Sistemas Dinámicos de orden superios

1. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial1
SISTEMAS DINÁMICOS DE SEGUNDO
ORDEN
1. DEFINICIÓN DE UN SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN
Un sistema de segundo orden es aquel cuya salida y(t) es descrita
por la solución de una ecuación diferencial de segundo orden.
Donde f(t) es la entrada ( función forzada ).
Si es diferente de cero, la ecuación (1.1) se escribirá:
1.1( )tbfya
dt
dy
a
dt
yd
a =++ o12
2
2
oa
( )tfKy
dt
dy
dt
yd
P=++ ξττ 22
2
2
1.2

2. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial2
Donde:
La ecuación (1.2) es la forma normal de un sistema de segundo
orden, donde
es el periodo de oscilación normal del sistema,
es el factor de amortiguamiento
es la ganancia de estado estable, ganancia estática ó ganancia
simple del sistema.
La función de transferencia standard de un sistema de segundo
orden:
ooo a
b
Ky
a
a
a
a
P === 122
2, ξττ
τ
pK
( ) ( )
( ) 1222
++
==
ss
K
sf
sy
sG P
ξττ
1.3
ξ

3. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial3
Los sistemas de segundo orden y en general los sistemas de orden
superior pueden ser originados a partir de varias situaciones
físicas. Estas pueden ser clasificadas en tres categorías:
1. Procesos Multicapacitivos: procesos que consisten en dos o
más sistemas de primer orden en serie, a través de los que fluye
materia o energía.
2. Sistemas inherentes de segundo- orden: tales como fluido o
los componentes mecánicos sólidos de un proceso que poseen
inercia y estan sujetos a la aceleración. Tales sistemas son escasos
en procesos químicos.
3. Sistemas de procesamiento con su controlador: pueden ser
representados por sistemas de segundo orden o de orden superior.

4. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial4
2. MODELAMIENTO DE PROCESOS COMO SISTEMAS
DE ORDEN SUPERIOR
2.1 Tanques en serie – sistema no interactivo.
Un ejemplo típico de un sistema no interactivo es el sistema de
tanques que se muestra en la figura 2.1. Se deben determinar las
funciones de transferencia que relacionan el nivel del segundo
tanque con el flujo de entrada al primer tanque, fi(t), y el flujo de
la bomba, fo(t).

5. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial5
Figura 2.1 tanques en serie – sistema no interactivo.
En este ejemplo todos los tanques están abiertos a la atmósfera y el
proceso es isotérmico. La apertura de las válvulas permanece
constante y el flujo del líquido a través de las válvulas se expresa
mediante :

6. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial6
( ) ( ) ( ) ( )thC
Gg
tghC
G
tPC
tf V
C
VV '
14448.748.7
==
∆
=
ρ
Cv = coeficiente de la válvula, 1bm/pies3
7.48 = factor de conversión de galones a pies3
G = gravedad
La ecuación de balance de masa en estado dinámico para el
primer tanque es:
donde:
= densidad líquido, 1bm/pies3
= área transversal del tanque 1, pies2
( ) ( ) ( ) ( )
dt
tdh
Atftftfi
1
11 ρρρρ =−− 
2.1
ρ
1A

7. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial7
De la expresión (2.1) se obtiene:
Con las ecuaciones (2.2) y (2.3) se describe el primer tanque. Para
el segundo tanque usamos el mismo procedimiento y se obtiene:
Remplazando la ecuación (2.3) en la ecuación (2.2) y remplazando
(2.3) y (2.5) en (2.4), luego dividiendo las dos ecuaciones
resultantes entre la densidad, se obtiene:
( ) ( )thCtf V 1
'
11 = 2.2
( ) ( ) ( )
dt
tdh
Atftf 2
221 ρρρ =− 2.3
( ) ( )thCtf V 2
'
22 = 2.4

8. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial8
( ) ( ) ( ) ( )
dt
tdh
AtfthCtf Vi
1
11
'
1 =−− o
( ) ( ) ( )
dt
tdh
AthCthC VV
2
22
'
21
'
1 =−
2.5
2.6
Las ecuaciones (2.6) y (2.7) representan la dinámica del sistema de
los tanques en serie, pero estas ecuaciones son no lineales, por lo
tanto para obtener la función de transferencia deben ser
linealizadas. Luego de linealizarlas y definir las variables de
desviación, se obtienen las siguientes ecuaciones:
Para la ecuación (2.5) se obtiene:
( ) ( ) ( ) ( )
dt
tdH
AtFtHCtFi
1
111 =−− o
2.7

9. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial9
Donde:
Las variables de desviación:
De la ecuación (2.6)
Donde:
2/1
11
1
1
1 )('
2
1
)(
)( −
=
∂
∂
= hC
th
tf
C v
ss
111
000
)()(
)()(
)()(
hthtH
ftftF
ftftF iii
−=
−=
−=
dt
tdH
AtHCtHC
)(
)()( 2
22211 =−
2/1
21
2
2
2 )('
2
1
)(
)( −
=
∂
∂
= hC
th
tf
C v
ss
2.8

10. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial10
Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones (2.5) y
(2.6) y reordenando los términos se obtiene:
( ) ( ) ( )sF
s
K
sF
s
K
sH i o
11 1
1
1
1
1
+
−
+
=
ττ
( ) ( )sH
s
K
sH 1
2
2
2
1+
=
τ
2.8
2.7
La función de transferencia del sistema se determina sustituyendo
la ecuación (2.7) en la (2.8), obteniéndose:
( )
( )( )
( ) ( )[ ]sFsF
ss
KK
sH i o−
++
=
11 21
21
2
ττ
2.9

11. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial11
Luego las funciones de transferencia individuales son:
La función de transferencia de la ecuación (2.9) se llama función
de transferencia de segundo orden o retardos de segundo orden
y tal como se han obtenido, se forman a partir de dos funciones de
transferencia de primer orden.
( )
( ) ( )( )11 21
212
++
=
ss
KK
sF
sH
i ττ
( )
( ) ( )( )11 21
212
++
−
=
ss
KK
sF
sH
ττo

12. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial12
El modelo matemático de tres tanques en serie, figura 2.2, se
puede construir rápidamente a partir del modelo de dos tanques en
serie cuyas ecuaciones se muestran en (2.1) y (2.3). para el tercer
tanque el balance de masa estado dinámico de la ecuación:
De la expresión general que determina el flujo a través de la
válvula, de igual forma usándola en la válvula 3, se obtiene otra
ecuación:
( ) ( ) ( )
dt
tdh
Atftf 3
332 ρρρ =−
( ) ( )thCtf V 3
'
33 =
2.10
2.11

13. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial13
Figura 2.2 tres tanques en serie – sistema no interactivo

14. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial14
Siguiendo el mismo proceso anterior reemplazamos (2.10) en
(2.11) y luego dividimos entre la densidad para obtener:
Linealizando la ecuación (2.12) y definiendo la nueva variable de
desviación, se obtiene la siguiente ecuación:
donde:
( ) ( ) ( )
dt
tdh
AthCthC VV
3
33
'
32
'
2 =− 2.12
( ) ( )
( )
dt
tdH
AtHCtHC 3
33322 =− 2.13
( )
( )
( ) 2/1
3
'
3
3
3
3
2
1 −
=
∂
∂
= SVs hC
th
tf
C ( ) ( ) ShthtH 333 −=y

15. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial15
Aplicando la transformación de Laplace a la ecuación (2.13) y
reordenando los términos se obtiene:
( ) ( )sH
s
K
sH 2
3
3
3
1+
=
τ
minutos
C
A
3
3
3 =τ sdimensionesin
3
2
3
C
C
K =
2.14
Sustituyendo la ecuación (2.9) en la ecuación (2.14) se obtiene:
( )
( )( )
( ) ( )[ ]sFsF
ss
KK
sH i o−
++
=
11 21
21
3
ττ
2.15

16. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial16
La función de transferencia de la ecuación (2.15) se llama
función de transferencia de tercer orden o retardos de tercer
orden.
Figura 2.3 Diagrama de bloques no interactivos en serie.

17. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial17
2.2 Tanques en serie – sistema interactivo:
Un sistema interactivo de dos tanques se muestra en la figura 2.4,
esto puede conseguirse redistribuyendo los tanques de la figura
1.1.
Figura 2.4 Tanques en serie – sistema interactivo

18. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial18
La interacción entre los tanques se muestra claramente a partir
de la ecuación de flujo de la válvula, f1(t), es decir:
La ecuación de balance de masa en estado dinámico para el
primer tanque es:
( ) ( ) ( ) ( )( )
Gg
ththgC
G
tPC
tf
V
VV
14448.748.7
2111
1
−
=
∆
=
ρ
( ) ( ) ( )ththCtf V 21
'
11 −= 2.16
( ) ( ) ( ) ( )
dt
tdh
Atftftf ii
1
1ρρρρ =−− 
2.17

19. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial19
La ecuación (2.16) con la ecuación (2.17) forma un sistema de 2
ecuaciones con 3 incógnitas. Para el segundo tanque usamos el
mismo procedimiento y se obtiene:
Remplazando (2.1) en (2.17) y dividiendo la ecuación resultante
entre la densidad se obtiene:
( ) ( ) ( )
dt
tdh
Atftf 2
221 ρρρ =−
( ) ( )thCtf V 2
'
22 =
2.18
2.19
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dt
tdh
AtfththCtf Vi
1
121
'
1 =−−− o
2.20

20. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial20
Linealizando y usando las variables de desviación de (2.20) se
obtiene:
Donde:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dt
tdH
AtFtHCtHCtfi
1
12414 =−+− o
2.21
( )
( )
( )
( )
( ) 2/1
21
'
1
2
1
1
1
4
2
1 −
−=
∂
∂
−=
∂
∂
= SSV
SS
hhC
th
tf
th
tf
C
Reordenando la ecuación (2.20) y aplicando la transformada
de Laplace:
( ) ( ) ( ) ( )sF
s
K
sH
s
sF
s
K
sH i o
11
1
1 1
4
2
44
4
1
+
−
+
+
+
=
τττ
2.22

21. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial21
Donde:
Siguiendo el mismo procedimiento para el tanque 2, se obtiene:
Donde:
minutos
C
A
4
1
4 =τ 3
4
4 /
1
piesminpies
C
K −=
( ) ( )sH
s
K
sH
s
1
5
2
1+
=
τ
2.23
minutos
CC
A
42
2
5
+
=τ
42
4
5
CC
C
K
+
= sin dimensiones

22. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial22
la función del sistema se determina sustituyendo la ecuación
(2.22) en la (2.23), obteniéndose:
o reacomodando términos:
( )
( ) ( )
( ) ( )[ ]sFsF
Kss
KK
sH i o−
−+++
=
554
2
54
54
2
1ττττ
( ) ( ) ( )[ ]sFsF
s
K
s
K
K
KK
sH i −
+





−
+
+





−
−
=
5
542
5
54
5
54
2
11
1
ττττ
2.24

23. GICI-Grupo de Investigación en control Industrial23
Figura 2.5 Diagrama de bloques de un sistema interactivo de dos tanques