenemos
#
+ 3 + 3 = 1400
4 + 2 = 1300
+ 5 = 1000
"$%!!;'$ !!
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ =
(!! " %'
%
=
!!
%
=
%!! ('
= 450
=
!!! '
)
= 180
lo cual es totalmente incoherente, por lo que una
de las dos primeras expresiones es falsa.
Calculamos, por tanto, los pesos con las tres últimas expresiones, que sabemos ciertas:
#
+ 3 + 3 = 1400
4 + 2 = 1300
+ 5 = 1000
(×%ª ª
#
+ 3 + 3 = 1400
4 + 2 = 1300
18 = 2700
⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ = 1400 − 3 − 3 ⇒ = 200
=
1300 − 2
4
⇒ = 250
=
2700
18
⇒ = 150
y, sustituyendo en las dos primeras, obtenemos
3 + 2 = 1100
2 + 2 = 800
"$ !!;'$ )!
.
3 × 200 + 2 × 250 = 1100
2 × 200 + 2 × 250 = 900 ≠ 800
, por lo que
la segunda suma es errónea y el disquete pesa 200 g, el
casete pesa 250 g y el disco pesa 150 g

56. ¿Cuántos números naturales hay tales que si se elimina su última cifra se obtiene un número
igual a 1/14 del número original?
SOLUCIÓN
Sea = 10 + el número original, siendo la última cifra (la de las unidades) y el número que forman sus
restantes cifras si eliminamos la última.
El enunciado dice que × = ⇒ × 10 + = ⇒ 10 + = 14 ⇒ = 4
Como es cifra y es un número natural, las únicas posibilidades son
• = 1; = 4 ⇒ = 10 × 1 + 4 = 14
• = 2; = 8 ⇒ = 10 × 2 + 8 = 28
Por lo tanto, hay
2 números

57. En un cuadrado ABCD de 14 cm de lado se considera un punto E en el lado AD.
La perpendicular a CE trazada por C corta a la prolongación del lado AB en F.
Si se sabe que el área del triángulo CEF es 116 cm2
, calcula el área del triángulo AEF.
SOLUCIÓN
Según el enunciado, es evidente que los triángulos rectángulos y son
semejantes y de las mismas medidas pues = , al ser sus lados
respectivamente perpendiculares entre sí, y = = 14 cm
Llamamos = = e = =
Entonces, = 116 ⇒ = 232
Por el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo ⇒ + = ⇒ + 14 = ⇒
⇒ + 196 = 232 ⇒ = 232 − 196 = 36 ⇒ = 6 cm
Por lo tanto, la superficie buscada es
×
=
×
=
! " × ! "
=
! "
=
#$ %$
=
$&
=
80 cm2

58. La suma de las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo es 18 y la suma
de los cuadrados de esas longitudes es 128.
Halla el área del triángulo.
SOLUCIÓN
La superficie del triángulo es
×
Por el teorema de Pitágoras + = , luego + + = 128 ⇒ + = 128 ⇒ = 64 ⇒ = 8
Entonces, + + = 18 ⇒ + + 8 = 18 ⇒ + = 10 por lo que + = + 2 + = 100 ⇒
⇒ 2 + = 100 ⇒ 2 + 64 = 100 ⇒ 2 = 100 − 64 = 36 ⇒
×
= =
9 unidades cuadradas

59. Ana escribe una lista de 200 números de acuerdo con la siguiente regla: el
primer número es 2005, el segundo es 1, y a partir de allí, en cada paso
escribe la resta del último número ya escrito menos el penúltimo número
escrito más 5. Por ejemplo, el tercer número es -1999, pues 1-2005+5=-1999.
Calcula la suma de los 200 números de la lista de Ana.
SOLUCIÓN
Calculamos los primeros términos de la serie = 2005; = 1; = − + 5, ∀ ≥ 2
• = − + 5 = 1 − 2005 + 5 = −1999
• = − + 5 = −1999 − 1 + 5 = −1995
• = − + 5 = −1995 − −1999 + 5 = 9
• = − + 5 = 9 − −1995 + 5 = 2009
• = − + 5 = 2009 − 9 + 5 = 2005
• = − + 5 = 2005 − 2009 + 5 = 1
• …
de donde se deduce que = , ∀ ∈
Entonces, como 200 = 33 × 6 + 2, la suma pedida será
= + + ⋯ + + + ⋯ + "" = 33 × + + + + + + + =
= 33 × 2005 + 1 − 1999 − 1995 + 9 + 2009 + 2005 + 1 = 33 × 30 + 2006 =
2996

60. Sea
Halla x + y.
SOLUCIÓN
| | + + = 5
| | + − = 10
ª ª
| | − | | + 2 = −5 < 0 ⇒ < 0
Por lo tanto, como | | + + = 5 > 0
En resumen,
| | + + = 5
| | + − = 10
| |
| | + + = 5
− + − = 10
⇒
2 + = 5
− 2 = 10
× ª ª
ª × ª 5 = 20
5 = −15
⇒
⇒
= 4
= −3
⇒ + =
1

61. Al plegar una hoja rectangular se obtiene un rectángulo de 9×12, como se ve en la
figura.
Calcula las dimensiones de la hoja antes de plegarse.
SOLUCIÓN
Si se observa la hoja desplegada, sus dimensiones se obtienen a partir de
medidas del triángulo rectángulo .
En primer lugar, por el teorema de Pitágoras en el triángulo citado,
= + ⇒ + = 9 + 12 = 81 + 144 = 225 ⇒
⇒ + = 15
El triángulo y los triángulos en que queda dividido por ℎ son, los tres,
semejantes y de lados correspondientes (cateto menor-cateto mayor-
hipotenusa) 9, 12, 15; , ℎ, 9; ℎ, , 12.
Establecemos razones de semejanza:
• = ⇒ = =
• = ⇒ ℎ = =
• = ⇒ = =
Las medidas del la hoja son, pues, 2ℎ = 2 × = = 14,4 y + = 15
14,4×15

62. Si el hexágono regular tiene de superficie 72 unidades cuadradas, ¿cuál es el área del
cuadrilátero azul?
SOLUCIÓN
El hexágono se divide en seis triángulos equiláteros iguales y la superficie pedida es la
tercera parte de uno de esos triángulos, como se ve en la imagen adjunta.
Por lo tanto, el área es
1
3
×
1
6
× 72 =
72
18
=
4 unidades cuadradas

