CONTROL Y AUTOMATIZACION

1. DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
ILM 1
7 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA – SISTEMAS DE PRIMER
ORDEN
Introducción
Trabajar en el dominio de Laplace no solamente es útil para la resolución matemática de
ecuaciones sino que se presta especialmente para ser utilizado con el concepto de
función de transferencia. En general un proceso recibe una entrada u(t) y genera una
salida y(t). Si llevamos estas señales al dominio de Laplace tendremos una entrada
U(s) que genera una salida Y(s). La función que relaciona salida con entrada se
denomina función de transferencia g(s).
De modo que Y(s) = g(s)×U(s) .
Sistemas de primer orden
Se denominan sistemas de primer orden a aquellos en los que en la ecuación general
aparece solamente la derivada primera del lado izquierdo (el de la variable de estado). O
sea que se reducen al formato siguiente:
donde k se denomina ganancia del proceso y  es la constante de tiempo del sistema.
En general encontraremos que la ecuación está escrita en función de las variables
“desviación” respecto al valor de estado estacionario. Por lo tanto en general y(0) = 0 ,
u(0) = 0 . Tomando transformadas de Laplace
Veamos un ejemplo: un tanque completamente agitado que recibe un caudal v y se le
extrae el mismo caudal:
uky
dt
dy
τ
        
     
     skUsYs
skUsYssY
skUsYyssY



1τ
τ
0τ
   
     
 
1τ
1τ





s
k
sg
sUsgsY
sU
s
k
sY

2. DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
ILM 2
Del balance de materia
Como V es constante porque entra y sale el mismo caudal
Estado estacionario: dC/dt = 0 ; Cs= Cin . Por lo tanto
Que es de la forma
donde = V/v , y = C – Cs , u = Cin – Cin s
Respuestas de sistemas de primer orden a diferentes entradas
Seguimos manejándonos con el esquema
donde
Escalón de magnitud U a tiempo t = 0
Sabemos que
Por lo tanto
  vCvC
dt
VCd
in 
C
V
v
C
V
v
dt
dC
in 
     ssinin
s
CC
V
v
CC
V
v
dt
CCd


     sinins
s
CCCC
dt
CCd
v
V


uky
dt
dy
τ
 
1

s
k
sg

 
s
U
U

L
 
 1τs 


s
Uk
sY

3. DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
ILM 3
Tomando antitransformadas
O bien
Que escrito en forma adimensional es
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t/tau
salidaadimensional
Por ejemplo: consideremos un tanque de V = 5m3
con v = 1 m3
/min, concentración en
estado estacionario 1.25 mol/m3
. Considerar un cambio en la concentración de entrada
desde 1.25 mol/m3
a 1.75 mol/m3
.
U = 0.5 mol/m3
 = 5 min
Por lo tanto la respuesta en el dominio del tiempo será
Siendo y la variable reducida por lo que la concentración en el tanque será
0 5 10 15 20 25
1.25
1.3
1.35
1.4
1.45
1.5
1.55
1.6
1.65
1.7
1.75
t (min)
C(mol/m3)
Ver „ejem7.1.sce‟ y „ejem7.1.cos‟ (este último en Scicos).
 
τ
1
1τ
1 t
e
ss








1-
L
   τ
1 t
eUkty 

   τ
1 t
e
Uk
ty 


 
 
ss
sY
ss
U
sU
5.0
15
1
5.0





   5
15.0 t
ety 

   5
15.025.1 t
etC 


4. DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
ILM 4
Conociendo la respuesta de una función de primer orden a un escalón en la entrada se
pueden estimar los parámetros de la función de transferencia del proceso:
Estimación de la ganancia:
O bien
Estimación de la constante de tiempo:
Identificando el valor de tiempo en el cual la respuesta vale 0.632 del valor final:
O bien evaluando
en t = 0
Ejemplo: El operador de un proceso realiza un cambio en el caudal de entrada pasando
de 20 a 17.5 gal/min y encuentra que la presión cambia de 50 a 55 psig como se muestra
en la figura.
 