63. Inma hace la lista de todos los enteros positivos de 6 dígitos que tienen la suma de los
dígitos igual a 9 y cuatro de sus dígitos son 1, 0, 0, 4.
Calcula cuántos números tiene la lista.
SOLUCIÓN
Si tiene los dígitos 1, 0, 0, 4 y en total los seis dígitos deben sumar 9, las posibilidades son:
- que tengan los dígitos 0, 0, 0, 1, 4, 4: hay 6 seis números de los cuales el 0 está 3 veces, el 1 está 1 vez y
el 4 está 2 veces,
o que empiecen por 1, los dígitos restantes son 0, 0, 0, 4, 4, por lo que la cantidad de números es
,
o que empiecen por 4, los dígitos restantes son 0, 0, 0, 1, 4, por lo que la cantidad de números es
, ,
- que tengan los dígitos 0, 0, 1, 1, 3, 4: hay 6 seis números de los cuales el 0 está 2 veces, el 1 está 2 veces,
el 3 está 1 vez y el 4 está 1 vez,
o que empiecen por 1, los dígitos restantes son 0, 0, 1, 3, 4, por lo que la cantidad de números es
, , ,
o que empiecen por 3, los dígitos restantes son 0, 0, 1, 1, 4, por lo que la cantidad de números es
, ,
o que empiecen por 4, los dígitos restantes son 0, 0, 1, 1, 3, por lo que la cantidad de números es
, ,
- que tengan los dígitos 0, 0, 1, 2, 2, 4: hay 6 seis números de los cuales el 0 está 2 veces, el 1 está 1 vez, el
2 está 2 veces y el 4 está 1 vez,
o que empiecen por 1, los dígitos restantes son 0, 0, 2, 2, 4, por lo que la cantidad de números es
, ,
o que empiecen por 2, los dígitos restantes son 0, 0, 1, 2, 4, por lo que la cantidad de números es
, , ,
o que empiecen por 4, los dígitos restantes son 0, 0, 1, 2, 2, por lo que la cantidad de números es
, ,
En total, la cantidad total de números es ,
+ , ,
+ 4 × , ,
+ 2 × , , ,
=
=
!
!× !
+
!
!
+ 4 ×
!
!× !
+ 2 ×
!
!
=
× × !
!×
+
× × !
!
+ 4 ×
× × ×
×
+ 2 ×
× × ×
= 10 + 20 + 120 + 120 =
270 números

64. ¿Cuántos enteros positivos abc de tres cifras hay tales que
sea un número potencia de 2 y, también, de tres cifras?
SOLUCIÓN
Para que + sea potencia de 2 de tres cifras las únicas posibilidades son 2 = 128; 2 = 256; 2 = 512
Entonces, pueden tomar los valores
• + = 2 ⇒
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎧
= 1, = 1 ⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 1 + 1 = 2 = 128 → = 117
1 + 1 = 2 = 256 → = 118
1 + 1 = 2 = 512 → = 119
= 2, = 0 ⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 2 + 0 = 2 = 128 → = 207
2 + 0 = 2 = 256 → = 208
2 + 0 = 2 = 512 → = 209
• + = 4 ⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ = 1, = 3 ⇒ 1 + 3 = 4 = 2!
= 2 = 256 → = 134
= 2, = 2 ⇒ 2 + 2 = 4 = 2!
= 2 = 256 → = 224
= 3, = 1 ⇒ 3 + 1 = 4 = 2!
= 2 = 256 → = 314
= 4, = 0 ⇒ 4 + 0 = 4 = 2!
= 2 = 256 → = 404
• + = 8 ⇒
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎧ = 1, = 7 ⇒ 1 + 7 "
= 8"
= 2" "
= 2 = 512 → = 173
= 2, = 6 ⇒ 2 + 6 "
= 8"
= 2" "
= 2 = 512 → = 263
= 3, = 5 ⇒ 3 + 5 "
= 8"
= 2" "
= 2 = 512 → = 353
= 4, = 4 ⇒ 4 + 4 "
= 8"
= 2" "
= 2 = 512 → = 443
= 5, = 3 ⇒ 5 + 3 "
= 8"
= 2" "
= 2 = 512 → = 533
= 6, = 2 ⇒ 6 + 2 "
= 8"
= 2" "
= 2 = 512 → = 623
= 7, = 1 ⇒ 7 + 1 "
= 8"
= 2" "
= 2 = 512 → = 713
= 8, = 0 ⇒ 8 + 0 "
= 8"
= 2" "
= 2 = 512 → = 803
• + = 16 ⇒
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ = 7, = 9 ⇒ 7 + 9 !
= 16!
= 2 !
= 2 = 256 → = 792
= 8, = 8 ⇒ 8 + 8 !
= 16!
= 2 !
= 2 = 256 → = 882
= 9, = 7 ⇒ 9 + 7 !
= 16!
= 2 !
= 2 = 256 → = 972
En total, 6 + 4 + 8 + 3 =
21

65. Un número natural se dice amigo del 7 si la suma de sus dígitos es un múltiplo
de 7.
Por ejemplo, 9156 es amigo del 7 porque 9+1+5+6=21 que es un múltiplo de 7,
223 es amigo del 7 porque 2+2+3=7 que es un múltiplo de 7, y 706 no es amigo
del 7 pues 7+0+6=13, que no es múltiplo de 7.
Halla el menor número n que es amigo del 7 y tal que el siguiente amigo del 7
sea n+13, es decir, que n y n+13 son amigos del 7 pero ninguno de los 12
números n+1, n+2, ..., n+12 es amigo del 7.
SOLUCIÓN
Como la suma de las cifras de 13 es 1 + 3 = 4, la suma de las cifras de + 13 será 7 = 7 + 1 + 3 − 9 ⇒
siendo 7 la suma de las cifras de , por lo que 7 + 4 ≡ 7 mod 9 ⇒ = 3, = 1 son los valores más
pequeños, por lo que la suma de las cifras de es 21 y la suma de las cifras de + 13 es 7.
El número más pequeño debe ser de 3 cifras y el siguiente será de 4 inevitablemente: debe ser = 993 y
+ 13 = 1006 y ninguno de los números intermedios son amigos de 7.
993

66. Sea x un número natural tal que la suma x + 1923 es un número capicúa de cuatro
cifras.
¿Cuál es la diferencia entre el mayor valor posible de x y el menor valor posible de x ?
SOLUCIÓN
El menor capicúa de cuatro cifras mayor que 1923 es 1991, luego + 1923 = 1991 ⇒ = 1991 − 1923 ⇒
⇒ = 68 es el menor valor posible de .
El mayor capicúa de cuatro cifras es 9999, por lo que + 1923 = 9999 ⇒ = 9999 − 1923 ⇒ = 8076 es el
mayor valor que puede tomar .
Por lo tanto, la diferencia es 8076 − 68 =
8008

67. Pablo sumó todos los números enteros positivos de 4 dígitos, pero se saltó uno.
La suma de Pablo es igual a 8499 veces el número que se saltó Pablo.
Halla el número que se saltó Pablo.
SOLUCIÓN
La suma de los números enteros positivos de cuatro cifras, que forman una progresión aritmética, es
×
= 10999 × 4500
Si es el número que se salta Pablo tenemos que 10999 × 4500 − = 8499 ⇒ 8500 = 10999 × 4500 ⇒
⇒ =
× ÷
=
×
= 647 × 9 =
5823