U
y
U
ty
k
t 





 sGk
s 0
lim


    UkeUky  
632.01τ 1
 τ
τ
t
e
Uk
dt
dy 

τ0
Uk
dt
dy
t



 
 
gpmpsig
gpm
psig
U
Y
k 2
205.17
5055







    UkeUky  
632.01τ 1
5minτ
2.535632.050

 psigP

5. DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
ILM 5
Impulso
O en forma adimensional
0 1 2 3 4 5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
salidaadimensional
t/tau
Procesos autorregulados
Son aquellos en los cuales un cambio en las variables de entrada conduce a un nuevo
estado estacionario en forma automática. Por ejemplo los sistemas de primer orden.
Veamos un ejemplo: un RCAI con una reacción química de primer orden r = k C
Del balance de masa
En estado estacionario dC/dt = 0
Restando la ecuación de balance en estado estacionario
  AA δL
   sU
k
sY
1τs 

 
1τs 

Ak
sY
τ
1τ
1 t
e
s






1-
L
  τt
eAkty 

  τt
e
kA
ty 

  kVCvCvC
dt
VCd
in 
inC
V
v
Ck
V
v
dt
dC







k
V
v
C
V
v
C
sin
s


     sinins
s
CC
V
v
CCk
V
v
dt
CCd









6. DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
ILM 6
Que es de la forma
con
Véase „ejem7.2.sce‟.
Otro ejemplo: RCAI con reacción química de 2º orden r = k C2
En estado estacionario dC/dt = 0
Si linealizamos la función
Que también es de la forma
con
Ver „ejem7.3.sce‟.
     sinins
s
CC
k
V
v
V
v
CC
dt
CCd
k
V
v



























1
uky
dt
dy
τ
sinins CCuCCy
k
v
V
k
V
v
V
v
k
k
V
v



























1
11
τ
  2
2VCkvCvC
dt
VCd
in 
2
2CkC
V
v
C
V
v
dt
dC
in 
0
2
2  sinss C
V
v
C
V
v
Ck
2
2
2
2
4
k
C
V
v
k
V
v
V
v
C
sin
s














     sinin
sin
s
s
s
CC
C
f
CC
C
f
dt
CCd








     sinin
s
s
s
s
CC
Ck
V
v
V
v
CC
dt
CCd
Ck
V
v


























 22 22
1
uky
dt
dy
τ
sinins
ssss
CCuCCy
v
V
CkCk
V
v
V
v
k
V
v
Ck
V
v
Ck
V
v







































2222 21
1
2212
1
τ

7. DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
ILM 7
Sistemas de primer orden más tiempo muerto
Muchas veces en los procesos industriales se introducen tiempos muertos;
particularmente en la industria química suelen asociarse al transporte de fluidos por
cañerías. Por ejemplo, en el siguiente esquema, si se produce un cambio en la
concentración de entrada Cin puede demorar un cierto tiempo  en que dicho cambio
llegue a la entrada del tanque.
La forma general de estos procesos será
Y en el ejemplo que estamos viendo será  = Vtubería / v por lo que
Del balance de masa en el tanque
Llamando u = Cin – Cin s , y = C – Cs ,  = V/v y tomando transformadas
Si en un proceso de primer orden con tiempo muerto hay un cambio en escalón de
magnitud U a tiempo t = 0
 θτ  tuky
dt
dy
   θ
*
 tCtC inin
*
inC
V
v
C
V
v
dt
dC

 θ tC
V
v
C
V
v
dt
dC
in
        
     
     sUeksYs
sUeksYssY
sUeksYyssY
s
s
s









1τ
τ
0τ
   
     
 
1τ
1τ







s
ek
sg
sUsgsY
sU
s
ek
sY
s
s


 
s
U
U

L
 
s
Uek
sY
s




1τs


8. DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
ILM 8
antitransformando
0 5 10 15 20 25
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t (min)
y
Procesos integradores
Veamos el siguiente ejemplo: sea un tanque de almacenamiento, con área transversal
100 ft2
, inicialmente está entrando y saliendo el caudal vin = vout = 5 ft3
/min , h0 = 4 ft ,
H tanque = 10 ft . A la 1:00 pm el flujo de entrada se cambia a 6 ft3
/min .
Del balance global de masa
Y como el área transversal es constante
Restando la solución de estado estacionario
Si el flujo de salida es constante
Que es de la forma
si llamamos
Tomando tranformadas
antitransformando
 
 1τs 



s
eUk
sY
s
   tparaty 00
   
  
 
tparaeUkty t τ
1 U = 0.5 a t = 0
k = 2 [unidades salida/entrada]
 = 5 min  = 5 min
outin vv
dt
dV

outin v
A
v
Adt
dh 11

     soutoutsinin
s
vv
A
vv
Adt
hhd

 11
   sinin
s
vv
Adt
hhd

 1
uk
dt
dy

sinins vvu
A
khhy  1
       
   
 
  tukty
s
u
ksY
sU
s
k
sY
yskUyssY





2
000
  t
ft
ft
fth
tv
A
hh ins
2
3
100
min/56
4
1




9. DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
ILM 9
Resolviendo por ejemplo para h = 10 ft
0 100 200 300 400 500 600
4
5
6
7
8
9
10
tiempo (min)
h(ft)
Procesos caracterizados por más de una variable
Cuando un proceso está caracterizado por más de una variable de estado, la(s) salida(s)
puede(n) estar dada(s) por varias funciones de transferencia. Consideremos por ejemplo
un tanque agitado calentado eléctricamente, a caudal constante.
Del balance de energía
Si el proceso estaba inicialmente en estado estacionario
Entonces
O escribiendo en variables desviación
El término V/w tiene unidades de tiempo y puede llamarse  , la constante de tiempo
del sistema.
A su vez 1/wC puede denominarse K, la ganancia del sistema, pues relaciona la variable
de entrada con la de salida en estado estacionario:
 
 
hr
ft
ft
ftftt 10min600
min/56
100
410 2
2



  QTTwC
dt
dT
CV in 
  sssin QTTwC  ,0
      sssinin QQTTTTwC
dt
dT
CV  ,
       sssinin
s
QQ
wC
TTTT
dt
TTd
w
V

 1
,

Q
wC
TT
dt
Td
w
V
in



 1
..
1
eeenQ
wC
TT in




10. DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
ILM 10
O sea que escribimos
Tomando transformadas y como T’(0)=0
Para concretar más el ejemplo, supongamos que el tanque agitado es de 1.60 ft3
, opera
con un flujo de 200 lb/min de un líquido con C = 0.32 Btu/lbºF y  = 62.4 lb/ft3
. Se ha
alcanzado el estado estacionario con un flujo de calor de 1920 Btu/min y una
temperatura de entrada de 70ºF. Calcular la respuesta de un sistema frente a un cambio
súbito de la temperatura de entrada a 90ºF.
Como el Q se mantiene constante sólo debemos ocuparnos de hallar la G2(s) ,
relacionada con Tin
Entonces
Debemos escribir las ecuaciones en variables desviación. Para ello calculamos la
temperatura de estado estacionario:
la señal de entrada en forma de escalón es:
Multiplicándola por la G2
Antitransformando
Y escribiéndolo en variables reales
QKTT
dt
Td
in








 




 
QKTTL
dt
Td
L in
       sKssss QTTT in 
     s
s
s
s
K
s inT
1
1
Q
1
T





















         sssss in21 TGQGT 
min5.0
min200
4.6260.1 33



lb
ftlbft
w
V

 
15.0
1
2


s
sG
F
FlbBtulb
Btu
F
Cw
Q
TT
s
s
sins º100
.º32.0min200
min1920
º70, 


 
ss
s
207090
Tin 



 
ss
s
20
15.0
1
T


   t
etT 2
120 


11. DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
ILM 11
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
t (min)
T(ºF)
Considérese ahora que al mismo tiempo que la temperatura de entrada aumenta a 90ºF
el flujo de calor es cambiado a 1600 Btu/min
Ambos cambios en las señales de entrada contribuyen al cambio en la señal de salida.
Esto se esquematiza con el siguiente diagrama de bloques:
Ahora
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
100
105
110
115
T(ºF)
t (min)
Ver „ejem7.2.cos‟.
   t
etT 2
120100 

 
ss
s
207090
Tin 



 
ss
s
32019201600
Q 


  































ssss
K
s
20
1
1320
1
T

min
º
1056.1
.º32.0min200
1
min5.0
2
Btu
F
FlbBtulb
K 




 
     15.0
15
15.0
20
15.0
5
T







ssssss
s
   t
etT 2
115100 


12. DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
ILM 12
Procesos en serie
La función de transferencia de procesos en serie resulta de multiplicar las funciones de
transferencia correspondientes a cada proceso por separado.
Consideremos por ejemplo dos tanques en serie (sistema linealizado)
Del balance de materia para el primer tanque
Suponiendo que el caudal de salida es lineal con la altura
Por lo que sustituyendo en la anterior
En variables desviación
Tomando transformadas
Del mismo modo para el segundo tanque
Podemos relacionar todas estas funciones de transferencia
1
1
1 qq
dt
dh
A in 
1
1
1
1
h
R
q 
1
1
1
1
1
h
R
q
dt
dh
A in 








1
1
1
1
1
1
1
h
R
q
qq
dt
dh
A in
 
  11Q
H
1
1
11
1
in
1




s
K
sRA
R
s
s

 
  111
1 11
H
Q
KRs
s









2
2
2
21
2
2
1
h
R
q
qq
dt
dh
A
 
  11Q
H
2
2
22
2
1
2




s
K
sRA
R
s
s

 
  222
2 11
H
Q
KRs
s


13. DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS
ILM 13
Puede verse claramente que la función de transferencia total es el producto de la función
de transferencia del primer proceso ( 1/(1s+1) ) y de la del segundo ( 1/(2s+1) ) .
La representación en un diagrama de bloques sería
 
 
 
 
 
 
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