68. En el triángulo ABC el punto O situado en AB es tal que AC=OA y OC=OB .
Sabiendo que el ángulo ACB es de 60o
, halla la medida del ángulo ABC.
SOLUCIÓN
Llamamos = = , = = , = , = , = 60°
Como el triángulo es isósceles, 2 × + = 180° ⇒ =
°
Como el triángulo es isósceles, 2 + = 180° ⇒ = 180° − 2
Entonces, + = 180° ⇒
°
+ 180° − 2 = 180° ⇒ 180° − − 4 = 0 ⇒ + 4 = 180° [i]
Además, en el triángulo , + + = 180° ⇒ + + 60° = 180° ⇒ + = 120° [ii]
Restando las igualdades [i] e [ii] obtenemos [ii]-[i]: + 4 − + = 180° − 120° ⇒ 3 = 60° ⇒ =
20o

69. Si a y b son dos números reales que satisfacen
Halla todos los posibles valores de b/a
SOLUCIÓN
Vista la expresión esta tendrá sentido si ≠ 0 y, además, también debe ser ≠ 0 para poder obtener el valor
de .
Si dividimos por numerador y denominador de las dos fracciones de la expresión y hacemos = obtenemos
+ = 2 ⇒ + = 2 ⇒ + = 2 ⇒ 20 + 2 + 10 + = 40 + 4 ⇒ 10 − 37 + 16 = 0
Resolvemos la ecuación obtenida: =
±√ !× × #
×
=
±
= $
#!
=
#
%
=
'
Por lo tanto, los posibles valores de = son
5/16 y 2

70. Tres amigos, Pablo, Leonardo y Vincent están hablando sobre una exposición de
cuadros que van a visitar.
Pablo dice: “Por lo menos hay cuatro pinturas de Rembrandt”.
Leonardo: “No, a lo sumo hay tres pinturas de Rembrandt”.
Vincent: “Al menos hay una de sus pinturas”.
Solamente uno de ellos tiene razón.
¿Cuántas pinturas de Rembrandt hay en la exposición?
SOLUCIÓN
Pablo y Leonardo dicen frases contradictorias, por lo que uno de ellos dice la verdad y el otro miente, lo que da
como consecuencia que Vincent también mienta: no hay ninguna pintura de Remdbrant y Leonardo es el único
que dice la verdad.
No hay ninguna pintura de Rembrandt en la exposición

71. Una progresión aritmética infinita de números enteros es actual si entre sus primeros diez
términos hay uno igual a 1 y otro igual a 2019.
Calcula cuántas son las progresiones aritméticas actuales.
[Una progresión aritmética infinita es una sucesión tal que cada término se obtiene sumándole al anterior un número fijo que se
llama diferencia de la progresión. Por ejemplo,
2, 102, 202, 302, 402, ... es una progresión aritmética infinita de diferencia 100
7, 4, 1, -2, -5, -8, ... es una progresión aritmética infinita de diferencia –3]
SOLUCIÓN
Una progresión aritmética que contenga los términos 1 y 2019 debe cumplir que 2019 = 1 ± × , siendo la
diferencia de la progresión (número entero) y − 1 el número de términos que separa a los citados.
Por lo tanto, 2019 = 1 ± × ⇒ ± × = 2019 − 1 = 2018 ⇒
± × = 1 × 2018
± × = 2 × 1009
Como una condición que se muestra en el enunciado es que < 10, las posibilidades son:
= ±2018 y, como − 1 = 1 − 1 = 0, los dos términos son consecutivos.
Si = −2018 puede ser, con las condiciones del problema,
= 2019, = 1 para = 1, … , 9: 9 progresiones aritméticas actuales distintas.
Si = 2018 puede ser, con las condiciones del problema,
= 1, = 2019 para = 1, … , 9: 9 progresiones aritméticas actuales distintas.
= ±1009 y solo debe haber, entre ellos, − 1 = 2 − 1 = 1 término en la progresión.
Si = −1009 puede ser, con las condiciones del problema,
= 2019, = 1010, = 1 para = 1, … , 8: 8 progresiones aritméticas actuales
distintas.
Si = 1009 puede ser, con las condiciones del problema,
= 1, = 1010, = 2019 para = 1, … , 8: 8 progresiones aritméticas actuales
distintas.
Por lo tanto hay, en total, 9 + 9 + 8 + 8 =
34 progresiones aritméticas actuales

72. Las 156 cabinas de un telesilla están situadas en el cable que las mueve, de tal manera
que la distancia entre dos cabinas adyacentes es siempre la misma.
Si estás sentado en la cabina número 120, ¿cuál es el número de la cabina que viene
en dirección opuesta a la tuya y que te cruzas con ella cuando llegas a la mitad del
viaje?
SOLUCIÓN
Si se cruzan en la mitad del viaje, habrá tantas cabinas a un lado de las que se cruzan como a otro.
Es decir, a cada lado de ellas habrá exactamente = 77 cabinas
La cabina posterior a la buscada tendrá de numeración 120 − 77 = 43, por lo que la cabina que se cruza con la
que estás sentado es la número
42

73. En una pizarra están escritos los números enteros desde 1 hasta 2019.
Nina borra números con el siguiente procedimiento: recorre los números de la
pizarra ordenadamente de menor a mayor comenzando con el 3. Borra el 3 y
cada vez que llega a un número que se pueda escribir como suma de dos
números distintos que no se hayan borrado hasta ese momento, lo borra.
Determina cuántos números quedarán en la pizarra cuando Nina concluya su
tarea.
SOLUCIÓN
Si observamos, a Nina le van quedando sin borrar los números 1, 2, 4, 7, 10, 13, …
Es decir, todos los números de la forma 3 + 1, = 0, 1, 2, 3, … y el 2, pues los números que se borran,
formados por la suma de dos distintos de los que quedan, son de los tipos
2 + 3 + 1 = 3
3 + 1 + 3 + 1 = 3 + 2
Calculamos cuántos hay hasta 2019. El último sin borrar debe ser 2017 = 3 × 672 + 1
Entonces, los números sin borrar son los 3 + 1, = 0, 1, 2, 3, … , 672 y el 2
En total, 673 + 1 =
674

74. En la figura se muestran dos triángulos equiláteros iguales que se solapan
parcialmente, de manera que un vértice de cada uno está en el centro del otro y
sus lados son paralelos.
¿Cuál es el cociente entre el área común a los dos triángulos y el área de la parte
no solapada de los dos triángulos?
SOLUCIÓN
Se trata de calcular la proporción entre la superficie naranja y la superficie azul.
Llamamos a la longitud de los lados de los triángulos equiláteros y ℎ a la longitud
de la altura de cada uno de dichos triángulos.
Está claro que, tomando uno de los triángulos rectángulos en que se divide uno de
los equiláteros y aplicando en él el teorema de Pitágoras, se verifica que
ℎ + = ⇒ ℎ = − = − = ⇒ ℎ =
√ ×
Además, el centro un triángulo equilátero se halla, siempre, a de una cualquiera de sus bases y a del vértice
opuesto, por lo que la anchura de la parte solapada es × ℎ = ×
√ ×
=
√ ×
Ese solapamiento, un rombo, está formado de sendos triángulos equiláteros iguales y cada uno de ellos tiene de
altura la mitad de la anchura calculada: ×
√ ×
=
√ ×
Por semejanza de triángulos equiláteros, si llamamos al lado de esos triángulos equiláteros pequeños,
=
√ ×
√ ×
= = ⇒ =
La superficie naranja es el área del rombo: ×
√ ×
× =
√ ×
; y la superficie azul es la suma de las áreas de
los dos triángulos equiláteros menos el doble de la superficie naranja: 2 × × ×
√ ×
− 2 ×
√ ×
=
=
√ ×
−
√ ×
=
×√ ×
La proporción buscada es
√ ×
×√ ×
=
1/7

75. Sea ABC un triángulo rectángulo e isósceles de hipotenusa BC y consideramos los
puntos D en el cateto AB y E en el cateto AC tales que AD y AE son las tres cuartas
partes respectivas de AB y AC.
La paralela a AC por D corta a BC en G y la paralela a AB por E corta a BC en F.
Si el área del trapecio DEFG es igual a 10, calcula la longitud de los catetos del
triángulo ABC.
SOLUCIÓN
Llamamos a la longitud de cada cateto del triángulo .
Como = = , por el teorema de Pitágoras en el triángulo se verifica que
= + = + = 2 ⇒ = √2 × . Además. = =
Como los triángulos y son semejantes, por construcción, se puede plantear
la proporción = ⇒ =
×
=
√ × ×
⇒ =
√ ×
Como los triángulos y son semejantes, por construcción, se puede plantear
la proporción = ⇒ =
×
=
√ × ×
⇒ =
√ ×
y, también, =
√ ×
al ser iguales los
triángulos y . Por lo tanto, = − − = √2 × −
√ ×
−
√ ×
⇒ =
√ ×
Por fin, los triángulos, rectángulos e isósceles, y son semejantes por construcción: es evidente que
los ángulos son de 45°, 45°, 90° en los dos casos.
Se puede establecer entre ellos, entonces, la proporción
$
= ⇒ =
%
=
& '
%
√%×(
= )
%
√%×(
=
√
=
√ ×
*
La superficie del trapecio es
+,
× = 10 ⇒
√%×(
+
√%×(
%
×
√ ×
*
= 10 ⇒
.√ ×
*
×
√ ×
*
= 10⇒
⇒ 10 = 640 ⇒ = 64 ⇒ =
8

76. Hay 105 números escritos en una fila: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, … (cada número n está
escrito exactamente n veces).
¿Cuántos de estos números son divisibles por 3?
SOLUCIÓN
Para saber que números son, observamos que los números de veces que se repite cada número forman una
progresión aritmética, por lo que
×
= 105 ⇒ + − 210 = 0 ⇒ =
√ ×
=
√
= ⇒
⇒ = 14 lo que significa que los números escritos acabaran en 14 números iguales a 14:
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, … … , 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14
Múltiplos de 3 serán 3 treses, 6 seises, 9 nueves y 12 doces: 3 + 6 + 9 + 12 =
30 números

77. Un automóvil viaja de A a B a velocidad constante.
A las 8 de la mañana ha recorrido exactamente la tercera parte del
camino entre A y B, y a las 12 del mediodía lleva recorrido, en total,
las tres quintas partes del camino entre A y B.
Determina a qué hora ha recorrido exactamente la mitad del
camino entre A y B.
SOLUCIÓN
Dibujamos el esquema según los datos del problema y
llamamos a la hora solicitada y a los kilómetros existentes
entre y .
En el tramo ha recorrido − = kilómetros en − 8
horas, y en el tramo ha recorrido − = kilómetros
en 12 − horas.
Como la velocidad es constante, se verifica que = ⇒ 6 × − 8 = 10 × 12 −
÷
"#
÷
"# 3 − 24 = 60 − 5 ⇒ 8 = 84 ⇒ =
'
= 10,5 horas.
A las 10 y media

78. Nacho quiere comprar un libro, pero no tiene dinero. Lo compra con
la ayuda de su padre y sus dos hermanos.
Su padre le da la mitad de la cantidad dada por sus hermanos. Su
hermano mayor le da un tercio de lo que le aportan los demás. El
hermano menor le da 10 €.
¿Cuál es el precio del libro?
SOLUCIÓN
Sea el aporte, en euros, del padre e el aporte, en euros, del hermano mayor. El precio del libro es, según el
enunciado, + + 10
Su padre le da la mitad de la que le dan los hermanos: =
Su hermano mayor le da un tercio de lo que le dan el padre y el otro hermano: =
Resolvemos el sistema
=
=
⇒
2 = + 10
3 = + 10
ª→ × ª 6 = 3 + 30
3 = + 10
ª ª
6 + 3 = 3 + + 40 ⇒
⇒ 5 = 40 ⇒ = 8 euros
De lo anterior, = = = 6 euros
El precio del libro es + + 10 = 8 + 6 + 10 =
24 euros

79. Sea un triángulo ABC y un punto interior P tal que AP=BC, ^PBC=^PCB y ^PAC=^PCA=20o
Calcula los ángulos del triángulo ABC.
SOLUCIÓN
Sea = = y = = . Los señalamos en la figura.
Como el triángulo es isósceles, = =
Como el triángulo es isósceles, = = y, además, = ⇒ es un
triángulo equilátero, por lo que = 60°
También, como = = ⇒ es un triángulo isósceles ⇒ = =
Señalamos ahora todos los datos obtenidos en la figura.
Se observa entonces que los ángulos del triángulo son = 20° + , = 60° + y
= 20° + 60° = 80°
Como + + = 180° ⇒ 20° + + 60° + + 80° = 180° ⇒ 2 + 160° = 180° ⇒ 2 = 20° ⇒ = 10°
por lo que = 20° + = 30°, = 60° + = 70°, = 80°
Los ángulos pedidos son
30o
, 70o
, 80o

80. Los puntos A0, A1, A2, … se encuentran en una recta de tal manera que la distancia entre los dos primeros es 1.
Además, el punto An es el punto medio del segmento de extremos An+1 y An+2, para cada entero no negativo n.
¿A qué distancia de A0 está A11?
SOLUCIÓN
Si observamos la posición de los siguientes puntos vemos que
Y podemos establecer las distancias sucesivas viendo la posición de los puntos:
, = 1
, = 2 ⇒ , = 1
, = 4 = 2 ⇒ , = , + , = 1 + 2 = 1 + 2 = 3
, = 8 = 2 ⇒ , = , + , = 1 + 4 = 1 + 2 = 5
, = 16 = 2 ⇒ , = , + , = 1 + 2 + 8 = 1 + 2 + 2 = 11
, = 32 = 2 ⇒ , = , + , = 1 + 4 + 16 = 1 + 2 + 2 = 21
…
y observamos que
, = 1 + 2 + 2 + ⋯ + 2 = 1 + 2 , !
, = 1 + 2 + 2 + ⋯ + 2 = 1 + 2 , !
por lo que
, = , × = 1 + 2 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2#
+ 2$
= 1 + 2 + 8 + 32 + 128 + 512 =
683

81. Halla los seis números que se deben escribir en cada una de las seis casillas vacías del
cuadrado adjunto para obtener un cuadrado mágico: las tres filas, las tres columnas y las dos
diagonales tienen la misma suma.
SOLUCIÓN
Nombramos con incógnitas todas las casillas vacías y establecemos la condición de ser
cuadrado mágico.
1ª = 1ª ⇒ 1 + − + = 1 + + 3 ⇒ + = + 4 ⇒ = +
3ª = 1ª ⇒ + + 3 = 1 + + 3 ⇒ + + = 1 + ⇒ = −
2ª = 1ª ⇒ + + = 1 + + 3 ⇒ + − = 4 ⇒ =
1ª = 1ª ⇒ 1 + + = 1 + + 3 ⇒ 1 + + = + 4 ⇒ = −
3ª = 1ª ⇒ + + 3 = 1 + + 3 ⇒ − + = 1 + ⇒ =
!
2ª = 1ª ⇒ + + = 1 + + 3 ⇒ + + − = 4 ⇒ 2 = 4 ⇒ = 2
= +
"#
$%& = ; = −
"#
$%& = −
El cuadrado mágico, de suma 1 + + 3 = 1 + 2 + 3 = 6, es

82. En cada vértice del polígono de 18 lados de la figura debe escribirse un número que sea
igual a la suma de los números de los dos vértices adyacentes.
Se dan dos de esos números.
¿Qué número debe estar escrito en el vértice A?
SOLUCIÓN
Nombramos al número correspondiente al punto opuesto a . Según el enunciado,
los puntos adyacentes a él tendrán, como números asociados, + 20 y + 18.
Por lo tanto, + 20 + + 18 = ⇒ = −38 y, a partir de ahí, pueden ir
averiguándose los valores asociados a cada punto subiendo hacia si aplicamos la
condición que indica el enunciado:
Cada número debe ser igual a la suma de los números de los dos vértices adyacentes
Así, llegamos a
y, en consecuencia, lleva asociado el número 20 + 18 =
38

83. Ana, Blanca, Carmen, Diana y Eva tienen, entre las cinco, 80 monedas de un euro.
La cantidad de monedas que tienen en conjunto Blanca y Diana es igual a la quinta
parte de las que tienen, en conjunto, Ana y Carmen.
La cantidad de monedas que tienen en conjunto Carmen y Diana es igual a 6 veces las
que tienen, en conjunto, Ana y Blanca.
Determina cuántas monedas tiene cada una si se sabe que Blanca tiene 2 monedas
más que Ana.
SOLUCIÓN
Llamamos , , , , a la cantidad de monedas que tienen, respectivamente, Ana, Blanca, Carmen, Diana, Eva.
Según el enunciado,
+ =
+ = 6 × +
= + 2
⇒
5 + 5 = +
+ = 6 + 6
= + 2
⇒
5 + 10 + 5 = +
+ = 6 + 6 + 12
= + 2
⇒
⇒
− 5 = 4 + 10
+ = 12 + 12
= + 2
ª→ ª × ª
ª→ ª ª
!"""""""#
6 = 64 + 70
6 = 8 + 2
= + 2
⇒ &
=
'( )*
'
=
+
'
= + 2
⇒ &
=
, ,
,
=
(
,
= + 2
Entonces, + + + + = 80 ⇒
⇒ + + 2 +
, ,
,
+
(
,
+ = 80 ⇒ 6 + 6 + 32 + 35 + 4 + 1 + 3 = 240 ⇒
⇒ 42 + 3 = 198
÷,
!# 14 + = 66 ⇒ = 66 − 14 , siendo 0 ≤ , , , , ≤ 80 valores enteros.
Posibilidades:
• = 0 ⇒ = 66 ⇒ =
,
,
: imposible
• = 1 ⇒ = 52 ⇒ =
')
,
: imposible
• = 2 ⇒ = 38 ⇒ = 33 ⇒ = 3 ⇒ = 4
• = 3 ⇒ = 24 ⇒ =
,
,
: imposible
• = 4 ⇒ = 10 ⇒ =
',
,
: imposible
• > 4 ⇒ < 0: imposible
En conclusión,
Ana tiene 2 monedas
Blanca tiene 4 monedas
Carmen tiene 33 monedas
Diana tiene 3 monedas
Eva tiene 38 monedas

84. Tadeo construye un cubo grande pegando cubos pequeños idénticos sin pintar.
Luego pinta algunas de las caras del cubo grande.
El cubo se rompe y se descompone en los cubos pequeños originales, 45 de los cuales
no tienen ninguna cara pintada.
¿Cuántas caras del cubo grande pintó?
SOLUCIÓN
Si es el número de cubos de cada fila del cubo grande, los cubos interiores, que están con seguridad sin pintar,
son − 2 < 45 ⇒ − 2 < 4 ⇒ < 6
Es evidente que > 3 para que haya, al menos, 45 cubos.
Estudiamos los dos casos posibles:
• = 4 ⇒ hay 4 = 64 cubos, de los cuales 45 están sin pintar y hay 64 − 45 = 19 pintados: imposible
porque cada cara consta de 4 = 16 cubos
• = 5 ⇒ hay 5 = 125 cubos, de los cuales 45 están sin pintar y hay 125 − 45 = 80 pintados. Como
cada cara consta de 5 = 25 cubos, tendrá cuatro caras pintadas que tendrán, cada dos de ellas, una
arista común de 5 cubos: 4 × 25 − 4 × 5 = 80 cubos pintados, y dos caras, opuestas entre sí, sin pintar.
Dejó sin pintar dos caras opuestas del cubo de 5 cubitos de lado, − 2 + 2 × − 2 3 + 2 × 3 = 45,
y pintó
4 caras

85. Dados dos números a y b tales que
halla el producto a×b
SOLUCIÓN
+ = 35
+ =
⇒
+ = 35
=
⇒
+ = 35
+ =
Entonces, + = + 2 + = 2 + = 35 ⇒ = 1125 ⇒ =
×
=
196

86. Dos cuerdas AB y AC se dibujan en una circunferencia de diámetro AD.
El ángulo BAC mide 60o
, BE es perpendicular a AC, AB = 24 cm y EC = 3 cm.
¿Cuál es la longitud de la cuerda BD?
SOLUCIÓN
Llamamos = .
El triángulo es rectángulo en , por lo que = 90° − = 30°
Como el triángulo es rectángulo en , = 90° − = 90° − 30° = 60°
Además, como el triángulo es rectángulo en , y son segmentos
paralelos y y también lo son ⇒ = = 3 cm.
Así, El triángulo , rectángulo en , donde = = 60° y = 3 cm,
cumple entonces que sen = ⇒ sen 60° = ⇒
√
= ⇒ =
√
=
×√
=
2×√3 cm
PD .- No hace falta conocer la longitud de AB.

87. En un concurso de televisión compiten dos equipos A y B realizando
distintas pruebas.
En cada prueba el ganador recibe siempre la misma cantidad de
puntos y el perdedor recibe una cantidad de puntos menor que el
ganador, pero también es siempre la misma cantidad.
Al cabo de varias pruebas, el equipo A tiene 231 puntos y el equipo B,
que ganó exactamente 3 pruebas, tiene 176 puntos.
Determina cuántos puntos reciben el ganador y el perdedor de cada
prueba sabiendo que, en ambos casos, son valores naturales.
SOLUCIÓN
Llamamos los puntos que obtiene el ganador en cada prueba, los puntos que obtiene el perdedor en cada
prueba y la cantidad de pruebas celebradas. Observemos que > 3
El equipo A ha ganado − 3 pruebas y perdido 3 pruebas, por lo que los puntos obtenidos por dicho equipo son
− 3 × + 3 = 231
El equipo B ha ganado 3 pruebas y perdido − 3 pruebas, por lo que los puntos obtenidos por dicho equipo son
3 + − 3 × = 176
Planteamos el sistema
− 3 × + 3 = 231
3 + − 3 × = 176
− 3 × + 3 + 3 + − 3 × = 231 + 176 ⇒
⇒ + = × + = 407 ⇒ × + = 11 × 37
Como en ambos casos, perdedor y ganador, se reciben puntos (al ser cantidades naturales) y > 3 se cumple
que = 11 y + = 37
Elegimos una de las primeras ecuaciones del sistema anterior junto con la última ecuación obtenida y formamos
el sistema
− 3 × + 3 = 231
+ = 37
8 + 3 = 231
+ = 37
!×
5 = 231 − 3 × 37 = 120 ⇒ = 24 y
+ = 37
# $
= 37 − ⇒ = 13
El ganador recibe 24 puntos por prueba y el perdedor recibe
13 puntos por prueba

88. Un jarrón se llena completamente de agua, a un ritmo constante. La gráfica adjunta muestra
la altura h del agua en función del tiempo t.
¿Cuál de las siguientes podría ser la forma del jarrón?
SOLUCIÓN
Se observa que, conforme avanza el tiempo, la altura del agua en el jarrón progresa más lentamente, por lo que
el jarrón se irá haciendo cada vez más ancho necesitándose cada vez más agua (y, por tanto, más tiempo) para
aumentar su altura.
En conclusión, la forma del jarrón será la correspondiente a la
Figura D

89. Dos hormigas caminan por los lados de un cuadrado de 35 cm de lado y comienzan a
moverse simultáneamente, desde el mismo vértice y en sentidos opuestos.
Una hormiga va a 1 cm/seg y la otra a 2 cm/seg.
Calcula la distancia en línea recta que separa a las hormigas cuando han transcurrido
exactamente 817 segundos desde que salieron.
SOLUCIÓN
Llamamos ℎ1 a la primera hormiga. Como su velocidad es de 1 cm/seg, cada
35 segundos recorrerá un lado del cuadrado.
Teniendo en cuenta que 817 = 23 × 35 + 12, en el momento final ha
recorrido 23 = 5 × 4 + 3 lados del cuadrado.
Es decir: le ha dado 5 vueltas completas al cuadrado y ha recorrido luego 3
lados haciendo 12 centímetros en los 12 segundos que sobran en el cuarto
lado según su trayectoria.
La segunda hormiga ℎ2 lleva una velocidad es de 2 cm/seg, por lo que cada
= 17,5 segundos recorrerá un lado del cuadrado.
Teniendo en cuenta que 817 = 46 × 17,5 + 12, en el momento final ha recorrido 46 = 11 × 4 + 2 lados del
cuadrado.
Es decir: le ha dado 11 vueltas completas al cuadrado y ha recorrido luego 2 lados haciendo 24 centímetros en
los 12 segundos que sobran en el tercer lado según su trayectoria.
La situación final es la que se ve en la figura adjunta, por lo que la distancia entre ambas hormigas es la
hipotenusa del triángulo rectángulo.
Por el teorema de Pitágoras, = 35 + 24 − 12 = 35 + 12 = 1369 ⇒ = √1369 =
37 centímetros

90. Un octaedro está inscrito en un cubo de arista 1, con los vértices del octaedro en el centro
de las caras del cubo.
¿Cuál es el volumen del octaedro?
SOLUCIÓN
El octaedro está formado por dos pirámides de base cuadrada, iguales y unidas por sus
bases.
Tomamos una de ellas, de base el cuadrado y altura
Se aprecia claramente que la base tiene, de superficie, la mitad de la superficie de
una cara del cubo: = .
Además, su altura tiene de longitud la mitad del lado del cubo: .
Por todo lo anterior el volumen de la pirámide es × × = y, como tiene un volumen doble, el volumen del
octaedro es 2 × =
1/6 unidades cúbicas

91. En un colegio, el 63% de los alumnos estudia inglés y el
60% de los alumnos estudia informática.
La proporción de los alumnos que estudian inglés entre los
que estudian informática es igual al doble de la
proporción de los alumnos que estudian inglés entre los
que no estudian informática.
Halla el porcentaje de alumnos de la escuela que no
estudia ni inglés ni informática.
SOLUCIÓN
Considerando el conjunto de los alumnos del colegio, sea el conjunto de
los alumnos que estudia inglés y el conjunto de los alumnos que estudia
informática.
El esquema que tenemos indica:
• en amarillo, los alumnos que no estudian inglés ni informática, cuyo
porcentaje es el que deseamos calcular:
• en lila, el conjunto de alumnos que estudian inglés e informática.
• en rojo, el conjunto − de alumnos que estudian inglés pero no
informática.
• en rojo, el conjunto − de alumnos que estudian informática pero no inglés.
Es evidente que el porcentaje de los alumnos que estudian alguna de las dos asignaturas es 100 − , por lo que
se cumple que el porcentaje de es 60 + 63 − 100 − = 23 +
De ahí, el porcentaje de − es 63 − 23 + = 40 − y el porcentaje de − es 60 − 23 + = 37 −
El enunciado del problema nos dice que el porcentaje de los alumnos de entre los de es el doble de los de
− entre los de :
23 +
60
= 2 ×
40 −
100 − 60
⇒
23 +
60
=
40 −
20
⇒ 46 + 2 = 240 − 6 ⇒ 8 = 194 ⇒ =
194
8
=
24,25%

92. Antes del partido de fútbol entre Real Madrid y
Manchester United se hicieron cinco
predicciones:
1. El partido no terminará en empate
2. El Real Madrid marcará
3. El Real Madrid ganará
4. El Real Madrid no perderá
5. Se marcarán tres goles
¿Cuál fue el resultado final del partido Real
Madrid - Manchester United si exactamente tres
de las predicciones que se hicieron resultaron ciertas?
SOLUCIÓN
Que la predicción 3 (“el Real Madrid ganará”) sea cierta provoca que las predicciones 1.2 4 también lo sean y
esto contradice la hipótesis del problema (“hay exactamente tres predicciones ciertas”), luego la predicción 3 es
falsa: el Real Madrid no gana.
En ese caso las predicciones 1 y 4 son contradictorias, por lo que una es falsa y la otra cierta.
Si la predicción 1 es falsa, el partido debe terminar en empate y, además, las predicciones 2, 4, 5 deben ser
ciertas lo cual se contradice por deber marcarse tres goles y haber empate. En conclusión, la predicción 1 es
cierta y la 4 falsa: El Real Madrid pierde.
En conclusión las predicciones 3, 4 son falsas y las predicciones 1, 2, 5 son ciertas lo que nos conduce a que,
perdiendo y marcando el Real Madrid con 3 goles en el partido, el resultado debe ser
Real Madrid, 1 – Manchester United, 2

93. Halla el máximo número natural de 100 dígitos tal que al multiplicarlo por 7 se obtiene
un número de 100 dígitos.
SOLUCIÓN
El número solicitado será el que permita obtener el mayor número natural posible de 100 dígitos:
× 7 = 9 … ; = 1 …
…× …
× 7 = 99 … ; = 14 …
…× …
× 7 = 999 … ; = 142 …
…× …
…× …
× 7 = 9999 … ; = 1428 …
…× …
× 7 = 99999 … ; = 14285 …
…× …
…× …
× 7 = 999999 … ; = 142857 …
…× …
…× …
× 7 = 9999999 … ; = 1428571 …
y se repiten otra vez los dígitos.
En número pedido es una secuencia de 100 dígitos en el que se repite, normalmente, la secuencia 142857 y los
últimos dígitos son los primeros de esa secuencia.
Como 100 = 16 × 6 + 4, el número pedido es =
… …!"""""""""#"""""""""$
% '()(*
y el valor que se obtiene al multiplicarlo por 7 es 7 = 99999 … … . .999!""""#""""$
,-.-/
6

94. Recortamos un pentágono regular de un pedazo de papel rayado y hacemos giros de 21o
con el pentágono alrededor de su centro y en sentido contrario al de las agujas del reloj.
La figura muestra la situación después del primer giro.
¿Cuál de las siguientes figuras veremos cuando el pentágono vuelva a encajar por primera
vez en el hueco?
SOLUCIÓN
Como el ángulo central de un pentágono regular mide 72°, el pentágono encajará en el hueco cuando la suma
de los ángulos, múltiplo de 21°, sea un múltiplo de 72°.
Por lo tanto, el primer encaje sucederá cuando haya girado un ángulo total al m. c. m. 72 , 21
Como 72 = 2 × 3 y 21 = 3 × 7 ⇒ m. c. m. 72 , 21 = 2 × 3 × 7 = 504.
Un ángulo de 504° = 7 × 72° = 24 × 21°, lo cual quiere decir que el vértice inicial habrá
encajado en el séptimo vértice, contando de forma consecutiva en sentido contrario a las agujas del reloj.
Por lo tanto, la figura final será la correspondiente a la opción
B

95. Sea AB una cuerda de longitud 6 de una circunferencia de centro O y radio 5.
El cuadrado PQRS está inscrito en el sector OAB de modo tal que P está en el radio OA,
Q está en el radio OB y R y S pertenecen al arco de circunferencia AB.
Halla el área del cuadrado PQRS.
SOLUCIÓN
Dibujamos las líneas y vértices auxiliares que nos ayudarán a resolver el problema.
Llamamos = , la mitad de la longitud del lado del cuadrado y =
Según el enunciado, = = = 5; = 6 ⇒ = = 3
Aplicando en el triángulo rectángulo el teorema de Pitágoras, = − ⇒
⇒ = 5 − 3 = 16 ⇒ = 4
Como los triángulos rectángulos y son semejantes, aplicamos la proporción
= ⇒ = ⇒ =
Por último tomamos el triángulo rectángulo , en donde = = , = + = + 2 ⇒
⇒ = + 2 =
"#
y = 5, y aplicamos el teorema de Pitágoras:
+ = ⇒ $
"#
% + = 5 ⇒
"## &
'
+ = 25 ⇒ 109 = 9 × 25 = 225 ⇒ =
+
"#'
Como el cuadrado tiene de lado 2 , su área es 4 = 4 ×
+
"#'
=
'##
"#'
≅
8,26 unidades cuadradas

96. Tres de las cinco cartas que se muestran a continuación se le dan a Pedro y el resto a Pablo.
Si Pedro multiplica los 3 valores de sus cartas y Pablo los 2 de las suyas, la suma de los dos productos
obtenidos es un número primo.
¿Cuál es la suma de los valores de las cartas de Pedro?
SOLUCIÓN
Está claro que para que la suma de los productos sea un número primo, ambos deben tener distinta paridad,
por lo que las cartas con los valores 4 y 6 deben darse a la misma persona.
Si fuera a Pablo el producto de sus cartas sería 4 × 6 = 24 y el producto de las cartas de Pedro sería 3 × 5 ×
7 = 105 por lo que la suma valdría 24 + 105 = 129, que no es primo: 129 = 3 × 43, por lo que las cartas con
los valores 4 y 6 se le entregan a Pedro junto con otra de las restantes.
Posiblidades:
• Se entrega a Pedro la carta con valor 3 ⇒ 3 × 4 × 6 + 5 × 7 = 72 + 35 = 107, número primo
resultado de la suma de los productos.
• Se entrega a Pedro la carta con valor 5 ⇒ 4 × 5 × 6 + 3 × 7 = 120 + 21 = 141 = 3 × 47, número
compuesto resultado de la suma de los productos.
• Se entrega a Pedro la carta con valor 7 ⇒ 4 × 6 × 7 + 3 × 5 = 168 + 15 = 183 = 3 × 61, número
compuesto resultado de la suma de los productos.
El único reparto que se ajusta al enunciado es el primero, por lo que la suma de los valores de las cartas
entregadas a Pedro es 3 + 4 + 6 =
13

97. El número A es un cuadrado perfecto no divisible por 10, con más de 6 dígitos, que tiene la
siguiente propiedad: si se reemplazan los últimos 6 dígitos de A por ceros, se obtiene otro
cuadrado perfecto.
Halla el mayor valor posible de A.
SOLUCIÓN
Si , con ≠ 0, son las seis últimas cifras del número que se cita, tanto × 1000000 = 1000
como = × 1000000 + = son cuadrados perfectos, por lo que
= − 1000 = + 1000 × − 1000
Como el producto citado es de 6 cifras, empezamos probando los valores máximos posibles con = 9100 y
= 9, obteniendo 9100 − 9000 = 1810000, de siete cifras.
Tomando valores de con de una cifra llegamos a
• = 9056 y = 9 ⇒ 9056 − 9000 = 1011136, de siete cifras.
• = 9055 y = 9 ⇒ 9055 − 9000 = 993025 ⇒ = 993025
Tomando valores de con de dos cifras llegamos a
• = 99006 y = 99 ⇒ 99006 − 99000 = 1188036, de siete cifras.
• = 90005 y = 99 ⇒ 99005 − 99000 = 990025 ⇒ = 990025
Tomando valores de con de tres cifras llegamos a
• = 499002 y = 499 ⇒ 499002 − 499000 = 1996004, de siete cifras.
• = 499001 y = 499 ⇒ 499001 − 499000 = 998001 ⇒ = 998001
Y ya no hay más resultados factibles con ≥ 1000, por lo que el número buscado es = = 499001 =
249001998001

98. El prisma de la figura está formado por dos triángulos y tres rectángulos.
Los seis vértices están numerados con los números del 1 al 6 de tal manera que la
suma de los cuatro vértices de cada rectángulo sea la misma para los tres
rectángulos, y los números 1 y 5 ya se muestran.
¿Qué número está en el vértice etiquetado con x?
SOLUCIÓN
Se nombran los demás vértices con las correspondientes letras que aparecen en la
figura adjunta.
Como cada vértice pertenece a dos rectángulos, la suma total de las sumas de los
vértices de cada rectángulo es 2 × 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2 × 21 = 42
Al haber tres rectángulos, la suma de los vértices de cada rectángulo es = 14
De ahí, + 1 + + 5 = 14 ⇒ + = 8, por lo que los dos vértices , de ese rectángulo deben tener los
valores 2, 6, no necesariamente en ese orden.
Si = 6, = 2, el rectángulo posterior derecha cumpliría que 5 + 6 + + = 14 ⇒ + = 3, por lo que ,
deberían tener los valores 1, 2, que ya están asignados en el rectángulo posterior izquierda.
Por lo tanto, = 6 y =
2

99. Se tienen 31 cajas, cada una con una o más monedas.
Entre ellas hay 25 que tienen dos o más monedas, 17 que tienen tres o más
monedas, 15 que tienen cuatro o más monedas, 9 que tienen cinco o más
monedas y 6 que tienen seis monedas.
Se sabe que ninguna caja tiene más de 6 monedas.
¿Cuántas monedas hay en total?
SOLUCIÓN
Hay 6 cajas con 6 monedas y 9 cajas con 5 monedas o más, luego hay 9 − 6 = 3 cajas con 5 monedas.
Razonando de la misma manera, hay 15 − 9 = 6 cajas con 4 monedas, 17 − 15 = 2 cajas con 3 monedas,
25 − 17 = 8 cajas con 2 monedas y 31 − 25 = 6 cajas con 1 moneda.
Efectivamente, son 6 + 3 + 6 + 2 + 8 + 6 = 31 cajas que contienen, en total,
6 × 6 + 3 × 5 + 6 × 4 + 2 × 3 + 8 × 2 + 6 × 1 = 36 + 15 + 24 + 6 + 16 + 6 =
103 monedas

100. Las raíces de la ecuación
son a y b.
¿Cuál es el valor de a2
+ b?
SOLUCIÓN
Está claro que + = 1 y × = −2019
Entonces, + = − + + = − + +
Ahora bien, − − 2019 = 0 ⇒ − = 2019, por lo que + = − + + = 2019 + 1 =
2020

101. Sea AB el diámetro de una semicircunferencia de centro O.
Consideramos en la semicircunferencia dos puntos M y N tales
que ^MON=90o
y M está en el arco AN.
Sean P y Q en la semicircunferencia tales que OP es bisectriz
del ángulo ^AON y OQ es bisectriz del ángulo ^BOM.
Si OM es bisectriz del ángulo ^AOP, calcula la medida del
ángulo ^QON.
SOLUCIÓN
En la imagen adjunta hemos nombrado los ángulos que aparecen
en el enunciado con sus condiciones:
= 90°
= =
= =
= =
Se trata de hallar =
Vemos las relaciones entre los ángulos:
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ = + ⇒ = 2
+ = ⇒ + = 90°
+ + = ⇒ + 2 = 180°
Con las dos primeras igualdades obtenemos + = 90° !!" 3 = 90° ⇒ = 30°; = 60°
Además, tomando la tercera igualdad, + 2 = 180°
&'°
!!" 30° + 2 = 180° ⇒ 2 = 150° ⇒ = 75°
Por último, + = ⇒ + = 90°
* +,°
!!" 75° + = 90° ⇒ =
15o

102. Cuatro hermanos llamados Chico, Harpo, Groucho y Zeppo tienen diferentes
alturas y dicen lo siguiente:
Chico: “No soy ni el más alto ni el más bajo”
Harpo: “No soy el más bajo”
Groucho: “Soy el más alto”
Zeppo: “Soy el más bajo”
Exactamente uno de ellos está mintiendo.
¿Quién es el más alto?
SOLUCIÓN
Si Zeppo miente los demás dicen la verdad y no hay uno más bajo, lo cual es imposible.
Si Harpo miente, él es el más bajo por lo que Zeppo también miente, lo cual es imposible según el enunciado.
Si Chico miente o es el más alto o el más bajo, lo que entra en contradicción con lo que dicen Groucho y Zeppo:
uno de estos dos últimos también miente, lo cual es imposible según el enunciado.
En resumen: Groucho es el que miente y los demás dicen la verdad, por lo que el más alto es
Harpo